中考数学 第8讲 分式方程及其应用1
2015年北京中考数学总复习课件(第8课时_分式方程)
分式方程
第8课时┃ 分式方程
考 点 聚 焦
考点1 分式方程
未知数
0
0
0
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第8课时┃ 分式方程
考点2 分式方程的解法
最简公分母
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第8课时┃ 分式方程
考点3 分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题不同的是： 要双重检验，先检验求出来的解是否为原方程的解，再 检验是否符合题意．
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第8课时┃ 分式方程
解：设新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费 为 x 元，则燃油汽车每行驶 1 千米所需的油费为(x＋0.54) 108 27 元，由题意可得 ＝ ，解得 x＝0.18.经检验 x＝0.18 x＋0.54 x 是原方程的解，且符合实际． 答：新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费为 0.18 元．
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第8课时┃ 分式方程
方法点析
列方程解应用题的关键是在读懂题意的基础 上寻找相等关系，通过设未知数，用含未知数的 代数式表示出相关数量， 由相等关系列出方程． 对 于列分式方程解应用题，一定要注意检验，检验 要考虑两方面： 一是方程的解是否是原方程的解， 二是方程的解是否符合题意．
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变式题
1 4 [2014· 黔西南州] 解方程： ＝ . x－2 x2－4
解：去分母，得 x＋2＝4，x＝2.把 x＝2 代入 x2－4，x2－4＝0，所以原方程无解．
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第8课时┃ 分式方程
方法点析
转化思想——化分式为整式 解分式方程的过程体现了转化思想的具体应用，我们通常采用去分母的方法，把相对 复杂的分式方程转化为较为简单的整式方程(一元一次方程)，从而达到把新知识转化为旧 知识、把新问题转化为已经解决的旧问题的目的．由于去分母时，不知道方程两边所乘的 整式是否等于 0，所以这个步骤不一定符合等式的基本性质，可能产生增根．因此，检验 是解分式方程必不可少的步骤，只需把解代入去分母时两边所乘的整式，看其是否为 0.
第8讲 分式方程及其应用
第8讲 分式方程及其应用
第8讲 │ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 分式方程及相关概念
含有未知数
第8讲 │ 考点随堂练
1.下列方程中是分式方程的是 A ) 下列方程中是分式方程的是( 下列方程中是分式方程的是 x π 1 1 1 A.π＝x B.2x－3y＝5 － ＝ x＋1 x－1 ＋ － x x x C.π＝3＋2 D. 3 － 2 ＝－ ＝－1
[解析 解方程，在方程的两边同时乘 －4，得x－1＝m， 解析]解方程 在方程的两边同时乘x－ ， 解析 解方程， － ＝ ， 所以x＝ ＋ ，方程有增根， 所以 ＝m＋1，方程有增根，则(m＋1)－4＝0，m＝3. ＋ － ＝ ， ＝
第8讲 │ 考点随堂练
5．解方程： ．解方程： 1 2 12 . － ＝ x＋3 3－x x2－9 ＋ －
[解析 小群每分钟跳 ＋20)下， 相等关系是：小林跳了 解析] 小群每分钟跳(x＋ 下 相等关系是：小林跳了90 解析 下与小群跳了120下所用时间相同． 下所用时间相同． 下与小群跳了 下所用时间相同
第8讲 │ 考点随堂练
7．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上 ．近年来，由于受国际石油市场的影响， 下面是小明与爸爸的对话： 涨．下面是小明与爸爸的对话： 小明： 爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊 月份的汽油价格上涨了不少啊！ 小明：“爸爸，听说今年 月份的汽油价格上涨了不少啊！” 爸爸： 是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年 月份的1.6 月份每升汽油的价格是去年5月份的 爸爸：“是啊，今年 月份每升汽油的价格是去年 月份的 150元给汽车加的油量比去年少 元给汽车加的油量比去年少18.75升 倍，用150元给汽车加的油量比去年少18.75升．” 小明： 今年5月份每升汽油的价格是多少呢 月份每升汽油的价格是多少呢？ 小明：“今年 月份每升汽油的价格是多少呢？” 聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽 聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年 月份每升汽 油的价格． 油的价格．
最新【四川版】中考数学总复习第8节：分式方程及应用试题
第8节 分式方程及应用一、选择题1．(2016·海南)解分式方程1x －1＋1＝0，正确的结果是( A ) A ．x ＝0 B ．x ＝1C ．x ＝2D ．无解2．(2015·齐齐哈尔)关于x 的分式方程5x ＝a x －2有解，则字母a 的取值范围是( D ) A ．a ＝5或a ＝0 B ．a ≠0C ．a ≠5D ．a ≠5且a ≠03．若关于x 的分式方程1x －1＝2m x 2－1有增根，则m 的值为( C ) A ．0 B ．1C ．1或0D ．1或－14．(2017·攀枝花预测)某加工车间共有26名工人，现要加工2100个A 零件，1200个B 零件，已知每人每天加工A 零件30个或B 零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)？设安排x 人加工A 零件，由题意列方程得( A )A.210030x ＝120020（26－x ）B.2100x ＝120026－xC.210020x ＝120030（26－x ）D.2100x ×30＝120026－x×20 5．(导学号 14952287)(2016·贺州)若关于x 的分式方程2x －a x －2＝12的解为非负数，则a 的取值范围是( C )A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥1且a ≠4D ．a ＞1且a ≠46．(导学号 14952288)(2015·河北)如图是石家庄某小区高层住户2014年的取暖费统计表，小宇家住1201(12楼)室，小鹏家住3301(33楼)室，小宇家和小鹏家的面积是一样的，该小区对28楼以上的住户的取暖费有优惠政策，在实施该政策以后，小宇发现小鹏家平均每平方米的取暖费比他家的少4.4元，则小宇家每平方米的取暖费为( B )A.21元 B ．22元C ．23元D ．24元二、填空题 7．