Boussinesq型方程初值问题局部解的存在性和整体解的不存在性

Ｊｌ （ ） ｗ ｌ ≤Ｊｌ（ 一 （ ） ｄ≤ ２ ）。 ｌ ｌ ， （ ） ｌ 埘 一 ｚ ｌ一 Ｊ ｌ ） ｏ ：＿ ｒ Ｃ Ｔ １ ０ － ） ｄ ｒ ０ｏ ｒ ｒ ｌ （ …ｘ ｍ ａ ７
收稿 日期 ：０ １— ９— ２ ２ １ ０ ０
基 金 项 目 ： 南 省 教 育 厅 自然 科 学 研 究 基 金 （ ０９ １００ ）河 南 工 业 大 学 校 基金 （０ Ｐ Ｏ ２ 河 ２ ０ Ｂ １０ ７ ； １Ｘ Ｔ ０ ） 作 者 简 介 ： 长 顺 （９ ０ ）男 ， 南 平 顶 山 人 ， 南 工 业 大 学 理 学 院 讲 师 ． 侯 １８ 一 ， 河 河
组成 的空 间 ， 赋予 范数 Ｉ ＝ Ｉ （ 并 Ｉ 川 ｌ 川 １≤ Ｐ≤ ｏ）， 别 地 ，ｌ ｏ 特 ｌ 川 ＝ ｌ Ｌ 记 是 通 常 的 Ｒ 上 的 Ｉ ２；
Ｓｂｌ 空间， ｏｏｖ ｅ 具有范数 Ｉ Ｉ ｕ
１ 预 备 知 识
＝ ｌ １＋Ｉ１ ａｌ 宙 表示其相应的齐次空间， ｌ（ 。 ） ｌ， 具有半范数 ｌ ｌ ＝ “Ｉ 加
假 定 ｔ（ ）＝０， 不然 ， ｒｏ 若 用 （ ）一 （ ）代替 ｏ（ Ｏ ｒ ）． 义 ．是把 Ｗ映 到方程 （０ 的唯一 解 的映射 ． 定 ｓ １） 下面证
明对 适 当选择 的 和 ， 射 ．在 （ ， 映 ｓ ）中有 唯一 的不动点 ． 引理 ４ 设 ｓ １ ∈Ｈ ， Ｅ Ｈ 和 ｏ ∈Ｃ ＋（ ， Ｏ ≥ ， ｒ ２ Ｒ） （ ）＝０， （ ， ｆ∈ ０ ； ）， 则对 充分 大的 和
Ｄｅ ２ １ ｃ． ０１
２ １年 １ ０１ ２月
ｄ ｉ１ ． ９ ９ ｊ ｉ ｎ １ ０ ０ ３ ． ０ ．４ ０ ３ ｏ ：０ ３ ６ ／ ．ｓ ． ０ ７— ８ ４ ２ １ ０ ． ０ ｓ １
Ｂ ｕ ｓ ｅｑ型 方 程初 值 问题 局 部 解 的存 在 性 和 ｏ ｓｉ ｓ ｎ 整 体 解 的不存 在 性
格压 缩 的．
证 明 对 ， ＞０和 Ｗ ， ２∈ Ｘ Ｍ， ）， Ｔ ｌＷ （ Ｔ 记 １＝Ｓ ， ２＝Ｓ ２， ＝Ｗ ｗｌ Ｈ ｗ 叫 １一埘 Ｕ ＝ ｌ ２， 然 ２， —Ｍ 显
满 足如下 的初 值 问题
＋
…
＝ｏ （ ） 一 （ ２ ， （ ０ ＝ Ｕ （ ０ ＝０． ｒ Ｗ１ Ｗ） Ｕ ， ） ，）
第２ Ｏ卷
第 ４期
河 南教 育 学 院 学报 （自然 科 学版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｅ ａ ｓ ｔｔ ｏ ｄ ｃ ｔ ｎ（ ａ ｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ ｎ ｎＩ ｔｕｅ ｆ ｕ ａｉ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｈ ｎｉ Ｅ ｏ ｕ ｅ ｉ
