任意初等行列混合变换求解线性方程组
线性代数：4.2 用初等行变换解方程组
0
0
1 21
2
0 0 0 0 0
由此可知，r r 2 n 4，因此方程组有无穷多解。
继续对A作初等行变换，将其化为行最简形：
1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 2
A
0
0
1
21
2
0
0
121 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
对应的最简方程组是：
x1 x2 x3
补齐 写出通解
结束
x1 x2 x3 x4 0
例：
求解方程组
x1
x2
x3
3 x4
1
x1 x2 2x3 3x4 1 2
用其增广矩阵作初等行变换：
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
A
1
1
1 3
1
0
0
2 4 1
1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2
1 1 1 1 0
42用初等行变换解方程组ax化为行最简形化为行阶梯形无解写出唯一解结束移项补齐写出通解化为最简方程化为阶梯方程求解方程组用其增广矩阵作初等行变换
§4.2 用初等行变换解方程组
方程组AX
化为阶梯方程
化为最简方程
增广矩阵A (A )
化为行阶梯形
是
否
r r?
化为行最简形
Байду номын сангаас
无解
否
是
r n?
移项
写出唯一解
t1 1 2 2t2
,
x4 t2
（“补齐”）
写成向量形式便是通解
x1 1 2 1 1
x2 x3
0 12
t1
1 0
初等变换法在求解矩阵方程与线性方程组中的应用
- 6 ( 1, 2 ) 1 → 1 2 0 - 1 0 X =
→ 2 0
1 0 8
2 - 1 0
3
1 - 8
→ 由命题 1 得
1 0
2 - 23 - 8 2 0
→
- 23
- 23 8
对系数矩阵可逆的线性方程组, 也可使用这种方法求解, 并可直接“ 读” 出其解。 从上面的例题可看到, 用初等变换法解矩阵方程时 , 系数阵是否可逆不用单独去检验, 因为在求解过程 中 , 需把 A 化成单位阵 , A 若能化成单位矩阵, 那么 A 必然是可逆的。
2+ 1( - 1) 3+ 1( 3) 4+ 1( 1) 5+ 1( - 1)
0 - 1 1 1 4 0 0 0 0 0 0 - 1/ 4 0 0 - 1 1 4
0 6
0 7
0 1 - 1 - 1 0 0 0 1
1 3 1 → 1 0 0 0 0 0 0 0
0 - 4 4 - 1 1 0 0 0
0 6 3 0 1 0 0 1 3 1
5( - 1)
0 7 1 0 0 1 0 0 - 1 1 1/ 4 0 0 0
0 1 - 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 3/ 2 1 0 0 0 0 0
1+ 2( 3) - 1
CC 而 A X C = B , 方程两边分别左乘 A 得到 于是 综上有
- 1
- 1
, 右乘 C A
- 1
A X C C- 1 = A - 1 B C- 1
2 1
5 3
X =
4 2
- 6 1
.
2 5 1 3
, B = 3 2 5 4
矩阵的初等变换与线性方程组的求解【精品推荐ppt】ppt课件
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1, rm-1=qm+1rm（m≥1, rm=d）
x1 x2 3x3 x4 x5 3
例1 求线性方程组
或“－1”，若主对角线上某一元素为“－1”，则该
32xx11
2x2 4x3 5x4 x5 4x3 2x4 3x5
4 4
位填充矩阵C是匹配的。
由
得
的一般解。 B是匹配的，故C只能是n×n矩阵， 从而C′
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1,
而B的填充矩阵为：
1 0
0
1
0 b1,r1 0 b2,r1
b1,r2 b2,r2
b1n
b2n
C
0
0
1 b b r,r1
r ,r 2
brn
(5)
0 0
0 1 0
0
0 0
00 0
1nn
其所有J－列向量为： r+1=(b1,r+1, …,br,r+1, －1,0, …,0) r+2=(b1,r+1, …,br,r+1,0, －1, …,0)
