江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试(成卷)

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．已知x 是实数，x ＋i1－i 是纯虚数，则x 的值是 ▲ ．3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数n 的值为5时， 输出的a n 的值是 ▲ ．4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、 纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率是 ▲ ． 5则该运动员的平均得分为 ▲ ． 6．不等式lg(－x )＜x ＋1的解集为 ▲ ．7．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m 2． 8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ．若数列{S n ＋12}也是等比数列，则S n 等于 ▲ ．9．已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1，若f (x )的单调减区间是(0，4)，则在曲线y ＝f (x )的切线中，斜率最小的切线方程是 ▲ ．10．若tan α＝3tan β，且0≤β＜α＜π2，则α－β的最大值为 ▲ ．0 9 1 055 2 8 3 1（第5题）（第3题）11．过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是 ▲ ．12．△ABC 的面积为1，点D 在AC 上，DE ∥AB ，连结BD ，设△DCE 、△ABD 、△BDE 中面积最大者的值为y ，则y 的 最小值为 ▲ ．13．在△ABC 中，若a ＝2，b －c ＝1，△ABC 的面积为3，则→AB ·→AC ＝ ▲ ．14．已知使函数f (x )＝x 3－ax 2－1(0≤a ≤M 0)存在整数零点的实数a 恰有3个，则M 0的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4．（1）若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，已知BC 是半径为1的半圆O 的直径，A 是半圆周 上不同于B ，C 的点，F 为⌒AC 的中点．梯形ACDE 中，DE ∥AC ， 且AC ＝2DE ，平面ACDE ⊥平面ABC ．求证：（1）平面ABE ⊥平面ACDE ；（2）平面OFD ∥平面BAE ．17．（本小题满分14分）如图，将边长为3的正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转α (0＜α＜π2)得到正方形A ′B ′C ′D ′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A ′FE ＝α；②对任意α (0＜α＜π2)，△EAL ，△EA ′F ，△GBF ，△GB ′H ，△ICH ，△IC ′J ，△KDJ ，△KD ′L 均是全等三角形．（1）设A ′E ＝x ，将x 表示为α的函数； （2）试确定α，使正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积．F EOACBD （第12题）ABC DE18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为255．（1）求椭圆C 的方程； （2）过原点且斜率为12l ，与椭圆交于E ，F 点，试判断∠EF 2F 是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线PA 1，PA 2，分别交x 轴于点N ，M ,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.19．（本小题满分16分）设数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 5＝6．（1）当a 3＝3时，请在数列{a n }中找一项a m (m ＞5)，使a 3，a 5，a m 成等比数列； （2）当a 3＞1时，如果存在自然数m 1，m 2，…，m t ，…，满足5＜m 1＜m 2＜…＜m t ＜…，且a 3，a 5，a m 1，a m 2，…，a m t ，…构成一个等比数列，求a 3的一切可能值；（3）在（2）中的a 3取最小正整数值时，求证：∑t =1n3t +1m t m t ＋1＜122．20．（本小题满分16分）设f (x )是定义在[a ，b ]上的函数，用分点T ：a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]任意划分成n 个小区间，若存在常数M ，使∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，则称f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数．（1）判断函数f (x )＝x ＋cos x 在[－π，π]上是否为有界变差函数，并说明理由；（2）定义在[a ，b ]上的单调函数f (x )是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若定义在[a ，b ]上的函数f (x )满足：存在常数k ，使得对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，| f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|．证明：f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数．江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆O 上方，连结AC 交半圆O 于点D ，过点C 作线段AB 的垂线CE ，垂足为E ． 求证：B ，C ，D ，E 四点共圆．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 23 4，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3．（1）求矩阵MN ；（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q (0，1)，求点P 的坐标．