数值分析误差一点总结
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数值分析学习报告 邹凡峰 1329010062
作为这学期的必修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学 和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的很差。
学习数值分析，我们首先得知道一个软件——MATLAB。数值分析所用的语言中，最重要 的成分是函数，其一般形式为：Function[a，b，c，……]=fun(d，e，f，……)，对于数值 分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好 MATLAB，你就已经成功了。 因为学的不是很好对于后面的章节不能很好把握，就只能简单的对第一章中的误差总结下。 通过第一章的学习，我们能够初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联 系紧密，区别却也很大。在第一章中，我们学到的是对数据误差计算，对误差的分析。以及 关于向量和矩阵的范数的相关内容。
处作泰勒展开，并略去其中的 (x1),(x2),,(xn)等小量的高阶项，即可得
到函数的近似值的绝对误差和相对误差的估算式分别为：
和
* r
(
y)
n i 1
xi* y*
(
f xi
)*
* r
(
xi
)
上两式中的各项
和
分别为各个 xi*(i 1,2,,n) 对 y *的绝对误差和相对误差的增长因子。
* r
(
y)
( y
y) *
（3）n 元函数：
( f )* (x1) ( f )* (x2 ) x1 y * x2 y *
x1* y*
( f )* x1
* r
(
x1
)
x2* y*
( f x2
)*
* r
(
x2
)
y f (x1, x2 , xn ) 中 ， 只 要 将 函 数 f ( x1, x2 , xn ) 在 点 (x1*, x2* , xn* )
本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法 选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑 来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己 的疑惑。 一． 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求 解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解 过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。
)
(
2 f x22
)*
( x1
x2* )2
]
式子中 (x1 x1* ) (x1 )
和 (x2
x
* 2
)
(x2 )
一般都是小量值，如
忽略高阶小量，则上式可简化为
f
(x1, x2 )
f
(
x1*
,
x2*
)
(
f x1
)*
(
x1)
(
f x2
)*
(
x2
)
因此 ，y* 的绝对误差为
( y) y y* f (x1, x2 ) f (x1*, x2*)
数字。
3.2 将任何数乘以 10p（p=0，±1，±2，?）等于移动该数的小数点，并不影响其有效数
字。
3.3 有效数字相同的两个近似值的绝对误差不一定相同。
3.4 准确值被认为具有无穷多位有效数字。
从有效数字的定义可以知道，由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位数字到第
一位非零数字都是有效数字。
有效数字的第一种定义: 如果近似值 x^* 的误差限是其某一位上的半个单位，且该 位直到 x^*的第一个非零数字共有 n 位，则 有 n 位有效数字。
k 位。从小数点后的第 k 位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。
通过学习总结出下面几个结论：
3.1 若 a 是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数字都是有效
* r
x2
x 1
x 2
1 x*
2
x 1
x* 1
x* 2 2
x 2
x* 1
[
*
x
* x
]
x* r 1
r2
2
和
* r
x 1
x 2
* r
x 1
* r
x 2
（1） 近似值之和的绝对误差等于各近似值绝 对误差的代数和。
（2） 近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对误差的代数和。
（3） 两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相对误差之差。
绝对误差限指通过一定手段估计出误差的绝对值不超过某个正数ε^*(总为正数)
2.相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。
相对误差：
（可正可负）
相对误差限：er x*x|*exr |xe* 相r , 对误差的绝对值上限 结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。
3.有效数字的定义
整数, ai 是 0 到 9 中的一个数字,a1 0.x 的近似值, 具有 n 位有效数字当且仅当
x* x 1 10mn 2
结论：有效数字位数越多，绝对误差越小。
6.误差估计的基本方法 （1）对于一元函数：
（2）二元函数：
考虑二元函数 y=f(x1,x2)，设 x*1 和 x*2 分别是 x1 和 x2 的近似值， y* 是函数值 y 的近似
7.算法及计算复杂性
