2014北京市海淀区高考数学(文)二模试题(附答案)
北京海淀区2014年高三二模数学(文)详细解析(转载请注明出自易题库教研团队)
A1 B1
侧面 A1 ACC1 是菱形，
AC AC1 ， 1
--------------------------------9 分
3
C E
D B
A
由（1）可得 AB AC ， 1 A B A 1C ， A AC 面 ABC1 ， 1 AC BC1 . 1 又 E, F 分别为棱 BC, CC1 的中点， EF // BC1 ， . E F A 1C 18. 解： （Ⅰ）由已知可得 f '( x) x 2 2ax 4 .
5 5 或a ， 2 2 5 5 综上， a 的取值范围是 (, ) ( , ) . 2 2
即 (5 2a)(5 2a) 0 ，解得 a 19.解:
x2 y 2 1(a 1) --------------------------------------------1 分 2 a 2 a 1 1 2 由e ，可得 e2 ，----------------------------------------------------------------3 分 2 a2 2 2 解得 a 2 , -----------------------------------------------------------4 分 x2 所以椭圆的标准方程为 ----------------------------------------------------5 分 y2 1 . 2 （Ⅱ）法一：
π 6
------------------------------8 分 --------------------------------9 分 ---------------------------------11 分 --------------------------------12 分 -----------------------------13 分
2014年二模----海淀
、选择题：本大题共1. sin(—150：)的值为2 .已知命题A . a _0,有C. a 0，有2014年二模----海淀8小题,每小题5分，共40 分.D .-32“—a 0，e a -1成立a /e ::: 1成立e a -1成立a 0，有 a /e -1成立3 •执行如图所示的程序框图，若输出的A . -2B . 16 C. -2 或8 D . -2 或16S为4,则输入的X应为4 •在极坐标系中，圆T =2s in二的圆心到极轴的距离为A. 1B. 2C. 3D. 2x y -1 _0,5 .已知P(x, y)是不等式组x-y，3_0,表示的平面区域内的一点,x乞0A(1,2) , O为坐标原点,则OA OP的最大值A . 2B . 3C . 5D . 66 . 一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m (即OM长)，巨轮的半径为30m, AM =BP=2m,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m,贝y h(t)=n nA. 30si n( t ) 3012 2n n丄C . 30si n(—t ) 326 2n nB . 30si n( —t ) 30 6 2n nD . 30si n(—t )6 2BPhA7.已知等差数列{a n}单调递增且满足a1 ' a10 = 4，则a8的取值范围是A. (2,4) B .C . (2/::) D . (4,8•已知点E,F 分别是正方体 ABCD —AB I GD !的棱AB, AA 的中 点，点M ,N 分别是线段 D 1E 与C 1F 上的点，则满足与平面 ABCD 平 行的直线MN 有 A • 0条B • 1条C . 2条D .无数条二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.9 •满足不等式x 2-xc0的x 的取值范围是 _____________ .5311.已知(ax 1)的展开式中x 的系数是10,则实数a 的值是 _____________________113.已知hl 是曲线C: y的两条互相平行的切线，x则h 与12的距离的最大值为14.已知集合M 二{1,2,3,山,100}, A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作 S(A). ① 满足S( A) =8的集合A 的个数为 _____________ ; ② S(A)的所有不同取值的个数为 ________________ .10.已知双曲线2b 2 “的一条渐近线为 y =2x ，则双曲线的离心率为B i12.已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体 积为 ______________ .-1B主视图z 1^-1-俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)在锐角二ABC中，a=2、7si nA且b= 21 •(I)求B的大小；(n)若a =3c，求c的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC-ARG 中，AA _底面ABC, AB _ AC , AC = AB = AA , E,F 分别是棱BC , A i A的中点，G为棱CC i上的一点，且C i F //平面AEG .CG(I)求——的值；CC 1(n)求证：EG _AC ；(川)求二面角 A - AG -E的余弦值.F17.(本小题满分13分)某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6, B车日出车频率0. 5 .