结构力学位移法基本思路和基本未知量的确定

第44卷第2期 山西建筑Vol.44No.2

2 0 1 8 年 1 月SHANXI ARCHITECTURE Jan.2018 • 251 •文章编号：1009-6825 (2018) 02-0251-03

结构力学位移法基本思路和基本未知量的确定

黄志刚

(湖南文理学院土木建筑工程学院，湖南常德415000)

摘要:位移法是求解结构的一种基本方法，它既是结构力学课程学习的一个重点，又是一个难点。由于其基本思路相对较难理 解，加之教材中确定位移法基本未知量的方法不够严谨，让学生在学习过程中困难重重。结合多年的教学经验与实践，对位移法 的基本思路和基本未知量的确定进行探析和归纳,使学生更好地理解和掌握位移法。

关键词:结构力学,位移法，基本思路，角位移,线位移

中图分类号:TU311 文献标识码:A

〇引言

《结构力学》课程是土建、水利、力学等专业的一门重要的学 科基础课[1]，具有理论性强和灵活性大的特点，搞好它的教与学 是培养学生分析和计算能力的关键，它对新的人才培养模式的实 现起着十分重要的作用。而超静定结构的内力和变形分析是其 中很重要的一项内容。

力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法[2]。力法 是在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。随后，由于钢筋混凝土结构的出现，大量高次超静定刚架逐渐增多，如果 仍用力法计算将十分麻烦。于是20世纪初又在力法的基础上建 立了位移法。

力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束，代之以 多余未知力，以多余未知力为基本未知量，一般取静定结构为基 本结构进行计算。利用位移协调条件建立力法基本方程,求出多 余未知力，然后进一步求出结构的内力。位移法的基本思路与力 法相反。位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以一组单 跨超静定梁为计算的基本单元。先设法确定出单根杆件的杆端 内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他 杆端位移相协调。然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确 定出未知的结点位移，从而进一步求出整个结构的内力。

由于位移法思路的独特性，在地方性应用型本科院校的《结 构力学》课程教学过程中，学生学习这块内容时，往往感到非常迷 惑，倍感费劲。加之，当前《结构力学》教材中所给出的确定位移 法基本未知量的方法，在文字叙述上不够严谨，定义不够明确，容 易让学生在学习过程中产生混淆和导致错误结论[3]。因此，对位 移法的基本思路和基本未知量的确定进行探析和归纳很有现实 意义。

1位移法的基本思路

位移法是求解超静定结构的另一种基本方法，与力法相比，位移法的解题过程比较规范,便于编制计算机程序，但基本思路 相对难理解一些，以下以图la)所示的刚架为例说明位移法的基 本思路。

在荷载作用下，刚架产生的变形如图la)中虚线所示，设结点 S的转角为4，根据变形协调条件可知，汇交于结点S的S4杆和

BC杆两杆端也应有同样的转角^。为了简化计算，在受弯杆件 中，忽略杆件的轴线变形和剪切变形的影响,假设弯曲变形很小，因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。根 据这些假定，S结点就只有角位移而没有线位移。如果能知道S 点的角位移4，就可以求出刚架的内力。

下面来设法求出S点的角位移烏。假设在S点处加上一个

附加刚臂,这个附加刚臂约束了 S点的转动。原结构就变成了两

个相互独立的单跨超静定梁，把它称为位移法的基本结构，如图 lb)所示。第一步在基本结构上加荷载FP，只有梁S C发生变形，

S点没有角位移，在附加刚臂中产生了一个约束反力矩F lf。第

二步使基本结构的S点转动4，同时附加刚臂处会产生一个反力

矩

图1超静定结构

k

b)基本结构

将第一步和第二步的结果叠加，得到的基本结构的变形与原

结构一致。注意到原结构在S点并没有附加刚臂，也不存在约束

反力矩，所以:

F n +F1P=0(1)

