江苏高考数学附加题卷例题及答案
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∴ F (0,1, 0) F 即为 AC 中点. （10 分）
26． （必做题） （本小题满分 10 分） 解： （1）记“这 3 个数至少有一个是偶数”为事件 A ，
1 2 2 1 3 0 C4 C5 C4 C5 C4 C5 37 P( A) 3 C9 42 ；. （3 分） 则
（2）记“这 3 个数之和为 18”为事件 B ,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为 5、 6、7、8，分别为 459，567，468，369，279，378，189 七种情况，
B．附加题部分 三、附加题部分（本大题共 6 小题，其中第 21～24 题为选做题，请考生在第 21～24 题中任 选 2 个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分;第 25 和第 26 题为必做题．解答应 写出文字说 明，证明过程或演算步骤． ） 21． （本小题为选做题，满分 10 分） 如图， AB 是 O 的直径， M 为圆上一点， ME AB ，垂足为 E ，点 C 为 O 上任一点，
B A
（1）求 2 x y 的取值范围； （2）若 x y a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围． 23． （本小题为选做题，满分 10 分）
2 4 2 0 1 0 3 5 0 1 M 0 -1 成立的矩阵 M ． 求使等式
x 1 x 2 y 0 1 2 y 1 0 y A ED n ( x , y ,1) 2， 设平面 1 的法向量为 1
n (2,1, 2) ， A1 (0, 2, 2) ， D(0, 0,1) ， B(2, 0, 0) ， 故可令 1 A D (0, 2, 1) A B (2, 2, 2) ， 可得 1 , 1
F A
D D
C
如图， AB 是⊙O 的直径， C、 F 为⊙O 上的点， 且 CA 平分∠BAF， 过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D. 求证：DC 是⊙O 的切线.
O
B
B．选修 4—2
矩阵与变换
变换 T 是绕坐标原点逆时针旋转 下所得的曲线方程．
π 的旋转变换，求曲线 2 x2 2 xy y 2 1 在变换 T 作用 2
24． （本小题为选做题，满分 10 分）
1 y sin 2 x x (0, ) 2sin x 2 ，求函数 已知 的最小值以及取最小值时所对应的 x 值．
25． （本小题为必做题，满分 10 分） 如图，直三棱柱
A1B1C1 ABC 中， C1C CB CA 2 ， AC CB . D、E 分别为棱
z
C1
A1
E
B1
AB (2, 2,0) AD (0, 2,1) ， 则 ，
D y F A B
DE (1,0,1) 设平面 ADB 的法向量为 n ( x, y,1) 得
C
x
1 x 2 x 2 y 0 2 2 y 1 0 y 1 n ( 1 , 1 ,1) 2即 2 2 则取法向量为 n (1,1, 2) ，
C．选修 4—4
参数方程与极坐标（本题满分 10 分）
2 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 2 ， 2 2 cos(
π ) 2． 4
（1）把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
D．选修 4—5
不等式证明选讲（本题满分 10 分）
（5 分）
2m 2 m 1 2n 4 n 2 1 2 p 3 p 3 M q 5 3 5 . q 5 ，即 则
（10 分）
24． （选做题） （本小题满分 10 分）
x (0, ) 2 知： 解：由
AC , EM 交于点 D ， BC 交 DE 于点 F ．
求证： （1） AE:ED FE:EB ； （2） EM ED EF ．
2
C A A A
22． （本小题为选做题，满分 10 分） 已知点 P( x, y) 是圆 x y 2 y 上的动点．
2 2
O A
D A M A FA A E A
2
C A A A
O A
D A M A FA A E A N A
B A
∴ EM ED EF 。 （10 分）
2
22． （选做题） （本小题满分 10 分）
2 2 x 2 y 1 1 解： （1）由 x y 2 y 可得
2
设 x cos , y 1 sin , R ，则 2 x y = 2 cos 1 sin
2 1。
恒成立，而
x y sin cos 1 2 1
= （10 分）
，
∴a
23． （选做题） （本小题满分 10 分）
m n 2 4 2 0 1 0 M 3 5 0 1 M 0 -1 p q 解：设 ，则由 2m 2n 1 0 2m 2n p q 0 1 p q
即 x 2 xy 2 y 1 ，
2 2
所以变换后的曲线方程为 x 2 xy 2 y 1 ．
2 2
………………… 10 分
C．选修 4—4
参数方程与极坐标（本题满分 10 分）
【解】 （1） 2 4 ，所以 x y 4 ；因为 2 2 cos
故可令
2
，∴
，
6 E A D B 1 即求二面角 的余弦值为 6 ； （6 分） (0, y ,0) EF (1, y, 2) ， （3）假设存在点 F ,坐标为 ，则