该地区汽车限行规定如下：现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且 A , B两车出车相互独立.(I)求该单位在星期一恰好出车一台的概率；(n)设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求望EX的分布列及其数学期(X).18.(本小题满分13分)已知函数f(x)=(x-a)sinx cosx,x (0,二).(I)当a =上时，求函数2n(n)当a 时，求函数2f (x)值域；f (x)的单调区间.19.(本小题满分14分)已知椭圆G的离心率为，其短轴两端点为A(0,1),B(0, 一1).2(I)求椭圆G的方程；(H)若C,D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC,BD与x轴分别交于点M ,N •判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由.20.（本小题满分13分）对于自然数数组（a,b,c），如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果（a,b,c）的极差d _1，可实施如下操作f ：若a,b,c中最大的数唯一，则把最大数减2,其余两个数各增加1 ;若a,b,c中最大的数有两个，则把最大数各减1,第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为f1（a,b,c），其级差为4 .若4 _1,则继续对f1（a,b,c）实施操作f，…，实施n次操作后的结果记为f n（a,b,c），其极差记为d n .例如：f1（1,3,3） =（3,2,2）, f2（1,3,3） = （1,3,3）.（I）若（a,b,c） =（1,3,14），求d1,d2 和d2014 的值；（n）已知（a,b,c）的极差为d且a cb <c，若n = 1,2,3, |||时，恒有dn=d，求d的所有可能取值；（川）若a,b,c是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n满足d n =0 .海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学(理科) 2014. 5、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.1 . A 2. C 3. D 4. A. 5. D 6. B 7. C 8. D二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.9. 0 :::x ：：：1{或(0,1) } 10. . 5 11. 1 12. 2 13. 2 214. 6, 5050 ｛本题第一空3分，第二空2分｝三、解答题:本大题共6小题，共80分.15.解:(I)由正弦定理可得 a _ bsinA si nB--------------------------- 2 分因为 a =2 7sin A, b =21所以sin B = bsi nA 21s in A 3a " 2.7 si nA - 2-------------------------- 5分在锐角-ABC 中，B = 60°-------------------------- 7 分(n) 由余弦定理可得b2 =a2亠c2 -2accosB --------------------------- 9分又因为a =3c所以21 =9c2 c2 -3c2，即c2 =3 ----------------------------- 11 分解得c = .3 ------------------------------ 12 分经检验，由cos A = 2 2b c -a2bc 2.7：：0 可得A 90o不符合题意, 所以C = 3舍去. ------------------ 13分16.解:(I)因为GF II平面AEG又GF u 平面ACC1A1，平面ACGA I 平面AEG =AG ,所以GF IIAG .-------------------------------- 3分因为F 为AA 中点，且侧面 ACGA 为平行四边形(n)因为AA 丄底面ABC ,由题意知二面角A -AG -E 为钝角,16•解:所以G 为CG 中点，所以CGCG----------------------- 4 分所以AA 丄AB , AA 丄AC , ------------------------------- 5 分又 AB _AC ,如图，以A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz ，设AB=2 ,贝U 由 AB =AC =A A可得 C(2,0,0), B(0,2,0),G(2,0,2), A i (0,0,2) ------- 6 分因为巳G 分别是BC,CC i 的中点， 所以 E(1,1,0),G(2,0,1) . ------------------------- 7 分uuur uuuEG CA =(1, —1,1) (—2,0,2) =0 • ----------------urn uuu 所以 EG _CA i , 所以EG _ AC •----------------------------- 9 分(川)设平面 AEG 的法向量n =(x, y, z)，则uur n AE =0, uuu n AG =0,即 f 7=0, 2x z =0.------------------------ 10 分令 x =1，则 y»1,zT ，所以 n =(1,-1,-2) .