有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化 为行最简形矩阵B，则B的n×(n+1)单位填充
矩阵பைடு நூலகம்所有“J－列向量”构成方程组(7)的导
出组的一个基础解系，而C的最后一列为方 程组(7)的一个特解。
证明 由定理1，前一结论显然。下证Ｃ的最 后一列为方程组的一个特解。
作齐次线性方程组
矩阵初等变换解方程组
矩阵初等变换解方程组
矩阵初等变换是一种解线性方程组的有效方法。
下面是一个简单的例子，说明如何使用矩阵初等变换来解线性方程组。
假设我们有以下线性方程组：
y + 2z = 2
-x + 2y - z = 3
首先，我们将这个方程组写成增广矩阵的形式：
1 ]
[ 1 -1 2 | 2 ]
[-1 2 -1 | 3 ]。
初等变换包括：
1.交换两行
2.将一行乘以一个非零常数
3.将一行的若干倍加到另一行上
我们的目标是通过初等变换将增广矩阵转换为行最简形式，这样我们就可以直接读取方程的解。
现在，我们开始进行初等变换：
第一步，我们可以交换第一行和第二行，得到：
2 ]
[ 2 1 -1 | 1 ]
[-1 2 -1 | 3 ]
第三行的第一个元素：
1 -1 | 1 ]
[ 0 0 3 | 5 ]
第三步，我们可以将第二行减去第一行的两倍，以消去第二行的第一个元素：
[ 1 -1 2 | 2 ]
[ 0 3 -5 | -3 ]
[ 0 0 3 | 5 ]
除以3，以将第三个主元素变为1：
2 ]
[ 0 3 -5 | -3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
，以消去第二行的第三个元素：
]
[ 0 3 0 | 7 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
元素变为1：
1 0 | 7/3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
：
1 0 | 7/3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
我们可以直接读取方程组的解：
3
z = 5/3
应用中，可能需要根据具体情况进行更多的初等变换步骤。
用矩阵初等行变换解线性方程组
16
x 1 2 x 2 3 x 3 7 ( r2 ) ( r3 ) x 2 3 x 3 14 2 ) ( r3 ) 0 1 3 14 0 5 4 6
0 0 0 7 7 ( r1 ) ( r3 ) 2 3 1 1 3 4 1 1 1 7 2 1 1 1 5
21
1 ( r1 ) 1 0 0 0 1 7 ( r4 ) 2 3 1 1 3 4 1 1 1 7 2 1 1 1 5
14
三、用矩阵法求线性方程组的解
消元法是解二元、三元一次线性方程组常用的办
法，将其运用到解n元线性方程组中也是有效的．它
的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量 较 少的方程，从而求出方程组的解．下面通过例子说 明 例4 用消元法解线性方程组 如何解系数行列式不等于零的线性方程组． x1 2 x2 3 x 3 7 2 x1 x2 2 x 3 8 x 3x 7 2 1
用矩阵初等行变换解线性方程组
一.矩阵的行初等变换 二.用行初等变换求逆矩阵 三.用矩阵法求线性方程组.
1
一、矩阵的初等行变换
定义: 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行以下三 种变换： ⑴变换矩阵的某两行位置； ⑵用一个非零数乘矩阵某行的所有元素； ⑶把矩阵某一行的K倍加到矩阵的另一行上去． 矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，通常记作 A→B，一般A≠B．符号(ri )↔(rj), (ri )K,(ri)K+(rj)分别 表示交换A的第i 行与 j 行，第i 行乘K及第j行的K倍 加到第i行上． 将定义中所有的“行”字改为“列”字，就得 到矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换 和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．
7-3 用初等变换解线性方程组.