(2016·无锡)分式方程4x ＝3x －1的解是__x ＝4__． 8．(2016·盐城)当x ＝__1__时，分式x －13x ＋2的值为0. 9．(导学号 14952289)若关于x 的分式方程x －a x －1－3x＝1无解，则a ＝__1或－2__． 10．(导学号 14952290)(2017·雅安预测)某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x 个物件，根据题意列出的方程是__60x ＋8＝45x__． 三、解答题11．解方程：(1)(2016·连云港)2x －11＋x＝0； 解：x ＝－2(2)(2016·乐山)1x －2－3＝x －12－x. 解：x ＝312．(导学号 14952291)(2016·邯郸)定义新运算：对于任意实数a ，b(其中a≠0)，都有a b ＝1a－a －b a，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：21＝12－2－12＝0. (1)求54的值； (2)若x 2＝1(其中x≠0)，求x 的值是多少？解：(1)根据题意得：54＝15－5－45＝0 (2)∵x 2＝1，∴1x －x －2x＝1，在方程两边同乘x 得：1－(x －2)＝x ，解得：x ＝32，检验：当x ＝32时，x ≠0，∴分式方程的解为：x ＝3213．(2016·威海)某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．解：设乙班的达标率是x ，则甲班的达标率为(x ＋6%)，依题意得：48x ＋6%＝45x， 解得x ＝0.9，经检验，x ＝0.9是所列方程的根，且符合题意．答：乙班的达标率为90%14．(导学号 14952292)(2017·巴中预测)已知关于x 的方程m －1x －1－x x －1＝0无解，方程x 2＋kx ＋6＝0的一个根是m.(1)求m 和k 的值；(2)求方程x 2＋kx ＋6＝0的另一个根．解：(1)∵关于x 的方程m －1x －1－x x －1＝0无解，∴x －1＝0，解得x ＝1，方程去分母得：m －1－x ＝0，把x ＝1代入m －1－x ＝0得：m ＝2.把m ＝2代入方程x 2＋kx ＋6＝0得：4＋2k ＋6＝0，解得：k ＝－5 (2)∵方程x 2－5x ＋6＝0，(x －2)(x －3)＝0，∴x 1＝2，x 2＝3，∴方程的另一个根为315．(导学号 14952293)(2017·遂宁预测)“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的13，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？解：(1)设乙队单独施工，需要x 天才能完成该项工程，∵甲队单独施工30天完成该项工程的13，∴甲队单独施工90天完成该项工程，根据题意可得：13＋15(190＋1x)＝1，解得：x ＝30，经检验x ＝30是原分式方程的根，答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程 (2)设乙队参与施工y 天才能完成该项工程，根据题意可得：190×36＋y×130≥1，解得：y≥18，答：乙队至少施工18天才能完成该项工程。
分式方程的经典应用题 中考
分式方程的经典应用题中考一、分式方程应用题在中考中的重要性同学们，分式方程的应用题在中考里那可是相当重要的一块啊。
你们想啊，就好比是一场冒险游戏里的关键关卡。
分式方程应用题把数学知识和实际生活的场景结合起来，就像把数学知识变成了一个个有血有肉的故事。
比如说工程问题，这就像咱们盖房子。
假如有一个工程队要盖一栋楼，已知一些工人干活的效率是用分式来表示的，然后告诉我们工程总量，让我们求干活的时间或者人数啥的。
这就像是在生活里安排工作一样，你得知道每个人能干多少，总共要干多少，才能算出需要多少人或者多久能完成。
还有行程问题，就像大家出门旅行。
一辆车的速度可能是分式形式的，路程也给你了，然后要你求时间。
这就和我们实际坐车出去玩，想知道多久能到目的地是一个道理。
1. 工程问题的分式方程应用题咱们先来看个简单的例子。
一个工程，甲单独做需要x天完成，乙单独做需要y天完成，现在甲先做了a天，然后甲乙一起做b天完成了工程。
那我们可以设工程总量为1。
甲的工作效率就是1/x，乙的工作效率就是1/y。
甲先做a天的工作量就是a/x，甲乙一起做b天的工作量就是b(1/x + 1/y)，那么方程就是a/x + b(1/x+1/y)=1。
这种题的关键就是要找对工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。
就像我们生活里，你要是安排打扫房间，你得知道每个人打扫的速度，打扫的时间，才能算出能不能把房间打扫干净。
2. 行程问题的分式方程应用题再比如说，一辆汽车从A地到B地，去的时候速度是v1千米/小时，回来的时候速度是v2千米/小时，已知A地到B地的距离是s千米，往返一共用了t小时。
那根据时间 = 路程÷速度，去的时间就是s/v1，回的时间就是s/v2，方程就是s/v1 + s/v2 = t。
这就好比我们从学校回家，再从家回学校，不同的速度下，我们可以算出总的时间。
这里的关键就是要分清楚去程和回程的速度、路程和时间的关系。
二、解分式方程应用题的步骤同学们，解分式方程应用题啊，可不是瞎蒙的。
【精品教学课件】2020(新增6页)教版中考数学复习解题指导：第8讲 分式方程及其应用_6-10
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第8讲┃ 归类示例
解：(1)设甲公司单独完成此项工程需 x 天，则乙公司单独完成此项工 程需 1.5x 天．
根据题意，得1x＋1.15x＝112，
解得 x＝20， 经检验知 x＝20 是方程的解且符合题意． 1．5x＝30， 故甲、乙两公司单独完成此项工程，各需 20 天、30 天． (2)设甲公司每天的施工费为 y 元，则乙公司每天的施工费为(y－1500) 元，
例3 [2012·泰安 ]一项工程，甲、乙两公司合做，12天可 以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单 独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙 公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． (1)甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ (2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费 较少？
2 即2－k＝2， 解得 k＝1.
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1
第8讲┃ 归类示例
► 类型之二 分式方程的解法
命题角度：
1．去分母法；
2．换元法 ． 例2 解方程：x2－4 1＋x1＋－2x＝－1.
解：方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得 4－(x＋1)(x＋2)＝－(x2－1)，
整理，得 3x＝1，解得 x＝13.