------------------------- 11 分 由已知可得平面 AAG 的法向量m =(0,1,0) ----------------------------- 12 分所以 n m76 cos ：： n, m =|n | |m|6------------------------------- 13 分所以二面角A -AG-E 的余弦值为------------------------------ 14 分C i zA i(I)设A 车在星期i 出车的事件为 A i , B 车在星期i 出车的事件为 B i , i =123,4,5由已知可得 P(A) =0.6,P(BJ =0.5 设该单位在星期一恰好出一台车的事件为 C, ------------------------------- 1 分因为A,B 两车是否出车相互独立，且事件AB 1,A1B 1互斥 ------------- 2分所以 P(C) =P(A B &B I ) =P(A B 1) P(A 1B I ) =P(A I )P(B 1) P(A 1)P(B I )= 0.6 (1—0.5) (1—0.6) 0.5-------------------------- 4 分=0.5所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5 .------------------------ 5 分｛答题与设事件都没有扣 1分，有一个不扣分｝(H) X 的可能取值为0,1,2,3-------------------------- 6 分 P( X = 0)=P 乙A 1B)PbA 刁 0. 4 0. 5 =0. 40. 0 8P( X =1 )= P (C )P 2(A ) P(AB)P(A) 0. 5 0. 4 0. 4 0 = 5 0. 6 0. 3 2P ( X = 2 )= P £A 1B ) PGA ) P( C) P( A ) 0. 6 0.5 0. 4 0 = 5 0. 6 0. 4 2P(X ^3^P(A 1B 1)P(A 2^0.6 0.5 0.6=0.18所以列为------------- 11分E(X)=0 0.08 1 0.32 2 0.42 3 0.18 =1.7 ____________________________ 13 分18.解:f (x) =(x -Jsinx COSX , X ：=(0, n2n由 f '(x) =0得 X 二------------------------- 2 分2f ( x) , f ' (的)-------------------------- 10 分n⑴当a 石时,nf ' (x > x ) ccxs------------------------------- 1 分4 分因为 f(0)=1 , f(冗)=-1 , 所以函数f(x)的值域为(一1,1).-------------------------------------------------- 5 分(n) f '(x) =(x _a)cos x ,n①当厂…时，f(x),f(x)----------------------------------------------- 9 分所以函数f(x )的单调增区间为(2,a )，单调减区间为(°》和(a ，n②当a - n 时，----------------------------------------------- 13 分19. 解 :2 2(I)由已知可设椭圆 G 的方程为：^2 —1(a 1).a 1所以函数f (x)的单调增区间为nn，单调减区间为(%).J 2由e 二牙，可得 解得a 2 =2 ,2a 2 -1 1°一 a 2 22 2所以椭圆的标准方程为 -=1 . ----------------------------------------- 4 分2 1(n)法一：设 C(x o ,y o ),且 X 。
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海淀区高三年级第二学期期末练习语文2014．5本试卷共8页，150分。
考试时长150分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
一、本大题共7小题,共15分．阅读下面文字，按要求完成1-4题。
武侠小说大师古龙说过一句经典的话：一个人如果【】，就放他去菜市场，他会重新① (萌发/激发）对生活的热爱。
作家雪小禅对菜市场②（一见钟情/情有独钟），她说：“我有一个癖．好，就是每到一个地方都会去菜市场逛逛,因为那里充满了烟火气息和旺盛的生命力……”这与古龙先生所见大抵③（相同/略同）。
【2014海淀二模】北京市海淀区2014届高三下学期期末练习 文科数学 Word版含答案-推荐下载
D
代代
C
C1
B1 A1
F B
E A
开始
S=0，n=1
S=S+n
n n2 1
否 n>10
是
输出 S
结束
试卷集合_Wuz
三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分 13 分） 已知函数 f (x) 2 3 sin x cos x 2sin2 x a , a R .
x
x
6.已知向量 AC ， AD 和 AB 在正方形网格中的位置如图所示，
若 AC AB AD ，则
A. 2
B. 2
y y
，那么集合
B. x R，x2 x 1 0 D. x R，x2 x 1 0
1 1
C. y cos x
D. (1,1)
D. 3
x
y
1
B AD
C
A
0
2014.5
的距离为
2的 2
① 测量 A,C,b ② 测量 a,b,C
则一定能确定 A, B 间距离的所有方案的序号为
A.①②
B. ②③
试卷集合_Wuz
8. 已知点 E, F 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 AB, AA1 的中点，点 D1
符合题目要求的一项.
