交错级数敛散性的判别方法
高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法
专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （Λ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （Λ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。
注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。
对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。
定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。
由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。
（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。
总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。
若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。
（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。
若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。
（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。
若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。
例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。
解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na 收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。
交错级数敛散性判定20110414
x 故函数 单调递减 , ∴ un > un+1 , x −1 n 又 lim un = lim = 0. 原级数收敛. 原级数收敛 n→ ∞ n→ ∞ n − 1
EX
(-1)n ( 2) ∑ s (s > 0) n =1 n ( −1)n 特别 : ∑ n n =1
( 3) (-1)n ( n 2 − 1) ∑
n =1 ∞
∞
∞
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义: 正项和负项任意出现的级数称为 任意项级数.
定理 1 若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
定理 1
若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 显然 v n ≥ 0, 且 v n ≤ un , ∴ ∑ ∞
注 :若
∑
∞
n =1
u n 发散 , 则
∑
∞
n =1
u n 未必发散
。
例2
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 2 的收敛性. n =1 n
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
解
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
又 Q ∑ un = ∑ ( 2v n − un ),
n =1 n =1
∞
∞
∴ ∑ un 收敛 收敛.
n =1
n =1 ∞
定理的作用： 定理的作用： 任意项级数 正项级数
高等数学-交错级数
tan
的敛散性.
n1
3n
9.3.2 绝对收敛与条件收敛
设 un 为任意级数(即 un 可正,可负), n1
称 un 为原级数的绝对值级数. n1
若 un 收敛,则称 un 绝对收敛;
n1
n1
若 un 收敛,而 un 发散,则称 un 条件收敛.
0)
是绝对收敛、
条件收敛还是发散？
作业:习题 9-3
1(5)(6)(8)(9)(10) 3 5 6
补充题
1. 判断
sin(n
1
) 是绝对收敛,条件收敛,还是发散?
n1
ln n
2. 判别
(1)n1 n2 [n (1)n ]p
( p 0) 的敛散性.
3. 判断 (1)n1
n1
n1
n1
例如, (1)n1 1 为条件收敛.
n1
n
定理 9 7 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定理
(1)
若 lim un1 1,
u n n
则 un 发散.
n1
(2)
若
lim n
n
un
1,
则 un 发散.
n1
【例9-16】判别级数
(1)n1
ln(
n
1)
的敛散性.
n1 n
n
【例9-17】判断下列级数的敛散性，如果收敛，指出是 绝对收敛还是条件收敛：
(1) (1)n1
10 第11讲_变号级数敛散性判别方法
收敛还是条件收敛？
(1)
n1
(1)n
ln
1
1 n
(2)
n1
(1)n
2n 3n 1
cos n
(3)
n1 n n
【解】(2) 因为
→
→
→
2 n
因为等比级数 n1 3 收敛, 由比较判别法的极限形式知，级数
n1
(1)n
2n 3n 1
(B) 若级数
与
都条件收敛，则
件收敛
【解】对于选项（B），其结论是错误的， 反例为：
必条
故(B)为正确答案.
例11.4 下列结论不正确的是（ ）.
(C) 若级数
绝对收敛，
必条件收敛
条件收敛，则
【解】 对于选项(C), 结论是正确的. 首先，易知
收敛.
其次，如果
绝对收敛， 那么因为
，
则
绝对收敛， 与题设矛盾. 故(C) 对应的结论是正确的
收敛，
所以原级数绝对收敛.
例11.2 试判定下列级数的收敛性，如果它们是收敛的，问它们是绝对
收敛还是条件收敛？
(1)
n1
(1)n
ln
1
1 n
(2)
n1
(1)n
2n 3n 1
cos n
(3)
n1 n n
【解】(3) 注意到
1
，因为 级数
收敛，
n1 n n
所以原级数绝对收敛.
例11.3 设级数
(A)
→
(C) (D) 对于任意的
条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.
无穷级数的敛散性判别方法
1.先看级数通项是不是趋于0。
如果不是，直接写“发散”，OK得分，做下一题;如果是，转到
2.
2.看是什么级数，交错级数转到3;正项级数转到4.
3.交错级数用莱布尼兹审敛法，通项递减趋于零就是收敛。
4.正项级数用比值审敛法，比较审敛法等，一般能搞定。
搞不定转
5.
5.看看这个级数是不是哪个积分定义式，或许能写成积分的形式来判断，如果积分出来是有限值就收敛，反之发散。
如果还搞不定转6。
6.在卷子上写“通项是趋于0的，因此可以进一步讨论”。
写上这句话，多少有点分。
回去烧香保佑及格，OVER!。
高数-任意项级数敛散性判别法
x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章 第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节 任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义： 如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1
交错级数判别法
交错级数判别法
交错级数判别法（Alternating Series Test）是一种用于判断交错级数收敛性的方法。
交错级数是指一个级数的项交替正负，即每一项的符号与前一项相反。
例如，一个交错级数可以写成以下形式：a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ...
交错级数判别法的具体步骤如下：
1. 检查交错级数的项数是否趋近于无限大，即该级数是否为无限级数。
2. 检查交错级数的项是否单调递减，即对于所有的n，都有
a(n+1) <= a(n)。
3. 检查交错级数的项是否趋近于零，即lim(n->∞) a(n) = 0。
如果上述三个条件同时满足，那么交错级数就是收敛的。
交错级数判别法的基本思想是，当级数的项逐渐趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。
因为交错级数的部分和序列是单调递增的，且其上限和下限分别为相邻两个部分和序列，所以当级数的绝对值趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。
需要注意的是，交错级数判别法只适用于交错级数，对于非交错级数，不能使用此方法来判断其收敛性。
任意项级数敛散性的判别(3)
un
1
(1 )
f
( x)
(x
ln
x x)2
0
f ( x) 递减
故 un un1
1 lim
n n ln n
1 lim
x x ln x
1
lim
x
ln
ex
0
x
故 (1)n1 收敛，从而条件收敛.
2021/4/21n1 n ln n
17
(4)
对于级数
xn
n1 n
x n1
lim
n
n1 xn
2021/4/21
19
作业题 习题七(A) 9.
2021/4/21
20
n1
2021/4/21
12
级数
收敛
绝对收敛 条件收敛
发散
un收敛, un 收敛.
n1
n1
un 收敛, un 发散.
n1
n1
判断绝对收敛与条件收敛的参考步骤:
收敛 un 绝对收敛
un n1
发散
n1
其它法
n1
n1
un un
收敛
un
条件收敛
n1
发散
un
发散
n1
2021/4/21
综上所述 S2n极限存在
设
lim
n
S2n
S
又 S2n1 S2n u2n1
则 lim n
S2n1
S
即 S2n1 极限存在值为 S
故 Sn 极限存在 从而级数 (1)n1un 收敛.
