高三数学(答案)理
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丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习（二）
高三数学（理科）答案及评分参考
2019．05
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分）
9 10．
3
5
11． 满足12,0,0a a d ><（答案不唯一）
13．36 14．(1,0)；16 三、解答题（共6小题，共80分） 15.（共13分）
解：cos sin B b A =，
cos sin sin A B B A . ………………2分
因为在ABC △中，sin 0A ，
sin B
B . ………………3分
因为0B <<π, ………………4分
所以3
B
π
. .………………5分 （Ⅱ）因为A B C π， ………………6分
所以sin sin A C +sin sin()3
A A π
=++
.………………7分
1sin (sin cos )22A A A =++ .………………8分
)6
A π
=+. ………………9分 因为203
A
π
， 所以56
66
A
π
ππ
. ………………11分 当6
2
A
π
π
，即3
A
π
时，
sin sin A C +. .………………13分
16．（共13分） 解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的优秀率为
(0.040.02)50.3+⨯=. ………………4分
所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%.
（Ⅱ）在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为0.7；
在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.4，选中成绩不优秀学生的概率为0.6.
ξ的所有可能取值为0，1，2； ………………6分
(0)0.70.60.42P ξ==⨯=；
(1)0.30.60.70.40.46P ξ==⨯+⨯=；
(2)0.30.40.12P ξ==⨯=. ………………9分
所以随机变量ξ的分布列为：
………………10分 （Ⅲ）DX DY < . ………………13分
17.（共14分）
（Ⅰ）证明：因为在梯形ABCD 中，AB CD ∥，24AB CD ==，P 为AB 的中点， 所以∥CD AP ，CD AP =，
所以四边形APCD 为平行四边形， ………………1分 因为线段AC 与DP 交于O 点， 所以O 为线段AC 的中点，
所以ABC ∆中∥OP BC ， ………………3分 因为OP ⊂平面'POD ，BC ⊄平面'POD ，
所以BC ∥平面'POD ． ………………4分 （Ⅱ）解：因为平行四边形APCD 中，2AP AD ==，
所以四边形APCD 是菱形，AC DP ⊥，垂足为O ， 所以'AC OD ⊥，AC OP ⊥，
因为'OD ⊂平面'ACD ，OP ⊂平面ACB ， 所以'D OP ∠是二面角'B AC D --的平面角，
因为二面角'B AC D --为直二面角， 所以'2
D OP π
∠=
，即'OP OD ⊥． 可以如图建立空间直角坐标系O xyz -，其中(0,0,0)O ， ………………6分
因为在图1菱形APCD 中，3
BAD π∠=
，
所以1OD OP ==
，OA OC ==
所以(B
，(C ，'(0,0,1)D ．
所以'(3,2,1)BD =-，(0,2,0)CB =． ………………7分 设()=x,y,z n 为平面'BCD 的法向量，
因为'
CB
BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，
所以0'0
CB BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩
n n ，即20,
20.y y z =⎧⎪-+=
取1x
=，得到0,
y z =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以(1,0,=n ，
易知平面ABC 的法向量为'(0,0,1)OD ==m ， ………………8分 所以3
cos ,<>=
=-m n m n |m ||n | ………………9分
由图可知，二面角'A BC D --为锐二面角， 所以二面角'A BC D --的大小为
6
π
． ………………10分 （Ⅲ）解：线段'PD 上存在点Q
，使得CQ 与平面'BCD 所成角的正弦值为8
，………………11分 设'(01)PQ PD =λ≤λ≤，
因为(3,1,0)CP =，'(0,1,1)PD =-，
所以'(3,1,)CQ CP PQ CP PD =+=+λ
=-λλ． ………………12分 因为cos ,2CQ CQ n CQ ⋅<>=
=
=
n n
， ………………13分 所以2
3720λ-λ+=， 因为01≤λ≤，
所以1
3
λ=
．
………………14分 所以线段'PD 上存在点Q ，且1'3
PQ PD =时，使得CQ 与平面'BCD