运输问题的数学模型详细讲解,有案例+多种方法

问应如何调运，可使得总运输费最小?
1、确定初始方案
即初始基本可行解的确定，与一般线性规划 问题不同，产销平衡运输问题总是存在可行解。 确定初始基本可行解的方法很多，一般希望方 法是既简便，又尽可能接近最优解。下面介绍两种 方法：最小元素法，西北角法、 Vogel 法
（1）最小元素法
最小元素法的基本思想是优先满足单位运价最小的 供销业务。 首先找出运价最小的，并以最大限度满足其供销量 为原则确定供销业务。同样的方法反复进行直到确定了所 有的供销业务，得到一个完整的调运方案即初始基本可行
该系数矩阵中每列只有两个元素为1，其余的都为零。
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含有一个平衡关系 式 ） ai b j 所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量为m+n-1个。
二、图上作业法
在运输中，若使用同一种运输工具，则运费的 计算往往仅与运送物资的多少及里程有关。因 此，在求最佳的运输方案时，用吨公里作为度 量的标准比用运费作为度量标准更加方便、实 用。 在求解最佳运输方案时，用吨公里作为度量单 位，还可以在已经画出的交通图上进行，操作 起来较为简单、方便、直观、快捷。 在铁路、公路等交通部门经常使用这种方法决 策最优运输问题，这种方法被称为图上作业法。
2 4 6 4 B4
（2）
B5
4 2
8 B3
（8）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步：补上丢掉的边，检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2，有迂回，所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
解为止。
方案表 销
运价表
产
A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
产量
7 4
B1
3 1 7
B2
11 9
B3 3
2 2 10
B4
10 8 5
4 3 6
3 6 5
3
1 3
6
9
4
需求
20
B1 A1
B2
B3 4
B4 3
以此，得到一初始方案：
1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯形表太大；
2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0，会使问题 更加复杂。
以上两个原因使得我们不得不利用运输问题的 特点设计出它的特殊解法——表上作业法。
二、表上作业法
表上作业法，实质上还是单纯形法。其步骤如下： 1.确定一个初始可行调运方案。可以通过最小元素法、 西北角法、Vogel 法来完成； 2.检验当前可行方案是否最优，常用的方法有闭回路法 和位势法，用这两种方法计算出检验数，从而判别方 案是否最优； 3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方案，常采用闭 回路法。
【例2】求最优调运方案
5 7 4 2 4 B2 3 7 A1 6
B1
A3 3 6 4 B4
2 4
B5
8 B3 5 8 A2
4
图 4-9
解题步骤：
第一步：变有圈为无圈。 方法：“丢边破圈”。即丢掉一条边，破 去一个圈。 注意：丢边时，往往是丢掉圈中长度最大 的边。如图所示
第一步： “丢边破圈”
作出一个无对流的初始可行方案； 检验有无迂回 若无，结束； ������ 否则，调整，直到最优。
三、图上作业法的求解过程
1、无圈的交通图 2、有圈的交通图
方法：供需归邻站
1、交通图无圈情形
【例1】求最优调运方案
B1 3
A1
2 4
6 B3
8 A3
5 A4
1 A5
4 B4
（1）不合理的现象1：对流
（1）对流：所谓对流就是在一段线路上 有同一种物资出现相对运输现象（往返运 输）（同一段线路上，两各方向都有流 向），如图4-4。 甲乙两地是一种对流现象。如果把流向图 改成图4-5，就可以避免对流现象，从而 可以节约运输量20×10=200(吨公里)。
(20) 甲 20 (10)
B5
4 2
（2）
8 B3
（6）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-11
第五步：对新方案进行检验。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈 长 = 4+5=9<21/2 ， 外 圈 长 = 8<21/2.内圈、外圈的长度均不超过圈长 的一半，所以该圈不存在迂回。 圈 A3B1B2A1B3B4 的 圈 长 =7+2+3+6+4+3=25, 内 圈 长 = 2+3+6+3=14>25/2，有迂回，所以流 向图不是最优流向图。需要调整。
例3
某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个销
地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地 运往各销地每件物品的运费如下表3-4所示
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9 20（产销平 衡）
（一）编制交通图和流向图
• 交通图
• 反映发点（产地）与收地（销地）及交通线路及其 距离组成的图形。
• 发点用“○”表示，发出货物的数量记在“○”之 内（单位：吨） • 收地（销地）用“□”表示，收取货物的数量记在 “□”之内（单位：吨） • 两点之间的线路长度记在交通线路的旁边。
1、交通图
1、交通图
单位运价表
销地 产地 A1 A2 ┇ Am 销量
B1 c11 c21 ┇ cm1 b1
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n ┇ ┇ ┇
产量 a1 a2 ┇ am
cm2 … cmn b2 … bn