就不是阶梯形矩阵
温州职业技术学院
§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
定义 2 满足以下两个条件的行阶梯形矩阵称为行 最简阶梯形矩阵： 1. 各个非零行的首非零元素都是 1； 2. 每个首非零元素所在的列其余元素都是零． 比如：
2 0 1 4 0 4 5 7 A= 0 0 0 1 0 0 0 0
温州职业技术学院
§7-3 用初等变换解线性方程组 三、线性方程组的解
1、非齐次线性方程组 设有 n 个未知量， m 个方程的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
定理 1（解的存在定理） 线性方程组有解的充分必要条件是 它的系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 A 的 秩，即 R( A) R( A) ．
温州职业技术学院
§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
例 5 判断线性方程组 x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1 3 x1 x 2 5 x 3 3 x 4 6 2x x 2 x 2 x 8 2 3 4 1 是否有解．
温州职业技术学院
§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
定理 在齐次线性方程组（3-2）中
（1）当 R( A) n 时，方程组（3-2）只有零解； （2）当 R( A) n 时，方程组（3-2）有无穷多组解．
温州职业技术学院
§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
例 6 解齐次线性方程组 x1 x2 x3 x4 0 x1 3 x2 x3 3 x4 0 x 2 x 3x 0 3 4 1
并介绍用初等变换解线性方程组的方法
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
3 2
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
（3）传递性 若 A B,B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元 法 2．．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序；
（ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
用初等列变换解线性方程组
⎜ ⎜
2
3
−1
−1
6
⎟ ⎟
c3 − 2c1 c4 −3c1
⎯c⎯4 +c1⎯→
⎜ ⎜
2
1
−5 −7
8
⎟ ⎟
⎜1
⎟
⎜ 1 −1 −2 −3 1 ⎟
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜
1
⎟
⎜
1
⎟
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组
⎛1 0 0 0 0 ⎞
⎛1 0 0 0 0 ⎞
A
⎯初⎯等行⎯变⎯换→
⎛ ⎜⎝
B O
⎞ ⎟⎠
陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组
而行初等变换的办法也可以用在列初等变换 上, 对任一m行n列的矩阵A, 假设r(A)=r, 也可 以经一系列的列初等变换, 变成(B, O)这样的 分块矩阵的形式. 其中B是列满秩矩阵, 共有r 列, 而O则有n-r列.
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
1
0
−λ
1
2
λ −1 0 1−λ λ
−1
⎟ ⎟
λa −1⎟
⎟
⎟
⎜1
⎟
⎜
1
⎟
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
−λ
−1 1
a
⎟ ⎠
λ=1方程将无解, 为方程有无穷多解, λ=-1
陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组
将λ=-1代入已经变了一半的矩阵中:
⎛ 0 0 1 0 ⎞ ⎛0 0 1 0 ⎞
陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组
矩阵的初等变换与线性方程组的求解教材
原方程组无解
例3
解方程组 3
x1 x1
x2 2 x3 3 x4 13 x2 x3 x4 1
x1 2 x2 x3 x4 8
解 对方程组的增广矩阵B 依次施行下列初等行变换，使 它化为行阶梯形矩阵
1 1 2 3 13 B 3 1 1 1 1
1 2 1 1 8
1 1 2 3 13
最后一个矩阵
1 0
1 1
2 4
3 8
13 33