第8讲┃ 归类示例
[解析] ∵分式方程 2＋1x－－k2x＝2－1 x有增根， 去分母，得 2(x－2)＋1－kx＝－1， 整理得(2－k)x＝2， 当 2－k≠0 时，x＝2－2 k； 当 2－k＝0 时，此方程无解，即此解不符合要求． ∵分式方程 2＋1x－－k2x＝2－1 x有增根， ∴x－2＝0，2－x＝0， 解得 x＝2，
经检验，x＝13是原方程的解．
故原讲┃ 归类示例
2013年中考数学专题复习第8讲：一元二次方程及应用(含答案)
2013年中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最 方程2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果aX 2 =b 则X 2 = X 1= X 2=2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数 2、移项：把 项移到方程的 边3、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程aX 2 +bx +c =0(a ±0) 满足b 2－4ac ≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A .B =0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 从而方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】三、一元二次方程根的判别式关于X 的一元二次方程aX 2 +bx +c =0(a ±0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示 ①当 时，方程有两个不等的实数根 ②当 时，方程看两个相等的实数根 ③当 时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】方程有两个实数跟，则一、 一元二次方程根与系数的关系：关于X 的一元二次方程aX 2 +bx +c =0(a ±0)有两个根分别为X 1X 2则X 1+X 2 = X 2 =二、 一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行 常见题型1、 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa （1+X ）2=b2、 利润问题：总利润= X 或利润 —3、 几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等） 例1 （2012•兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．x 2+21x=0 B ．ax 2+bx +c =0 C ．（x －1）（x +2）=1 D ．3x 2－2xy －5y 2=0 思路分析：一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 解：A 、原方程为分式方程；故本选项错误；B 、当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C 、由原方程，得x 2+x －3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；D 、方程3x 2－2xy －5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误． 故选C ．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．对应训练1．（2012•惠山区）一元二次方程（a+1）x2－ax+a2－1=0的一个根为0，则a= ．解：∵一元二次方程（a+1）x2－ax+a2－1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2－1=0，∴a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．考点二：一元二次方程的解法例2 （2012•安徽）解方程：x2－2x=2x+1．思路分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：∵x2－2x=2x+1，∴x2－4x=1，∴x2－4x+4=1+4，（x－2）2=5，∴x－2=±5，∴x1=2+5，x2=2－5．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例3 （2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定思路分析：将已知的方程x2－10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．解：x2－10x+21=0，因式分解得：（x－3）（x－7）=0，解得：x1=3，x2=7，∵三角形的第三边是x2－10x+21=0的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7．故选A点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．对应训练2．（2012•台湾）若一元二次方程式x2－2x－3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a－b之值为何？（）A．－57 B．63 C．179 D．181解：x2－2x－3599=0，移项得：x2－2x=3599，x2－2x+1=3599+1，即（x－1）2=3600，x－1=60，x－1=－60，解得：x=61，x=－59，∵一元二次方程式x2－2x－3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=－59，∴2a－b=2×61－（－59）=181，故选D．3．（2012•南充）方程x（x－2）+x－2=0的解是（）A．2 B．－2，1 C．－1 D．2，－1答案：D考点三：根的判别式的运用例3 （2012•襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2－21k x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜12B．k＜12且k≠0 C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠0思路分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1－4k＞0，∴－12≤k＜12且k≠0．故选D．点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2－4ac．一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．例4 （2012•绵阳）已知关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．思路分析：（1）根据关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算．解：（1）证明：∵△=（m+2）2－4（2m－1）=（m－2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12－1×（m+2）+（2m－1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；该直角三角形的周长为1+3+10=4+10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的周长为1+3+210=4+210．点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．对应训练3．（2012•桂林）关于x的方程x2－2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1答案：A．4．（2012•珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=－3时，求方程的根．解：（1）∵当m=3时，△=b2－4ac=22－4×3=－8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=－3时，原方程变为x2+2x－3=0，∵（x－1）（x+3）=0，∴x－1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=－3．考点四：一元二次方程的应用例5 （2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）思路分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2，即可得出答案；（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28－[27－0.1（x－1）]=（0.1x+0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x－120=0，解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=6，当x＞10时，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x－120=0，解这个方程，得x1=－24（不合题意，舍去），x2=5，因为5＜10，所以x2=5舍去，答：需要售出6部汽车．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．对应训练5．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．5．解（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得5（1－x）2=3.2．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k－2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞43且k≠2B．k≥43且k≠2C．k＞34且k≠2D．k≥34且k≠2解：∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2－4（k－2）2＞0，∴（2k+1－2k+4）（2k+1+2k－4）＞0，∴5（4k－3）＞0，k＞34，故k＞34且k≠2．故选C．3．（2012•潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32 B．126 C．135 D．144解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=－24，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选：D．5．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠2B．k≥且k≠2C．k＞且k≠2D．k≥且k≠2考点：根的判别式；一元二次方程的定义。