2021/4/21
n1
4
例1
判断交错级数 (1)n1 1
n1
交错级数及其判别法
加强交叉学科的合作研究
鼓励数学与其他学科的交叉合作研究， 共同探索交错级数在解决实际问题中 的应用。
感谢您的观看
THANKS
交错级数的项必须满足单调递减的条件，即每一项都小于或等于前一项。
交错级数收敛的充分条件
当交错级数的公比q满足$|q| < 1$时，级数收敛。
交错级数收敛的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明交错级数的每一项 都小于或等于前一项，从而证明级数收 敛。
VS
比较判别法
将交错级数与已知收敛的等比级数进行比 较，利用等比级数的性质判断交错级数的 收敛性。
在工程中的应用
01
02
03
信号处理
在信号处理中，交错级数 被用来分析和处理各种信 号，如音频、图像等。
控制系统
在控制系统中，交错级数 被用来描述和设计各种控 制算法和系统。
工程优化
在工程优化中，交错级数 被用来求解各种优化问题， 如结构优化、路径规划等。
05
交错级数的扩展与展望
交错级数的扩展研究
交错级数收敛的实例
莱布尼茨级数
$1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + cdots$是一个典型的交错级数，它满足单调 递减的条件且公比$q = -frac{2}{3}$满足$|q| < 1$，因此该级数收敛。
调和级数
$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots$是一个非交错的调和级数，不满足 单调递减的条件，因此该级数发散。
浅谈交错级数敛散性的判定
浅谈交错级数敛散性的判定
交错级数是一种特殊的无穷级数。
在交错级数中，每一项的符号需要交替出现。
即正负交替，或者负正交替。
例如，交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-
1)^n\frac{1}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+\cdots$$
交错级数的判定方法分为三种：莱布尼茨判别法、比较判别法和积分判别法。
1.莱布尼茨判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果该级数满足以下两个条件，则级数收敛：
（1）$a_n>0$；
（2）$a_n$单调递减，即$a_n>a_{n+1}$。
这个判别法不适用于非交错级数。
2.比较判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果$|a_{n+1}|<|a_n|$，则级数收敛。
如果$|a_{n+1}|\geq|a_n|$，则级数发散。
3.积分判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$ 如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$收敛，则级数收敛。
如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$发散，则级数发散。
leibniz定理
leibniz定理
LEIBNIZ（定理莱布尼茨定理）是判别交错级数敛散性的一种方法。
莱布尼茨定律的内容是这样的：
L：对于任何东西X和Y，X等同于Y若且唯若X和Y具有一样的性质。
把它表达得精确一点，我们可以这样说：
LX：对于任何东西X和Y，X等同于Y若且唯若对于任何的性质Z，如果X拥有Z则Y拥有Z，如果Y拥有Z则X拥有Z。
这样的一个定律是一个双条件句，我们可以把它拆成两个条件句：L1（同一的不可区分性定律）：对于任何东西X和Y，如果X和Y是同一的，那么X和Y就会具有一样的性质。
L2（不可区分的同一性定律）：对于任何东西X和Y，如果X和Y具有一样的性质，那么X和Y就会是同一的。
根据L1，当两个东西是同一的，这两个东西就会具有一样的性质，因此无法被区分，所以我们把L1叫做同一的不可区分性定律。
在逻辑上，L1等同于下面这个命题：
L1X︰对于任何东西X和Y，如果X和Y不具有一样的性质，那
么X不等同于Y。
根据L2，当两个东西具有一样的性质，无法被区分时，这两个
东西就会是等同的，所以我们把L2叫做不可区分的同一性定律。
在
逻辑上，L2等同于下面这个命题：
L2X：对于任何东西X和Y，如果X不等同于Y，那么X和Y就不会具有一样的性质。
交错级数敛散性判别法
00
:例7判断级数勺敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛?
解lim un+l
n—8 un
=lim
MT8
xn+1 n n+1 xn
=|x|
|X| < 1时，级数〉绝对收敛;
ixi > 1时，级数2 :发散；
V^00 vn X =1时，级数〉，发散；
V^00 vn
=T时，级数）土条件收敛.
X
^n=l n
定理若交错级数2：二(一1)”—侦如，un > 0, (n = L 2,…)满足
(1)"孔 2 Un+dO = 1, 2,…)；
(2) limun = 0.
71—00
贝U级数U攵敛， 旦其禾口s三 , 其余项I—兀| < 以兀+■•
证明取交错交错级数前2m项之和
Szm = “1 — “2 + “3 — “4 +----!" u2m-l _ u2m —("1 一 “2)+(“3 一 “4)----!■ (u2m-l 一 u2m)
(2)当I > 1 (或I = oo)时，级数竺u兀发散;
(3)当I =丄时，级数、言旨“兀的敛散性不能判别.
♦ 例5判断级数2：］苧*］敛散性.
P > 1时，级数5 绝对收敛； »n=l n
00 ( 一 1
0<p< 1时，级数〉 条件收敛; 厶」71 = 1 n
P < 0时，级数发散
（_1）"一12
moo lUTOO
综上所述，UmSn = S,级数收敛，且S V ”1. n—>oo
余项|R兀 I = Un + 1 — (Un+2 — U兀+3)—…< Un+r.
关于交错级数敛散性的判别法
显然不满足单调递减性，因此莱布尼兹判别法
不能用。
n- 1
n
→ → → → 因为(-
1)n-
1
2+(- 1)n2n
1
=(-
1)n-
1
1 2n-
1
+
1 2n
-1 2
+
1 2
Σ Σ→→ → → →→ ∞
∞
所以
n=1
(-
1)n-
1
2+(- 1)n2n
1
=
n=1
n- 1
n
-
1 2
+
1 2
∞
n- 1
∞
n
→ → → → Σ 由结论 1 知，级数 n=1
姨 Σ 即： 姨n n- 1
单调递减。因此：Σ(-
1)n
姨 n-
n 1
收敛。
∞
姨 姨 Σ Σ 显然 1 发散。由推论 1 知，级数 (- 1)n 姨 n - 1 发散。
n- 1
n=2
n- 1 n- 1
∞
即：原级数Σ (- 1)n 发散。 n=2 姨 n +(- 1)n
3.3.2 当 n 取奇偶数时，通项绝对值 un 不一致的交错级数
参考文献 ［1］华东师范大学数学系.数学分析（下册）［M］.第 3 版.北京：高等 教育出版社，2002. ［2］林让起.交错级数收敛性的两个补充判别法［J］.红河学院学报， 2008.2. ［3］杨志忠.关于一类交错级数的敛散性的一种判别方法［J］.青海 师专学报，2009.5：42- 44. ［4］刘晓玲，张艳霞. 交错级数收敛性的一个判别法［J］.高等数学研 究，2007.5：51- 53. ［5］张艳华. 一道正项级数题目的多种解法［J］.科技教育，2009（06）.
