新人教A版必修二 余弦定理 正弦定理 课件(14张)
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2sinC＋π4≤ 2.当且仅当 C＝π4时取等号．
【答案】
π 4
y＝ca＋＋dbcsoins
x型的最值 x
函数 y＝43－－csions xx的最大值和最小值分别为________．
【解析】 法一：y＝43－－csions xx，即 sin x－ycos x＝3－4y，即 1＋y2
sin(x＋φ)＝3－4y，即 sin(x＋φ)＝ 31－＋4yy2，由正弦函数的有界性，
三角形中的三角函数最值 (2019·山西五校高三联考)已知△ABC 的面积为 S，三内 角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 4S＋a2＝b2＋c2，则 sin C －cosB＋π4取最大值时 C＝________.
【解析】 4S＋a2＝b2＋c2⇒4×12bcsin A＝2bccos A⇒tan A＝ 1⇒A＝π4. sin C－cosB＋π4＝sin C－cos(B＋A)＝sin C＋cos C＝
【解析】 因为 B＋C＝π－A， 所以 cos 2(B＋C)＝cos(2π－2A)＝cos 2A＝2cos2A－1，又 cos2A2 ＝1＋c2os A， 所以 4cos2A2－cos 2(B＋C)＝72可化为 4cos2A－4cos A＋1＝0， 解得 cos A＝12. 又 A 为三角形的内角，所以 A＝π3，
可化为二次函数的三角函数最值 函数 y＝cos 2x＋2cos x 的最小值是________．
【解析】
y＝cos
2x＋2cos
x＝2cos2x＋2cos
x－1＝2cos
x＋122
－32≥－32，当且仅当 cos x＝－12时取得最小值．
【答案】 －32
利用三角函数的有界性把某些三角函数最值化为闭区间上的二 次函数的最值，利用求闭区间上二次函数最值的方法求解函数 最值．
由余弦定理得 4＝b2＋c2－2bccos A≥2bc－bc＝bc，即 bc≤4， 当且仅当 b＝c 时取等号， 所以 S△ABC＝12bcsin A≤12×4× 23＝ 3， 即△ABC 的面积的最大值为 3.
【答案】 3
该类求解面积问题是建立面积的函数关系式或者使用基本不等 式得出三角形两边之积的最大值，再根据三角形面积公式求得 最大值．
了一个偶函数的图象，则 φ 的最小值为( )
π
π
A.16
B.12
π
π
C.6
D.4
【解析】 伸长后得 y＝sin 2x，平移后得 y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x ＋2φ)，该函数为偶函数，则只要 2φ＝kπ＋π2(k∈Z)，即 φ＝k2π＋ π4(k∈Z)，取 k＝0，得 φ 的最小值为π4.故选 D. 【答案】 D
增，则 ω 的最大值和最小值之和为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 函数 f(x)＝ 2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线 x＝π2 对称，fπ2＝± 2. f38π＝1.当π2－38π＝T8时，T 取最大值． 此时 ω 最小，ωmin＝2. 当 φ＝π4ω 时，f(x)＝ 2sinωx＋π4ω＝ 2sinωx＋π4，函数 f(x) ＝ 2sinωx＋π4的图象向右平移π4个单位得函数 g(x)＝ 2sin ωx 的图象，问题等价于函数 g(x)＝ 2sin ωx 在区间－π8，1π6上单 调递增，
得
31－＋4yy2≤1，该不等式两端平方，得12－152
6≤y≤12＋152
Leabharlann Baidu6，
故其最大值为12＋152
6，最小值为12－152
6 .
法二：y＝43－－csoins
x的几何意义是圆 x
x2＋y2＝1
上的点与点(4，3)
连线的斜率，设该两点连线的斜率为 k，则需使直线 y－3＝k(x
－4)与圆
x2＋y2＝1
故只要12×2ωπ≥2×π8，即 ω≤4. 综上可知 2≤ω≤4，故 ω 的最大值和最小值之和为 6.故选 C.
【答案】 C
根据已知的函数性质，确定 ω 满足的条件求得其最值或者取值 范围．
三角形面积的最值 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且满 足 4cos2A2－cos 2(B＋C)＝72，若 a＝2，则△ABC 的面积最大值 是________．
函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题中首先确定函数 图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离 的通解，再从通解中确定其最小值．
y＝Asin(ωx＋φ)中 ω 的最值
已知函数 f(x)＝ 2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线 x＝π2
对称，f38π＝1，当 φ＝π4ω 时 f(x)在区间－38π，－31π6上单调递
存在公共点，所以
31－＋4kk2≤1，下面解法
同法一．
【答案】
12＋2 15
6，12－152
6
y＝ca＋＋dbcsoins xx类三角函数最值的基本解决方法是法一中的解法， 其根据是正弦函数的有界性．
函数图象平移距离的最小值
将函数 f(x)＝sin 4x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2 倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移 φ(φ>0)个单位，得到
【答案】
π 4
y＝ca＋＋dbcsoins
x型的最值 x
函数 y＝43－－csions xx的最大值和最小值分别为________．
【解析】 法一：y＝43－－csions xx，即 sin x－ycos x＝3－4y，即 1＋y2
sin(x＋φ)＝3－4y，即 sin(x＋φ)＝ 31－＋4yy2，由正弦函数的有界性，
三角形中的三角函数最值 (2019·山西五校高三联考)已知△ABC 的面积为 S，三内 角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 4S＋a2＝b2＋c2，则 sin C －cosB＋π4取最大值时 C＝________.