2023年中考数学----《分式方程之分式方程的应用》知识总结与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学----《分式方程之分式方程的应用》知识总结与专项练习题（含答案解析）知识总结1. 列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程：根据等量关系与未知数列出分式方程。
④解方程——按照解分式方程的步骤解方程。
④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。
练习题1、（2022•内蒙古）某班学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为x km /h ，下列方程正确的是（ ）A ．2021010=−x x B ．2010210=−x x C ．3110210=−x xD ．3121010=−x x【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为2xkm /h ，利用时间＝路程÷速度，结合汽车比骑车学生少用20min ，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解答】解：∵骑车学生的速度为xkm /h ，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍， ∴汽车的速度为2xkm /h ． 依题意得：﹣＝，即﹣＝．2、（2022•淄博）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x 元，则下列方程中正确的是（ ）A ．()10%1512000020000−−⨯=x x B ．()x x %151200*********−⨯=− C ．()10%1512000020000+−⨯=x x D ．()xx %151200*********−⨯=+ 【分析】根据题目中的数据和两次购买的数量相同，可以列出相应的分式方程． 【解答】解：由题意可得，，故选：D ．3、（2022•阜新）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x 万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．202.13030=−x xB ．2.1203030=−−x x C ．20302.130=−xxD ．2.1302030=−−xx【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x 万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x 万人， ∴实际每天接种1.2x 万人，又∵结果提前20天完成了这项工作， ∴﹣＝20．4、（2022•襄阳）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x 天，则可列出正确的方程为（ ）A ．190023900+⨯=+x x B ．190023900+⨯=−x xC ．390021900+⨯=−x x D ．390021900−⨯=+x x 【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为（x +1）天，快马送到所需时间为（x ﹣3）天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵规定时间为x 天，∴慢马送到所需时间为（x +1）天，快马送到所需时间为（x ﹣3）天， 又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里， ∴＝2×．故选：B ．5、（2022•朝阳）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min 后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm ，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．60305.16060=−x x B ．6030605.160=−x x C ．305.16060=−xx D ．30605.160=−xx 【分析】设慢车每小时行驶xkm ，则快车每小时行驶1.5xkm ，根据基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min 后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达，列方程即可．【解答】解：设慢车每小时行驶xkm ，则快车每小时行驶1.5xkm ， 根据题意可得：﹣＝．故选：A ．6、（2022•黔西南州）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x 亩，则可以得到的方程为（ ）A ．x x 302436⨯=− B ．x x 302436⨯=+ C ．430236−⨯=x x D ．430236+⨯=x x 【分析】根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半列出方程即可． 【解答】解：根据题意得：＝2×．故选：D ．7、（2022•济宁）一辆汽车开往距出发地420km 的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km ，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm /h ，根据题意所列方程是（ ）A ．110420420+−=x x B ．10420420+=+x x C ．110420420++=x xD ．10420420−=+x x 【分析】根据提速后及原计划车速间的关系，可得出这辆汽车提速后的速度是（x +10）km /h ，利用时间＝路程÷速度，结合提速后可提前1小时到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵这辆汽车比原计划每小时多行10km ，且这辆汽车原计划的速度是xkm /h ， ∴这辆汽车提速后的速度是（x +10）km /h ． 依题意得：＝+1，故选：C ．8、（2022•辽宁）小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km 所用时间与小明骑行24km 所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km ，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm ，所列方程正确的是（ ） A ．22428+=x x B ．xx 24228=+ C ．xx 24228=− D ．22428−=x x 【分析】根据小强与小明骑行速度间的关系可得出小明每小时骑行（x ﹣2）km ，利用时间＝路程÷速度，结合小强骑行28km 所用时间与小明骑行24km 所用时间相等，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解答】解：∵小强每小时比小明多骑行2km ，小强每小时骑行xkm ， ∴小明每小时骑行（x ﹣2）km ． 依题意得：＝．故选：D ．9、（2022•恩施州）一艘轮船在静水中的速度为30km /h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km /h ，则符合题意的方程是（ ）A ．v v −=+309630144 B ．v v 9630144=− C ．vv +=−309630144 D ．vv +=3096144 【分析】根据“顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等”列分式方程即可． 【解答】解：根据题意，可得，故选：A ．10、（2022•绥化）有一个容积为24m 3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm 3，由题意列方程，正确的是（ ）A ．3041212=+x x B ．2441515=+x x C ．2423030=+xxD ．3021212=+xx【分析】设细油管的注油速度为每分钟xm 3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm 3，利用注油所需时间＝注油总量÷注油速度，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解答】解：24÷2＝12（m 3）．设细油管的注油速度为每分钟xm 3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm 3， 依题意得：+＝30．故选：A ．11、（2022•荆州）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km 和10km 的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min 到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm /h ，则依题意可列方程为（ ）A ．x x 4103136=+ B ．x x 4102036=+ C ．3141036=−x xD ．2041036=−xx【分析】根据甲、乙的速度比是3：4，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前20min 到达基地，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可知，甲的速度为3xkm /h ，则乙的速度为4xkm /h ，+＝，即+＝，故选：A．12、（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为．【分析】根据两车间工作效率间的关系，可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，∴乙车间每天加工1.5x件产品，又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，∴﹣＝3．故答案为：﹣＝3．13、（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为．【分析】根据等量关系：原来参加3000米比赛时间﹣经过一段时间训练后参加3000米比赛时间＝3分钟，依此列出方程即可求解．【解答】解：依题意有：﹣＝3．故答案为：﹣＝3．14、（2022•黑龙江）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产x个，可列方程为．【分析】根据甲车间生产500个玩具所用的时间＝乙车间生产400个玩具所用的时间，列出方程即可解答．【解答】解：设乙车间每天生产x个，则甲车间每天生产（x+10）个，由题意得：＝，故答案为：＝．15、（2022•江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．【解答】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：＝．故答案为：＝．。
【中考夺分天天练】2015年中考数学(安徽)九年级总复习课件：第8讲+分式方程及其应用(沪科版)
A．甲先做了4天
1 C．甲先做了工程的 4
B．甲、乙合做了4天
1 D．甲、乙合做了工程的 4
第8讲┃分式方程及其应用
4 x [解析 ] 由方程： ＋ ＝ 1，可知甲做了 4 天，乙做了 x 天， x x＋5 故条件③是甲乙合做了 4 天，故选 B.
