信息安全系统数学基础教案设计(禹勇)

教师教案
( 2009—2010 学年第一学期)
课程名称：信息安全数学基础
授课学时：40学时
授课班级：信息安全专业，28063010～60班
任课教师：禹勇
教师职称：讲师
教师所在学院：计算机科学与工程学院电子科技大学
第一章整除与同余授课时数：6
一、教学内容及要求
1.整除的概念及欧几里得除法，理解
2.整数的表示，理解
3.最大公因数及广义欧几里得除法，掌握
4.整除的进一步性质及最小公倍式，掌握
5.素数和算术基本定理，掌握
6.同余的概念，掌握
二、教学重点与难点
本章的内容较多，难点较少，教学重点在于以下方面：
1.欧几里得除法和广义欧几里得除法。

2.最大公因数和最小公倍数。

3.整数的标准分解式。

4.同余的概念
三、内容的深化和拓宽
在内容的深化和拓宽方面，介绍如何运用欧几里得除法求整数的二进制、十进制和十六进制，使学生对欧几里得除法有更深的理解。

四、教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题
1.在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT演示的方式。

2.讲述证明整除方面的定理的常用方法。

3.通过举例阐述重要定理的内容和含义。

五、作业
1.证明：若2|n, 5|n, 7|n,那么70|n。

2.证明：如果a是整数，则a3-a被3整除。

3.证明：每个奇整数的平方具有形式8k+1。

4.证明：任意三个连续整数的乘积都被6整除。

5.证明：对于任给的正整数k，必有k个连续正整数都是合数。

6.证明：191，547都是素数，737，747都是合数。

7.利用爱拉托斯筛法求出500以内的全部素数。

8.求如下整数对的最大公因数：
(1) (55, 85) (2) (202, 282)
9.求如下整数对的最大公因数：
(1) (2t+1, 2t-1) (2) (2n, 2(n+1))
10.运用广义欧几里得除法求整数s, t，使得sa+tb=(a,b)。

(1) 1613, 3589 (2)2947, 3772
11.证明:若(a,4)=2，(b,4)=2，则(a+b,4)=4。

12.求出下列各对数的最小公倍数。

(1) 8, 60
13.求出下列各对数的最大公因数和最小公倍数
(1) 4711791111011001, 4111831111011000
六、本章参考资料
1.信息安全数学基础，李继国等，武汉大学出版社，2006年。

2.信息安全数学基础，覃中平等，清华大学出版社，2006年。

七、教学后记
第二章群
授课时数：6
一、教学内容及要求
1.群的概念及基本性质，掌握
2.子群的概念与判定，掌握
3.群的同态和同构，掌握
4.变换群，掌握
5.置换群，掌握
二、教学重点与难点
本章教学重点为群、子群、群同态、同构和变换群与置换群等的定义，子群的判定、群同态和同构以及同态核；本章教学难点为群、子群和同态的定义。

三、内容的深化和拓宽
在内容的深化和拓宽方面，引入公钥密码学，说明群理论在公钥密码学中的重要应用。

四、教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题
1.在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT演示的方式。

