任意初等行列混合变换求解线性方程组

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任意初等行列混合变换 求解线性方程组
冯林安 吴茂念 ・
（． １贵州大学理学院， 贵州 贵阳 ５０２ ；． ５０ ５２ 贵阳学院数学系， 贵州 贵阳 ５００ ） ５ ０５
摘
要 ：提 出一种任意施行初等行列混合 变换求解线性方程组的新方法 ，分 两种情形 ：１ 系数 矩阵为可逆矩 ．
（ ．Ｓｈｏ ｏ ｉ ｃ ， ｕｚｏ ｎｖｒｉ ， ｕｙｎ５ ０２ ， ｈｎ ； １ ｃｏｌ ｆ ｅ ｅ Ｇ ｉ ｕＵ ｉｅ ｔ Ｇ ｉ ｇ５０ ５ Ｃ ｉ Ｓ ｎ ｃ ｈ ｓｙ ａ ａ
２ ｅａｔ ｅｔ ｆ ｔｅ ｔｓ Ｇ ｉ ｎ ｎｖｒｉ ， ｎ ａｇ５０ ０ ，Ｃ ｉａ ．Ｄ ｐｒ ｎ ｏ ｈｍａ ｃ， ｕｙ ｇＵ ｉ ｓｙ Ｇ ｙｎ ５ ０ ５ ｈｎ ） ｍ Ｍａ ｉ ａ ｅ ｔ ｉ
Ｐ ＝。。 Ａ （０ ＱＥ ） ｒ
１ 预备知识
引理 １ 对矩阵 Ａ施行一次初等行变换就相 当于在 Ａ的左边乘以一个相应的初等矩阵 ， Ａ施 对 行一次初等列变换就相 当于在 Ａ的右边乘 以一个 相应的初等矩阵。
定理 １ Ａ是一个 ｎ阶可逆矩阵 ， 假若 １ ７ ， 阶可
逆矩阵 Ｐ、 使得 Ｐ Ｑ ＝Ｅ， Ａ ＝Ｑ Ｑ， Ａ 则 ～ Ｐ。
１ Ｐ 中后 ｍ —ｒ ） ６ 个元不全为零时 ， 线性方程
组 Ａ ＝ｂ无解 。 Ｘ
其中 是由任意常数组成的列矩阵 ， 即解 ｌ ， 中含有 儿一 个相互独立的任意常数。 ｒ 从而线性方程组 Ａ ＝ｂ 有无穷多个解 ： ＝ Ｘ Ｑ 此时解 中含 有的 ｎ—ｒ Ｙ， 个相互 独立 的任意常 数， 从而可确定线性方程组 Ａ ＝ｂ 中的 ，— 个 自 ｔｒ 由未 知量 。
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｉ ｐ ｅ ｉｅ ｅ ｔ ｏ ｏ ｓ ｌｅ ｔｅ ｓ ｓｅ ｏ ｉｅ ｒ ｅ ｕ ｔ ｎ ｉ ｌ ｍｅ ｔｒ Ｏ ｎ ｏｕ ａ ｌ ｓｒ ｃ ： ｈ ｓ 印 ｒｇｖ ｓ ａ ｎ ｗ ｍｅ ｄ ｔ ｏｖ ｙ ｔｍ ｆｌ ａ ｑ ａｉ ｓ ｗ ｔ ｅｅ ｎ ａ ｙ Ｉ Ｗ ａ ｄ ｃ ｌ ｍｎ ｔ ｉ ｈ ｈ ｎ ｏ ｈ ｒ ｓ ｆｒ ｔ ｎ ｎ ｉ ｕ ｓ ｔ ｏ ｃ ｓ ． ｏ ｆ ｃｅ ｔｍａｒ ｅ ｒ ｎ ｅ ｔ ｌ ；２． ｏ ｉｉｎ ｔｉｅ ｒ ｅ ｅ ａ ｘ ｎ ｍａｒ． ｏ ｍａ ｏ ，ａ ｄ ｄ ｓ ｓ ｗ ｕｅ ：１ Ｃ ｅｔ ｉｎ ｔｉ ｓａ ｃ ｉ ｖ ｒ ｂ ｅ ｉ ｃ ｉ ｘ ｉ Ｃ ｆ ｃｅ ｔｍａｒ ｓ ａｃ ｇ ｎ ｒｌｍ ｔ ｘ ｉ ｘ ｓ ｈ ｓ ｍｅ ｏ ｓｅ ｓ ｐ ｒ ｔ ｎ ｅ ｃ ｎ ｌ ｓ ｎ ｉ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ．Ｔ ｉ ｔ ｄ ｉ ａ ｙ ｔ ｏ ｅ ａｅ ａ ｄ ｔ ｏ ｃｕ ｉ ｓｇ ￣ｅ ｎ ． ｈ ｏ ｈ ｏ ｓ Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｅ ｎａ ｙ ｍａｒ ｙ ｗｏ ｄ ： ｌｍｅ ｔｒ ｔ ｘ；ｅ ｅ ｎａ ｙ ｔａ ｓｏｍａｉｎ；ｉ ｖ ｒ ｂ ｅ ｍａ ｒ ；ｒ ｎ ｙ ｔ ｍ ｆ ｉ ｅ ｑ ａｉｎ ｉ ｌ ｍｅ ｔｒ ｎ ｆｒ ｔ ｒ ｏ ｎ ｅｔ ｌ ｔｉ ａ ｋ ｓ ｓｅ ｏ ｎ ａ ｅ ｕ ｔ ｓ ｉ ｘ ｌ ｒ ｏ