分两种情况来讨论：
（1）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
。即运输问题的总产量等于其总
(10) 甲 20
(20) 10 乙
10
10
10
乙
(10)
图 5-3
图 5-4
（2）不合理的现象2：迂回
（2）迂回：当收点与发点之间的运输线 路有两条或两条以上时（即交通图成圈）， 如果运送的货物不是走最短线路，则称这 种运输为迂回运输。 注：当交通图成圈时，如果流向图中内圈 流向的总长（简称内圈长）或外圈流向的 总长（简称外圈长）超过整个圈长的一半 就称为迂回运输。例如某物资流向图如图 4-6、4-7所示。
运输问题的数学模型
本节主要内容:
一、
运输问题及其数学模型
二、 图上作业法
三、 表上作业法ห้องสมุดไป่ตู้
一、图上作业法
一、 运输问题及其数学模型
问题的提出:
在经济建设中，经常碰到物资调拨中的运输问题。 例如 煤、钢材、粮食、木材等物资，在全国都有若干 生产基地，分别将这些物资调到各消费基地去，应如 何制定调运方案，使总的运输费用最少？
销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。 （2）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
。即运输问题的总产量不等于总
销量，这样的运输问题称为产销不平衡的运输问题。
2、运输问题的数学模型
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下， 要求得总运费最小的调运方案，数学模型为：
m in z cij x ij
第四步：对方案进行调整。 方法：找出有迂回圈的流量最小的边（去 掉的边除外），改此边为丢掉的边（边 B5B4 ） ， 并 补 上 原 来 丢 掉 的 边 （ 边 B5A2），得到新的交通图。在此交通图上 做新的流向图。
第四步：调整方案
5 7
B1
（4） （1）
A3 3
（5）
2 4 6 4 B4
2、流向图
2、流向图
含有圈的流向图的补充规定
顺时针方向的流向必须画在圈的内侧，称 为内圈流向 逆时针方向的流向必须画在圈的外侧，称 为外圈流向
内圈流向、外圈流向举例
6
6 （4） 4 4 4 2 2 图：5-1 （4） 图：5-2 4
（二）对流向图的检验
在物资运输中，把某种物资从各发点调到 各收点的调运方案是很多的，但我们的目 的是找出吨—公里数是最小的调运方案。 这就要注意在调运中不要发生对物流运输 和迂回运输，因此，我们在制定流向图时， 就要避免它的出现。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完，每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边，加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外，任何点都可以流进和流出
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
第六步：对方案进行调整。 方法：找出有迂回圈的流量最小的边（去 掉的边除外），改此边为丢掉的边（边 A1B3 ） ， 并 补 上 原 来 丢 掉 的 边 （ 边 B1A3），得到新的交通图。在此交通图上 做新的流向图。
第六步：调整方案
5 7 （1）
B1
（3） （2）
A3 3
（4）
2 4 6 4 B4
i 1 j 1 m n
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
迂回运输的判断
6
6 （4） 4 4 4 2 2 图：5-5 （4） 图：5-6 4
显然：图5-5为迂回运输
（3）、正规（最优）流向图
正规（最优）流向图：一个最优的调运方 案，它的流向图必是无对流、无迂回的流 向图，称这种流向图为正规流向图。 物资调运的图上作业法就是寻找一个无对 流、无迂回的正规流向图。 步骤如下：
A2
B2
7
案例分析
口诀：抓各端，各端供需归邻站 即：先满足端点的要求，逐步向中间逼近， 直至收点与发点得到全部满足为止。
B1 3
（3） （4） （10） （2） （3） （4）
A1
（3）
2 4
6 B3
8 A3
5 A4
1 A5
4 B4
A2
（7）
B2
7 图 4-8
练一练
答案
2、交通图有圈情形
B5
4 2
（2）
8 B3
（6）
4
B2
（7）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-12
可验证：此方案中无迂回现象。即为最优方 案。 发 收 A1 A2 B1 B2 B3 3 4 4 2 2 B4 B5 发货 量 7 8
A3
收货 量
1
4 4 4
4
6 2
5
练一练
答案
二、 表上作业法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用线性规划 法中的单纯形法来解决。但是：
5 7
B1
A3 3 6 4 B4
2 4
B5
4 2
8 B3 5 8 A2
4
B2 3 7 A1 6
4
第二步：在无圈的交通图上作流向图。 原则：先外后内，先端点后中间点， 要求每个边都有流向。当某条边无流 向时，必须填上运输量为零的虚流向。
第二步：作流向图
5 7
B1
（4） （3）
A3 3
（5）
i 1 j 1
将约束方程式展开可得
a1 x11 x1n x21 x2 n a2 xm1 xmn am x21 xm1 b1 x11 x12 x22 xm 2 b2 x1n x2 n xmn bn
1、运输问题的一般提法
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为 ai (i 1,2,, m) ；销地Bj的销 量 bj ( j 1,2,, n)。从第i个产地向第j个销地运输每单位物资 的运价为Cij。 这就是由多个产地供应多个销地的单品种物资运输问
题。问如何调运这些物资才能使总运费达到最小。