交错级数敛散性判别判别探究
交错级数敛散性判别探究摘要: 交错级数是数学分析重要内容之一，对交错级数敛散性的判别方法在教材中并不多，关于交错级数的敛散性判别文中总结出一些判别准则，包括教材以外的其它判别准则，利用其中一些准则不仅能够判定一个交错级数的敛散性，而且能够判定交错级数是绝对收敛还是条件收敛，并选择实例对给出的判别准则的可行性进行了检验．关键词: 交错级数；判别准则；收敛；发散Convergence and Divergence of Alternating SeriesExploring DiscriminateAbstract Alternating series is one of important contents in mathematical analysis, at the present, there are not many criterions about convergence or divergence of alternating series. Established several criterions to decide convergence or divergence of alternating, during phase criterions, some of them are outside the teaching material. Based on these convergence criterions can decide not only convergence or divergence but also absolute convergent or conditional convergent of alternating series. Selected some examples to test the feasibility of the proposed criterion.Key words alternating series; criterion; convergence; divergence1 引言及预备知识在许多数学分析和高等数学教材中，对级数敛散性的判别是一个重要内容，特别介绍了一类特殊级数．定义1 考虑如下的级数11121(1)(1)n n n n n u u u u ∞--=-=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑（其中0n u ≥） （1）我们称这样的级数为交错级数．交错级数是数学分析重要内容之一，对于交错级数敛散性的判别在许多数学分析教材中给出了莱布尼玆判别法．引理1 （莱布尼玆判别法）对于交错级数（1）若满足两个条件： ①数列{}n u 单调递减；②0n →时0n u →， 则交错级数（1）收敛．对于莱布尼玆判别法的证明在教材中都已给出，在这里就不作介绍，但在应用莱布尼玆判别法时应注意以下两点：第一注意莱布尼玆判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件，如果数列{}n u 不满足单调递减性时不能判定级数（1）式发散．第二根据莱布尼玆判别法我们需要判别数列{}n u 是否单调递减，判别数列{}n u 是否单调递减常用的方法有3种：一是讨论1n n u u --的的符号情况；二是讨论比值1n n u u -与1的大小情况；三是构造函数()u x 使得()n u x u =，利用函数的单调性得到数列{}n u 的单调性．但莱布尼玆判别法在使用是存在着局限性，对于交错级数敛散性的判别除了我们比较熟悉的莱布尼玆判别法之外,还有其它一些判别方法．2 最一般情形的判别方法对交错级数敛散性的判别最一般情形的判别方法就是满足所有级数敛散性判别的方法，常见的方法有定义法，即判断级数部分和数列{}n S 是否收敛来判断交错级数是否收敛．同时，柯西收敛准则的推论也是非常有用的，即级数收敛的必要条件是：如果lim 0n n u →∞≠，则级数发散．例1 判别级数121012011001nn ⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数，因为1lim 01001100n n n u n →∞==≠+，所以级数111(1)1001n n n ∞-=-+∑发散．例2 判别级数2(1)(1)nnn n ∞=-+-∑的敛散性． 解 此级数为交错级数，但不满足1n n u u +≥，设2n S 为级数的部分和，先证2n S 单调递减，再证其有下界．2111111()()()3254212n S n n =-+-++-+⋅⋅⋅，括号内各项均小于0，因而2n S 单调递减，又因为21111111()()234212212n S n n n =-+-++-+-+⋅>-⋅⋅，即2n S 有下界，故2lim n n S →∞存在，设2n S S=又1lim lim0(1)n n n n u n →∞→∞==+-，因此2221lim lim()n n n n n S S U S +→∞→∞=+=，从而2lim n n S S →∞=，故原级数收敛．例3++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅的敛散性． 解 此级数为交错级数,设2n S 为级数的部分和．2112(1)2n S n ⋅⋅⋅+=++=+⋅⋅++⋅而级数11n n∞=∑发散，故211lim lim 2(1)2n n n S n →∞→∞⋅=⋅++⋅+=+∞，所以原级数发散．3 绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别根据文献[1]与[2]中介绍的绝对收敛的级数一定收敛，则可以把判别交错级数（1）的敛散性转变为判别正项级数的敛散性，在文献[1]与[2]中对正项级数敛散性的判别方法 介绍了很多种，比如定义法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等．例4 判别级数111(1)2n n n n∞--=-∑的敛散性．解 1111||112lim lim lim 1||222n n n n n nn n u n n u n ++→∞→∞→∞-++==<，因为112n n n ∞-=∑收敛，所以原级数收敛．例5 判别级数1(1)()21n nn n n ∞=-+∑的敛散性． 解1lim 1212n n n n n →∞===<+，因为1()21nn n n ∞=+∑收敛，故原级数收敛． 例6 判别级数 ln 12(1)3nnn n ∞=-∑的敛散性．解ln 022lim 2133n n n n n→∞====>，因为ln 123n n n ∞=∑发散，则原级数是否收敛需用其他方法进行讨论．4 不绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别利用绝对收敛的情形只能判定交错级数在绝对收敛的情况下收敛，如果交错级数不绝对收敛，那么我们并不能判定交错级数的敛散性，下面我们将以定理的形式介绍另一种在已知交错级数不绝对收敛的情况下如何判定交错级数敛散性的方法．为了证明定理先看引理．引理2 设有级数1n n u ∞=∑若：①当n →∞时此级数的通项趋于0；②通过重新组合已给级数各项，但不改变级数各项原有顺序所得的某一新的级数1n n A ∞=∑也收敛；③在和式111231()n p n in A u pp p +-==<<<⋅⋅⋅∑中相加项i u 的数目是有限的，则级数1n n u ∞=∑收敛．证明 设n A 中相加项的数目不超过某一固定的自然数m ，即1||(1,2,)n n p p m n +-≤=⋅⋅⋅，任给0ε>，考察121m εε=+由于0n u →（当n →∞时），于是存在自然数'N ，使得当'n N ≥时有1||n u ε<，再由1n n A ∞=∑收敛性知存在'1N N >，使得当1n N ≥及p 为任意自然数时有11||n n n p A A A ε++⋅⋅+⋅++<，取1N N p =，当n N ≥时对任意自然数s ，考虑1ns n n n s u u u ++∆⋅⋅+⋅=++，注意到每一个i u 必属于某一个k A ，记n A 的项i u 的集合为n A ，即知：当i j >时，若i k u A ∈，j l u A ∈,则必有k l ≤在n ∆中，显然(0)n N r u A r +∈≥，再看以后的各项便有11'1ns N r N r q B A A B ++++∆=++⋅⋅⋅++，其中111N n p r B u u ++=+⋅⋅⋅+-，11'N r q p n s B u u ++++=+⋅⋅⋅+，显然，B 是1N r A +中一部分之和，'B 是11N r q A +++中一部分之和，于是(记'1n N N N ≥≥≥)．1111||()N r N r B p p m εε+++≤-≤，11'2111||()N r q N r q B p p m εε++++++≤-≤，1111||N r N r q A A ε+++++⋅⋅⋅+<从而11'11||||||||(21)ns N r N r q B A A B m εε++++∆≤++⋅⋅⋅++<+=，由柯西收敛准则知级数1n n u ∞=∑收敛．