约束线性回归模型的一种可容许估计

Ｓ 。 －一 （ Ｓ Ｒ ） Ｒ 一， Ｒ Ｓ 则广 义最 小二 乘估 计 可 以简记 为
＝
，
Ｓ：
Ｉ １
卢 ＝Ｓ
Ｖ～ｙ，
则约 束最 小二 乘估 计 卢；可 以简记 为
卢 ＝ＭＸ Ｖ～Ｙ ．
当 的列 向量存 在近似 的线 性关 系时 ， Ｓ＝Ｘ Ｘ 接近奇 异 ， 型存 在 复 共线 性 … ． 模 为克 服 这 一缺 点 ， 统计学 家们 相继 提 出 了许 多 线 性有 偏 估 计类 ， 为 作 对参数 的 改 进 ， 一 定 条 件 下 都 优 于原 来 的估 在 计 ． 者在文 献 ［ ］ 笔 ３ 的基 础上 ， ｍ了一 个 新 的估 提 计， 以期 得到有 偏估 计 的其他 优 良性 质．
第 ３ 卷 第 ２期 １
２１ ０ ０年 ４月
华
北
水
利
水 电
学 院
学
报
Ｖ０ ． Ｎｏ １ ３１ ．２
Ｊ ｕｒ ａ ｆＮｏｔ ｉ ｎ ｔｔ ｔ ｆＷ ａ ｅ ｎ ｅｖ ｎｃ ｎ ｄ ｏ ｌ ｃｒｃ Ｐｏ ｒ ｏ ｎ ｌｏ ｒｈ Ｃｈｎａ Ｉ ｓｉｕｅ ｏ ｔｒ Ｃｏ ｓ ｒ ａ ｙ ａ ｄ Ｈｙ ｒ ｅｅ ｔｉ ｗｅ
ＭＳ ）＝ＭＳ ）， Ｅ（ Ｅ（ ＭＳ 卢 （ ） Ｅ（ ｋ ）＝ＭＳ ｔ ｋ ． Ｅｒ （ ）
收 稿 日期 ：０ ０—０ ２１ １—１ ０
基 金 项 目 ： 鸡 文 理 学 院重 点 科 研 计 划 项 目（ Ｋ ８ ０ ） 宝 Ｚ ０ １９ ． 作者简介 ： 张 瑞 （ ９ ９ ） 女 ， 西 两 安 人 ， 教 ， 士 ， 要 从 事 线 性 模 型 参 数 估 计 理 论 方 面 的 研 究 １７ 一 ， 陕 助 硕 主
提 出一种 新 的条件岭 型估计
（ ）＝（ Ｍ Ｉ ；， ｋ ｋ ＋） 式 中 ｋ ， 为条 件 岭 参 数． ｋ＝ ≥０ 称 当 ０时 ， 即为 约 束
最小 二乘估 计．
２ 结 果 及 证 明
首 先 引 入 模 型 （ ） 典 则 形 式 ２的
ｒ
１ 估 计 方法 的 提 出
考 虑 如 下 带 线 性 等 式 约 束 的 线 性 模 型
＋ｅ Ｅ（ ）＝ ， ｏ （ ）＝ Ｖ， ０ 邵 ＝ ， 出 了 回归 系 数 的 有 ， Ｐ ０Ｃｖ ｅ Ｖ＞ ， ０给
偏估计 （ ）＝（ Ｍ ＋ ） 卢 ｋ ） 求 了在均方误差 意义下 ；（ ） ｋ Ｊ （ ≥０ ， ｋ 优于
许 性．
的条件 ， 并讨 论了其可容
关 键 词 ： 偏 估 计 ； 义最 小 二 乘 估 计 ； 容 许估 计 有 广 可
Ａｐ ．２ ０ ｒ ０１
文 章 编 号 ：０ ２— ６ ４ ２ １ ） ２— ０ ６～ ２ １０ ５ ３ （ ０ ０ ０ ０ ９ ０