已是行阶梯形矩阵
0 0 1 2 8
它对应的方程组是
x1
x2 x2
2 4
x3 x3
3 x4 8 x4
13
33
x3 2x4 8
从最后一个方程可得 x3 8 2x4, 其中 x4 可取任意实数．
把 x3 8 2x4 代入第二个方程，得到 x2 1
B 1 4 13 14
0 2 10 12
3 5 4 2 r3 3r1 0 1 5 8
r2 2 1
0 0
2 1 1
3 5 5
2 6 8
1 r3 r2
0 0
2 1 0
3 5 0
2 6 2
这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素
都为零，它对应一个矛盾方程 0x1 0x2 0x3 2
．
2 x1 x2 x3 4
解 对方程组的增广矩阵 B 依次施行以下初等行变换，使
它化为行阶梯形矩阵．
0 1 1 2
1 1 1 5
1 1 1 5
B
1 1 2
1 2 1
1 2 1
5 0 r1 r2
7 4
1 2
1 2 1
1 2 1
行列式的初等变换与线性方程组总结
矩阵的秩的相关性质：
性质1：0 RAmn min m, n
性质2： R AT RA
性质3：若 A ~ B 则 RA RB
性质4：若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) R(A)
性质5：maxRA, RB RA B RA RB 性质6：RA B RA RB 性质7： RAB min RA, RB
行阶梯形矩阵 （1）可画出一条阶梯线，横线下方全为零； （2）每个台阶只有一行； （3）台阶数为非零行的行数； （4）阶梯线的竖线（长度为一行）后面的第一个元素为
非零数，称为首非零元；
行最简形矩阵
首先是阶梯线矩阵，其次每一个首非零元都是1，且 首非零元所在列的其余元素全为零。
(四) 矩阵的标准形
显然：n 阶矩阵 A 可逆 RA n 。
且：可逆矩阵的秩等于其阶数，故称可逆矩阵为满秩矩阵； 而不可逆矩阵的秩小于其阶数，故称不可逆矩阵为降秩矩阵。
定理 ： 若 A ~ B ，则 R(A) R(B)
即，初等变换不改变矩阵的秩。
求矩阵的秩的方法
A 行的初等变换行阶梯线矩阵
方阵可逆存在有限个初等矩阵方阵可逆可经一系列行的初等变换将化为单位矩阵行的初等变换性质5
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 (一) 线性方程组的同解变换
(二) 矩阵的初等变换 三种初等行变换 三种初等列变换
性质：（1）矩阵的初等变换都是可逆变换； （2）矩阵的等价
(三) 矩阵的等价
若矩阵 A 可经有限次初等变换得到矩阵 B 则称矩阵 A 与 B 等价，并记作： A ～ B
命题： 对于 mn 阶矩阵 A 总可以经若干次行与列的初等
变换将其化为标准形：FmnFra bibliotek
利用初等列变换解线性方程组
-1-
中国科技论文在线
的名字命名。
陈必红定理 任何一个 m 行 n 列的非列满秩的矩阵 Am×n ，它的秩是 r，用它构造一个分
块矩阵，上方是
A，下方是
n
阶单位矩阵
En，即分块矩阵是
⎛ ⎜ ⎝
Am×n En
⎞ ⎟ ⎠
，或简写为
⎛ ⎜ ⎝
A E
⎞ ⎟ ⎠
的。因此手算的情况可以灵活地结合初等行变换和列变换来求出结果。例如，可以先不在 A
的下方加单位矩阵，先对 A 做初等行变换将其变换成适当的简洁形式，例如，先变成行最
简形，但是，其实也并不非要变成行最简形，只要相对简单即可，然后再在下方加上单位矩
阵后按陈必红定理求解基础解系的各个解向量。
有了陈必红定理，下一节将讨论利用这个定理来解线性代数的一些问题，包括，解齐次
Om×(n−r ) Qn×(n−r )
⎞ ⎟ ⎠
的形式。这时，
n 行 n-r 列的右下角矩阵 Q，简称右下块或右下矩阵，它的 n-r 个列构成的列向量组，就是
齐次线性方程组 AX=O 的 n-r 个线性无关的解向量。
证 任何一个非列满秩的矩阵 A，用初等列变换，仿初等行变换消元的办法，朝着列阶
梯型矩阵的方向变换，总是可以变成(B, O)的形式的，这说明了矩阵 A 的各个列构成的列向
2.2 求解非齐次线性方程组的通解
陈必红定理也可以用来解非齐次线性方程组 AX=B, 其中 B 是和 A 行数相同的矩阵，X 是未知矩阵，本文假设 B 和 X 都有 s 列，当然，最常见的情况是 s=1，即 B 和 X 都是只有 一列的列向量，本节的求法可以用作任何一种情况。
1 初等列变换定理
定义 1 给定一 m 行 n 列矩阵 Am×n ，假设它的秩为 r，如果 r=n，称 A 是列满秩的，否 则称 A 为非列满秩的。
利用矩阵的初等变换解线性方程组
利用矩阵的初等变换解线性方程组主要利用矩阵的初等变换和矩阵的初等列变换混用这两种方法解一般线性方程组，前一种方法在许多情况下应用起来比较方便。
并简单介绍了用矩阵的初等行变换解一般线性方程组的方法。
文章最后把这三种方法做了详细比较，更好地突出了用矩阵的初等列变换解一般线性方程组这种方法的简便性1.本文分两个部分，即用矩阵的初等行变换解一般线性方程组，综合运用矩阵的初等行变换和列变换解一般线性方程组。