定理1 如果交错级数（1）满足（a ）lim 0n n u →∞=；（b ）1n n u ∞=∑发散则有：①若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则级数（1）也收敛.②若2121()n n n u u ∞-=-∑发散，则级数（1）也发散．证明 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，lim 0n n u →∞=，2(21)1n n --=，即和式相加项数有限，由引理知级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑收敛，若2121()n n n uu ∞-=-∑发散，利用反证法，假设11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑收敛，由收敛级数的性质知2121()n n n uu ∞-=-∑也收敛，这与已知条件矛盾,故定理成立．推论1 交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑依次k 项添加括号构成的级数记作（*）若满足条件：①级数（*）收敛于A ；②lim 0n n u →∞=，则交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑必收敛于A ，若级数（*）发散或lim 0n n u →∞≠，则交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑发散．例7++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数且一般项趋于0，该项的绝对值级数为2n ∞=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=∑， 显然该级数是发散的．考察2121111()n n n n n u u n ∞∞∞-===-==∑∑∑为发散级数，由定理知原级数为发散级数．例8 判别级数1111234a a -+-+⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数且一般项趋于0，则该级数的绝对值级数为111111111()23421(2)21(2)a a a an n n n n ∞=++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=+--∑， 因为1121n n ∞=-∑发散，则111()21(2)a n n n ∞=+-∑发散．考察2121111()()21(2)n n an n u u n n ∞∞-==-=+-∑∑． 当1a =时，级数212111111()()2122(21)n n n n n u u n n n n ∞∞∞-===-=-=--∑∑∑为收敛级数，故原级数收敛． 当1a >时，21211111()21(2)n n an n n u u n n ∞∞∞-===--=+-∑∑∑,因为1121n n ∞=-∑发散，故 21211111()21(2)n n a n n n u u n n ∞∞∞-===--=+-∑∑∑ 发散，则原级数发散．当1a <时，2121111()()(2)21n n a n n u u n n ∞∞-==-=--∑∑，因为111(2)21lim 12a a n a n n n→∞--=，而11an n ∞=∑(1)a <发散，所以由定理知原级数发散．由上讨论可知，级数1111234aa -+-+⋅⋅⋅当1a =时为条件收敛，1a ≠时发散．5 拉贝判别法下面以定理的形式介绍一种新的判别方法，该方法不仅能判定交错级数的敛散性，而且还能判别它是绝对收敛还是条件收敛，该定理的判别模式是极限的形式，运用起来极为方便，定理2（拉贝判别法）对于级数（1）若1lim (1)nn n u n u ρ→∞+-=则 ①当1ρ>时，级数（1）绝对收敛； ②当01ρ<<时，级数（1）条件收敛； ③当0ρ<时，级数（1）发散；④当0ρ=时，级数（1）可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛；⑤当1ρ=时，级数（1）收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛．证明上述定理将用到两个引理．引理3（拉贝审敛法）对于正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑，若1lim (1)n n n un u ρ→∞+-=则①当1ρ>时，级数1n n u ∞=∑收敛；②当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑发散；③当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛也可能发散．引理4 若0(1,2,3,)n u n >=⋅⋅⋅且1lim (1)n n n u n u ρ→∞+-=，则1()(0)n u nρεοε-=>． 对于引理3在[1]与[2]中已给出，引理4在[5]中也有介绍，这里就不作证明，下面证明定理．证明 由引理3知道若0n u >及1lim (1)nn n u n u ρ→∞+-=，则当1ρ>时，级数1(0)n n n u u ∞=>∑收敛，当1ρ<时，级数1(0)n n n u u ∞=>∑发散，当0ρ>时，取0ε>使得0ρε->，则存在自然数N ，使得当n N ≥时有1(1)n n u n u ρερε+-<-<+或1111n n u n u nρερε+-+<+<<+，因此当n N ≥，时有1n n u u +≥，且n u 单调递减．由引理4知1()(0)n u n ρεοε-=>，取2ρε=，于是n →∞时有0n u →，因此当1ρ>时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑绝对收敛；当01ρ<<时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑条件收敛；当0ρ<时，级数（1）发散；当1ρ=时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛；当0ρ=时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛．例如111(1)ln n n n ∞-=-∑收敛，111(1)(1)n n n ∞-=-+∑发散．例9 判别级数11(21)!!(1)(2)!!n n n n ∞-=--∑的敛散性．解 因为1(21)!!1(2)!!lim (1)lim (1)0(21)!!2(22)!!n n n n n u n n n n u n ρ→∞→∞+-=-=-=>++， 故级数11(21)!!(1)(2)!!n n n n ∞-=--∑条件收敛．例10 判别级数 11()[(1)](1)(0,0,0)()[(1)]n n a a d a n d a b d b b d b n d ∞-=⋅++-->>⋅⋅⋅⋅⋅>++-∑的敛散性． 解 1()lim (1)lim (1)lim n n n n n u b nd n b a b an n u a nd a nd dρ→∞→∞→∞++--=-=-==++，由定理可得：当01b a d -<<即a b a d <<+时原级数条件收敛；当1b ad->即b a d >+时原级数绝对收敛；当1b ad -=即b a d =+时原级数收敛，此时原级数为11(1)n n a a nd ∞-=-+∑为条件收敛；当0b a d -<即b a <时原级数发散；当0b ad -=即b a =时原级数为11(1)n n ∞-=-∑发散．综上可得原级数当b a ≤时发散，当a b a d <≤+时条件收敛，当b a d >+时绝对收敛．6 其它判别方法下面以定理的形式介绍两个新的判别交错级数敛散性的方法，最后通过例子说明这两个方法在判别交错级数敛散性的可行性．定理3 对于交错级数（1）若1lim nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则①当1e ρ<<时，级数（1）条件收敛；②当e ρ>（包含+∞）时，级数（1）绝对收敛；③当1ρ<时，级数（1）发散．证明上述结论用到如下引理．引理5 对于正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑，令1n n n n u H u +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若1lim lim nn n n n n u H u ρ→∞→∞+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则当e ρ>时正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑收敛，当e ρ<时正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑发散．下面证明定理.