约 束 线 性 回 归 模 型 的 一 种 可 容 许 估 计
张 瑞
（ 宝鸡 文理 学 院数 学 系 ， 西 宝鸡 ７ １ １ ） 陕 ２ ０ ３
摘 要 ： 于带 约束 的线 性 回归 模 型 ， 对 ｙ＝
Ｖ ～Ｙ ，
在 约束 条件
＝０下 ， 通过 条件极 值
有 ［ （ Ｖ Ｒ ） ・
ａ ｛Ｙ一 ｒｎ （ ）Ｖ 一 ） ＝ ｝ ｉ 一 （ Ｉ ０，
得 到约束 最小二 乘估计 为
＝ 一 （ Ｖ Ｘ） 卢 ］ ．
（ ）＝（ ＋ １ ～口 ｋ ｋ ） ， 卢 ＝Ｑ ， （ ）＝Ｑ （ ） 卢 后 ａ ｋ，
，
Ｙ ＝Ｚｏ ｔ＋ｅ，
｛ 口 ０ Ｃ ｖＰ Ｅ（ ）＝ ， ｏ （ ）＝ｏ Ｖ， ｒ
ｒ Ｙ
＋ ，
【ｔ： ， Ｐ ０ ｅ
（） ２
式 中： ＝ ； Ｑ Ｚ＝ｘ Ｐ＝ Ｑ； 眉Ｑ； Ｑ为 标 准正 交矩 阵 ； Ａ 为 的特征值 ， 足 ， 满
Ｑ ｘ ＝ ＝ｄａ （ 。Ａ ， ， 。 Ｑ Ａ ｉｇ Ａ ，百度文库 … Ａ ） ２
× ， × 的常数矩 阵， ｎｎ Ｐ 若 条 件 可估 ， Ｌ ～ 则 Ｙ
成立 时 ， ＭＳ （ 有 Ｅ ；）一ＭＳ 卢；（ ） ０ Ｅ（ ｋ ）＞ ．
证 明 由 ＭＳ ）＝ＭＳ Ｅ（ Ｅ（ ） ， ＭＳ （ ））＝ＭＳ （ ）， Ｅ（ ｋ Ｅ（ ）
［ Ｃ） 的充要条件 为 ： 方（ ］ ①Ｌ＝ Ｔ— Ｌ Ｘ Ｘ Ｖ～， ②Ｌ・
中 图分 类号 ： ２ ２ １ ０ １ ． 文 献标 识码 ： Ａ
模 型
引 入
｛ ） ＝ ， ㈩ 【 ＝’ｅｄ ｏ ｒ Ｅ ，（ ， （ ）： Ｐ Ｃ 嚣０ｖ Ｉ
式 中 ： 为 ｎ×１观 测 向 量 ； 为 ｎ×Ｐ设 计 矩 阵 ， Ｙ Ｘ ｒ ）＝ 为 Ｐ×１参 数 向 量 ； （ ｐ； ｅ为 ｎ×１随 机 误 差 向量 ．
显 然
？（ Ｅ ）＝ Ｃ ｙ Ｐ Ｖ， ０ ０，ｏ（ ）＝ Ｖ＞ ，
【 ＝， ０
式 中 欠 为 ｇ× Ｐ的 矩 阵 ， ｒ ）＝ ． 且 （ ｇ
模 型 （ ） 无 约 束 条 件 下 参 数 的 最 小 二 乘 估 １在
计 为 卢 ＝（ ） Ｖ Ｙ ．
１ ９ １ ＝｛ｚ Ｉｚ － 一（ １ ＩＰ ［ Ｚ － ・ （ １ ） 。 ｚ ｙＩ ｚ） １ Ｐ（ 。 ｚ） Ｐ ］ １ ｚ Ｖ ｚ）Ｉ｝ 。 ＡＺ Ｉ（ １ ｚ Ｖ＿Ｙ： ・
第 ３ １卷 第 ２期
张
瑞 ： 约 束 线 性 回归 模 型 的一 种 可 容 许 估 计
定理 １ 当条件 岭参 数 ０＜ｋ ２ ＜ ，ｍ ｎ ｉ
‘ Ｐ— Ａ－ ／ ｑ ｏｉ
如果 ｄ（ ）∈ 则 缈 中不 存 在 一优 于 ｄ １） Ｙ （ ， 的 估计 ． 引 理 １ 在线性 模型 （ ） ， Ｌ和 Ｃ分 别 为 ｍ ２下 设