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Ｆ ＮＧ ｉ Ｅ Ｌ ｎ—ａ ， Ｕ Ｍａ ｎ Ｗ ０一ｎ ａ ｉｎ
０ 引言
引理 ２பைடு நூலகம்逆矩阵一定可以表示成初等矩 阵的 乘积。
线性方程组的理论是代数学 中的基本理论 ， 它 引理 ３ Ａ是一个 ｍ Ｘｌ ， 矩阵， Ａ的秩为 ｒ 则存 ， 在数学以及其他 自然科 学领域有着广泛 的应用 。 在 ｍ阶可逆矩阵 Ｐ及 ｎ 阶可逆矩阵 Ｑ， 使得 关于它的求解方 法——初等行变换 法 ， 几乎所 有 《 线性代数》 教材都有完善的介绍。本文提出一种 任意施行初等行列混合变换 ， 并且对初等列变换不 其中 Ｅ 是 ｒ ， 阶单位矩阵。 作任何标注来求解线性方程组的新方法 ， 取得较为 完善的结果 ， 且该方法突破了传统的思维定式 ， 因 ２ 主要结果 此有一定的理论及应用价值。
由Ｐ Ｑ ＝Ｅ得 Ａ ＝Ｐ ～， Ａ Ｑ 于是 Ａ ＝Ｑ ～ Ｐ。
定理 ２ Ａ是 一个 儿阶可逆 矩 阵 ， Ａ ＝Ｅ ， ＰＱ
则线性方程组 Ａ ＝ｂ 有唯一解 Ｘ ＝Ｑ Ｐ ） （ｂ 。
收稿 日 ： １ — ５— ９ 期 ２ １ ０ １ ０ 作者简介 ： 冯林安（９６一 ， ， １６ ）男 贵州正安人 ， 贵阳学院数学 系副教学 ， 研究方向 ： 代数及应用 。
第 ６卷
第 ３期
贵 阳学 院学 报 （ 自然 科学版 ） （ 刊 ） 季
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＧＵＩ ＹＡＮＧ ＣＯ 工 Ｅ Ｉ ＥＧ
Ｖｏ Ｎｏ ３ Ｌ６ ．
２ １ 年 ９月 ０１
Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ Ｑ ａｔｒ ） ａ ａ Ｓｉ ｃｓ（ ｕｒ ｌ ｕ ｅ ｅｙ
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４ — —
因为 Ｘ ＝ Ａ ～ｂ， Ａ ＝ Ｑ ， 以 又 ～ Ｐ 所
＝
Ｑ Ｐ ） （ ｂ。 定 理 ３ Ａ是 一个 １ ×ｎ矩阵 ， ７ １ ， Ａ的秩为 ｒ， 线
性方程组为 Ａ ＝ｂ 。假若 ｒ阶可逆矩阵 Ｐ及 ｎ ｉ ｇ 阶
可矩 Ｑ 得 Ｑ （ ｏ） 则 逆 阵 ， ＝ｏ０ ， 使 ｒ
阵 ；２ 系数 矩阵为一般 ｍ ×／矩阵 ，两种方法都 简便 易行 。 ． １ － 关键 词：初等矩 阵；初等变换 ；可逆 矩阵 ；秩 ；线性方程组 中图分类号：０ ５ ． １ １２ 文献标识码 ：Ａ 文章编 号 ：１７ ６ ２ （０ １ ３— Ｏ４－ ３ ６ ３－ １５ ２ １ ）０ ００ ０