证明 当1ρ>时，因为1lim 1nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦，则存在N ，当n N >时有11nn n u u +⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，所以当n N >时有：1n n u u +> (2)又1lim 1n n n n u u ρ→∞+⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦，取0r >，而1lim 1nr r n e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则11lim 10n nr r n n n u e u n ρ→∞+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤-+=->⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭，所以存在自然数N ，当n N >时有：111nnr n n u u n +⎡⎤⎡⎤>+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,即1111r r n n u n u n n ++⎡⎤⎡⎤>+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以11rn n u n u n +⎡⎤<⎢⎥+⎣⎦因此有 11110...11111rrrrrrrn n n N N n n n n n N N u u u u u n n n n n N n +---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤<<<<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 又因为0r >，则lim 01rN n N u n →∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，由夹逼定理得：1lim 0n n u +→∞= （3）由(2)和(3)两式知数列{}n u 单调递减，且lim 0n n u →∞=．由莱布尼玆判别法知级数（1）收敛．再由引理知：①当1e ρ<<时，级数（1）条件收敛；②当e ρ>（包含+∞）时，级数（1）绝对收敛；③当1ρ<时，因为1lim 1nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，则存在N ，当n N >时有11nn n u u +⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，所以当n N >时有1n n u u +<，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知级数（1）发散．定理4 对于交错级数（1）满足条件：存在自然数N ，当n N ≥时，11n n u au n+=+，a 为常数，则①当0a >时，交错级数（1）收敛；②当0a ≤时，交错级数（1）发散． 证明 由于改变级数有限项后，不改变级数的敛散性，不妨设11(1,2,)n n u an u n+=+=⋅⋅⋅，当0a >时，因为111n n u au n+=+>，所以数列{}n u 单调递减，又因为 111223.(1)(1)(1)121n n n u u u u a a a u u u u n -=⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+-,lim(1)(1)(1)121n a a a n →∞++⋅⋅⋅+=+∞-， 所以lim 0n n u →∞=．由莱布尼玆判别法知,交错级数（1）收敛．当0a ≤时，111(1,2,)n n u an u n+=+≤=⋅⋅⋅所以数列{}n u 为单调递增数列，故lim 0n n u →∞≠，所以交错级数（1）发散．例11判别级数11(1)n n ∞-=-∑的敛散性．解令n u =,则22212221212nnnn n n u n n n H u n n n +⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由于2111(21)(2).112222211lim lim 11212n n n nn n n H e n n n ρ+-+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤==++=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，则由定理知原级数条件收敛．例12 判别级数11!(1)456(3)n n n n ∞-=-⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+∑的敛散性．解 令!456(3)n n u n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+,则1313143111n nnn n n u n H u N n ⋅+-+⎡⎤+⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由于131333lim lim 11n n n n H e e n ρ+⋅-→∞→∞⎡⎤==+=>⎢⎥+⎣⎦，则由定理知原级数绝对收敛． 例13 判别级数11(1)!n n n n n ∞-=-∑的敛散性． 解 令!n n n u n =则1(1)(1)nn n n n n n H n n -⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，由于1lim lim (1)01nn n n n H n ρ-→∞→∞⎡⎤==+=<⎢⎥⎣⎦由定理知原级数发散．例14 判别交错级数121(2)!(1)4(!)n n n n n -∞=-⋅∑的敛散性． 解 因为1221(2)!4[(1)!]22114(!)(22)2121n n n n u n n n u n n n n ++⋅++=⋅==+⋅+++，即对于任意的自然数0N >，只要n N ≥就有1021n >+，根据定理4得原级数收敛．7 一类特殊交错级数敛散性的判别在许多教材中，对莱布尼玆判别法只介绍了一种简单的形式，对于交错级数1(1)nn n u ∞=-∑，只要满足：①10(1,2,)n n u u n +≥≥=⋅⋅⋅；②lim n n u →∞=+∞时级数也是收敛，下面我们将以此为基础介绍关于一类特殊交错级数敛散性判别的方法．定理5 设交错级数1(1)nn n u ∞=-∑收敛，0n u >，1,2,n =⋅⋅⋅，lim 0n n nv u →∞=，若级数21||n n n v u ∞=∑收敛，则级数1(1)n n nu v ∞=-+∑收敛．证明 考察级数 11(1)(1)(1)()n n n nn n nn n n n n v u u v u u v ∞∞==⎡⎤----=⎢⎥++⎣⎦∑∑ （4） 级数1(1)nn nu ∞=-∑收敛，故级数1(1)n n n u v ∞=-+∑收敛的的充要条件是（4）收敛．由级数21||n n n v u ∞=∑收敛及2|(1)()|lim 1n n n n n n n n v u u v v u →∞-+=，知级数（4）绝对收敛，于是级数1(1)n n nu v ∞=-+∑收敛． 定理6 设10n n u u +≥≥，0n v >(1,2,)n =⋅⋅⋅，lim n n u →∞=+∞，lim 0n n nvu →∞=，则级数1(1)(1)nnn n nu v ∞=-+-∑收敛的充要条件是21n n n v u ∞=∑． 证明 考虑级数11(1)(1)(1)((1))n nn n nn n nn n n n n v u u v u u v ∞∞==⎡⎤---=⎢⎥+-+-⎣⎦∑∑ （5） 级数1(1)n n n u ∞=-∑是收敛的，因此级数1(1)(1)nnn n nu v ∞=-+-∑收敛的充要条件是（5）收敛．注意到，当n 充分大时，级数（5）一般项非负，而2((1))lim lim 1(1)n n n n n nn n n n n nn v u u v u v u u v →∞→∞⎡⎤⎡⎤+-==⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，因此，级数（5）收敛的充要条件是21n n nvu ∞=∑收敛． 例15 讨论级数1(1)(0)(1)npnn p n ∞=->+-∑的敛散性． 解 在本题中pn u n =，1n v =，22111n p n n n v u n∞∞===∑∑，当12p >时该级数收敛，12p ≤时发散，由定理知级数1(1)(0)(1)n p nn p n ∞=->+-∑，当12p >时收敛，当12p ≤时发散． 例16 讨论级数2(1)(1)np nn n n∞=-+-∑的敛散性． 解 22212221n p p n n n n v n u n n ∞∞∞-=====∑∑∑，由定理知级数2(1)(1)np nn n n∞=-+-∑当1p >时收敛，当1p <时发散．