中考数学 第8讲 分式方程及其应用1
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整数 m 的值为( C)
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
(2)(2015·毕节)关于 x 的方程 x2－4x＋3＝0 与x－1 1＝x＋2 a有一个解相同，则 a＝__1__．
ห้องสมุดไป่ตู้式方程的应用
【例 3】 (2016·莆田)甲车从 A 地驶往 B 地，同时乙车从 B 地驶往 A 地，两车相向而 行，匀速行驶，甲车距 B 地的距离 y(km)与行驶时间 x(h)之间的函数关系如图所示，乙车的 速度是 60 km/h.
(2) 分式方程x－x 1－1＝（x－1）3（x＋2）的解是( D)
A．x＝1 B．x＝－1＋ 5 C．x＝2 D．无解
(3) (2016·盐城)方程 x－2x＝1 的正根为___x_＝___2__．
(4)(2016·乐山)解方程：x－1 2－3＝x2－－1x.
解：方程两边同乘 x－2，得 1－3(x－2)＝－(x－1)，即 1－3x＋6＝－x＋1，整理得：－ 2x＝－6，解得：x＝3，检验，当 x＝3 时，x－2≠0，则原方程的解为 x＝3.
(2)增根：使分式方程分母_等___于___零_的根．
(3)验根方法： ①利用方程的解的定义进行检验；
②将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为 0，不为 0 就是原分式方 程的根，若为 0 则为增根，必须舍去．
3．分式方程的应用 (1)用分式方程解实际问题的一般步骤
注意：双检验是——①检验是否是分式方程的解；②检验是否符合实际问题． (2)用分式方程解实际问题的一般类型主要涉及工程问题、行程问题等，每个问题中涉及 到三个量的关系，如：工作时间＝__________，时间＝________等，如果工作量或路程是已 知条件，另外的两个量又分别具有某种等量关系，常可以建立分式方程模型来解决．
由分式方程根的情况确定字母的取值围
【例 2】 (2016·贺州)若关于 x 的分式方程2xx－－2a＝12的解为非负数，则 a 的取值范围是
( C)
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1 且 a≠4 D．a＞1 且 a≠4 【点评】 此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为 0 这个条件．
[对应训练] 2．(1) (2016·齐齐哈尔)若关于 x 的分式方程x－x 2＝2－2－mx的解为正数，则满足条件的正
式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方 程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后 整式方程的某个根，如果它使分式方程的某些分母为零，则是原方程的增根，须舍去．
1．(1)下列方程中是分式方程的是( C)
A．2x－1＝4－2x B.x2－3 1＝52 C.x2－x1＋x＋1 1＝1 D.x－2 3＋x＝x＋3 4
1．解分式方程的关键步骤是去分母，将分式方程转化为整式方程，而去分母的关键是 要找出最简公分母，方法是：①系数取最小公倍数；②出现的字母取最高次幂；③出现的因 式取最高次幂．
2．已知分式方程的解的情况，求方程中字母系数的范围问题时：需先按照解分式方程 的一般步骤，用含有未知数的式子表示出分式方程的解，再根据题目中要求的解的情况，列 出不等式来求解字母的取值范围．
A．－5 B．－8 C．－2 D．5
4．(2016·郑州模拟)郑徐客运专线(简称郑徐高铁)，即郑州至徐州高速铁路，是《国家中 长期铁路网规划》中“四纵四横”之一的徐兰客运专线的重要组成部分，2016 年 7 月开通运 营．高铁列车从郑州到徐州的运行时间比原普通车组的运行时间要快约 1.4 个小时．已知郑 州到徐州的铁路长约 361 千米，原普通车组列车的平均速度为 x 千米/小时，高铁列车的平均
1．(2016·邵阳)分式方程3x＝x＋4 1的解是( D)
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
2．(2016·黑龙江)关于 x 的分式方程2xx＋－1m＝3 的解是正数，则字母 m 的取值范围是( D)
A．m＞3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m＜－3
3．(2016·凉山州)关于 x 的方程3xx＋－12＝2＋x＋m1无解，则 m 的值为( A)
点拨：去分母得：x－a＝ax＋a，即(a－1)x＝－2a，显然 a＝1 时，方程无解；由分式方程无 解，得到 x＋1＝0，即 x＝－1，把 x＝－1 代入整式方程得：－1－a＝－a＋a，解得：a＝－1， 综上，a 的值为±1，故答案为±1
分式方程及其解法
【例 1】 (1)(2016·南阳模拟)分式方程1x－－x3＝3－1 x－2 的解为__x_＝____4_；
(2)(2016·上海)解方程：x－1 2－x2－4 4＝1
解：去分母得，x＋2－4＝x2－4，移项、合并同类项得 ，x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1，经检验x＝2是增 根，舍去；x＝－1是原方程的根，所以原方程的根是x＝ 【点－评1】. (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项