第8讲┃分式方程及其应用
9．[ 2014·安庆模拟]
第8讲┃分式方程及其应用
3 x＋3 6．[ 2013·荆州四模] 解方程： － 2 ＝0. x－1 x －1
x＝0
第8讲┃分式方程及其应用
核心考点二
相关知识
分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤 1.审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
2.设
3.列 4.解
设未知数，设其中某个量为未知量，并注意单位
2
解：去分母，得 x(x －1)－4＝x －1，(2 分) 去括号，得 x －x－4 ＝x －1，(4 分) 解得 x ＝－3，(5 分 ) 经检验 x＝－3 是原方程的解．(6 分 )
2 2
第8讲┃分式方程及其应用
教你读题
1．题干要求：“解方程”．
2．观察方程的结构：注意到是分式方程 ， 第二个分式的
一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所列方程正确的是( D ) 2700 4500 A. ＝ x－20 x 2700 4500 C. ＝ x＋20 x 2700 4500 B. ＝ x x－20 2700 4500 D. ＝ x x＋20
A．1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C．1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3
中考数学复习专题8分式、分式方程及其应用试题(B卷,含解析)
分式、分式方程及其应用一、选择题1. （ 安徽，5，4分）方程3112=-+x x 的解是（ ） A.-54 B.54C.-4D.4 【答案】D.【逐步提示】先把方程两边同乘以x-1，化分式方程为整式方程，然后解这个整式，检验整式方程的解后直接选择.【详细解答】解：方程两边同乘以x-1,得2x+1=3(x-1),解得x=4,经检验m=4是原方程的解，故选择D.【解后反思】解分式方程的一般方法是把分式方程化成整式方程来解，并且一定要检验方程的根，把增根舍去.本题也可以把各选项的值代入方程找出正确的选项. 【关键词】 分式方程、分式方程的解法2. （ 甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，8，3分）某工厂现在平均每天比原计划每天多生产50台机 器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．90060050x x =+ B ．90060050x x =- C ．90060050x x =+ D ．90060050x x =-【答案】A【逐步提示】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是将题中的相等关系用含有未知数的 代数式表示，用含有x 的代数式表示现在平均每天生产的机器数量，再根据题中关于时间 的相等关系列方程即可．【详细解答】解：设原计划平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产（x +50）台机器， 现在生产800台机器所需时间可表示为90050x +，原计划生产600台机器所需时间可表示为 600x ，根据这两者时间相等，得方程90060050x x=+，故选择A ． 【解后反思】列分式方程与列整式方程一样，先分析题意，准确找出应用题中包含的等量关 系，恰当地设出未知数，列出方程． 【关键词】分式方程的应用；3. （ 甘肃省天水市，7，4分）已知分式2(1)(2)1x x x -+-的值为0．那么x 的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．1或－2【答案】B 【逐步提示】本题考查了分式的值为0的条件，求解关键是根据这个条件列出方程和不等式．本题涉及到的知识：分式有意义的条件是分母不为0；分式的值为0的条件是分子为0，且分母不为0．【详细解答】解：根据题意，得()()212010x x x ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解之得x ＝－2，故选择B ．【解后反思】实际求解中，学生易忽视分母不等于0的条件而错误地选择D ．【关键词】分式；一元二次方程的解法——因式分解法；一元二次方程的解法——直接开平方法． 4. （广东省广州市，14，3分）方程x 21=32-x 的解是 ． 【答案】x =－1【逐步提示】利用解分式方程的一般步骤直接解分式方程即得其解．【详细解答】解：去分母，得x －3=4x ．移项合并同类项，得－3x =3．∴x =－1．检验：当x =－1时，2x (x －3)=8≠0．∴x =－1是原分式方程的解．故答案为x =－1． 【解后反思】（1）解分式方程的基本思想是转化思想，即通过去分母把分式方程转化成整式方程来解．（2）解分式方程去分母时，首先要找准最简公分母，注意最简公分母要包含各分式所有分母的因式，分母是多项式的，应先分解因式，再从系数、相同字母、不同字母三个方面考虑，其中系数取最小公倍数，相同字母或因式取最高次幂，互为相反数的因式，注意通过符号变化取其中一个作为最简公分母的因式即可；其次，依据等式的基本性质，分式方程的每一项都要乘以最简公分母，特别不要漏乘没有分母的项，还要注意不要去掉括号以及避免符号变形错误．（3）解分式方程必须验根，一般方法为把所解得的未知数的值代入最简公分母，若为零则为増根，不为零则为原分式方程的解． 【关键词】解分式方程5. （贵州省毕节市，13，3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x 棵，则列出的方程为（ ）A.30300400-=x x B.x x 30030400=- C.x x 30030400=+ D.30300400+=x x 【答案】A【逐步提示】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中的等量关系．①题中的等量关系是：现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同；②现在植树400棵所需时间为：400现在每天植树棵数；原计划植树300棵所需时间为：300原计划每天植树棵数；③现在平均每天植树x 棵，原计划每天植树(x －30)棵．【详细解答】解：由题意，得方程组30300400-=x x ，故选择A. 【解后反思】本题的易错点是容易误认为x 是原计划每天植树棵数，从而误选C ．通常我们假设未知数时，一般设较小的一个量为x ，用和或倍数表示另一个量，但这并非原则和规定，设较大的量为x 也可以． 【关键词】 分式方程的应用；6.（ 河北省，4，3分）下列运算结果为x -1的是（ ）A ．11x -B ．211x x x x -⋅+C ．111x x x +÷- D ．2211x x x +++ 【答案】B【逐步提示】分别计算（或化简）每个式子，看其结果是否为x-1.【详细解答】解：1111x x x x x x--=-=，()()2111111x x x xx x x x x x +--⋅=⋅=-++，2+11+11111x x x x x x x x --÷=⋅=-，()22+1+2+11+1+1x x x x x x ==+，故运算结果为x －1的是选项B .【解后反思】分式的运算法则如下：运算法则数学表达式加减法同分母相加减：分母不变，分子相加减． a c ±b c ＝a b c±． 异分母相加减：先通分，同乘以各分母的最小公倍数，再按同分母相加减法则运算．a cb d ±=ad bcbd+． 乘法 两分式相乘：分子与分子相乘，分母与分母相乘．a c acb d bd⨯=． 除法分式A÷B 则A·1B，然后用分式乘法进行运算．a c a d adb d bc bc÷=⋅=．【关键词】 分式的乘除；分式的加减；分式的约分7. （ 河北省，12，2分）在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是（ ） A ．11538x x =- B ．11538x x =+ C ．1853x x =- D ．1853x x =+【答案】C【逐步提示】本题考查了倒数的表示及列分式方程，找到题目中的等量关系是解题的关键. 【详细解答】解：3x 、8x 的倒数分别为13x ，18x ，根据“她求得的值比正确答案小5” 可知“18x 比13x小5”，故可列方程为18x =13x－5，答案为选项C. 【解后反思】1.a （a ≠0）的倒数的1a，注意不要将其与相反数，绝对值等相混淆；2.列方程的关键是找对等量关系，如本题要弄清两个倒数的大小关系. 【关键词】 倒数；列分式方程8. （ 湖北省十堰市，7，3分）用换元法解方程31241222=---x x x x 时，设y xx =-122，则原方程可化为（ ） A. 031=--y y B.y-y 4-3=0 C.y-031=+y D.y-y4+3=0. 【答案】B【逐步提示】本题主要考查分式方程的换元方法，解题的关键是理解x x 122-和122-x x是一对互为倒数的关系；解题的思路：设y x x =-122，那么yx x 141242⨯=-. 【详细解答】解：因为y x x =-122 ，所以y x x 141242⨯=-，原方程可以变形为y-y4-3=0故选择B .【解后反思】分式方程求解的方法主要有两个，一是直接在方程的两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程来解；另一个是换元后，再转化为整式方程求解.思维拓展：换元法不仅可以解部分分式方程，也可以解部分一元高次方程或无理方程，有时因式分解也需要用到换元法. 【关键词】分式方程和无理方程; 分式方程的解法9.（湖南省衡阳市，2，3分）如果分式13-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 全体实数 B. 1≠x C. 1=x D. 1>x【答案】B【逐步提示】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是理解分式有意义的条件．第一步：根据分式有意义的条件是分母的值不等于0，列出不等式；第二步：解不等式，即可求得答案。