Ｖ０ ． ０ Ｎｏ． １２ ４
当 ｓ≥ １时 ， 用 Ｓｂ ｌｖ 入定理 和 引理 １ 可 知 利 ｏｏ 嵌 ｅ ， ｌ ｒ ） ＋ ， ）ｌＨ：≤ ｌ ｒ Ｗ） ｌ ：＋ ｌ ， ）ｌ 一 ≤ ｌＴ Ｗ）ｌ ＋ ｌ ， ｌ ｌ （ ／ ｒ Ｉ｜ ｏ 一 Ｉ （ ｌ ｏ Ｉ ／ ｒ ｌ ｚ ｌ（ Ｉ Ｉ ｌ ）ｌ 一 ／ ｚ≤ Ｈ ｃ（ ）Ｉ ＋ ｌ ｝ ｌ Ｗｌ ｌ ， ）Ｉ ｒ ｌ ≤ Ｃ （ ） ＋ ｌ （ ｒ ｌ ， 一） ｆ ， ）ｌ ， 州。 ． ， ）｛ （ ；一 ）． ｆ ｛ 。 ｚ ， ）
侯 长顺 ， 程 炜
（ 南 工业 大 学 理 学 院 ， 南 郑 州 ４ ０５ ） 河 河 ５ ０２
摘 要 ： 论 了一 类 Ｂ ｕｓ ｅｑ型 方 程 “ 讨 ｏｓｉ ｓ ｎ ＋Ｍ ＝ｏ （ ） ＋ （ ｔ 的 Ｃ ｕｈ … ｒ ｎ ， ，） ａｃｙ问题 ， 用 Ｆｕｉ 变换 和 压 缩映 射 利 ｏｒｒ ｅ 原 理 证 明 了局 部 广 义 解和 古典 解的 存 在 唯 一 性 ， 证 明 了整 体 广 义 解在 半 范数 意 义 下的 不 存 在 性 ． 并 关 键 词 ：ｏ ｓ ｎｓ Ｂ ｕｓ ｅｑ型方 程 ； ａｃｙ问题 ； 部 解 ； 体 解 ｉ Ｃｕｈ 局 整 中 图 分 类 号 ： １５ ２ Ｏ ７ ． 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０７— ８ ４ ２ １ ）４— ０ ６— ４ １０ ０ ３ （ ０ １ ０ ００ ０
４ ４ ＋１ Ｉ （ ，）Ｉ （ｔ ） Ｉ ・ｆ Ｉ ｇ ， （） ９
由（） （） ６ 、９ 可知 （） ５ 式成立 ， 引理得证．
对 ， ＞０ ∈ ， ∈ 日 ， 义 （ ， ）＝ ｛ ∈ Ｃ ［ ， ］ ） （ ０ ＝ ， （ ０ ＝ ， Ｔ ， 定 Ｔ ＷＩ （ ０ Ｔ ； ， ， ） ， ）
的初 边值 问题 ， 在假 设 ｆ∈Ｈ。 ［ ， ］ ［ ， ］ 且 ０ ｔ ， １ ｔ （０ Ｔ ； ０ １ ） ，）＝ （ ，）＝０和 ｏ ∈Ｒ ， （）下有 界 ， ｒ（ ） ｒ ｓ ｏ ｓ 满
足局 部 Ｌｐｃ ｉ 条 件且 ”０ ＝０的情 况下 ， ｉｓｈｔ ｚ （） 证明了整体广义解 “∈Ｃ ［ ， 。 ； ［ ，］ ’ ［ ，＋∞ ； （ ０ ＋ｏ 日‘０ １ ）ｎ Ｃ （ ０ ） ） 日 ［ １ ）ｎ ｃ （ ０， 。０， ］ 。 ［ ＋∞） ［ ， ］ ； ０ １ ）的存在 唯一性 ， 给 出了解爆 破 的充分条 件 ． 问题 的物理 意 义详见 文 并 该