例17 讨论级数1(1)n p n nn v ∞=-+∑的敛散性，这里{}n v 为任意有界数列．解 因为{}n v 有界，则存在常数M ，使得||n v M ≤，级数2211||||n n p n n n v v u n∞∞===∑∑，又22||n p pv Mn n ≤于是当12p >时，级数21||n p n v n∞=∑收敛，当12p <时21||n p n v n ∞=∑发散，即12p >时原级数收敛，当1p 时，原级数发散．28 结束语本文以莱布尼兹判别法及交错级数自身特征，探究总结出了一些判别准则，利用其中一些准则不仅能判定交错级数的敛散性，还能判定其是绝对收敛还是条件收敛，且有些判别方法的判别模式是用极限形式，用起来极为方便有效，同时克服了莱布尼兹判别法的种种缺陷．参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,2006:17-19.[2]刘玉琏.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,1988:26-27.[3]吉米多维其.数学分析(下册)[M].费定晖,周学圣,译.济南:山东科学技术出版社,2005:81-83.[4]华中师范大学数学系.数学分析(下册)[M].武汉:华中师范大学出版社,2001:243-245.[5]范新华.关于交错级数敛散性判别法的一些探讨[J].常州工学院学报,2007,20(5):57-59.[6]肖清风.交错级数敛散性的探究[J].黄山学院报,2004,6(3):3-7.[7]周玉霞.关于交错级数敛散性判别法的补充[J].高等数学研究,2007,10(3):40-42.[8]骆汝九.交错级数敛散性的一个判别定理[J].盐城工学院学报,2000,13(1):73-75.[9]江莹茵.交错级数收敛准则的探讨[J].甘肃联合大学学报(自然科学报),2005,19(2):6-7.[10]郑玉敏.交错级数敛散性判别法[J].大学数学,2009,4(2):192-194.[11]刘晓玲,张艳霞.交错级数敛散性的一个判别法[J].高等数学研究,2007,10(3):51.[12]张建军,宋业新.关于交错级数敛散性判别的探究[J].高等数学研究,2009,12(3):38-40.[13]杨志忠.关于一类交错级数敛散性的一种判别方法[J].青海师专学报,2009,6(5):42-44.。
交错级数敛散性判别法
(ii ) 当 a < 1 时 , 因为 lim
n →+ ∞
= a < 1 , 则存在 N , 当 n > N 时 , 有
∞
an an+ 1
n
< 1 . 所以当 n > N 时 ,
有 an < an + 1 , 因此 lim an ≠ 0 . 由级数收敛的必要条件知 , 级数
n →+ ∞
n=1
∑( - 1)
第 1 期 郑玉敏 : 交错级数敛散性判别法
∞
193
(i ) 当 a > 1 ( 包括 + ∞ ) 时 , 级数
∞
n=1
∑( - 1)
n- 1
n- 1
an 收敛 , 且
①当 1 < a < e 时 , 级数
n=1
∑( - 1)
an 条件收敛 ,
n- 1
∞
) 时 , 级数 ②当 a > e ( 包括 + ∞
1+
1
n
β n
1-
α
n + 1 +α
=e
β- α
.
由定理知 , 当 eβ- α < 1 时 , 即β<α时 , 级数发散 ; 当 eβ- α > 1 即β>α时 , 级数收敛 . 且当 1 < eβ- α < e 即α<β βα <α+ 1 时 , 级数条件收敛 ; 当 e - > e 即β>α+ 1 时 , 级数绝对收敛 . 综上所述 :当β<α时级数发散 ; 当β>α时级数收敛 . 且当α<β<α+ 1 时级数条件收敛 ; 当β>α+ 1 时级数绝对收敛 .
交错级数敛散性判别法
交错级数敛散性判别法
黄辉
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2011(14)3
【摘要】给出交错级数的几个判别法,它们可直接用以判别交错级数是绝对收敛,条件收敛还是发散.
【总页数】3页(P8-10)
【作者】黄辉
【作者单位】云南大学数学系,云南,昆明,650091
【正文语种】中文
【中图分类】O173.1
【相关文献】
1.关于交错级数敛散性的判别法 [J], 史和娣
2.基于p-级数的交错级数敛散性判别法 [J], 张志银
3.交错级数敛散性的微分形式判别法 [J], 郑玉敏;刘玉娟
4.交错级数敛散性的判别法性 [J], 韦兰英
5.交错级数敛散性判别法的进一步探讨 [J], 庞通
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11.3-1交错级数
交错级数第十一章无穷级数第3节任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数一、莱布尼茨定理定义:正、负项相间的级数称为交错级数.n n n n n n u u ∑∑∞=∞=---111)1()1(或定理1 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ)),3,2,1(1 =≥+n u u n n ;(ⅱ)0lim =∞→n n u , 则级数收敛,且其和1u s ≤,其余项 n r 的绝对值 1+≤n n u r .)0(>n u 其中证明nn n n u u u u u u s 212223212)()(------=-- 又)()()(21243212n n n u u u u u u s -++-+-=- 1u ≤,01≥--n n u u .lim 12u s s n n ≤=∴∞→,0lim 12=+∞→n n u ,2是单调增加的数列n s ,2是有界的数列n s)(lim lim 12212+∞→+∞→+=∴n n n n n u s s ,s =.,1u s s ≤∴且级数收敛于和),(21 +-±=++n n n u u r 余项,21 +-=++n n n u u r 满足收敛的两个条件,.1+≤∴n n u r交错级数二、交错级数敛散性的判定解），， 21(1111==+>=+n u n n u n n 0lim =∞→n n u 又故级数收敛..41312111的敛散性判别交错级数例 +-+-例2 判别级数∑∞=--21)1(n n n n 的收敛性. 解2)1(2)1()1(-+-='-x x x x x )2(0≥<x ,1单调递减故函数-x x ,1+>∴n n u u 1lim lim -=∞→∞→n n u n n n 又.0=原级数收敛.注意1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？2.判定的方法n n u u <+1；0)11<-+n n u u ；）121<+n n u u .3）相应函数的单调性收敛收敛 +-++-+--n n 1)1(4131211)11 +-++-+--!1)1(!41!31!211)21n n 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:+-++-+--n n n 10)1(104103102101)31432收敛分析：上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11∑∞=n n;!1)21∑∞=n n .10)31∑∞=n n n 发散收敛收敛 !)1(1 +n !1n 11 +=n =+n n u u 1 101 1++n n n n 10 n n 1101 +⋅=谢谢THANK YOU。
一,交错级数及其审敛法
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
例 1 判别收敛性：
( 1) (1) p n n 1
n 1
( p 0);
显然单调趋于0，
解
1 (1) un p n
收 敛.
( 1) n n 例 2 判别级数 的收敛性. n1 n 2
又 un ( 2v n un ),
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
该定理的作用：
任意项级数
例3
正项级数
sin n 判别级数 的收敛性. 2 n 1 n
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
解
sin n 2 收敛, n n1
解
x (1 x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛. n n n 1
二、绝对收敛与条件收敛
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
定理（柯西定理）：
若
un绝对收敛于A, vn绝对收敛于B,
则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对 收敛于AB. 例
rn 1 r r2 r3 rn
n 0
1 当 | r | 1, 级数绝对收敛于 , 1 r
rn rn 考察：
n 0 n 0
可得 p q n n
vn pn qn pn qn un s.