2.通过实际的例子来解释群、子群、变换群和置换群的定义。

3.举例说明解释群同构与同态的区别和联系。

五、作业
1．下面各集合对相应定义的运算“•”，哪些构成群？哪些不构成群？并说明理由：
1）实数集R ，对运算a •b = 2(a +b )； 2）G = {1，-1}，对数的普通乘法； 3）非零实数集R *，对运算a •b = 2ab ； 4）非零实数集R *，对运算a •b = |ab |； 5）所有实数对集合{(a ，b ) | a ，b ∈R }，对运算
(a ，b ) • (c ，d ) = (a +c ，b -d )；
6）整数集Z ，对运算a •b = a +b -1；
7）G ＝{⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b b a | a ，b 为实数且a 2+b 2≠0}，对矩阵的普通乘法； 8）非空集合M 的所有子集的集合P (M )，对运算
A •
B = A ∩B ，(A ，B ∈M )；
9）上述集合P (M )，对运算
A •
B = A ∪B ，(A ，B ∈M )；
10）G = {p m q n | m ，n ∈Z }，其中p ，q 是两个固定的不同素数，对数的普通乘法．
2．全体整数的集合Z 对于普通减法是否是一个群？ 3．完成2.1例6的验证．
4．对于集合A = { a 1，a 2，…}可以建立如下的乘法表．表中
a ij = a i a j ．
乘法表可以方便地判断一个集合是否是群．
1）建立通过乘法表判断是否群或交换群的规则．（提示：如果表中a ij = a ji ，则交换律满足．）
2）通过上面建立的规则判断G是否是群，如果是群，是否是交换群．
G = {e，a，b}，
其乘法表如下：
5．证明：在群中只有单位元满足方程
x2 = x．
6．如果群G中的每一个元都满足方程
x2 = e，
那么G是交换群．
7．设G是一个群，证明G是交换群的充分必要条件是，对于G任意元素a，b都有
(ab) 2 = a2b2．
8．设G是一个群，a，b，c是G中任意三个元素，证明：方程
xaxba = xbc
在G中有且仅有一解．
9．证明：如果a，b是群中的任意元素，则
(ab)–1 = b-1a-1．
10．证明：在任意群中，下列各组中的元素有相同的阶：
1）a与a-1；
2）a与cac-1；
3）ab与ba；
4）abc，bca，cab．
11．设G是n阶有限群．证明对于任意元a∈G，都有a n = e．
12．详细验证2.2例1．
13．证明：群G的两个子群的交集也是G的子群．
14．证明f(ab) = f(a)f(b)将一个群映射成另一个群．
15．证明群的同构是等价关系．
16．证明：群G为一交换群当且仅当a→a-1是一同构映射．
17．证明：一个变换群的单位元一定是恒等变换．
18．构造与整数加法群Z同构的变换群．
19．M = R \{0，1}即M 是除去0，1以外的全体实数的集合，G 是M 的以下6个变换的集合：
x x =)(1π，x
x 1
)(2=
π，x x -=1)(3π， 11)(4-=
x x π，x x x 1)(5-=π，1
)(6-=x x x π． 证明G 是一个变换群．
20．R 是实数集合．证明：R 上的所以如下变换
x →ax +b ，a ，b 是有理数，a ≠0
是一个变换群．这个群是不是交换群？
21．参考题4，建立三次对称群S 3的乘法表．从乘法表观察S 3是否阿贝尔群．
22．求出三次对称群S 3的所有子群．
23．把三次对称群S 3的所有元素写成不相交的循环乘积． 24．证明2.4定理4．
25．设G = {1，ε，ε2}，其中ε = i e 3
2π
．证明G 与三次对称群S 3的一个子
群同构．
26．设计26个英文字母的一个置换，用这个置换对一段文字进行加密，并观察加密后的密文．（置换是应用了上千年的基本密码技术．这里置换表称为密钥．）
27．把置换(456)(567)(671)(123)(234)(345)写为不相交循环乘积． 28．设
τ = (327)(26)(14)，σ = (134)(57)
求στσ-1 和σ-1τσ．
28．将题26的置换用不相交的循环乘积表示．
29．将上题中的每个循环用对换的乘积表示．
30．证明：对于K－循环δ，有δk = I．（I—恒等变换）．
31．证明K－循环满足：
(i1 i2…i k)-1 = (i k i k-1…i1)．
32．求交错群A4．
33．证明n次对称群S n有阶1!，2!，3!，…n!的子群．
六、本章参考资料
1.信息安全数学基础，谢敏等，西安电子科技大学出版社，2006
年。

2.信息安全数学基础，覃中平等，清华大学出版社，2006年。

七、教学后记
第三章循环群、群的结构
授课时数：6
一、教学内容及要求
1.循环群的概念，掌握
2.欧拉函数的定义与相关计算，掌握
3.剩余类群的概念，理解
4.子群的陪集，掌握
5.正规子群与商群，掌握
二、教学重点与难点
本章教学重点为循环群的概念与应用、循环群的性质、剩余类群及其性质和正规子群的判定；本章教学难点拉格朗日定理、正规子群的判定和性质。

三、内容的深化和拓宽
在内容的深化和拓宽方面，重点引入基于循环群建立的公钥密码算法，让学生深刻掌握循环群在公钥密码算法中的重要地位。

四、教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题
1.在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT演示的方式。