此篇文章对上述两种方法都作了理论证明，也列出了每种方法的求解步骤。
最后都分别列出了几个例题，进一步表明每种方法的求解步骤。
另外，结合北京大学数学系编的《高等代数》课本，细说了一下用矩阵的初等行变换求解一般线性方程组的方法。
最后，把这三种方法进行了详细的比较，突显出了用矩阵的初等列变换解线性方程组这种方法的简便。
对于一个一般非齐次线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎩（1）若设111212122212n n m m mn a a a a a a A aa a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，12n x xX x ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，12m b b B b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭则（1）式变为AX B = （2）2. 用矩阵的初等行变换求解线性方程组令(),D A B =，设1n D C E +⎛⎫= ⎪⎝⎭， （3）设矩阵A 的秩为r ，因为每对C 进行一次初等列变换，就相当于在C 的右边乘上一个初等矩阵。
于是，对C 进行一系列的初等列变换，就相当于在C 的右边乘上一系列的初等矩阵。
矩阵的初等变换与线性方程组求解
矩阵的初等变换与线性方程组求解矩阵在数学中扮演着重要的角色，它们被广泛用于各个领域的问题求解。
在矩阵中，初等变换是一种常用的工具，用于改变矩阵的形式，进而帮助我们解决线性方程组的求解问题。
本文将详细介绍矩阵的初等变换的概念和操作，以及如何利用初等变换来求解线性方程组。
一、初等变换的概念初等变换是指在满足一定规则下对矩阵进行的一系列基本操作。
根据初等变换的不同类型，可以将其划分为三类：交换两行或列、某行或列乘以非零常数、某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上。
通过这些操作，我们可以改变矩阵的行列式、秩、高斯消元等性质，从而为线性方程组的求解提供便利。
二、初等变换的操作1. 交换两行或列：通过交换矩阵中任意两行或两列的位置，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。
2. 某行或列乘以非零常数：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。
3. 某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，并加到另一行或列上，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。
三、利用初等变换，我们可以将线性方程组的系数矩阵通过一系列操作，转化为特殊形式的矩阵。
这个特殊形式的矩阵通常被称为行简化阶梯形矩阵或行最简矩阵。
行简化阶梯形矩阵的主对角线上的元素全为1，并且每个主对角线上方的元素全为0。
得到行简化阶梯形矩阵后，就可以利用高斯消元法等技巧，快速求解线性方程组的解。
通过矩阵变换的过程，我们可以发现行简化阶梯形矩阵的解可以直接得到，而不需要进行繁琐的计算。
四、实例分析为了更好地理解矩阵的初等变换与线性方程组求解的过程，我们来看一个具体的例子。
考虑以下线性方程组：x + y + z = 62x + 3y + 4z = 174x + 5y + 6z = 28将其转化为矩阵形式：( 1 1 1 | 6 )( 2 3 4 | 17 )( 4 5 6 | 28 )接下来，我们利用初等变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵。
用初等变换求解线性方程组.
1 1 1 1580
r3 r1
0
2
3
2740
0 1 2 1700
1
r2 r3
0
0
1 1 2
1 2 3
1580
1700
2740
1 r3 2r2 0
0
1 1 0
1 2 1
1580 1700 660
1 1 0 920
r2 2r3
0
1
0
380
0 0 1 660
1
0
0
0 1 0
1 2 4
100
1100
1300
14r3
1 0
0
0 1 0
1 2 1
100
1100 325
r1 r3
r2 2r3
1 0
0 1
0 0
225 450
0 0 1 325
最后一个矩阵的特点是：每行的第一个非零元素为1，
它所在列的其它元素全为0，这样的矩阵称为行简化
2
1100
r3 r2
0
1
2
1100
0 1 2 200
0 0 4 1300
1 0 1 100
上式最后一个矩阵
0
1
2
1100
的特点是：
0 0 4 1300
它的任一行的第一个非零元素所在的列中，这
个非零元素下方的元素全为零，这样的矩阵称
为阶梯形矩阵．
下面用初等行变换继续化简矩阵.
