交错级数敛散性的判别方法

由 正 项 级 数 的 比值 或 根 值 审 敛 法 判 断 为 发 散 ， 原 级 数 发 则
散若∑Ｉ由 项 数 其 审 法 断 发 转３ ； ％ 正 级 的 他 敛 判 为 散 （； Ｉ ）
（首 ３ 选极限 法计算ｌ ｎ Ｉ一／ ＞， 成 ） 判别 ｉ ｆ １ ０是否 ｍ ） ｎ ∞ ＼ｑ 一
结 ：如 １ １ ‘ 害 论形 ∑（） ＋ 一
一
１ ｎ ＋ … ＋ａｌ ｎ＋ａｏ
（１ ） ＜的
交错级数 ， — ＞ 当Ｚ ｋ ｌ时 ， 数 绝 对 收 敛 ； ｌｋ １ ， 数 条 级 当 － 时 级 件 收 敛 ， 时 极 限 判 别 法 优 于 莱 布 尼 兹 定 理 判 别 法 。 当 ｌ 此 —
Ｗ ＡＮＧ Ｘｕａ ｎ—ｘｎ ｉ
（ ｃ ｏｌｏ Ｓ ｉｎ ｅ Ｕ ｉｅｓｔ ｆＪｎ ｎ，ｉａ ５ ０ ２ Ｓ ｈ ｏ ｆ ｃｅ ｃ ， ｎｖ ｒｉ ｏ ｉａ Ｊｎ ｎ２ ０ ２ ） ｙ
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（ １￣ａ＝ ｌ 啦一 ＋ （ １ １ 一 ） ｌ， － － ，ａ 啦＋ 啦 …＋ 一 ） ％＋
证 （ 因 ｉｎ 一 ＞， 据 限 保 性， 明； ）为ｌ ｆ ｌ ０根 极 的 号 １ ｍ １
ｎ＋ ＿∞ ＼ ＋ ｌ ／
对 ＜＜ ，在 ｎ 有 ｆ＋Ｉ一／ ， 于０【 存 Ⅳ， ＞ 时，ｎ％ １ ｏｐ 当Ⅳ ＼
关 键词 ： 交错 级 数 ； 敛 ； 散 ； 收 发 条件 收 敛 中 图分 类号 ： ７ 文 献 标识 码 ： 文章 编 号 ： ０ ８ ３ ４ （０ Ｏ ０ — ０ ６ 一 Ｏ ０１ ３ Ａ ｌ０ — ３ ０ ２ １ ）２ Ｏ ６ ２
１ 相 关定 义 及 引 理
定 义 正 负 项 交 替 出 现 的级 数 称 为 交 错 级数 。 即
作 者 简介 ： 宣欣 （９ ８ ） 女 ， 东济 南人 ， 南大 学 理 学 院讲 师 ， 士 。 王 １７ － ， 山 济 硕
山 东广播 电视 大学 学报
交错 级 数 敛散 性 的判 别方 法
（ 乞 Ｉ否收 若收敛， ２ ） 是 敛？ 原级数 绝对收敛； 若
ｌ
毗 显然
㈠
，
＝
法 ｎ＿ｍ ｆ “ 一／：ｍ 一： ｎ ｌ Ｉ ｉ １ ｎ ｎ ｌ １ｉ 呻∞
一
一
１
１
ｎ ２ｘｈ ｌ ＋ ／ ＋
立？ 成 原 数 敛 件 敛； ｌ ｎ 一１容 若 立， 级 收 且条 收 若ｉ ｆ １ ｍ 不
ｎ —＋ ∞ ＼ａｎ ｌ ＋ 』
—【（ Ｖ， Ｊ ＋ ） ／ｎ ∞凡 ＋一 】
级数
０ ≤
㈠ ’
收敛 ， 又
ｎ十
＝ １
＼ ｎ ／
ｎ＋ｌ
单 调 递 增 且 有 界
例１ 定 错 数∑（ ） 判交级 一一 的 散 ？ １ 敛 性
ｎ＝ｌ 凡一
＜ ， 定 理 ２知 原 级 数 收 敛 。容 易 判 断 出该 级 数 条 １由
ｎ＋ １
件收敛 。 解 ： 然％： 显 ，
ｋ ｌ ， 用 极 限 判 别 法 计 算 极 限 时 要 考 虑 使 用 泰 勒公 式 。 ＜时 使
＝ ｎ
卟 理知数敛 脓 ２级收。
： ０
பைடு நூலகம்
当 ｌｋ １ ． 用 极 限 判 别 法 计 算 出的 ｏ ｌｋ － 时 使 ＝—
法 二 ：１ ｌ ｎ ｉ （ ）ｉ ＝ｌ ｍａ ｍ
参考文献 ：
＜ １ ＋
ｎ
．
ａ斛 ｌ
上式 ｎ 取 至 ， ＋ ｖ ｍ连 乘 得 ２
ｌ
ａ＝ｚ ｎ其 中 ｎｔＶ， ￣
（ １ｎｕ收 敛 ， 列 单 调 有 界 ， 一 ）ｌ －ｎ 数
鱼＋ ） （ 篇
上 式 两 端 ｍ— 时 取 极 限 可 知 存 在 ， 当ｎ Ｎ 时 ， ＞３
、
ｒ ｔ ＋１
， ｛（１［１ｎ８ｏ ＼ ２ ｒ ＋ 【ｎ ＋ 一 ｌ 【 ｎ ＋ ｎ（／ ） ， ｉ ｎｌ ＋ ］Ｊ 叶 ｍ ｎ ＋ ＼ Ｊ ２４ ｎ ＝
—
易 算，虑 布 兹 理；容 观 出∑（ ）％ 计 考莱尼 定 若 易 察 一一 中 １
Ⅱ ， 虑阿贝尔判别法 。 考
山 东广播 电视 大 学学报
２１ ０ ０年第 ２ 期
交错 级数敛散性 的判 别方法
王 宣欣 （ 济南 大学 理学 院 ， 济 南 ２ ０ ２ ） 山东 ５ ０ ２
摘
要 ： 文 给 出了 交错 级 数 敛散 性 的判 别 方法 ， 出 了 交错 级 数 收 敛 的极 限判 别 法并 加 以严 格 证 明 。 本 提