充分 小 的 ， ｓ映射 （ ， ）到 （ ， Ｍ ）．
证 明 对 ， ＞０和 ∈ Ｘ（ Ｔ 由引理 ３得 Ｔ Ｍ， ），
一
『 ≤ Ｉ ｌ ＋ ｌｌ ＋ （ｔ ） ｌｒ Ｗ ＋ 。 ）１ 一 ｒ Ｉ Ｍ １ ｌ ｆＩ ２２ ＋１ Ｊ ｝ （ ） ， Ｉ ： ． １ ｏ ｒ ｄ
Ｃ （１ ）是 与 ｌ ｝ 有关 的常数 ． 。 ｌ ｌ Ｉ ｕ Ｉ “ｌ
引理 ２
设 ｆ Ｅ Ｃ 卜。Ｒ） ｓ １． Ｍ ∈Ｈ ， ｌ （ ）一 （ ， ≥ 若 ， 则 ｌ ｕ ，
）ｌ ≤ Ｃ （１ ） Ｉ ｌ ， ｌ ： １ Ｉ Ｉ １ ｕ ｕ一 Ｉ 其
ｃ ［ ， ］ ）， （０Ｔ ； 且
，ｔ
ｌ ≤ ｌ ｝ ＋ Ｉ ｌ ＋ （ｔ ）Ｊ Ｉ （，）ｌ 一 ｒ０≤ ｆ Ｔ． Ｉｌ Ｍ ｝ ｔＩ ｝ ２ ２ ＋１ Ｉ ・ｒ ｌ ｚ ， ｇ ｄ ≤
证 明 易 知
＝
（） ５
）（） １ ｉ ）古 ）（ 一 ｃ ＋ （ ｎ ＋ ｓ ０２ ）（ ｓｔ ｓ ｉ ｎ
０ 引 言
有 多种 方法得 到 了 Ｂ ｕｓ ｅｑ型方程 ｎ … （ ） 的精 确孤 立子解 ， 于它们 的初边 值 问题或 初 ｏ ｓｉ ｓ ｎ ＋ ＝ ｕ 对 值 问题 ， 近也 有一 些结果 … ． 最 文献 ［ ］ 点研究 了方 程 １重
“ ＋ｕ ＝ｏ （ ） ＋ ，） ｒ “ ／ ｔ
中 Ｃ （１ Ｉ Ｉ ）为依 赖 于 ｌ 的常数 ． “Ｉ Ｉ ｌｌ ｕ
２ 问题 （ ） （ ） １ 。 ２ 的局部 解的存在 唯 一性
首先 考虑线 性 问题
Ｍ“ ＋ Ｍ…
＝ｇ ，） Ｅ Ｒ， （ ｔ ， ｔ＞０，
（） ３ （） ４
“ ， ）＝ （ ， ０ ＝Ｉ（ ， ∈ Ｒ （ ０ ） “（ ） ） ，
（１ １）
（ ２ １） （ ３ １）
由（ １ 和 （ ２ 可得 １ ） １）
Ｉ ≤ Ｉ Ｉ 。 Ｉ Ｉ ＋２ ２ ＋１ （ １ Ｍ） ＋ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ｕ Ｉ Ｉ ＋ Ｉ Ｉ （ ） Ｃ（ Ｍ Ｉ
如果 和 满足
≥ ｍ ｘ ２ ｌ ｌ ＋ ｌ ｌ ］ Ｉ （ ）ｌ ， 一） ａ ｛ ［１ ｌ ｌ ｌ ，Ｉ ， ｌ ， 州。 ｝，
（ ４ １）
Ｔ ｉ｛， （ ） ， ≤ｍｎ１ Ｃ（ 去 ） ｝
则 （ １ 的右端不 超过 ， 以 ｌ Ｓ ） ￡ ｌ ≤ Ｍ， Ｍ ， １） 所 ｌ ｗ （）ｌ （ ＶＷ Ｅ Ｘ（ ）．
（５ １）
引理 ｓ 假设 引理 ４的条 件成立 ， 当 Ｍ充 分大 和 相对 于 Ｍ充 分小 时 ， 则 ｓ映 ｘ Ｍ， （ ）到 （ ） Ｍ， 是严
／ｔ ．
由引理 ３知
ｌ ｆ ≤２ ２ ＋１ ｌ － ） 一 （ ） ｆ 一 ． Ｉ （ ｔ ）Ｊ ｌ （ ２ ｆ ｚ７ ｏ ｄ －
（６ １）