a11
其中
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
任意初等行列混合变换求解线性方程组
任意初等行列混合变换求解线性方程组冯林安;吴茂念【摘要】提出一种任意施行初等行列混合变换求解线性方程组的新方法，分两种情形：1．系数矩阵为可逆矩阵；2．系数矩阵为一般m×n矩阵，两种方法都简便易行。
%This paper gives a new method to solve the system of linear equations with elementary row and column trans formation, and discuss two cases： 1. Coefficient matrixes are invertible; 2. Cofficient matrixes are general m x n matri- xes. This method is easy to operate and the conclusion is significant.【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(006)003【总页数】3页(P4-6)【关键词】初等矩阵;初等变换;可逆矩阵;秩;线性方程组【作者】冯林安;吴茂念【作者单位】贵州大学理学院,贵州贵阳550025;贵阳学院数学系,贵州贵阳550005;贵州大学理学院,贵州贵阳550025【正文语种】中文【中图分类】O151.2线性方程组的理论是代数学中的基本理论，它在数学以及其他自然科学领域有着广泛的应用。
关于它的求解方法——初等行变换法，几乎所有《线性代数》教材都有完善的介绍。
本文提出一种任意施行初等行列混合变换，并且对初等列变换不作任何标注来求解线性方程组的新方法，取得较为完善的结果，且该方法突破了传统的思维定式，因此有一定的理论及应用价值。
引理1 对矩阵A施行一次初等行变换就相当于在A的左边乘以一个相应的初等矩阵，对A施行一次初等列变换就相当于在A的右边乘以一个相应的初等矩阵。
行列式在计算时.行变换和列变化能不能同时进行
初等变换可以同时进行行变换和列变换。
初等变换不会改变行列式的值，无论是行变换还是列变换，同时进行也不会改变行列式的值，因为每一步初等变换都不改变行列式的值。
比如求矩阵的逆，解方程组，单纯说初等变换的
话可以使行变换也可以是列变换。
在使用时候，还是要分情况：
1、求矩阵的秩（极大线性无关组）可以行初等变换和列初等变换混用，因为“经初等变换矩
阵的秩不变”。
（用可逆变换）
2、行列式求值可以随便使用行变换和列变换，以及其它手段。
行列式的计算只要得出结果
出来就行了。
3、解线性方程组只能用初等行变换，才能保证同解。
4、求矩阵的逆矩阵也只能用初等行变换（左右式A｜E）。
（或叠加排列式A／E只能列变换）
扩展资料
举例：
3x－y＋z＝3
2x＋y－3z＝1
x＋y＋z＝12
矩阵是把他们的系数单列出来，如果行列变换不形象方程的未知数的值的话，就是可以的，显然，行变换不会影响的，列变化其实也是可以的，只是未知数顺序不同而已。
基于列变换的非齐次线性方程组的解法