第8讲-分式方程
第8讲┃ 分式方程
第8讲┃ 分式方程
8． [2013· 遂宁 ] 2013 年 4 月 20 日，我省雅安市芦山县发 生了里氏 7.0 级强烈地震．某厂接到在规定时间内加工 1500 顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了 300 顶帐 篷后，厂家把工作效率提高到原来的 1.5 倍，于是提前 4 天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷．
x＋m 2 0 3．若关于 x 的方程 ＋ ＝ 2 有增根，则 m 的值是 _____． x－2 2－x
第8讲┃ 分式方程
【归纳总结】 去分母 ，把分式方程转化为 1．解分式方程的一般步骤是：① ________ 整式方程；②解这个整式方程；③________ 验根 ，把整式方程的 根代入最简公分母中，使最简公分母不为 0 的根是原方程的 根，否则为增根，增根必须舍去． 最简公 2．增根产生的原因：去分母时，将方程两边同乘以 __________ 分母 ，而整式方程的解有可能使最简公分母为 0，也即分 _______ 式方程中的分式分母为 0，这时分式无意义，故解分式方程 必须验根．
第8讲┃ 分式方程
┃考题自主训练与名师预测┃
1 3 4 1．化分式方程 2 － 2 － ＝ 0应该同乘以 ( D ) A．(4x2－4)(x2－1)(1－x) B．4(x2－1)(1－x) C．4(x2－1)(x－1) D．4(x＋1)(x－1)
第8讲┃ 分式方程
【归纳总结】
解分式方程应用题的一般步骤： ①分析题意，找________ 相等 关系； ②设未知数； ③列出分式方程； ④解这个分式方程； 检验 ； ⑤ ________ ⑥写出答案．
第8讲┃ 分式方程
┃考向互动探究与方法归纳┃
探究一 利用分式方程中根的情况求参数的取值
一元二次方程分式方程的解法及应用知识讲解(提高)含答案
1,2=0；当m＜0时，方程没有实数解．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成x2=m的形式，当m＞0时，方程的解为x=±m；当m＝0时，方程的解x（2）配方法：通过配方把一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 变形为 x + ⎪ =如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的两个根是 x 、x ，那么 x + x = - ，x ⋅ x = c ．aa⎛ ⎝ b ⎫2 b 2 - 4ac 2a ⎭ 4a 2的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（ 3 ） 公 式 法 ： 对 于 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0 ， 当 b 2 - 4ac ≥ 0 时 ， 它 的 解 为x = -b ± b 2 - 4ac 2a．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一 般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中 a ≠ 0 .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化 1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为 ∆ = b 2 - 4ac ．△>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； △＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； △<0 ⇔ 方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0 ⇔ 方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系b 121 212要点诠释：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分 解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程 a x 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已 知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代 数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．阅读材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y，那么原方程可化为y2-5y+4=0……①，解得y=1，y=4，12当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±2；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±5，故原方程的解为x=2，1x=-2，x=5，x=-5．234解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x4-x2-6=0．2【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】（1）换元法；（2）设 x 2 = y ，那么原方程可化为 y 2 - y - 6 = 0解得 y = 3 ； y = -21 2当 y = 3 时， x 2 = 3 ；∴ x = ± 3当 y = -2 时， x 2 = -2 不符合题意，舍去．所以原方程的解为 x = 3 ， x = - 3 ．1 2【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想.举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号： 405754 关联的位置名称（播放点名称）：例 3】【变式】设 m 是实数，求关于 x 的方程 x 2 - mx - 3x + m + 2 = 0 的根． 【答案】x 1=1,x 2=m+2.2．已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，ab 2求的值.(a - 2) 2 + b 2 - 4【思路点拨】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝b 2 - 4a = 0 ，可得出 a 、b 之间的关系，ab 2然后将化简后，用含 b 的代数式表示 a ，即可求出这个分式的值．(a - 2) 2 + b 2 - 4【答案与解析】∵ ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，∴⊿＝ b 2 - 4ac = 0 ，即 b 2 - 4a = 0 ．ab 2ab 2ab 2 ab 2∵ = = =(a - 2) 2 + b 2 - 4 a 2 - 4a + 4 + b 2 - 4 a 2 - 4a + b 2 a 2∵ a ≠ 0 ，∴ ab 2 b 2 =a a= 4【总结升华】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能解得，x=3+522力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．举一反三：【变式】关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根，∴(-3)2-4(-k)＞0．即4k>-9，解得，k>-9 4．（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．如果k＝－1，原方程为x2-3x+1=0．3-5，x=．12（如果k＝－2，原方程为x2-3x+2=0，解得，x=1，x=2．）12类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】把原方程右边化为【答案与解析】代入原方程求解较为简单.原方程变为经检验，【总结升华】是原方程的根.时，x 2 - 6x + 5 = -因为， ，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.举一反三：【变式 1】解方程：【答案】原方程化为方程两边通分，得化简得 解得经检验：是原方程的根.【变式 2】 解方程：7 31 4- =-x 2 - 6x - 4 x 2 - 6x + 5 x 2 - 6x + 9【答案】设k = x 2 - 6x + 5，则原方程可化为：731 4 -=-k - 9kk + 4去分母化简得：20k 2 - 147k - 1116 = 0∴(k - 12)(20k + 93) = 0∴k = 12 ，k = -9320当k = 12时，x 2 - 6x - 7 = 0(x - 7)(x + 1) = 0解之得：x = -1，x = 712当k = - 93 9320 2020x 2 - 120x + 193 = 0解此方程此方程无解.经检验：x = -1，x = 7是原分式方程的根.124．m为何值时，关于x的方程会产生增根？【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案与解析】方程两边都乘以整理，得，得【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.举一反三：【变式】当m为何值时，方程会产生增根()A.2B.－1C.3D.－3【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为【答案与解析】设规定日期为x天根据题意，得解得经检验是原方程的根答：规定日期是6天.，乙的工作效率为，工作总量为1.由题意得1000【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清ID号：405754关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，550=，2x-40x解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z＝30，④－②×，得＝，即x＝10，④－③×，得＝，即y＝15．经检验，x＝10，y＝15，z＝30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把整式方程组来解．，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为。