交错级数敛散性的微分形式判别法
（ ） Ｆ 志 （ 一 ，
若
ｌ ｘ ｘ） ｚ）一 ｐ ｉ ｆ（ Ｆ（ ｍ ， ．
存 在 Ｍ ＞ ０ 当 ≥ Ｍ 时 ， ， 有
（ （ ） 一 ＜ Ｐ＋ ￡＜ １ ，
（ｉ 当 Ｉ ｌ 包括 ＋∞ ） ， ） Ｄ ＞ （ 时 级数 ∑， 收敛 ； （）
（ Ｆ（ ）一 ） ＞ Ｉ一 ￡＿ ｒ＞ ０ Ｄ ，
例ｌ 别 数霎 １ （ ０ 收 性 判 级 （ ） ａ ） 敛 ． 。 ＞ 的 一
０ （ ＜掣 ， ＜厂 ） ｚ 厂） （ ＜掣 ，
收敛 ， 由正项级 数 的 比
当 ≥ Ｍ 时 ， 于验证 ； 在 级 数收敛 时 ， 能直 接 判 别 级数 是 绝 对 所 以 ， ② 不
＞ 时 正项 级数 ∑ 问题 ， 文给 出交错 级 数 微 分 形 式 的 判 别法 ， 应用 又 当 ｒ １ ， 本 它
摘 要 给 出交 错 级 数 敛 散 性 微 分 形 式 的 判 别 法 ， 用 此 判 别 法 可 直 接 判 别 交 错 级 数 是 否 收 敛 ， 及 收 敛 时 应 以
是 绝对 收敛 还 是 条 件 收 敛 ．
关 键 词 交 错 级 数 ； 散 性 ； 别 法 ； 对 收 敛 ； 件 收敛 ． 敛 判 绝 条
（ｉ ）当 Ｉ １ 包括 一。 ） ， ｉ Ｄ ＜ （ 。 时 级数 ∑厂（ 发 散． ）
所 以
一
厂） ’ （ 丢 ＜ ， 、
证 明 （１ ）当 ｐ＞ ｌ ， ￡ ０ 使 时 取 ＞ ，
ｒ— ｐ— ｅ＞ １ ．
两边 取积 分得
一
ｌｆ ｘ ＋ ｌｆ １ ＜ ｌｘ ｎ （） ｎ （） ｎ，
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（ ） ‰ ｔ （ ＝ ， ， ， ） （ ）ｉ ０ １％ ｎ ｌ２ ３ … ； ２ ｌ ｍ ，
ｎ —＿＋ ∞
当， Ⅳ 时 ， 立 ｌ ２ 成 ＞
Ｉ － ｏ＜ ￣ ＋Ｐ ８
ｎ
则 级 数 收 敛 ， 其 和 Ｓ ｎ 且 。 ． 引 理 ２ 阿 贝 尔 判 别 法 ） 交 错 级 数 （ 若 （ １ 一 ） 中
由 正 项 级 数 的 比值 或 根 值 审 敛 法 判 断 为 发 散 ， 原 级 数 发 则
散若∑Ｉ由 项 数 其 审 法 断 发 转３ ； ％ 正 级 的 他 敛 判 为 散 （； Ｉ ）
（首 ３ 选极限 法计算ｌ ｎ Ｉ一／ ＞， 成 ） 判别 ｉ ｆ １ ０是否 ｍ ） ｎ ∞ ＼ｑ 一
（ ） ｌ ， ０是 否 成 立 ？成 立或 不 容 易 判 断结 果 ， １ ｉ ， ｍａ ＝ 转
ｎ — ∞
ｎ ∞ 一
ｌｎｃ ＋ １ ０ ｉ ｆ １一１ ， ｍ＼ ＞ ／
（ ） 否则 发 散 ； ２；
则该 级 数 收敛 。
收 稿 时 间 ：０ ０ ０ －０ ２１－ ４ １
＝
法 ｎ＿ｍ ｆ “ 一／：ｍ 一： ｎ ｌ Ｉ ｉ １ ｎ ｎ ｌ １ｉ 呻∞
一
一
１
１
ｎ ２ｘｈ ｌ ＋ ／ ＋
立？ 成 原 数 敛 件 敛； ｌ ｎ 一１容 若 立， 级 收 且条 收 若ｉ ｆ １ ｍ 不
ｎ —＋ ∞ ＼ａｎ ｌ ＋ 』
—【（ Ｖ， Ｊ ＋ ） ／ｎ ∞凡 ＋一 】
∑ （） 收 ，Ｎｉ￣。 一 敛￥ ｌａ０ １ Ｊ ￣ ｍ ＝
ｎ ：Ｉ ｎ ＋∞ —
该 定 理 根 据级 数 收 敛 的必 要 条 件 即 可得 到 。 定 理 ２ 极 限判 别 法 ） （ 如果 交错 级 数 （１ － ） 满 足
给定 一 个 交 错 级 数
性 ：
（ １ ， 如 下 步 骤 判 断 收敛 － ）’ 按
关 键词 ： 交错 级 数 ； 敛 ； 散 ； 收 发 条件 收 敛 中 图分 类号 ： ７ 文 献 标识 码 ： 文章 编 号 ： ０ ８ ３ ４ （０ Ｏ ０ — ０ ６ 一 Ｏ ０１ ３ Ａ ｌ０ — ３ ０ ２ １ ）２ Ｏ ６ ２
１ 相 关定 义 及 引 理
定 义 正 负 项 交 替 出 现 的级 数 称 为 交 错 级数 。 即
时 ， ≤ｏ函数 几 ） ） ， ：
单 调减 小 ， 故
（ １２３ ） ，，… ，
科 技 出版 社 ．９ ５ １８ ．
由 引 理 １知 级 数 收 敛 。 容 易 得 该 级 数 条 件 收 敛 。
判 定 交 错 级 数 （ｌ ＿ 的敛
Ａ ｉｅ ｉ ｏ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ａ ｄ Ｄｉ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｔ ｒ ａ ｉ ｇ Ｓ ｒｅ Ｃｒｔ ｒ ａ ｆ ｒ Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｎ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆＡｌｅ ｎ ｔｎ ｅ ｉ ｓ
山 东广播 电视 大 学学报
２１ ０ ０年第 ２ 期
交错 级数敛散性 的判 别方法
王 宣欣 （ 济南 大学 理学 院 ， 济 南 ２ ０ ２ ） 山东 ５ ０ ２
摘
要 ： 文 给 出了 交错 级 数 敛散 性 的判 别 方法 ， 出 了 交错 级 数 收 敛 的极 限判 别 法并 加 以严 格 证 明 。 本 提
结 ：如 １ １ ‘ 害 论形 ∑（） ＋ 一
一
１ ｎ ＋ … ＋ａｌ ｎ＋ａｏ
（１ ） ＜的
交错级数 ， — ＞ 当Ｚ ｋ ｌ时 ， 数 绝 对 收 敛 ； ｌｋ １ ， 数 条 级 当 － 时 级 件 收 敛 ， 时 极 限 判 别 法 优 于 莱 布 尼 兹 定 理 判 别 法 。 当 ｌ 此 —
级数
０ ≤
㈠ ’
收敛 ， 又
ｎ十
＝ １
＼ ｎ ／
ｎ＋ｌ
单 调 递 增 且 有 界
例１ 定 错 数∑（ ） 判交级 一一 的 散 ？ １ 敛 性
ｎ＝ｌ 凡一
＜ ， 定 理 ２知 原 级 数 收 敛 。容 易 判 断 出该 级 数 条 １由
ｎ＋ １
件收敛 。 解 ： 然％： 显 ，