基于列变换的非齐次线性方程组的解法发布时间：2021-09-03T02:23:13.727Z 来源：《教育学文摘》2021年18期作者：陈东升陈明璨[导读] 指出解非齐次线性方程组不能用初等列变换的原因. 证明了利用列交换（初等列变换）解非齐次线性方程组的相关定理，并通过例题进行了检验.该方法对行简化的阶梯形矩阵的左上角是或不是单位矩阵类型的非齐次线性方程组，能有效、方便的求出其基础解系和通解.陈东升陈明璨（郑州商学院通识教育中心数学教研室，河南巩义451200）（河南经贸职业学院管理学院，河南郑州 450000）摘要：指出解非齐次线性方程组不能用初等列变换的原因. 证明了利用列交换（初等列变换）解非齐次线性方程组的相关定理，并通过例题进行了检验.该方法对行简化的阶梯形矩阵的左上角是或不是单位矩阵类型的非齐次线性方程组，能有效、方便的求出其基础解系和通解.关键词：非齐次线性方程组；基础解系；初等行变换；初等列变换；通解中图分类号：O151.2 文献标识码：A 0. 引言解非齐次线性方程组时，通常要对增广矩阵施行初等行变换，一般不用初等列变换，这是由于增广矩阵中元素的位置与各未知量及常数项是对应的，如果进行列变换，各未知量及常数项的关系会产生混乱[1]. 由于矩阵的初等列变换在矩阵理论中也占有非常重要的地位，因此研究初等列变换解线性方程组，对于方程组的理论研究及实际应用都具有重要的意义.文献[3]、[4]作了一些列变换的探索，但方法比较繁琐，学生不易掌握，这是由于行、列同时交换容易造成混乱.本文对文献[2]的定理1进行推广，探讨对增广矩阵的前列对换的列初等变换解非齐次线性方程组的方法，该方法易于掌握，能有效、方便的求出非齐次线性方程组的基础解系和通解.1.非齐次线性方程组的通解2.结束语基础解系是解非齐次线性方程组的基础，目前大多数方法都用的是初等行变换求基础解系和通解[5]，因此从理论研究来说，探索列变换求基础解系和通解显得尤为突出，只有这样才能对称、平衡.本文探讨了列变换解非齐次线性方程组的方法，这种方法只要把握住通过列交换把行简化阶梯形矩阵的左上角变为单位矩阵这个要素即可求出基础解系和通解.其在理论和应用上都有一定的价值.参考文献:[1] 陈东升. .线性代数与空间解析几何案例教程[M]. 北京：高等教育出版社，2016.08:227-229.[2] 陈东升. 利用增广矩阵判定线性方程组的相容性[J]. 河南师范大学学报（自然科学版），1995,23（增刊）：49-51.[3] 冯林安，吴茂念. 任意行列混合变换解线性方程组[J]. 贵阳学院学报（自然科学版），2011,6(3):4-6.[4] 姚俊，文传军. 关于n元线性方程组求解的探讨[J]. 常州工学院学报，2004，17(4)：25-29.[5] 彭刚，刘广平. 线性方程组的一种新解法[J]. 数学学习与研究，2011（13）：84-85. 作者简介：陈东升，男，1957年12月生，理学学士，教授.研究方向：应用数学；陈明璨，男，1985年6月生，计算机硕士，讲师.研究方向：计算数学及应用课程项目：河南省精品资源共享课程——线性代数与空间解析几何（2015951）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 ６卷
第 ３期
贵 阳学 院学 报 （ 自然 科学版 ） （ 刊 ） 季
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＧＵＩ ＹＡＮＧ ＣＯ 工 Ｅ Ｉ ＥＧ
Ｖｏ Ｎｏ ３ Ｌ６ ．
２ １ 年 ９月 ０１
Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ Ｑ ａｔｒ ） ａ ａ Ｓｉ ｃｓ（ ｕｒ ｌ ｕ ｅ ｅｙ
由Ｐ Ｑ ＝Ｅ得 Ａ ＝Ｐ ～， Ａ Ｑ 于是 Ａ ＝Ｑ ～ Ｐ。
定理 ２ Ａ是 一个 儿阶可逆 矩 阵 ， Ａ ＝Ｅ ， ＰＱ
则线性方程组 Ａ ＝ｂ 有唯一解 Ｘ ＝Ｑ Ｐ ） （ｂ 。
收稿 日 ： １ — ５— ９ 期 ２ １ ０ １ ０ 作者简介 ： 冯林安（９６一 ， ， １６ ）男 贵州正安人 ， 贵阳学院数学 系副教学 ， 研究方向 ： 代数及应用 。