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然 科 学 版 ）
由 Ｓ ｂｌ ｏ ｏ ｖ嵌入 定理 和引理 ２ 得 ｅ ，
ｍａ Ｉ ・ｔ ｝ ≤ Ｍ｝， 义 ｘ（ Ｔ ｘ １ Ｗ（ ，）ｌ 定 Ｍ， ）中 的距 离 为 ｄ Ｗ， ＝ ｍａ １ 一面 Ｉ （ ） ｘＩ Ｗ １
０《 Ｉ ｒ 《 一 ０《 “《ｒ
ＶＷ， ∈ Ｘ（ Ｔ 对 面 Ｍ， ）．
埘∈ （ Ｔ Ｍ， ）和 ∈ Ｃ （ 。 Ｒ）， 虑线性 方 程 考 ｕ ＋Ｍ … ＝ （ ＋ Ｗ） ，）， ｔ （ ０ １）
献 ［ ］ 引的文 献． 对该方 程 的初值 问题 的研 究 尚未见 到 ， 文在 上 述 文献 的基础 上 ， 究 （ ） （ ） １所 而 本 研 １ ， ２ 的初
值 问题 ： ｕ ＋ １ １ ， ＝ （ ＋ ） ，） Ｅ Ｒ， ｔ ， ｔ＞０ ， （） １
源自文库
ｕ ， ） ＝ （ ， （ ０ ＝ （ ， ∈ Ｒ ， （ ０ ） ， ） ）
（） ２
其 中 （ ｔ ，）是未 知 函数 ， ｒｓ ｏ（ ）是 给定 的非线 性 函数 ， （ ｔ ， ，）为 给定 的 函数 ， （ ， ）是 已知 的初 始 函 ） （
数， 下标 和 ｔ 分别 表示 对 和 ｔ 的导数 ．本 文采 用 以下记 号和 概念 ， 记 为通常 的 Ｒ 上所 有 Ｐ次 可积 函数
，
（ １
）
＋
。
（ １
）
，
ｒ ≤１ ｆＩ （＋ 宫 ｒ ＋ 』ｌ （＋。－ ， ≤４ ｔ＋ ） １ ）ｇ（ ｄ ≤ ） ６ｆ 《１ １ ） ， ４Ｉ 刘 １ ）ｇ（ｒ ｔＩ （ ） ， ） ２ （ １Ｊ（＋ ， ， ４ － ） ２ ｄ Ｒ
ＩＪ｝ ｌ 中 ∈Ｒ，是单位算子 ， （ ｔ 是 （ ｔ 关于 的 Ｆｕｉ 变换． Ｊ Ｊ 如， 其 ， ， ） ， ） ｏｒ ｒ ｅ
引理 １ 设 ｆ∈ Ｃ 卜 （ ， ０ Ｒ） ）＝０ ｓ １则对 于 ｕ∈Ｈ 有 ｌ （ Ｉ ≤ Ｃ （１ ）Ｉ ｌ ， 中 ，≥ ， ， ｌ ）ｌ ， 。 Ｉ ｌ ｌ ｌ 其 Ｍ “ｌ
（ ６ ）
（） ７ （） ８
注意 到
Ｉ １＋ ） （ ｃ ｓ ｔ ｌ≤ ｌ ｌ ， ｌ（ ÷ ） ｏ （ ）ｌ ｌ ｌ
ｌ１ ）去 （ ｓ（ ｌ ｔ ｌ ， ｌ ＋ ÷ ｉ ｌ ｌ （ ｃ ）ｎ ） ≤ ｌ ｌ
ｌ １＋ ｌ（ （ ）ｉ（ ｔ 扣 ｓ ｎ ）ｌ ≤ Ｊ
第 ４期
侯 长顺 等 ：ｏｓｉｅｑ型 方 程 初 值 问题 局 部 解 的存 在 性 和 整 体 解 的 不 存在 性 Ｂ ｕｓ ｓ ｎ
７
引理 ３ 设 ∈ ， ∈ Ｈ ｇ ∈ （ ， ； ）Ｓ∈ Ｒ， 砂 ， ０ Ｔ Ｈ ， ｔ＞ ０， 则线 性 问 题 （ ） （ 有 唯 一 的解 Ｍ ∈ ３ ，４）