第8讲分式方程的增根问题答案
第8讲1．解：方程两边都乘以x -3，得2x -1= x -3，解得2x =-.2．解：方程两边都乘以x (x -1)，得4(x -1)=3x ，解得4x =.3．解：把原分式方程化为整式方程，求得这个整式方程的解是x =1或3．当x =1时，公分母x-1的值为零，故分式方程的增根为x =1.4．解：把原分式方程化为整式方程，并解得2227m x x =+-．由已知条件1x =是原分式方程的增根，故把1x =代入2227m x x =+-得3m =-.5．解：方程两边同乘以x -2，并整理得24m x =-+，当分式方程出现增根时，公分母的值必为零，故增根必为2x =，把2x =代入24m x =-+，得22m =．即m =，故答案为C .6．解：把原分式方程化为整式方程，可得2k x =。
由已知条件，原分式方程不会产生增根，则公分母210x -≠，故1, 2.x k ≠±≠±从而故答案为C .7．解：方程两边同乘(-1)(1)x x +，得2(1)0.x x --=解这个方程，得2x = 检验： 当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，所以2x =是原方程的解.8．解：方程两边同乘(1)(1)x x +-，得63(1)x =+解这个方程，得1x = 检验： 当1x =时，(1)(1)0x x +-=，所以1x =是增根，舍去.故原方程无解.9．解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母错误；步骤②去括号错误；步骤⑥之前缺少“检验”步骤.正确的解答过程如下：去分母，得1(2)x x --=，去括号，得12x x -+=，移项，得12x x --=--，合并同类项，得23x -=-，两边同除以2-，得32x =.经检验，32x=是原方程的解，∴原方程的解是32x=.10．解：化分式方程为整式方程得：(2)3a x+=，考虑到x的系数含参数，故要分两种情况讨论：（1）当20a+=，即2a=-时，方程无解，故原分式方程无解；（2）当20a+≠时，方程两边同除以2a+，得32xa=+，因为原方程无解，所以32xa==+或1.若32a=+，则无解；若312a=+，解得1a=.综上分析，21a=-或.。
(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习 第8讲 分式方程及其应用课件 华东师大版
第8讲┃ 回归教材
解：(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增 长率为x，根据题意，得： 5000(1＋x)2＝7200， 解得：x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 即年平均增长率为20%. (2)7200×(1＋20%)＝8640. 答：(1)这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长 率为20%；(2)2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人 次．
第8讲┃ 归类示例
解分式方程常见的误区： (1)忘记验根； (2)去分母时漏乘整式的项； (3)去分母时，没有注意符号的变化．
第8讲┃ 归类示例 ► 类型之三 分式方程的应用
命题角度： 1．利用分式方程解决生活实际问题； 2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
第8讲┃ 归类示例
[2012· 厦门 ] 工厂加工某种零件，经测试，单独加 工完成这种零件，甲车床需用 x 小时，乙车床需用 (x2－ 1)小 时，丙车床需用 (2x－ 2)小时． (1)单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车 2 床的 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间； 3 (2)加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效 率能否相同？请说明理由．
归类示例
► 类型之一 分式方程的概念
命题角度： 1．分式方程的概念； 2．分式方程的增根．
1－kx 1 [2012· 攀枝花 ] 若分式方程 2 ＋ ＝ 无 x－2 2－x
1或2 解，则 k＝________.
第8讲┃ 归类示例
1－ kx 1 [解析 ] ∵分式方程 2＋ ＝ 有增根， x－ 2 2－ x 去分母得 2(x－ 2)＋ 1－ kx＝－ 1， 整理得 (2－ k)x＝ 2， 2 当 2－ k≠ 0 时， x＝ . 2－ k 当 2－ k＝ 0 时，此方程无解，即 k＝ 2 时，原方程无解． 1－ kx 1 ∵分式方程 2＋ ＝ 有增根， x－ 2 2 － x ∴ x－ 2＝ 0， 2－ x＝ 0， 解得 x＝ 2， 2 即 ＝ 2，解得 k＝ 1. 2－ k
初中数学微课--分式-分式方程的应用——行程问题
分式方程的应用——行程问题
1．为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
2．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
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中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解一、一元二次方程的解法一元二次方程是指一个未知数的平方最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有以下几种：1.因式分解法：对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。
2. 公式法：利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，计算出方程的根。
3.完全平方式：对一元二次方程进行配方处理，将其化为完全平方的形式，然后求解。
4.图像法：将方程的解与图像相结合，通过观察图像的交点来确定方程的解。
二、一元二次方程的应用1.抛物线问题：一元二次方程常用来描述抛物线的形状与运动轨迹。
在物理学、工程学等领域中，抛物线的特性与运动轨迹有很多应用。
2.几何问题：一元二次方程可以用来解决与几何问题相关的计算和推理。
如求解一个平面图形的面积、找到一个图形的对称轴等。
3.速度问题：一元二次方程可以用来描述具有变速度的运动过程。
在物理学和运动学中，可以通过一元二次方程来计算运动物体的速度、加速度等相关参数。
4.财务问题：一元二次方程可以用来解决与财务相关的问题，如计算利润、成本和销售量之间的关系等。
5.人口增长问题：一元二次方程可以用来描述人口增长的模型。
通过一元二次方程的解，可以预测人口增长的趋势和规律。
总结：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，掌握解一元二次方程的方法对于提高数学学习的能力和解决实际问题具有重要意义。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用数学知识解决问题。
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1．(1)下列方程中是分式方程的是( C)
A．2x－1＝4－2x B.x2－3 1＝52 C.x2－x1＋x＋1 1＝1 D.x－2 3＋x＝x＋3 4
1．(2016·邵阳)分式方程3x＝x＋4 1的解是( D)
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
2．(2016·黑龙江)关于 x 的分式方程2xx＋－1m＝3 的解是正数，则字母 m 的取值范围是( D)
A．m＞3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m＜－3
3．(2016·凉山州)关于 x 的方程3xx＋－12＝2＋x＋m1无解，则 m 的值为( A)
1．解分式方程的关键步骤是去分母，将分式方程转化为整式方程，而去分母的关键是 要找出最简公分母，方法是：①系数取最小公倍数；②出现的字母取最高次幂；③出现的因 式取最高次幂．
2．已知分式方程的解的情况，求方程中字母系数的范围问题时：需先按照解分式方程 的一般步骤，用含有未知数的式子表示出分式方程的解，再根据题目中要求的解的情况，列 出不等式来求解字母的取值范围．
(2) 分式方程x－x 1－1＝（x－1）3（x＋2）的解是( D)
A．x＝1 B．x＝－1＋ 5 C．x＝2 D．无解
(3) (2016·盐城)方程 x－2x＝1 的正根为___x_＝___2__．
(4)(2016·乐山)解方程：x－1 2－3＝x2－－1x.