这里的是基本结构在S点发生转角4时,产生在附加刚

臂的反力矩。用竓表示基本结构在S点处发生单位转角A = 1

时，产生在附加刚臂中的反力矩，则式（1)可以写成：

knA{+ Flp=0 (2)式(2)称为位移法基本方程。可以用力法（后续可以

通过形常数和载常数)确定，进而求出原结构的全部内力。

由以上分析可知，用位移法求解结构内力的要点是：

1) 位移法的基本未知量是结构的独立结点位移，如图la)中的S点的角位移。

2) 位移法以单根杆件作为计算基础。通过附加约束，把复杂 结构的内力计算拆分为三类基本杆件的内力状况的叠加。三类

基本杆件都是等截面杆件，如图2所示。

基本杆件的内力状况可以分为形常数和载常数（线刚度^ = f)，如图3,图4所示。

3)基本结构的选取:通过在杆端附件约束，限制结点位移(被

约束住的位移即为基本未知量），把结构所有杆件转化为三类基

本杆件。此时附加了约束的超静定结构即为基本结构。

收稿日期:2017-11-06

作者简介:黄志刚（1985-),男，硕士,工程师，

助教

• 252 •

第44卷第2期

2 0 1 8年1月

山西建筑a)两端固定的梁b)—端固定一端简支的梁

c)一端固定、另一端滑动支承的梁

图2位移法三类基本杆件

i l t K i n u r n t n H M t

U^j J X u-V E

K-24

l 32

图4载常数

4)位移法的基本方程是平衡方程，如式（2)是S点的力矩平 衡方程。位移法基本方程的物理意义是基本结构在结点独立位 移和各种因素(荷载、支座位移、温度变化等）的共同作用下，附加 约束上的反力等于零。用数学式子表达的一般形式为：

名+ F iP + F k + = 0(i = 1，2,…，n)(3)其中，\.为基本结构在单位位移^ = 1单独作用时，在第i个 附加约束上产生的反力;称为自由项，它表示荷载单独作用时，在第（个附加约束上产生的反力，故又称为荷载项;，&.，&分 别为基本结构在荷载、支座移动和温度变化等因素作用时，在第^ 个附加约束上产生的反力。所有系数和自由项均取与所设基本 未知量'的方向一致为正，反之则为负。

5)内力计算:将基本未知量求出后，最后的弯矩图等于基本 结构分别在荷载等其他因素和基本未知量单独作用下的弯矩图 相叠加，即：

M = + M P + M c + M,(4)与力法不同，位移法的基本结构是超静定结构，荷载、支座位 移、温度变化等因素都有可能引起内力。

2位移法的基本未知量

位移法是以结点位移为基本未知量，基本未知量的数目等于 独立结点角位移数目加上独立线位移数目。

独立结点角位移数目的确定比较简单:为使结点不发生角位

移,需要在结点上施加附加刚臂，则附加的刚臂数目就是独立结

点角位移的数目，它等于全部刚结点和半铰结点的结点数目。但

需要注意的是:铰结点的角位移不取为基本未知量;刚度无穷大

的梁端若不发生转角,则与刚度无穷大的杆相连的刚结点的转角

也不取为基本未知量。例如图5a)所示,4为刚结点,5为半铰结 点，故有两个独立角位移;而图5b)中S为刚结点为铰结点，故

只取S点转角为独立角位移;而图5c)中A5杆刚度无穷大，此时

^% = 0,基本未知量只有一个线位移4。

独立的结点线位移数目的确定较复杂，基本可以根据以下原

则而确定：

1) 附加链杆法(最稳妥的方法）。在结点施加附加链杆，使其 不发生线位移，则附加链杆数目即为独立结点线位移数目。应用

此法时需注意，剪力静定杆（即自由端、滑动支承端或滚轴支承端

的与杆轴垂直方向）的线位移不取作基本未知量。

2) 铰化法(应慎重使用）。将刚架中刚结点(包括固定端)全部 改为铰结点，成为铰接体系，其自由度数目即为独立线位移数目。

b)

图5超静定结构的基本未知量

图6超静定刚架的原结构

利用这种方法时应注意，它只适合于杆件的边界端是固定

端、铰支端和垂直杆轴的滚轴支承端。若边界是自由端、滑动支

承端和沿杆轴方向的滚轴支承端，利用此方法会得出错误的结 论。如图6a),图6b)表示两种不同的刚架，铰化后均为图7所示

的铰接体系，其自由度为2,而原刚架独立结点线位移数为1。这

是因为D结点的线位移为垂直于杆轴方向，属于不独立的结点位

移，不应取作基本未知量。

确定位移法的基本未知量数目时还应注意:角位移和线位移

均不包括静定部分。

3结语

位移法既是《结构力学》课程教学的一个重点，又是一个难

点。但由于位移法解题思路的独特性，较力法而言，相对难理解

一些，让很多学生摸不着头脑。实践经验证明，若能很好地掌握

以上归纳总结，并进行系统化练习，那学生领会位移法，

并将其运