1 1 2 y 1 EF 平面 A1DB 得 EF // n2 ，即 1 y 2 ，
C
（第 23 题图）
附加题答案
A．选修 4—1 几何证明选讲
【证明】连结 OC，所以∠OAC=∠OCA. 又因为 CA 平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC， 于是∠FAC=∠OCA，所以 OC//AD. 又因为 CD⊥AF，所以 CD⊥OC， 故 DC 是⊙O 的切线． B．选修 4—2 矩阵与变换 ………………… 10 分
1 1 1 1 1 4 4 4 4 sin 2 x y sin 2 x 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x
1 5 1 2 4 55 sin x 1 4 4 2sin x sin x 2 2 sin x 2 时取等号， 当且仅当 = sin x 即
0 （1）∵ MN AB ，∴ B 90 BFE D ，
∴ AED ∽ FEB ， ∴ AE ：ED FE ：EB ； （5 分） （2）延长 ME 与⊙O 交于点 N，由相交弦定理， 得 EM EN EA EB ，且 EM EN ， ∴ EM EA EB ，由（1）
P( B)
所以
7 1 3 C9 12 ；
（7 分）
（3）随机变量 的取值为 0,1, 2, 的分布列为
P
0
1
2
5 12 E 0
1 2
1 12
∴ 的数学期望为
5 1 1 2 1 2 12 2 12 3 。 （10 分）
附加题部分
21． 【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． A．选修 4—1 几何证明选讲
DE n 6 d 2 n
则点 E 到平面 ADB 的距离
.
（3 分）
A (0, 2, 2) A E (1, 2,0) A D (0, 2, 1) ， E (1, 0, 2) D (0, 0,1) （2） 1 ， ， 可得 1 ， 1
C1C、B1C1 的中点.
（1）求点 E 到平面 ADB wenku.baidu.com距离； （2）求二面角
E A1D B 的平面角的余弦值；
A DB ？若存在，确定其位置；若不 （3）在线段 AC 上是否存在一点 F ，使得 EF 平面 1
存在，说明理由.
A1 C1
E
B1
D
在 数．
C
F
A
26． （本小题为必做题，满分 10 分）
B1
23．如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形， AB＝BC= 2 ，BB1＝3，D 为 A1C1 的中点，F 在线段 AA1 上． （1）AF 为何值时，CF⊥平面 B1DF？ （2）设 AF=1，求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.
C1 D
A1 F B A
F A
D D
C
O
B
【解】变换 T 所对应变换矩阵为 M
0 1 x ，设 是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点 1 0 y
是
x0 x0 x y0 x, 2 2 ，则 M ，即 ，代入 2 x0 2 x0 y0 y0 1 ， y y x y , y 0 0 0
B
1, 2, 3, , 9 这 9 个自然数中，任取 3 个不同的
（1）求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率； （2）求这 3 个数和为 18 的概率； （3） 设 为这 3 个数中两数相邻的组数 （例如： 若取出的数为 1, 2,3 ， 则有两组相邻的数 1, 2 和 2, 3 ，此时 的值是 2 ） ．求随机变量 的分布列及其数学期望 E ． B．附加题部分 三、附加题部分： 21． （选做题） （本小题满分 10 分） 证明：
已知 m 0，a，b R ，求证： a mb
1 m a 1mb m
2 2
2
.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．动点 P 在 x 轴与直线 l：y＝3 之间的区域（含边界）上运动，且到点 F（0，1）和直线 l 的距离之和为 4． （1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 Q (0, 1) 作曲线 C 的切线，求所作的切线与曲线 C 所围成区域的面积．
1 x 2 y 1 0 2 2 x 2 y 2 0 y 1 A BD 的法向量为 n2 ( x, y,1) 2， 设平面 1 n1 n2 6 cos n1 , n2 6 n1 n2 n (1, 1,2)
1 5,1 5 = 5 sin( ) 1
2 2 x 2 y 1 1 （2）由 x y 2 y 可得
2
（5 分）
设 x cos , y 1 sin , R ， x y a 0 恒成立 即
a x y
4
x
∴当
6时
ymin
5 4 。 （10 分）
25． （必做题） （本小题满分 10 分） 解： （1）如图所示，以 CB 为 x 轴， CA 为 y 轴，
CC1 为 z 轴建立空间直角坐标系，由 C1C CB CA 2 可得 C (0,0,0) ，
A(0, 2, 0) , B(2, 0, 0) , D(0, 0,1) , E (1, 0, 2) .