1．分式方程
_____分___母_____中含有未知数的方程叫做分式方程.
2．分式方程的解法 (1)解分式方程的步骤：
①方程两边都乘以各个分式的最___简___公___分___母__，约去分母，化成整式方程；
②解这个整式方程；
③检验：把求得的 x 的值代入最简公分母中，看是否等于 0，使最简公分母为 0 的根为 原方程的增根，必须舍去．
(1)求甲车的速度； (2)当甲乙两车相遇后，乙车速度变为 a(km/h)，并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结 果乙车比甲车晚 38 分钟到达终点，求 a 的值．
解：(1)由图象可得，甲车的速度为：280－2 120＝80 km/h，即甲车的速度是 80 km/h (2) 相遇时间为：802＋8060＝2 h，由题意可得，608×0 2＋6308＝80×a 2，解得，a＝75，经检验，a＝75 是原分式方程的解，即 a 的值是 75.
速度比原普通车组列车增加了 145 千米/小时．依题意，下面所列方程正确的是( C)
A.x－361145－3x61＝1.4 B.3x61－x－361145＝1.4
C.3x61－x＋361145＝1.4 D．x＋1.4(x＋145)＝361
5．(2015·东营)若分式方程xx＋－1a＝a 无解，则 a 的值为_±___1．
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
(2)(2015·毕节)关于 x 的方程 x2－4x＋3＝0 与x－1 1＝x＋2 a有一个解相同，则 a＝__1__．
ห้องสมุดไป่ตู้式方程的应用
【例 3】 (2016·莆田)甲车从 A 地驶往 B 地，同时乙车从 B 地驶往 A 地，两车相向而 行，匀速行驶，甲车距 B 地的距离 y(km)与行驶时间 x(h)之间的函数关系如图所示，乙车的 速度是 60 km/h.
(2) 分式方程x－x 1－1＝（x－1）3（x＋2）的解是( D)
A．x＝1 B．x＝－1＋ 5 C．x＝2 D．无解
(3) (2016·盐城)方程 x－2x＝1 的正根为___x_＝___2__．
(4)(2016·乐山)解方程：x－1 2－3＝x2－－1x.
解：方程两边同乘 x－2，得 1－3(x－2)＝－(x－1)，即 1－3x＋6＝－x＋1，整理得：－ 2x＝－6，解得：x＝3，检验，当 x＝3 时，x－2≠0，则原方程的解为 x＝3.