【解析】 4S＋a2＝b2＋c2⇒4×12bcsin A＝2bccos A⇒tan A＝ 1⇒A＝π4. sin C－cosB＋π4＝sin C－cos(B＋A)＝sin C＋cos C＝
【解析】 因为 B＋C＝π－A， 所以 cos 2(B＋C)＝cos(2π－2A)＝cos 2A＝2cos2A－1，又 cos2A2 ＝1＋c2os A， 所以 4cos2A2－cos 2(B＋C)＝72可化为 4cos2A－4cos A＋1＝0， 解得 cos A＝12. 又 A 为三角形的内角，所以 A＝π3，
可化为二次函数的三角函数最值 函数 y＝cos 2x＋2cos x 的最小值是________．
【解析】
y＝cos
2x＋2cos
x＝2cos2x＋2cos
x－1＝2cos
x＋122
－32≥－32，当且仅当 cos x＝－12时取得最小值．
【答案】 －32
利用三角函数的有界性把某些三角函数最值化为闭区间上的二 次函数的最值，利用求闭区间上二次函数最值的方法求解函数 最值．
由余弦定理得 4＝b2＋c2－2bccos A≥2bc－bc＝bc，即 bc≤4， 当且仅当 b＝c 时取等号， 所以 S△ABC＝12bcsin A≤12×4× 23＝ 3， 即△ABC 的面积的最大值为 3.
【答案】 3
该类求解面积问题是建立面积的函数关系式或者使用基本不等 式得出三角形两边之积的最大值，再根据三角形面积公式求得 最大值．
了一个偶函数的图象，则 φ 的最小值为( )
π
π
A.16
B.12
π
π
C.6
D.4
【解析】 伸长后得 y＝sin 2x，平移后得 y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x ＋2φ)，该函数为偶函数，则只要 2φ＝kπ＋π2(k∈Z)，即 φ＝k2π＋ π4(k∈Z)，取 k＝0，得 φ 的最小值为π4.故选 D. 【答案】 D
增，则 ω 的最大值和最小值之和为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 函数 f(x)＝ 2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线 x＝π2 对称，fπ2＝± 2. f38π＝1.当π2－38π＝T8时，T 取最大值． 此时 ω 最小，ωmin＝2. 当 φ＝π4ω 时，f(x)＝ 2sinωx＋π4ω＝ 2sinωx＋π4，函数 f(x) ＝ 2sinωx＋π4的图象向右平移π4个单位得函数 g(x)＝ 2sin ωx 的图象，问题等价于函数 g(x)＝ 2sin ωx 在区间－π8，1π6上单 调递增，
得
31－＋4yy2≤1，该不等式两端平方，得12－152
6≤y≤12＋152
Leabharlann Baidu6，
故其最大值为12＋152
6，最小值为12－152
6 .
法二：y＝43－－csoins
x的几何意义是圆 x
x2＋y2＝1
上的点与点(4，3)
连线的斜率，设该两点连线的斜率为 k，则需使直线 y－3＝k(x
－4)与圆
x2＋y2＝1
故只要12×2ωπ≥2×π8，即 ω≤4. 综上可知 2≤ω≤4，故 ω 的最大值和最小值之和为 6.故选 C.
【答案】 C
根据已知的函数性质，确定 ω 满足的条件求得其最值或者取值 范围．
三角形面积的最值 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且满 足 4cos2A2－cos 2(B＋C)＝72，若 a＝2，则△ABC 的面积最大值 是________．
函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题中首先确定函数 图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离 的通解，再从通解中确定其最小值．
y＝Asin(ωx＋φ)中 ω 的最值
已知函数 f(x)＝ 2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线 x＝π2
对称，f38π＝1，当 φ＝π4ω 时 f(x)在区间－38π，－31π6上单调递
存在公共点，所以
31－＋4kk2≤1，下面解法
同法一．
【答案】
12＋2 15
6，12－152
6
y＝ca＋＋dbcsoins xx类三角函数最值的基本解决方法是法一中的解法， 其根据是正弦函数的有界性．
函数图象平移距离的最小值
将函数 f(x)＝sin 4x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2 倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移 φ(φ>0)个单位，得到