2.通过实际的例子来讲解循环群、正规子群和商群。

五、作业
1．在G到G’的一个同态映射之下：a a’，a和a’的阶是否一定相同？
2．证明：
1）在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数．
2）假设G是一个阶为偶数的有限群，则G中阶为2的元素个数一定为奇数．
3．求三次对称群S3的所有元素的阶．
4．求出三次对称群S3的所有元素生成的循环子群．
5．假设a生成一个阶为n的循环群G．证明：如果(m，n) = 1（即m与n互素），a m也生成G．
6．假设G是循环群，并且G与G’同态．证明G’也是循环群．
7．假设G是无限阶循环群，G’是任意循环群．证明G与G’同态．(提示：将G’分为无限循环群和有限循环群分别证明．)
8．分别求出13，16阶循环群各个元素的阶，指出其中的生成元．
9．分别求15，20阶循环群的真子群．
10．参考第2章题4，建立模8剩余类群的运算表．
11．证明：设p是一个素数，任意两个p阶群都同构．
12．证明：设p是一个素数，则阶是p m的群一定有一个阶为p的子群．13．a，b是一个群G的元素，并且ab= ba，又假设a的阶为m，b的阶为n，且(m，n) = 1，证明ab的阶是mn．
14．四次对称群S4的一个4阶子群如下：
H = {(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}
求出H的全部左陪集．
15．证明：两个正规子群的交还是正规子群．
16．证明：指数是2的子群一定是正规子群．
17．假设H是G的子群，N是G的正规子群，证明HN是G的子群．
18．基于加法和加法群对第2章和本章内容进行归纳总结．加法群中的单位元用0表示，元素a的逆元用 a表示．（通过该练习可以加深巩固对群论的熟悉和理解，建议初学的读者完成好该练习．）
六、本章参考资料
1.信息安全数学基础，谢敏，西安电子科技大学出版社，2006
年。

2.信息安全数学基础，覃中平等，清华大学出版社，2006年。

七、教学后记
第四章环
授课时数：6
一、教学内容及要求
1.环与子环的概念，理解
2.整环、除环和域的概念，掌握
3.环的同态与理想，掌握
4.商环、素理想和最大理想，掌握
二、教学重点与难点
本章教学重点为环、除环、商环和域等的定义，环的同态与理想；本章教学难点为环的同态与理想。

三、内容的深化和拓宽
在内容的深化和拓宽方面，引入公钥密码学，说明环在公钥密码学中的重要应用。

四、教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题
1.在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT演示的方式。

2.通过实际的例子来阐述环、除环、商环和域的定义。

3.举例说明环的同态与理想的定义。

五、作业
1．利用环的定义验证4.1节中的例1、例2、例3．
2．R = {0，a，b，c}，加法和乘法分别由以下两个表给出，证明R是一个环．
3．求复数环中元素a+ib的逆元．
4．Z为整数环，在集合Z⨯Z上定义加法和乘法分别如下：
(a，b) + (c，d) = (a+c，b＋d)，
(a，b) ⨯ (c，d) = (ac+bd，ad+bc)．
证明Z⨯Z是一个具有单位元的环．
5．在整数集合Z上重新定义加法⊕和乘法⊙如下：
a⊕b = ab，a⊙b = a+b．
Z在新运算下是否构成环？
6．Z为整数环，Q为有理数环．以下集合对普通加法和乘法是否构成环？如果是环，是否有单位元？是否是交换环？
1）5Z = {5n∣n∈Z}；
2）Z[5] = {a+b5∣a，b∈Z }；
3）Q[5] = {a+b5∣a，b∈Q}；
4）Z+ = { a∣a∈Z，a>0}．
7．证明一个环的一个子集S构成一个子环的条件是：对于任意a，b∈S，有
a-b∈S，ab∈S．
8．奇数集合是否构成整数环Z的子环？
9．设环R = {z，a，b，c}的运算表如下：
试证：{z，a}，{z，b}，{z}，R都是R的子环．
10．给出一个环的例子，使该环R有一个子环T，而且
1）R有单位元，T没有单位元；
2）R没有单位元，T有单位元；
3）R，T有相同的单位元；
4）R，T都有单位元，但不同；
5）R不可交换但T可交换．
11．设R是一个环，a∈R，证明S = {x∣x∈R，ax = 0}是R的子环．
12．设R是一个环，且|R| ≥2，证明R的单位元1 ≠ 0．
（该题隐含当|R| = 1时R的单位元1 = 0．）
13．找出题2中的左、右零因子和零因子．
14．有理数环、实数环、复数环有无零因子？
15．求模100剩余类环的所有零因子．
16．画出环、交换环、有单位元环、无零因子环、整环、除环、域的关系图．
17．验证：全体有理数、全体实数和全体复数对于普通的加法和乘法都是域．
18．验证4.2节中例3．
19．证明：一个无零因子且有两个以上元素的有限环是除环．
20．证明：有限整环是域．
六、本章参考资料
1.信息安全数学基础，谢敏，西安电子科技大学出版社，2006
年。