(2)增根：使分式方程分母_等___于___零_的根．
(3)验根方法： ①利用方程的解的定义进行检验；
②将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为 0，不为 0 就是原分式方 程的根，若为 0 则为增根，必须舍去．
3．分式方程的应用 (1)用分式方程解实际问题的一般步骤
注意：双检验是——①检验是否是分式方程的解；②检验是否符合实际问题． (2)用分式方程解实际问题的一般类型主要涉及工程问题、行程问题等，每个问题中涉及 到三个量的关系，如：工作时间＝__________，时间＝________等，如果工作量或路程是已 知条件，另外的两个量又分别具有某种等量关系，常可以建立分式方程模型来解决．
由分式方程根的情况确定字母的取值围
【例 2】 (2016·贺州)若关于 x 的分式方程2xx－－2a＝12的解为非负数，则 a 的取值范围是
( C)
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1 且 a≠4 D．a＞1 且 a≠4 【点评】 此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为 0 这个条件．
[对应训练] 2．(1) (2016·齐齐哈尔)若关于 x 的分式方程x－x 2＝2－2－mx的解为正数，则满足条件的正
式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方 程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后 整式方程的某个根，如果它使分式方程的某些分母为零，则是原方程的增根，须舍去．
1．(1)下列方程中是分式方程的是( C)
A．2x－1＝4－2x B.x2－3 1＝52 C.x2－x1＋x＋1 1＝1 D.x－2 3＋x＝x＋3 4
1．解分式方程的关键步骤是去分母，将分式方程转化为整式方程，而去分母的关键是 要找出最简公分母，方法是：①系数取最小公倍数；②出现的字母取最高次幂；③出现的因 式取最高次幂．
2．已知分式方程的解的情况，求方程中字母系数的范围问题时：需先按照解分式方程 的一般步骤，用含有未知数的式子表示出分式方程的解，再根据题目中要求的解的情况，列 出不等式来求解字母的取值范围．
A．－5 B．－8 C．－2 D．5
4．(2016·郑州模拟)郑徐客运专线(简称郑徐高铁)，即郑州至徐州高速铁路，是《国家中 长期铁路网规划》中“四纵四横”之一的徐兰客运专线的重要组成部分，2016 年 7 月开通运 营．高铁列车从郑州到徐州的运行时间比原普通车组的运行时间要快约 1.4 个小时．已知郑 州到徐州的铁路长约 361 千米，原普通车组列车的平均速度为 x 千米/小时，高铁列车的平均
1．(2016·邵阳)分式方程3x＝x＋4 1的解是( D)
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
2．(2016·黑龙江)关于 x 的分式方程2xx＋－1m＝3 的解是正数，则字母 m 的取值范围是( D)
A．m＞3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m＜－3
3．(2016·凉山州)关于 x 的方程3xx＋－12＝2＋x＋m1无解，则 m 的值为( A)
点拨：去分母得：x－a＝ax＋a，即(a－1)x＝－2a，显然 a＝1 时，方程无解；由分式方程无 解，得到 x＋1＝0，即 x＝－1，把 x＝－1 代入整式方程得：－1－a＝－a＋a，解得：a＝－1， 综上，a 的值为±1，故答案为±1
分式方程及其解法
【例 1】 (1)(2016·南阳模拟)分式方程1x－－x3＝3－1 x－2 的解为__x_＝____4_；
(2)(2016·上海)解方程：x－1 2－x2－4 4＝1
解：去分母得，x＋2－4＝x2－4，移项、合并同类项得 ，x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1，经检验x＝2是增 根，舍去；x＝－1是原方程的根，所以原方程的根是x＝ 【点－评1】. (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项
1．分式方程
_____分___母_____中含有未知数的方程叫做分式方程.
2．分式方程的解法 (1)解分式方程的步骤：
①方程两边都乘以各个分式的最___简___公___分___母__，约去分母，化成整式方程；
②解这个整式方程；
③检验：把求得的 x 的值代入最简公分母中，看是否等于 0，使最简公分母为 0 的根为 原方程的增根，必须舍去．
(1)求甲车的速度； (2)当甲乙两车相遇后，乙车速度变为 a(km/h)，并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结 果乙车比甲车晚 38 分钟到达终点，求 a 的值．
解：(1)由图象可得，甲车的速度为：280－2 120＝80 km/h，即甲车的速度是 80 km/h (2) 相遇时间为：802＋8060＝2 h，由题意可得，608×0 2＋6308＝80×a 2，解得，a＝75，经检验，a＝75 是原分式方程的解，即 a 的值是 75.
速度比原普通车组列车增加了 145 千米/小时．依题意，下面所列方程正确的是( C)
A.x－361145－3x61＝1.4 B.3x61－x－361145＝1.4
C.3x61－x＋361145＝1.4 D．x＋1.4(x＋145)＝361
5．(2015·东营)若分式方程xx＋－1a＝a 无解，则 a 的值为_±___1．