在数值计算中，要注意遵循一些原则，以保证数值稳定性。
（1）能控制舍入误差的传播。 （2）合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止大数将小数吃掉。 （3）避免两个相近的数相减。 （4）避免接近零的数做除数，防止溢出。 （5）简化计算步骤，尽量减少运算次数。
二．误差知识与算法知识 （1）误差来源
误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误 差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值
方法过程中产生的误差。
（2）绝对误差、相对误差与有效数字
1.绝对误差 e^*指的是精确值 x 与近似值 x^*的差值。 e^*=x^*-x
(
f x1
)*
(
x1
)
(
f x2
)*
(
x2
)
( f )*
式中， (x1) 和前面 (x2 ) 的系数 x1 和
x x y ( f )*
*
*
*
x2 分别是 1 和 2 对 的绝对误差增长
因子，它们分别表示绝对误差 (x2 ) 和 (x1) 经过传播后增大或缩小的倍数。
由此可得出 y* 的相对误差：
误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公 式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够 通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。而对误差的分析，则是通过对 大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的 算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。
6..算数运算误差：
n
xi
n
( xi )
i 1
i 1
* r
n
xi
n
i 1
i
xi*
n
xi*
i 1
* r
x1 x2
x1*
x1*
x
* 2
* r
x1
x
* 2
xHale Waihona Puke Baidu*
x
* 2
* r
x2 即
* r
x1 x2
x1*
x1*
x
* 2
* r
x1
x
* 2
x1*
x
* 2
4.相对误差与有效数字的关系：
若近似数 x^*具有 n 位有效数字，则其相对误差的相对误差限为
εr
ε x*
0.5 10mn 0.a1a2 ... an 10m
10n 2 0.a1...
1 10n1 2a1
结论：有效数字位数越多，相对误差越小。
5.绝对误差与有效数字的关系：
近似数 x*总可以写成如下形式，x* 0.a1a2an10m.其中 m 是
值，且函数 f(x1,x2)在点(x*1,x*2)处的泰勒展开式为：
f (x1, x2 )
f
( x1*,
x2*)
[( f x1
)* ( x1
x1* )
( f x2
)* ( x2
x2*)
]
1 [( 2!
2 f x12
)*
( x1
x1* ) 2
2( f x1x2
)*
( x1
x1* )( x2
x2*
作为这学期的必修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学 和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的很差。
学习数值分析，我们首先得知道一个软件——MATLAB。数值分析所用的语言中，最重要 的成分是函数，其一般形式为：Function[a，b，c，……]=fun(d，e，f，……)，对于数值 分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好 MATLAB，你就已经成功了。 因为学的不是很好对于后面的章节不能很好把握，就只能简单的对第一章中的误差总结下。 通过第一章的学习，我们能够初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联 系紧密，区别却也很大。在第一章中，我们学到的是对数据误差计算，对误差的分析。以及 关于向量和矩阵的范数的相关内容。
处作泰勒展开，并略去其中的 (x1),(x2),,(xn)等小量的高阶项，即可得
到函数的近似值的绝对误差和相对误差的估算式分别为：
和
* r
(
y)
n i 1
xi* y*
(
f xi
)*
* r
(
xi
)
上两式中的各项
和
分别为各个 xi*(i 1,2,,n) 对 y *的绝对误差和相对误差的增长因子。
* r
(
y)
( y
y) *
（3）n 元函数：
( f )* (x1) ( f )* (x2 ) x1 y * x2 y *
x1* y*
( f )* x1
* r
(
x1
)
x2* y*
( f x2
)*
* r
(
x2
)
y f (x1, x2 , xn ) 中 ， 只 要 将 函 数 f ( x1, x2 , xn ) 在 点 (x1*, x2* , xn* )
本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法 选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑 来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己 的疑惑。 一． 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求 解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解 过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。
)
(
2 f x22
)*
( x1