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设O 为极点，点P 为直线ρcos θ＝1与圆ρ＝2sin θ的切点，求OP 的长．D ．选修4—5：不等式选讲已知：a ，b ，c 都是正数，a ＋2b ＋3c ＝9．求证：14a ＋118b ＋1108c ≥19．AEBCDO ·（第21－A 题）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为2 3，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有影响．令X为本场比赛的局数，求X的概率分布和数学期望．23．设P1，P2，…，P j为集合P＝{1，2，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记a ij为满足P1∩P2∩…∩P j＝ 的有序子集组(P1，P2，…，P j)的个数．（1）求a22的值；（2）求a ij的表达式．江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅰ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{x |0≤x ＜1} 2．1 3． 32 4．165．18 6．{x |－1＜x ＜0} 7．3 3 8．3n －129．12x ＋y －8＝0 10．π6 11． 5 12．3－5213．134 14．[269，6316二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12．………………… 3分由f (x )＝1，可得sin(x 2＋π6)＝12，解法一：令θ＝x 2＋π6，则x ＝2θ－π3．cos(2π3x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2θ－1＝－12． ………………… 6分解法二：x 2＋π6＝2k π＋π6，或x 2＋π6＝2k π＋5π6k ∈Z ．所以x ＝4k π，或x ＝4k π＋4π3，k ∈Z ． 当x ＝4k π，k ∈Z 时，cos(2π3－x )＝cos 2π3＝－12；当x ＝4k π＋4π3，k ∈Z 时，cos(2π3－x )＝cos(－2π3)＝－12； 所以cos(2π3x )＝－12．………………… 6分（2）解法一：由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b , 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3． ………………… 10分所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (x )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)． ………………… 14分解法二：由a cos C ＋12c ＝b ，得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ．因为在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，所以sin A cos C ＋12sin C ＝sin(A ＋C )，sin A cos C ＋12sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以12sin C ＝cos A sin C ，又因为sin C ≠0，所以cos A ＝12．因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3． ………………… 10分所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (x )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)． ………………… 14分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，AB ⊂平面ABC ，又在半圆O 中，AB ⊥AC ． 所以AB ⊥平面ACDE ．因为AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面ACDE ． ………………… 6分（2）设线段AC 与OF 交于点M ，连结MD ．因为F 为⌒AC 的中点，所以OF ⊥AC ，M 为AC 的中点． 因为AB ⊥AC ，OF ⊥AC ，所以OF ∥AB ． 又OF ⊄平面BAE ，AB ⊂平面ABE ，所以OF ∥平面BAE ． ………………… 8分 因为M 为AC 的中点，且DE ∥AC ，AC ＝2DE ，所以DE ∥AM ，且DE ＝AM ．所以四边形AMDE 为平行四边形，所以DM ∥AE ． 又DM ⊄平面BAE ，AE ⊂平面ABE ，所以DM ∥平面BAE ． ………………… 11分 又OF ∥平面BAE ，MD ∩OF ＝M ，MD ⊂平面OFD ，OF ⊂平面OFD ，所以平面OFD ∥平面BAE ． ………………… 14分17．本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）在Rt △EA ′F 中，因为∠A ′FE ＝α，A ′E ＝x ，所以EF ＝x sin α，A ′F ＝xtan α ．由题意AE ＝A ′E ＝x ，BF ＝A ′F ＝xtan α，所以AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝x ＋x sin α＋xtan α＝3．所以x ＝3sin α1＋sin α＋cos α，α∈(0，π2) ………………… 6分（2）S △A ′EF ＝12•A ′E •A ′F ＝12•x •x tan α＝x 22tan α＝(3sin α1＋sin α＋cos α)2•cos α2sin α＝9sin αcos α2(1＋sin α＋cos α)2． ………………… 9分令t ＝sin α＋cos α，则sin αcos α＝t 2－12．因为α∈(0，π2)，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以t ＝2sin(α＋π4)∈(1，2]．S △A ′EF ＝9(t 2－1)4(1＋t )2＝94(1－2t ＋1)≤94(1－22＋1)． 