2.信息安全数学基础，覃中平等，清华大学出版社，2006年。

七、教学后记
第五章多项式与有限域
授课时数：6
一、教学内容及要求
1.多项式环的定义，掌握
2.多项式的欧几里德算法，掌握
3.多项式剩余类环，掌握
4.有限域，掌握
二、教学重点与难点
本章教学重点为多项式环、多项式剩余类环、有限域的定义，有限域的本原元及其特征；本章教学难点为有限域的构造。

三、内容的深化和拓宽
在内容的深化和拓宽方面，引入公钥密码学，说明有限域在公钥密码学中的重要应用。

四、教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题
1.在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT演示的方式。

2.通过实际的例子来讲解有限域构造。

五、作业
1．证明F[x]无零因子．
2．计算域GF(7)上两个多项式的和与乘积：
f(x) = x6+5x4+ x2+6x+1，g(x) = x7+3x+1．3．证明在GF(2)[x]上有(f(x)+g(x))2 = (f(x))2+(g(x))2．
4．验证x5+x4+x2+x+1，x5+x4+x3+x+1不可约．
5．求GF(3)[x]上多项式x6+x3+1，x2+x+1的最大公因式．
6．对整数环和多项式环进行比较．
7．设GF(2)上两个多项式为：
f(x) = x5+x4+ x3+ x2+x+1，g(x) = x3+x+1．
求f(x) mod g(x)
8．计算GF(2)[x] mod(x2+1)的加法和乘法运算表．
9．证明5.2定理1．
10．证明在特征为p的域里，有
(a+b)p= a p +b p．
11．计算有限域GF(23)：GF(2)[x] mod(x3+x+1) 的加法和乘法运算表．
六、本章参考资料
1.信息安全数学基础，李继国等，武汉大学出版社，2006年。

2.信息安全数学基础，覃中平等，清华大学出版社，2006年。

七、教学后记
第六章同余式
授课时数：6
一、教学内容及要求
6.同余的概念及基本性质，掌握
7.剩余类及完全剩余系，掌握
8.简化剩余系与欧拉函数，掌握
9.欧拉定理与费马小定理，掌握
10.模重复平方计算法，理解
二、教学重点与难点
本章教学重点为同余、剩余类、完全剩余系和简化剩余系等的定义，欧拉定理、费马小定理以及模重复平方法；本章教学难点为剩余类、完全剩余系和简化剩余系的定义。

三、内容的深化和拓宽
在内容的深化和拓宽方面，引入公钥密码学，说明同余理论在公钥密码学中的重要应用。

四、教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题
1.在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT演示的方式。

2. 通过实际的例子来阐述剩余类、完全剩余系和简化剩余系的定
义和区别。

3.举例说明欧拉定理、费马小定理的应用。

五作业
1.(1)写出模9的一个完全剩余系，它的每个数是奇数。

(2) 写出模9的一个完全剩余系，它的每个数是偶数。

(3)(1)或(2)中的要求对模10的完全剩余系能实现吗？
2. 证明：当m >2时，02,12…,(m -1)2一定不是模m 的完全剩余
系。

3. 2003年5月9日是星期五，问第220080509天是星期几？
4. 证明：如果a i ≡b i (mod m ),1≤i ≤k ，则
(1)11(mod );k k a a b b m ++≡++L L
(2) 11(mod );k k a a b b m ≡L L
5. 设p 是素数，证明：如果a 2≡b 2 (mod p)，则p |a -b 或p |a +b 。

6. 设n =pq ，其中p ，q 是素数，证明：如果a 2≡b 2 (mod n)，
n !|a -b , n !|a +b , 则(n ,a -b )>1, (n , a +b )>1。

7. 设整数a ,b ,c (c >0)，满足a ≡b (mod c )，求证：(a ,c )=(b ,c )。

8. 下列哪些整数能被3整除，其中又有哪些能被9整除？
(1)1843581 (2)184234081 (3)8937752744
(4)4153768912246
9. 利用模9同余式来求出下式中的未知数字：
89878589655299?56270⋅=
10.我们可以通过下面的方法来判断乘法c =ab 是否成立：对于任
意模m 是否都有c ≡ab (mod m )成立？如果我们找到一个m 使得c ≠ab (mod m )，那么就有c ≠ab ，当我们取m ＝9时，利用十进制与其各位数字之和同余于模9的事实来判断下列
等式是否成立：
(1)87596127532410520633,⋅= (2)1478923567348532367,⋅=
(3)24789437171092700713,⋅= (4) 所有的这种判断是否简单明了？
11.运用Wilson 定理，求8910111213(mod7)⋅⋅⋅⋅⋅。