26． （必做题） （本小题满分 10 分） 解： （1）记“这 3 个数至少有一个是偶数”为事件 A ，
1 2 2 1 3 0 C4 C5 C4 C5 C4 C5 37 P( A) 3 C9 42 ；. （3 分） 则
（2）记“这 3 个数之和为 18”为事件 B ,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为 5、 6、7、8，分别为 459，567，468，369，279，378，189 七种情况，
B．附加题部分 三、附加题部分（本大题共 6 小题，其中第 21～24 题为选做题，请考生在第 21～24 题中任 选 2 个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分;第 25 和第 26 题为必做题．解答应 写出文字说 明，证明过程或演算步骤． ） 21． （本小题为选做题，满分 10 分） 如图， AB 是 O 的直径， M 为圆上一点， ME AB ，垂足为 E ，点 C 为 O 上任一点，
B A
（1）求 2 x y 的取值范围； （2）若 x y a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围． 23． （本小题为选做题，满分 10 分）
2 4 2 0 1 0 3 5 0 1 M 0 -1 成立的矩阵 M ． 求使等式
x 1 x 2 y 0 1 2 y 1 0 y A ED n ( x , y ,1) 2， 设平面 1 的法向量为 1
n (2,1, 2) ， A1 (0, 2, 2) ， D(0, 0,1) ， B(2, 0, 0) ， 故可令 1 A D (0, 2, 1) A B (2, 2, 2) ， 可得 1 , 1
F A
D D
C
如图， AB 是⊙O 的直径， C、 F 为⊙O 上的点， 且 CA 平分∠BAF， 过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D. 求证：DC 是⊙O 的切线.
O
B
B．选修 4—2
矩阵与变换
变换 T 是绕坐标原点逆时针旋转 下所得的曲线方程．
π 的旋转变换，求曲线 2 x2 2 xy y 2 1 在变换 T 作用 2
24． （本小题为选做题，满分 10 分）
1 y sin 2 x x (0, ) 2sin x 2 ，求函数 已知 的最小值以及取最小值时所对应的 x 值．
25． （本小题为必做题，满分 10 分） 如图，直三棱柱
A1B1C1 ABC 中， C1C CB CA 2 ， AC CB . D、E 分别为棱
z
C1
A1
E
B1
AB (2, 2,0) AD (0, 2,1) ， 则 ，
D y F A B
DE (1,0,1) 设平面 ADB 的法向量为 n ( x, y,1) 得
C
x
1 x 2 x 2 y 0 2 2 y 1 0 y 1 n ( 1 , 1 ,1) 2即 2 2 则取法向量为 n (1,1, 2) ，
C．选修 4—4
参数方程与极坐标（本题满分 10 分）
2 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 2 ， 2 2 cos(
π ) 2． 4
（1）把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
D．选修 4—5
不等式证明选讲（本题满分 10 分）
（5 分）
2m 2 m 1 2n 4 n 2 1 2 p 3 p 3 M q 5 3 5 . q 5 ，即 则
（10 分）
24． （选做题） （本小题满分 10 分）
x (0, ) 2 知： 解：由
AC , EM 交于点 D ， BC 交 DE 于点 F ．
求证： （1） AE:ED FE:EB ； （2） EM ED EF ．
2
C A A A
22． （本小题为选做题，满分 10 分） 已知点 P( x, y) 是圆 x y 2 y 上的动点．
2 2
O A
D A M A FA A E A
2
C A A A
O A
D A M A FA A E A N A
B A
∴ EM ED EF 。 （10 分）
2
22． （选做题） （本小题满分 10 分）
2 2 x 2 y 1 1 解： （1）由 x y 2 y 可得
2
设 x cos , y 1 sin , R ，则 2 x y = 2 cos 1 sin
2 1。
恒成立，而
x y sin cos 1 2 1
= （10 分）
，
∴a
23． （选做题） （本小题满分 10 分）
m n 2 4 2 0 1 0 M 3 5 0 1 M 0 -1 p q 解：设 ，则由 2m 2n 1 0 2m 2n p q 0 1 p q
即 x 2 xy 2 y 1 ，
2 2
所以变换后的曲线方程为 x 2 xy 2 y 1 ．
2 2
………………… 10 分
C．选修 4—4
参数方程与极坐标（本题满分 10 分）
【解】 （1） 2 4 ，所以 x y 4 ；因为 2 2 cos
故可令
2
，∴
，
6 E A D B 1 即求二面角 的余弦值为 6 ； （6 分） (0, y ,0) EF (1, y, 2) ， （3）假设存在点 F ,坐标为 ，则
1 1 2 y 1 EF 平面 A1DB 得 EF // n2 ，即 1 y 2 ，