正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积 S ＝S 正方形A ′B ′C ′D ′－4S △A ′EF ≥9－9 (1－22＋1)＝18(2－1)．当t ＝2，即α＝π4时等号成立． ………………… 14分答：当α＝π4时，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，最小值为18(2－1)．FEOAC BDMD'18．本题主要考查椭圆的标准方程及简单性质、平面向量的坐标运算及直线和圆等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分． （1）因为椭圆C 的离心率e ＝32， 故设a ＝2m ，c ＝3m ，则b ＝m ． 直线A 2B 2方程为 bx －ay －ab ＝0，即mx －2my －2m 2＝0．所以 2m 2m 2＋4m2＝255，解得m ＝1．所以 a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1． ………………… 5分（2）由⎩⎨⎧x24＋y 2＝1，y ＝12x ，得E (2，22)，F (－2，－22)．又F 2(3，0)，所以F 2E →＝(2－3，22)，F 2F →＝(－2－3，－22)，所以F 2E →·F 2F →＝(2－3)×(－2－3)＋22×(－22)＝12＞0．所以∠EF 2F 是锐角． ………………… 10分 （3）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0，－1),设P (x 0，y 0), 直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0,得x N ＝－x0y 0－1；直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0,得x M ＝x0y 0＋1；解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0＋1－x0y 0－1)，h ),则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x0y 0－1)2＋h 2．OG 2＝14(x 0y 0＋1－x0y 0－1)2＋h 2．OT 2＝OG 2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 021－y 02．而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OT 2＝4， 所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分 解法二:OM ·ON ＝|(－x 0y 0－1)·x 0y 0＋1|＝x 021－y 02,而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OM ·ON ＝4． 由切割线定理得OT 2＝OM ·ON ＝4．所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分19．本题主要考查等差，等比数列的概念、通项公式与求和公式等基础知识，考查运算求解、分析探究的能力，综合思维能力．满分16分． （1）因为a 52＝a 3a m ，所以a m ＝a 52a 3＝12．设数列{a n }的公差为d ．则a m ＝a 3＋(m －3)d ＝3＋(m －3)×32＝12，所以m ＝9． ………………… 5分 （2）因为数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 5＝6，所以a m t ＝a 3＋(m t －3)×6－a 32( m t ＞5，m t ∈N*)又 a m t ＝a 3(6a 3)t ＋1，故 a 3(6a 3)t ＋1＝a 3＋(m t －3)×6－a 32，即 6t ＋1－a 3t ＋1a 3t ＝(m t－3)×6－a 32， 故 (6－a 3)(6t ＋6t －1a 3＋…＋6a 3t －1＋a 3t )a 3t ＝(m t－3)×6－a 32． 由a 3≠a 5，所以a 3≠6．m t ＝5＋2[(6a 3)t ＋(6a 3)t －1＋…＋(6a 3)]，t ∈N*．当t ＝1时，m 1＝5＋2×6a 3＝5＋12a 3．由m 1∈N*，且a 3＞1，则12a 31，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．当t ＝2时，m 2＝5＋2×[(6a 3)2＋6a 3]，所以12a 3为奇数时，m 2不为整数，不符合． 所以，12a 3＝2，4，6，8，10．从而a 3＝6，3，2，32，65， 又因为数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 3≠6．所以a 3＝3，2，32，65．经检验均满足题意． ………………… 12分（3）由（2）以及a 3取最小整数，可得a 3＝2， m t ＝5＋2(3t＋3t －1＋…＋3)＝5＋2×(3t ＋1－3)2＝3t ＋1＋2．3t +1m t m t ＋1＝3t ＋1( 3t ＋1＋2)( 3t ＋2＋2)＝12(13t ＋1＋2－13t ＋2＋2)， ∑t =1n3t +1m t m t ＋1＝∑t =1n12(13t ＋1＋2－13t ＋2＋2)＝12(131＋1＋2－13n ＋2＋2)＜12×131＋1＋2＝122………………… 16分20．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查阅读理解能力，灵活运用化归 与转化思想进行分析、探究及推理论证的能力．满分16分．（1）易得f ′(x )＝1－sin x ≥0，x ∈[－π，π]，所以f (x )＝x ＋cos x 为区间[－π，π]上的单调增函数， 故当x i －1＜x i 时，总有f (x i －1)＜f (x i )，此时，∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|＝∑i =1n[f (x i )－f (x i －1)]＝f (x n )－f (x 0)＝f (π)－f (－π)＝2π．所以函数f (x )＝x ＋cos x 在[ ]-ππ，上为有界变差函数； …………5分 （2）因为函数f (x )为区间[－π，π]上的单调函数，所以当x i －1＜x i 时，总有f (x i －1)＜f (x i )（或f (x i －1)＞f (x i )）， …………7分 故∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|＝|∑i =1n[f (x i )－f (x i －1)]|＝|f (x n )－f (x 0)|＝| f (b )－f (a )|．