12.证明：如果12(),m c c c ϕL 是模m 的简化剩余系，那么
12()0(mod )m c c c m ϕ+++≡L
13.证明：如果m 是正整数，a 是与m 互素的整数，那么
2()110(mod )m a a a m ϕ-++++≡L
14.证明：如果a 是整数，那么a 7≡a (mod 63)。

15.证明：如果a 是与32760互素整数，那么a 12≡1 (mod 32760)。

16.证明：如果p 和q 是不同的素数，则
111(mod )q p p p pq --+≡
17.证明：如果m 和n 是互素的整数，则
()()1(mod )n m m n mn ϕϕ+≡
六、 本章参考资料
1信息安全数学基础，谢敏，西安电子科技大学出版社，2006年。

2 信息安全数学基础，覃中平等，清华大学出版社，2006年。

七、 教学后记
第七章平方剩余
授课时数：6
一教学内容及要求
5.一般二次同余式，理解
6.模为奇素数的平方剩余与平方非剩余，掌握
7.勒让德符号，掌握
8.二次互反律，理解
9.雅可比符号，理解
10.模p平方根，掌握
11.合数的情形，理解
12.素数的平方表示，理解
二教学重点与难点
本章教学重点为二次同余式和平方剩余等的定义，勒让德符号和雅可比符号以及求模p 平方根；本章教学难点为二次互反律的证明。

三内容的深化和拓宽
在内容的深化和拓宽方面，引入公钥密码学，说明平方剩余在公钥密码学中的重要应用。

四教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题
1 在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT演示的方式。

2通过实际的例子来阐述平方剩余的定义。

3举例说明勒让德符号和雅可比符号的定义和区别。

五 作业
1. 求满足方程E :y 2=x 3-3x +1 (mod 7)的所有点。

2. 求满足方程E :y 2=x 3+x +1 (mod 17)的所有点。

3. 计算下列勒让德符号：
17151191911377(1)(2)(3)(4)(5)(6)37373397200320072320040803⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4. 求下列同余方程的解数：
(1) x 2≡-2 (mod 67) (2) x 2≡2 (mod 67)
(3) x 2≡-2 (mod 37) (4) x 2≡2 (mod 37)
5. 设p 是奇素数，证明：
(1) 模p 的所有二次剩余的乘积对模p 的剩余是(-1)(p +1)/2。

(2) 模p 的所有二次非剩余的乘积对模p 的剩余是(-1)(p +1)/2。

(3) 模p 的所有二次剩余之和对模p 的剩余是：1，当p =3;0,
当p >3。

(4) 所有二次非剩余之和对模p 的剩余是多少?
6. 判断下列同余方程是否有解：
(1) x 2≡7 (mod 227) (2) x 2≡11 (mod 511)
(3) 11x 2≡-6 (mod 91) (4) 5x 2≡-14 (mod 6193)
7. 证明：23|211-1,47|223-1,503|2251-1。

六 本章参考资料
1.信息安全数学基础，谢敏，西安电子科技大学出版社，2006年。

2.信息安全数学基础，覃中平等，清华大学出版社，2006年。

七教学后记
第八章原根与指标
授课时数：6
一教学内容及要求
5.指数及其基本性质，掌握
6.原根存在的条件，掌握
7.指标及n次剩余，掌握
二教学重点与难点
本章教学重点为原根、指数、指标等的定义，原根判别法则以及原根的求解；本章教学难点为n次剩余。

三内容的深化和拓宽
在内容的深化和拓宽方面，引入离散对数问题，加强学生对指数的理解。

四教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题
3.在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT演示的方式。

4.通过实际的例子来阐述原根的求解方法。

五作业
1.计算2，5，10模13的指数。

2.计算3，7，10模19的指数。

3.设m>1是整数，a是与m互素的整数。

假如ord m(a)=st，那
么ord m(a s)=t。

4.设n是一个整数，d是()n 的一个正因数。

问是否存在整数使
得ord n (a )=d ?
5. 设p 是一个奇素数，并且
12p -也是一个奇素数，设a 是与p 互素的正整数。

如果
1221,1,1(mod )p a a a p -≠≠≠
则a 是模p 的原根。

6. 设n 是正整数，如果存在一个整数a 使得
11(mod )n a n -=
以及
1
1(mod )n q a n -≠
对n -1的所有素因数q ，则n 是一个素数。

7. 求解同余式
225(mod 41)x ≡
8. 求解同余式
2229(mod 41)x ≡
六 本章参考资料
1. 信息安全数学基础，谢敏，西安电子科技大学大学出版社，2006年。

2. 信息安全数学基础，覃中平等，清华大学出版社，2006年。

七 教学后记。