x2* )2
]
式子中 (x1 x1* ) (x1 )
和 (x2
x
* 2
)
(x2 )
一般都是小量值，如
忽略高阶小量，则上式可简化为
f
(x1, x2 )
f
(
x1*
,
x2*
)
(
f x1
)*
(
x1)
(
f x2
)*
(
x2
)
因此 ，y* 的绝对误差为
( y) y y* f (x1, x2 ) f (x1*, x2*)
数字。
3.2 将任何数乘以 10p（p=0，±1，±2，?）等于移动该数的小数点，并不影响其有效数
字。
3.3 有效数字相同的两个近似值的绝对误差不一定相同。
3.4 准确值被认为具有无穷多位有效数字。
从有效数字的定义可以知道，由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位数字到第
一位非零数字都是有效数字。
有效数字的第一种定义: 如果近似值 x^* 的误差限是其某一位上的半个单位，且该 位直到 x^*的第一个非零数字共有 n 位，则 有 n 位有效数字。
k 位。从小数点后的第 k 位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。
通过学习总结出下面几个结论：
3.1 若 a 是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数字都是有效
* r
x2
x 1
x 2
1 x*
2
x 1
x* 1
x* 2 2
x 2
x* 1
[
*
x
* x
]
x* r 1
r2
2
和
* r
x 1
x 2
* r
x 1
* r
x 2
（1） 近似值之和的绝对误差等于各近似值绝 对误差的代数和。
（2） 近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对误差的代数和。
（3） 两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相对误差之差。
绝对误差限指通过一定手段估计出误差的绝对值不超过某个正数ε^*(总为正数)
2.相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。
相对误差：
（可正可负）
相对误差限：er x*x|*exr |xe* 相r , 对误差的绝对值上限 结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。
3.有效数字的定义
整数, ai 是 0 到 9 中的一个数字,a1 0.x 的近似值, 具有 n 位有效数字当且仅当
x* x 1 10mn 2
结论：有效数字位数越多，绝对误差越小。
6.误差估计的基本方法 （1）对于一元函数：
（2）二元函数：
考虑二元函数 y=f(x1,x2)，设 x*1 和 x*2 分别是 x1 和 x2 的近似值， y* 是函数值 y 的近似
7.算法及计算复杂性
在数值计算中，要注意遵循一些原则，以保证数值稳定性。
（1）能控制舍入误差的传播。 （2）合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止大数将小数吃掉。 （3）避免两个相近的数相减。 （4）避免接近零的数做除数，防止溢出。 （5）简化计算步骤，尽量减少运算次数。
二．误差知识与算法知识 （1）误差来源
误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误 差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值
方法过程中产生的误差。
（2）绝对误差、相对误差与有效数字
1.绝对误差 e^*指的是精确值 x 与近似值 x^*的差值。 e^*=x^*-x
(
f x1
)*
(
x1
)
(
f x2
)*
(
x2
)
( f )*
式中， (x1) 和前面 (x2 ) 的系数 x1 和
x x y ( f )*
*
*
*
x2 分别是 1 和 2 对 的绝对误差增长
因子，它们分别表示绝对误差 (x2 ) 和 (x1) 经过传播后增大或缩小的倍数。
由此可得出 y* 的相对误差：
误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公 式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够 通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。而对误差的分析，则是通过对 大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的 算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。
6..算数运算误差：
n
xi
n
( xi )
i 1
i 1
* r
n
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4.相对误差与有效数字的关系：
若近似数 x^*具有 n 位有效数字，则其相对误差的相对误差限为
εr
ε x*
0.5 10mn 0.a1a2 ... an 10m
10n 2 0.a1...
1 10n1 2a1
结论：有效数字位数越多，相对误差越小。
5.绝对误差与有效数字的关系：
近似数 x*总可以写成如下形式，x* 0.a1a2an10m.其中 m 是
值，且函数 f(x1,x2)在点(x*1,x*2)处的泰勒展开式为：
f (x1, x2 )
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( x1*,
x2*)
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