故存在常数M ＝|f (b )－f (a )|，使得∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，所以定义在[a ，b ]上的单调函数f (x )为有界变差函数； …………10分 （3）因为存在常数k ，使得对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，| f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|． 所以∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤∑i =1nk |x i －x i －1|＝k (b －a )． …………14分故存在常数M ＝k (b －a )，使得∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，所以f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数． …………16分江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅱ参考答案及评分建议21．A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：如图，连结BD ， 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ADB 为直角，即有∠CDB 为直角， …………4分 又CE 为线段AB 的垂线，所以∠CEB 为直角，所以∠CDB ＝∠CEB …………8分 故B ，C ，D ，E 四点共圆． …………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的乘法及变换，考查运算求解能力．满分10分．（1）MN ＝⎣⎡⎦⎤1 23 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3＝⎣⎡⎦⎤2 54 9； …………5分（2）设P (x ，y )，则解法一：⎣⎡⎦⎤2 54 9 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤01，即⎩⎨⎧2x ＋5y ＝0，4x ＋9y ＝1．解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－1，即P (52，－1)． …………10分解法二：因为⎣⎡⎦⎤2 54 9－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1．所以⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1 ⎣⎡⎦⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 52－1． 即P (52，－1)． …………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：将直线ρcos θ＝1化为直角坐标方程得x ＝1， …………3分将圆ρ＝2sin θ化为直角坐标方程得x 2＋(y －1)2＝1， …………7分 易得切点P 的坐标为 (1，1)，AEBCDO ·（第21－A 题）所以OP ＝2． …………10分 D ．选修4—4：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：因为a ，b ，c 都是正数，所以(a ＋2b ＋3c )(14a ＋118b ＋1108c)≥(a •14a ＋2b •118b ＋3c •1108c)2＝1． …………8分因为a ＋2b ＋3c ＝9，所以14a ＋118b ＋1108c ≥19．22．本题主要考查概率分布及数学期望等基础知识，考查运算求解及推理论证的能力．满分10分．解：单局比赛甲队胜乙队的概率为23，乙队胜甲队的概率为1－23＝13．比赛三局结束有两种情况：甲队胜三局或乙队胜三局，因而 P (X ＝3)＝(23)3＋(133＝13；…………3分比赛四局结束有两种情况：前三局中甲队胜2局，第四局甲队胜；或前三局中乙队胜2局，第四局乙队胜，因而P (X ＝4)＝C 23(23)2×13×23＋C 23(13)2×23×13＝1027； …………6分解法一：比赛五局结束有两种情况：前四局中甲队胜2局，乙队胜2局、第五局中甲队胜或乙队胜，因而P (X ＝5)＝C 24(23)2×(13)2×23＋C 24(13)2×(23)2×13＝C 24(13)2×(23)2＝827；所以X 的概率分布表为…………8分E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727． …………10分解法二：P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝827所以X…………8分E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727． …………10分23．本题主要考查两个基本计数原理等基础知识，考查分析探究的能力．满分10分．解：（1）由题意得P1，P2为集合P＝{1，2}的子集，因为P1∩P2＝∅，所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形：1∉P1，且1∉ P2；1∈P1，且1∉ P2；1∉P1，且1∈P2；同理可得集合P＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，根据分步乘法原理得，a22＝3×3＝9；…………4分（2）考虑P＝{1，2，…，i}中的元素“1”，有如下情形：1不属于P1，P2，…，P j中的任何一个，共C0j种；1只属于P1，P2，…，P j中的某一个，共C1j种；1只属于P1，P2，…，P j中的某两个，共C2j种；……1只属于P1，P2，…，P j中的某(j－1)个，共C j－1j种，根据分类加法原理得，元素“1”共有C0j＋C1j＋C2j＋…＋C j－1j＝2j－1种情形，…………8分同理可得，集合P＝{1，2，…，i}中其它任一元素均有(2j－1)种情形，根据分步乘法原理得，a ij＝(2j－1)i．…………10分。