（） （ ： ２ ）
， 厂 则 ） ２ １ｘ 所 以 当 － １ ：＿（ － ）
，
［］ １ 同济 大 学应 用数 学 系． 数 学 第 五 版 【 ． 京 ： 高等 Ｍ】 北 高
等教 育 出版 社 ，０ ２ ２０ ． ［ ］ 东 大 学数 学 系 郭 大 钧 等 ． 学 分 析 ［ ． 南 ： 东 ２山 数 Ｍ】 济 山
Ｋｅ ｒ ｓ Ａｌ ｒ ａｉ ｇ ｓ ｒ ｓ Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ； ｖ ｒ ｅ ｃ Ｃ ｎ ｉ ｏ ａ ｌ ｏ ｖ ｒ ｅ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ： ｔ ｎ ｔ ｅ ｉ ； ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ Ｄｉ ｅ ｇ ｎ ｅ； ｏ ｄ ｔ ｎ ｌ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｎ ｅ ｉ ｙ
６ ７
ｑ ０。
即 －Ｋ（ ＝ ， ， ， ） 则 交 错 级 数 （ １ ％收 敛 。 ＜ ｎ ｌ２ ３ … ， １ 一）
２ 结 论
根据引 理 １ 和收敛 级数 的性 质可得交 错级数 １ （ １ 、 一） ． ％ 收敛 。 ３ 判别 步 骤
１
定 理 １ 错 级 数 收敛 的必 要 条 件 ） 果 交 错 级 数 （ 交 如
时 ， ≤ｏ函数 几 ） ） ， ：
单 调减 小 ， 故
（ １２３ ） ，，… ，
科 技 出版 社 ．９ ５ １８ ．
由 引 理 １知 级 数 收 敛 。 容 易 得 该 级 数 条 件 收 敛 。
判 定 交 错 级 数 （ｌ ＿ 的敛
Ａ ｉｅ ｉ ｏ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ａ ｄ Ｄｉ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｔ ｒ ａ ｉ ｇ Ｓ ｒｅ Ｃｒｔ ｒ ａ ｆ ｒ Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｎ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆＡｌｅ ｎ ｔｎ ｅ ｉ ｓ
即 ＞ ＋ ＞ 故％ １旦 １
，
其 中 ａ－０ ｎ ｌ２ ３ … ） ， （＝ ， ， ， 。 ， ＞
ｌｎ Ⅳ１。 （ ＞ ）
１
ｎ
引 （布 兹 理 设 错 数∑ （） 满 理１ 尼 定 ） 交 级 莱 一一 足 １
ｎ ＝ｌ
（ 由ｌ ｎ 一１ ０可知 ８０ 一＞， ２ ２ ｉ ｆ １ ， 对于 ０ ，８０ ） ｍ ＞ ＞ｐ 。 存在Ｎ，
ｎ＋ ＿∞ ＼ ｌ ／
（ ） ‰ ｔ （ ＝ ， ， ， ） （ ）ｉ ０ １％ ｎ ｌ２ ３ … ； ２ ｌ ｍ ，
ｎ —＿＋ ∞
当， Ⅳ 时 ， 立 ｌ ２ 成 ＞
Ｉ － ｏ＜ ￣ ＋Ｐ ８
ｎ
则 级 数 收 敛 ， 其 和 Ｓ ｎ 且 。 ． 引 理 ２ 阿 贝 尔 判 别 法 ） 交 错 级 数 （ 若 （ １ 一 ） 中
由 定 理 ２知 级 数 收 敛 。 法 二 ： Ｍ ， ： ｕ
ｘ／ｎ
， ：
， 由定 理 ２或 引理 １知
＋ｌ
步 骤 （ ） 可 根 据 交 错 级 数 的具 体 情 况 选 择 方 法 ， ３中 但
引 理 １ 引 理 ２ 定 理 ２也 只是 充 分 条 件 。 ， ， ４ 方 法 比较 ．
（ ） ｌ ， ０是 否 成 立 ？成 立或 不 容 易 判 断结 果 ， １ ｉ ， ｍａ ＝ 转
ｎ — ∞
ｎ ∞ 一
ｌｎｃ ＋ １ ０ ｉ ｆ １一１ ， ｍ＼ ＞ ／
（ ） 否则 发 散 ； ２；
则该 级 数 收敛 。
收 稿 时 间 ：０ ０ ０ －０ ２１－ ４ １
∑ （） 收 ，Ｎｉ￣。 一 敛￥ ｌａ０ １ Ｊ ￣ ｍ ＝
ｎ ：Ｉ ｎ ＋∞ —
该 定 理 根 据级 数 收 敛 的必 要 条 件 即 可得 到 。 定 理 ２ 极 限判 别 法 ） （ 如果 交错 级 数 （１ － ） 满 足
给定 一 个 交 错 级 数
性 ：
（ １ ， 如 下 步 骤 判 断 收敛 － ）’ 按