解：方程两边同乘 x－2，得 1－3(x－2)＝－(x－1)，即 1－3x＋6＝－x＋1，整理得：－ 2x＝－6，解得：x＝3，检验，当 x＝3 时，x－2≠0，则原方程的解为 x＝3.
点拨：去分母得：x－a＝ax＋a，即(a－1)x＝－2a，显然 a＝1 时，方程无解；由分式方程无 解，得到 x＋1＝0，即 x＝－1，把 x＝－1 代入整式方程得：－1－a＝－a＋a，解得：a＝－1， 综上，1)(2016·南阳模拟)分式方程1x－－x3＝3－1 x－2 的解为__x_＝____4_；
(2)增根：使分式方程分母_等___于___零_的根．
(3)验根方法： ①利用方程的解的定义进行检验；
②将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为 0，不为 0 就是原分式方 程的根，若为 0 则为增根，必须舍去．
3．分式方程的应用 (1)用分式方程解实际问题的一般步骤
注意：双检验是——①检验是否是分式方程的解；②检验是否符合实际问题． (2)用分式方程解实际问题的一般类型主要涉及工程问题、行程问题等，每个问题中涉及 到三个量的关系，如：工作时间＝__________，时间＝________等，如果工作量或路程是已 知条件，另外的两个量又分别具有某种等量关系，常可以建立分式方程模型来解决．
1．分式方程
_____分___母_____中含有未知数的方程叫做分式方程.
2．分式方程的解法 (1)解分式方程的步骤：
①方程两边都乘以各个分式的最___简___公___分___母__，约去分母，化成整式方程；
②解这个整式方程；
③检验：把求得的 x 的值代入最简公分母中，看是否等于 0，使最简公分母为 0 的根为 原方程的增根，必须舍去．
整数 m 的值为( C)
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
(2)(2015·毕节)关于 x 的方程 x2－4x＋3＝0 与x－1 1＝x＋2 a有一个解相同，则 a＝__1__．
分式方程的应用
【例 3】 (2016·莆田)甲车从 A 地驶往 B 地，同时乙车从 B 地驶往 A 地，两车相向而 行，匀速行驶，甲车距 B 地的距离 y(km)与行驶时间 x(h)之间的函数关系如图所示，乙车的 速度是 60 km/h.
速度比原普通车组列车增加了 145 千米/小时．依题意，下面所列方程正确的是( C)
A.x－361145－3x61＝1.4 B.3x61－x－361145＝1.4
C.3x61－x＋361145＝1.4 D．x＋1.4(x＋145)＝361
5．(2015·东营)若分式方程xx＋－1a＝a 无解，则 a 的值为_±___1．
A．－5 B．－8 C．－2 D．5
4．(2016·郑州模拟)郑徐客运专线(简称郑徐高铁)，即郑州至徐州高速铁路，是《国家中 长期铁路网规划》中“四纵四横”之一的徐兰客运专线的重要组成部分，2016 年 7 月开通运 营．高铁列车从郑州到徐州的运行时间比原普通车组的运行时间要快约 1.4 个小时．已知郑 州到徐州的铁路长约 361 千米，原普通车组列车的平均速度为 x 千米/小时，高铁列车的平均
(2)(2016·上海)解方程：x－1 2－x2－4 4＝1
解：去分母得，x＋2－4＝x2－4，移项、合并同类项得 ，x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1，经检验x＝2是增 根，舍去；x＝－1是原方程的根，所以原方程的根是x＝ 【点－评1】. (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项
由分式方程根的情况确定字母的取值围
【例 2】 (2016·贺州)若关于 x 的分式方程2xx－－2a＝12的解为非负数，则 a 的取值范围是
( C)
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1 且 a≠4 D．a＞1 且 a≠4 【点评】 此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为 0 这个条件．
[对应训练] 2．(1) (2016·齐齐哈尔)若关于 x 的分式方程x－x 2＝2－2－mx的解为正数，则满足条件的正
(1)求甲车的速度； (2)当甲乙两车相遇后，乙车速度变为 a(km/h)，并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结 果乙车比甲车晚 38 分钟到达终点，求 a 的值．
解：(1)由图象可得，甲车的速度为：280－2 120＝80 km/h，即甲车的速度是 80 km/h (2) 相遇时间为：802＋8060＝2 h，由题意可得，608×0 2＋6308＝80×a 2，解得，a＝75，经检验，a＝75 是原分式方程的解，即 a 的值是 75.