— —
４ — —
因为 Ｘ ＝ Ａ ～ｂ， Ａ ＝ Ｑ ， 以 又 ～ Ｐ 所
＝ Leabharlann Ｑ Ｐ ） （ ｂ。 定 理 ３ Ａ是 一个 １ ×ｎ矩阵 ， ７ １ ， Ａ的秩为 ｒ， 线
性方程组为 Ａ ＝ｂ 。假若 ｒ阶可逆矩阵 Ｐ及 ｎ ｉ ｇ 阶
可矩 Ｑ 得 Ｑ （ ｏ） 则 逆 阵 ， ＝ｏ０ ， 使 ｒ
１ Ｐ 中后 ｍ —ｒ ） ６ 个元不全为零时 ， 线性方程
组 Ａ ＝ｂ无解 。 Ｘ
其中 是由任意常数组成的列矩阵 ， 即解 ｌ ， 中含有 儿一 个相互独立的任意常数。 ｒ 从而线性方程组 Ａ ＝ｂ 有无穷多个解 ： ＝ Ｘ Ｑ 此时解 中含 有的 ｎ—ｒ Ｙ， 个相互 独立 的任意常 数， 从而可确定线性方程组 Ａ ＝ｂ 中的 ，— 个 自 ｔｒ 由未 知量 。
Ｐ ＝。。 Ａ （０ ＱＥ ） ｒ
１ 预备知识
引理 １ 对矩阵 Ａ施行一次初等行变换就相 当于在 Ａ的左边乘以一个相应的初等矩阵 ， Ａ施 对 行一次初等列变换就相 当于在 Ａ的右边乘 以一个 相应的初等矩阵。
定理 １ Ａ是一个 ｎ阶可逆矩阵 ， 假若 １ ７ ， 阶可
逆矩阵 Ｐ、 使得 Ｐ Ｑ ＝Ｅ， Ａ ＝Ｑ Ｑ， Ａ 则 ～ Ｐ。
Ｓ ｐ ０１ ｅ ．２ １
任意初等行列混合变换 求解线性方程组
冯林安 吴茂念 ・
（． １贵州大学理学院， 贵州 贵阳 ５０２ ；． ５０ ５２ 贵阳学院数学系， 贵州 贵阳 ５００ ） ５ ０５
摘
要 ：提 出一种任意施行初等行列混合 变换求解线性方程组的新方法 ，分 两种情形 ：１ 系数 矩阵为可逆矩 ．
Ｓ ｌｅ ｔ ｅ Ｓ ｓｅ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｎ ｔ ｅ ｎ ａ ｙ Ｒｏ ｏｖ ｈ ｙ ｔｍ ｆＬｉ ｅ ｒ Ｅｑ ａ ｉ ｓ、 ｈ Ｅｌｍｅ ｔ ｒ ｗ ｏ ａ ｄ Ｃｏ ｕ ｎ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ｔ ｎ ｎ ｌ ｍ ａ ｏ ｍａ ｉ ｓ ｏ
Ｆ ＮＧ ｉ Ｅ Ｌ ｎ—ａ ， Ｕ Ｍａ ｎ Ｗ ０一ｎ ａ ｉｎ
（ ．Ｓｈｏ ｏ ｉ ｃ ， ｕｚｏ ｎｖｒｉ ， ｕｙｎ５ ０２ ， ｈｎ ； １ ｃｏｌ ｆ ｅ ｅ Ｇ ｉ ｕＵ ｉｅ ｔ Ｇ ｉ ｇ５０ ５ Ｃ ｉ Ｓ ｎ ｃ ｈ ｓｙ ａ ａ
２ ｅａｔ ｅｔ ｆ ｔｅ ｔｓ Ｇ ｉ ｎ ｎｖｒｉ ， ｎ ａｇ５０ ０ ，Ｃ ｉａ ．Ｄ ｐｒ ｎ ｏ ｈｍａ ｃ， ｕｙ ｇＵ ｉ ｓｙ Ｇ ｙｎ ５ ０ ５ ｈｎ ） ｍ Ｍａ ｉ ａ ｅ ｔ ｉ
０ 引言
引理 ２可逆矩阵一定可以表示成初等矩 阵的 乘积。
线性方程组的理论是代数学 中的基本理论 ， 它 引理 ３ Ａ是一个 ｍ Ｘｌ ， 矩阵， Ａ的秩为 ｒ 则存 ， 在数学以及其他 自然科 学领域有着广泛 的应用 。 在 ｍ阶可逆矩阵 Ｐ及 ｎ 阶可逆矩阵 Ｑ， 使得 关于它的求解方 法——初等行变换 法 ， 几乎所 有 《 线性代数》 教材都有完善的介绍。本文提出一种 任意施行初等行列混合变换 ， 并且对初等列变换不 其中 Ｅ 是 ｒ ， 阶单位矩阵。 作任何标注来求解线性方程组的新方法 ， 取得较为 完善的结果 ， 且该方法突破了传统的思维定式 ， 因 ２ 主要结果 此有一定的理论及应用价值。
阵 ；２ 系数 矩阵为一般 ｍ ×／矩阵 ，两种方法都 简便 易行 。 ． １ － 关键 词：初等矩 阵；初等变换 ；可逆 矩阵 ；秩 ；线性方程组 中图分类号：０ ５ ． １ １２ 文献标识码 ：Ａ 文章编 号 ：１７ ６ ２ （０ １ ３— Ｏ４－ ３ ６ ３－ １５ ２ １ ）０ ００ ０