示范教案{第二章函数}

本章复习

整体设计

教学分析

本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体．

三维目标

通过总结和归纳函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点

教学重点：①函数的基本知识．

②含有字母问题的研究．

③抽象函数的理解．

教学难点：①分类讨论的标准划分．

②抽象函数的理解．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

函数的概念和性质以及二次函数是高考的必考内容之一，为了系统掌握本章知识，教师直接点出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

①本章内容分为几部分？

②画出本章的知识结构图.

讨论结果：①第1～3节是函数的概念和性质；第4,5节是基本初等函数的性质，可以分为两部分．(答案不唯一)

②本章的知识结构图，如图1所示．(答案不唯一)

图1

应用示例

思路1

例1 求函数y ＝3x x 2＋4

的最大值和最小值． 分析：把变量y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程，利用判别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值．

解：(判别式法)由y ＝3x x 2＋4

得yx 2－3x ＋4y ＝0， ∵x ∈R ，∴关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0必有实数根．

当y ＝0时，则x ＝0，故y ＝0是一个函数值；

当y ≠0时，则关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0是一元二次方程，

则有Δ＝(－3)2－4³4y 2≥0，

∴0＜y 2≤916.∴－34≤y ＜0或0＜y ≤34

， 综上所得，－34≤y ≤34

. ∴函数y ＝3x x 2＋4的最小值是－34，最大值是34

. 点评：形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c dx 2＋ex ＋f

(d ≠0)，当函数的定义域是R (此时e 2－4df ＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx

2＋nx ＋k ＝0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m ≠0时，关于x 的方程mx 2＋nx ＋k ＝0

中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2－4mk ≥0即关于y 的不等式，解不等式组

⎩⎪⎨⎪⎧

n 2－4mk ≥0，m ≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．

例2 函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f x x

在区间(1，＋∞)上一定( )．

A ．有最小值

B ．有最大值

C ．是减函数

D ．是增函数

解析：函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的对称轴是直线x ＝a ，由于函数f (x )在开区间(－∞，1)

上有最小值，所以直线x ＝a 位于区间(－∞，1)内，即a ＜1.g (x )＝f x x ＝x ＋a x

－2，下面用定义法判断函数g (x )在区间(1，＋∞)上的单调性．

设1＜x 1＜x 2，则

g (x 1)－g (x 2)

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋a x 2－2 ＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫a x 1－a x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－a x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2， ∵1＜x 1＜x 2，

∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1＞0.

又∵a ＜1，∴x 1x 2＞a .∴x 1x 2－a ＞0.

∴g (x 1)－g (x 2)＜0.∴g (x 1)＜g (x 2)．

∴函数g (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g (x )在区间(1，＋∞)上没有最值．故选

D.

答案：D

点评：定义法判断函数f (x )的单调性步骤是：①在所给区间上任取两个变量x 1、x 2；②

比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；③由②中差的符号确定函数的单调性．注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D 上没有最大值，也没有最小值．

例3 求函数f(x)＝x2－1的单调区间．

分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间．

解：函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

设y＝u，u＝x2－1，

当x≥0时，u＝x2－1是增函数，y＝u也是增函数，

又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

∴函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．

当x≤0时，u＝x2－1是减函数，y＝u也是增函数，

又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

∴函数f(x)＝x2－1在(－∞，－1]上是减函数．

即函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]．

点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y＝f[g(x)]，如果y＝f(u)，u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f[g(x)]为增函数，如果具有相异(即相反)的单调性，则函数y＝f这[g(x)]为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并分别判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断出复合函数的单调性或写出其单调区间．注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是[0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]．其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则．

思路2

例1 某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：

①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b1；在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b2，其中k＜0，b1＞0，b2＞0且k、b1、b2为常数；

②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；

③若称①中r(x)＝0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．

请根据上述信息，完成下面问题：

(1)填写表格中空格的内容：

(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？

分析：(1)销售总利润y＝销售量r(x)³每件利润，每件利润＝标价－进价；(2)转化为求二次函数y＝f(x)的最大值，由条件②③求出b2与k的关系，应用二次函数的知识求解．解：(1)在销售旺季，y＝(kx＋b1)(x－100)＝kx2－(100k－b1)x－100b1；

在销售淡季，y＝(kx＋b2)(x－100)＝kx2－(100k－b2)x－100b2，

故表格为：如下表所示．

(2)∵k＜0，b1＞0，b2＞0，