作 者 简介 ： 宣欣 （９ ８ ） 女 ， 东济 南人 ， 南大 学 理 学 院讲 师 ， 士 。 王 １７ － ， 山 济 硕
山 东广播 电视 大学 学报
交错 级 数 敛散 性 的判 别方 法
（ 乞 Ｉ否收 若收敛， ２ ） 是 敛？ 原级数 绝对收敛； 若
ｌ
毗 显然
㈠
，
即 ＞ ＋ ＞ 故％ １旦 １
，
其 中 ａ－０ ｎ ｌ２ ３ … ） ， （＝ ， ， ， 。 ， ＞
ｌｎ Ⅳ１。 （ ＞ ）
１
ｎ
引 （布 兹 理 设 错 数∑ （） 满 理１ 尼 定 ） 交 级 莱 一一 足 １
ｎ ＝ｌ
（ 由ｌ ｎ 一１ ０可知 ８０ 一＞， ２ ２ ｉ ｆ １ ， 对于 ０ ，８０ ） ｍ ＞ ＞ｐ 。 存在Ｎ，
（ １￣ａ＝ ｌ 啦一 ＋ （ １ １ 一 ） ｌ， － － ，ａ 啦＋ 啦 …＋ 一 ） ％＋
证 （ 因 ｉｎ 一 ＞， 据 限 保 性， 明； ）为ｌ ｆ ｌ ０根 极 的 号 １ ｍ １
ｎ＋ ＿∞ ＼ ＋ ｌ ／
对 ＜＜ ，在 ｎ 有 ｆ＋Ｉ一／ ， 于０【 存 Ⅳ， ＞ 时，ｎ％ １ ｏｐ 当Ⅳ ＼
Ｋｅ ｒ ｓ Ａｌ ｒ ａｉ ｇ ｓ ｒ ｓ Ｃｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ； ｖ ｒ ｅ ｃ Ｃ ｎ ｉ ｏ ａ ｌ ｏ ｖ ｒ ｅ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ： ｔ ｎ ｔ ｅ ｉ ； ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ Ｄｉ ｅ ｇ ｎ ｅ； ｏ ｄ ｔ ｎ ｌ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｎ ｅ ｉ ｙ
６ ７
、
ｒ ｔ ＋１
， ｛（１［１ｎ８ｏ ＼ ２ ｒ ＋ 【ｎ ＋ 一 ｌ 【 ｎ ＋ ｎ（／ ） ， ｉ ｎｌ ＋ ］Ｊ 叶 ｍ ｎ ＋ ＼ Ｊ ２４ ｎ ＝
—
易 算，虑 布 兹 理；容 观 出∑（ ）％ 计 考莱尼 定 若 易 察 一一 中 １
Ⅱ ， 虑阿贝尔判别法 。 考
由 定 理 ２知 级 数 收 敛 。 法 二 ： Ｍ ， ： ｕ
ｘ／ｎ
， ：
， 由定 理 ２或 引理 １知
＋ｌ
步 骤 （ ） 可 根 据 交 错 级 数 的具 体 情 况 选 择 方 法 ， ３中 但
引 理 １ 引 理 ２ 定 理 ２也 只是 充 分 条 件 。 ， ， ４ 方 法 比较 ．
ｑ ０。
即 －Ｋ（ ＝ ， ， ， ） 则 交 错 级 数 （ １ ％收 敛 。 ＜ ｎ ｌ２ ３ … ， １ 一）
２ 结 论
根据引 理 １ 和收敛 级数 的性 质可得交 错级数 １ （ １ 、 一） ． ％ 收敛 。 ３ 判别 步 骤
１
定 理 １ 错 级 数 收敛 的必 要 条 件 ） 果 交 错 级 数 （ 交 如
ｋ ｌ ， 用 极 限 判 别 法 计 算 极 限 时 要 考 虑 使 用 泰 勒公 式 。 ＜时 使
＝ ｎ
卟 理知数敛 脓 ２级收。
： ０
当 ｌｋ １ ． 用 极 限 判 别 法 计 算 出的 ｏ ｌｋ － 时 使 ＝—
法 二 ：１ ｌ ｎ ｉ （ ）ｉ ＝ｌ ｍａ ｍ
参考文献 ：
Ｗ ＡＮＧ Ｘｕａ ｎ—ｘｎ ｉ
（ ｃ ｏｌｏ Ｓ ｉｎ ｅ Ｕ ｉｅｓｔ ｆＪｎ ｎ，ｉａ ５ ０ ２ Ｓ ｈ ｏ ｆ ｃｅ ｃ ， ｎｖ ｒｉ ｏ ｉａ Ｊｎ ｎ２ ０ ２ ） ｙ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｇｖ ｓ ａ ｃ ｔｒａｆ ｒｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ａ ｄ ｄ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆａ ｅ ｎ ｔ ｇ ｓ ｒ ｓ Ｉ ｏｆ ｒ ａ ｓｎ ｉ ｔｔ ｉｃ ｓ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｉ ａ ｅ ｉｅ ｒ ｅ ｉ ｏ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｎ ｉｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｈ ｒ ａｉ ｅ ｉ ， ｔ ｆ ｓ ａ ｗ ｙ ｕ ｉｇ ａ ｌ ｏ ｄ ｓ ｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｅ ｍｉ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｈ ｍａ ｉｇ ｓ ｒ ｓ ａ ｄ ｐ ｏ ｅ ｔｓ ｃｌ ． ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆａ ｅ ｔ ｅ ｅ ｎ ｒ ｖ ｓ ｉ ｔ ｔ ｎ ｉ ｒ ｙ ｉ
＜ １ ＋
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ａ斛 ｌ
上式 ｎ 取 至 ， ＋ ｖ ｍ连 乘 得 ２
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（ １ｎｕ收 敛 ， 列 单 调 有 界 ， 一 ）ｌ －ｎ 数
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上 式 两 端 ｍ— 时 取 极 限 可 知 存 在 ， 当ｎ Ｎ 时 ， ＞３
（） （ ： ２ ）
， 厂 则 ） ２ １ｘ 所 以 当 － １ ：＿（ － ）
，
［］ １ 同济 大 学应 用数 学 系． 数 学 第 五 版 【 ． 京 ： 高等 Ｍ】 北 高
等教 育 出版 社 ，０ ２ ２０ ． ［ ］ 东 大 学数 学 系 郭 大 钧 等 ． 学 分 析 ［ ． 南 ： 东 ２山 数 Ｍ】 济 山