C
（第 23 题图）
附加题答案
A．选修 4—1 几何证明选讲
【证明】连结 OC，所以∠OAC=∠OCA. 又因为 CA 平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC， 于是∠FAC=∠OCA，所以 OC//AD. 又因为 CD⊥AF，所以 CD⊥OC， 故 DC 是⊙O 的切线． B．选修 4—2 矩阵与变换 ………………… 10 分
1 1 1 1 1 4 4 4 4 sin 2 x y sin 2 x 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x
1 5 1 2 4 55 sin x 1 4 4 2sin x sin x 2 2 sin x 2 时取等号， 当且仅当 = sin x 即
0 （1）∵ MN AB ，∴ B 90 BFE D ，
∴ AED ∽ FEB ， ∴ AE ：ED FE ：EB ； （5 分） （2）延长 ME 与⊙O 交于点 N，由相交弦定理， 得 EM EN EA EB ，且 EM EN ， ∴ EM EA EB ，由（1）
P( B)
所以
7 1 3 C9 12 ；
（7 分）
（3）随机变量 的取值为 0,1, 2, 的分布列为
P
0
1
2
5 12 E 0
1 2
1 12
∴ 的数学期望为
5 1 1 2 1 2 12 2 12 3 。 （10 分）
附加题部分
21． 【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． A．选修 4—1 几何证明选讲
DE n 6 d 2 n
则点 E 到平面 ADB 的距离
.
（3 分）
A (0, 2, 2) A E (1, 2,0) A D (0, 2, 1) ， E (1, 0, 2) D (0, 0,1) （2） 1 ， ， 可得 1 ， 1
C1C、B1C1 的中点.
（1）求点 E 到平面 ADB wenku.baidu.com距离； （2）求二面角
E A1D B 的平面角的余弦值；
A DB ？若存在，确定其位置；若不 （3）在线段 AC 上是否存在一点 F ，使得 EF 平面 1
存在，说明理由.
A1 C1
E
B1
D
在 数．
C
F
A
26． （本小题为必做题，满分 10 分）
B1
23．如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形， AB＝BC= 2 ，BB1＝3，D 为 A1C1 的中点，F 在线段 AA1 上． （1）AF 为何值时，CF⊥平面 B1DF？ （2）设 AF=1，求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.
C1 D
A1 F B A
F A
D D
C
O
B
【解】变换 T 所对应变换矩阵为 M
0 1 x ，设 是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点 1 0 y
是
x0 x0 x y0 x, 2 2 ，则 M ，即 ，代入 2 x0 2 x0 y0 y0 1 ， y y x y , y 0 0 0
B
1, 2, 3, , 9 这 9 个自然数中，任取 3 个不同的
（1）求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率； （2）求这 3 个数和为 18 的概率； （3） 设 为这 3 个数中两数相邻的组数 （例如： 若取出的数为 1, 2,3 ， 则有两组相邻的数 1, 2 和 2, 3 ，此时 的值是 2 ） ．求随机变量 的分布列及其数学期望 E ． B．附加题部分 三、附加题部分： 21． （选做题） （本小题满分 10 分） 证明：
已知 m 0，a，b R ，求证： a mb
1 m a 1mb m
2 2
2
.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．动点 P 在 x 轴与直线 l：y＝3 之间的区域（含边界）上运动，且到点 F（0，1）和直线 l 的距离之和为 4． （1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 Q (0, 1) 作曲线 C 的切线，求所作的切线与曲线 C 所围成区域的面积．
1 x 2 y 1 0 2 2 x 2 y 2 0 y 1 A BD 的法向量为 n2 ( x, y,1) 2， 设平面 1 n1 n2 6 cos n1 , n2 6 n1 n2 n (1, 1,2)
1 5,1 5 = 5 sin( ) 1
2 2 x 2 y 1 1 （2）由 x y 2 y 可得
2
（5 分）
设 x cos , y 1 sin , R ， x y a 0 恒成立 即
a x y
4
x
∴当
6时
ymin
5 4 。 （10 分）
25． （必做题） （本小题满分 10 分） 解： （1）如图所示，以 CB 为 x 轴， CA 为 y 轴，
CC1 为 z 轴建立空间直角坐标系，由 C1C CB CA 2 可得 C (0,0,0) ，
A(0, 2, 0) , B(2, 0, 0) , D(0, 0,1) , E (1, 0, 2) .