1.
已知全集为
R
，集合
A
{x
|
x
≥ 1}
A.{x | x 1} B.{x | x 1} C.{x | x 1} D.{x | x 1}
20141104高三海淀区文科数学题
20141104高三海淀区文科数学题1 / 3海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{1,0,1,2}A =-，{|1}B x x =≥，则A B =( )A. {2}B. {1,2}C. {1,2}-D. {1,1,2}-2. 下列函数中，为奇函数的是( )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()sin f x x =3. 已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，则实数m 的值为( ) A. 2- B. 12-C.12D. 24.“π6α=”是“1sin 2α=”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1110,3()n n a a a n +=-=+∈N ，则n S 取最小值时，n 的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.若函数tan ,0,()2(1)1,0x x f x a x x π⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在π(,)2-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,)+∞D. (0,)+∞7.若函数()sin f x x kx =-存在极值，则实数k 的取值范围是( ) A. (1,1)-B. [0,1)C. (1,)+∞D. (,1)-∞-8.已知点(1,0)B ，P 是函数e x y =图象上不同于(0,1)A 的一点.有如下结论： ①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形；2②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形； ③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形. 其中，正确的结论的个数为( ) A. 0B.1C. 2D. 3二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2014北京海淀区高三期末数学(文)试题答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）πcosππ2()2sinππ44sin cos44f=+=+=+------------------------3分（Ⅱ）由sin cos0x x+≠得ππ,4x k k≠-∈Z.因为cos2()2sinsin cosxf x xx x=++22cos sin2sinsin cosx xxx x-=++------------------------------------5分cos sinx x=+π)4x+，-------------------------------------7分所以()f x的最小正周期2πT=. -------------------------------------9分因为函数siny x=的对称轴为ππ+,2x k k=∈Z, ------------------------------11分又由πππ+,42x k k+=∈Z,得ππ+,4x k k=∈Z,9． 2 10．16 11. 712．{1,2,4}13．50，1015 14．1-;①②③所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .-----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =. ----------------------------------4分（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.所以()0.290.450.010.75P A =++=. ----------------------------------9分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，所以//CD AB . ----------------------------1分 又因为CD ⊄平面PAB ， -------------------3分 所以//CD 平面PAB . --------------------------4分 （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，所以PE AB ⊥. ----------------------------------5分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB平面ABCD AB =,PE ⊂平面PAB ,----------------------------------7分所以PE ⊥平面ABCD , ------------------------------------8分 因为AD ⊂平面ABCD ,所以PE AD ⊥. ------------------------------------9分 （Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点，所以CE AB ⊥. --------------------------------10分 由（Ⅱ）可得PE AB ⊥， ---------------------------------11分 所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分 又因为AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PEC . --------------------------------14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分 (),'()f x f x 的情况如下：--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2e a ≥，所以此时，2e a ≥； --------------------------------------11分②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a 不存在； ------------------------12分③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a 不存在. ------------------------------13分综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分 又由题意可得12c a =， 所以2a =， ----------------------------------2分所以2223b a c =-=, ----------------------------------3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ---------------------------------4分所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =,所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分 （Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+, ---------------------------------9分可得中点22286(,)4343k kP k k -++， --------------------------------11分由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++化简整理得20k = --------------------------------13分 又因为0k ≠，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------------14分 （Ⅱ）法2：假设存在直线l 满足题意.