振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动

得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c
k2
b2 a2
k F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
C
得系统的等效刚度系数
k
k1k 2
b2 a2
k1k 2 b 2
k1
k2
b2 a2
a 2k1 b2k2
物块的自由振动频率为
pn
k b
k1k2
m
m(a2k1 b2k2 )
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
mg k2
1 1 1 k k1 k2
k k1k2 k1 k2
k称为串联弹簧的等效刚度系数
串联后的弹簧刚度系数的倒数等于 各串联弹簧刚度系数倒数的算术和
f 1 k 1
k1k 2
2π m 2π m(k1 k2 )
组合弹簧的等效刚度
例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计， 两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b， 求物块的自由振动频率。
解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧
来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果
知道系统的静变形st 则求出系统的固有频率
f
1 2π
g
st
由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静 挠度为
st
mgl 3 48EI
求出系统的固有频率为
1 48EI f 2π ml3
以梁承受重物时的静平衡位置为坐标 原点O，建立坐标系，并以撞击时刻 为零瞬时，则t=0时，有
st，而弹性力分别是
F1 k1 st F2 k2 st
系统平衡方程是 Fx 0
mg F1 F2 (k1 k2 ) st
如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，
使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则
mg k st
mg F1 F2 (k1 k2 ) st
第2章 单自由度系统的振动
2.1 无阻尼系统的自由振动 2.2 计算固有频率的能量法 2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系统的衰减振动 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 2.6 周期激励作用下的受迫振动 2.7 任意激励作用下的受迫振动 2.8 响应谱
2.1 无阻尼系统的自由振动 关于单自由度系统振动的概念 典型的单自由度系统:弹簧-质量系统
解：将各弹簧的刚度系
数按静力等效的原则，
折算到质量所在处。
先将刚度系数k2换算
C
至质量m所在处C的等效
刚度系数k。
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。
设在C处作用一力F，按静力平衡的
关系，作用在B处的力为 Fa
C
b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形，
而此变形使C点发生的变形为
c
a Fa 2 b k2b2
cos
pnt
v0 pn
sin
pnt
另一种形式
x Asin( pnt )
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x02
(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
自由振动。
arctg(
pn x0 v0
)
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
系统振动的周期 T 2π 2π m
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方 向振动时，可视为集中质量。如不计梁 的质量，则相当于一根无重弹簧，系统 简化成弹簧-质量系统
取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴
顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块 在静平衡位置时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的
运动微分方程为
物块静平衡位置时
固有圆频率 pn
mg k st
k m
k mg
st
g
pn st
等效的概念
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程
m
d2 dt
x
2
k x＝0
这一方程，可以等效为广义坐标的形式
meq
d2 q dt2
keq q＝0
k
－
eq
等
效
刚度：使系统在广义坐标方向产生
单
位位移，
需要在这一坐标方向施加的力或力矩。
m
d2 x dt2
mg
k ( st
x)
d2 x dt2
pn2 x
0
其中pn
k m
无阻尼自由振动微分方程
固有圆频率
其通解为： x C1 cos pnt C2 sin pnt
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设
t=0时， x x0，v v0可解
C1 x0
C2
v0 pn
x
x0
由于每根弹簧所受的拉力都等于
重力mg，故它们的静变形分别为
1st
mg k1
2st
mg k2
如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹
簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧
的静变形等于
st
mg k
如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的
两根弹簧，此弹簧的静变形等于
st
mg k
1st
mg k1
2st
meq－等效质量：使系统在广义坐标方向产生单位加速 度，需要在这一坐标方向施加的力或力矩。
等效的概念
meq
d2 q dt2
keq q＝0
q＝C1cospnt C2cospnt
d2 q dt2
ຫໍສະໝຸດ Baidupnq＝0
q＝Asin pnt
pn＝
keq －系统的固有频率；A meq
q02
v0 pn
2
振动的振幅；
k k1 k2
系统的固有频率 f 1 k 1 k1 k2
2π m 2π m
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧 的静变形之和，即 st = 1st + 2st
pn
k
系统振动的频率 f 1 pn 1 k
T 2π 2π m
系统振动的圆频率为 pn 2πf
圆频率pn 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。 f、 pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为
固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式
arctan
pn q0 q0
－振动的位相；q0－初始广义坐标；v0－初始速度。
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、 k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。
振动过程中，物块始终作平行移动。处 于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是