由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分 所以OP AB ⊥. ------------------------------8分 由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=. --------------------------------10分又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分 20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）只有y =是N 函数. ----------------------------3分 （Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数.证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<， 即11e e k k x -≤≤<.因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立， 所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<， 所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. ---------------------------------------8分 （Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ---------------------------9分（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分② 若01a <≤，由指数函数性质易得 x b a b a ⋅≤⋅，所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. -----------------11分③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)am b a >⋅-，所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +⋅-⋅>， 所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅， 所以12()(1)f k n n f k <<≤+.又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤； 当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+， 所以*x ∀∈N ，都有*1{()|}n f x x ∉∈N ，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。
北京海淀区高三二模数学 文科 试卷及答案解析
又因为 BC AD ， BC CE 1， AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形， AF FE ED 1 ，得 AE 2 所以 BC AE， BC= 1 AE
2 在图 2 中设点 M 为线段 D1E 的中点，连结 MG, MC ， 因为点 G 是 AD1 的中点， 所以 GM AE， GM = 1 AE
2 所以 GM BC，GM =BC ，所以四边形 MGBC 为平行四边形 所以 BG CM 又因为 CM 平面 D1EC ， BG 平面 D1EC 所以 BG 平面 D1EC （Ⅱ） 因为平面 D1EC 平面 ABCE ，
平面 D1EC 平面 ABCE EC , D1E EC, D1E 平面 D1EC ， 所以 D1E 平面 ABCE 又因为 AB 平面 ABCE 所以 D1E AB 又 AB 2, BE 2, AE 2 ，满足 AE2 AB2 BE2 ， 所以 BE AB 又 BE D1E E 所以 AB 平面 D1EB （Ⅲ） CE D1E,CE AE ， AE D1E E
又因为 BF EC ， EC 平面 D1EC ， BF 平面 D1EC 所以 BF 平面 D1EC
又因为 GF BF F 所以平面 BFG 平面 D1EC 又因为 BG 面GFB ，所以 BG 平面 D1EC 方法 3： 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B作 AE 的垂线，垂足为 F ， 因为 CE AD ，所以 BF EC
an1 an2 2 3n2 an2 an3 2 3n3
2 / 13
a3 a2 2 32
a2 a1 2 31 把上面 n 1 个等式叠加，得到
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模)数学理试题(WORD版)
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数 学 （理科） 2014.5本试卷共4页，150分。
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一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符1.2.3.4. 5.6.一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径为30m ，AM =2BP =m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ，则()h t =A.ππ30sin()30122t -+ B.ππ30sin()3062t -+ C.ππ30sin()3262t -+ D.ππ30sin()62t -7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是A.(2,4) B. (,2)-∞ C. (2,)+∞ D.(4,)+∞8.点9. 10.11.12.14.已知集合{1,2,3,,100}M = ，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作()S A . ①满足()8S A =的集合A 的个数为_____；②()S A 的所有不同取值的个数为_____.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，a A =且b =.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若3a c =，求c 的值.16.（本小题满分14分）且17.((18.19.（本小题满分14分）已知椭圆G ，其短轴两端点为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.120.（本小题满分13分）对于自然数数组(,,)a b c ，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果(,,)a b c 的极差1d ≥，可实施如下操作f ：若,,a b c 中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若,,a b c 中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为1(,,)f a b c ，其级差为1d .若11d ≥，则继续对1(,,)f a b c 实施操作f ，…，实施n 次操作后的结果记为(,,)n f a b c ，其极差记为n d .例如：1(1,3,3)(3,2,2)f =，2(1,3,3)(1,3,3)f =. （Ⅰ）若(,,)(1,3,14)a b c =，求12,d d 和2014d 的值；（Ⅱ）已知(,,)a b c 的极差为d 且a b c <<，若1,2,3,n = 时，恒有n d d =，求d 的所有可能取值； （Ⅲ）若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足0n d =.数学（理科）参考答案2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市海淀区高三二模文科数学Word版含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2013.5本试卷共4页,150分。
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—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2 已知a =ln21,b=sin 21,c=212-，则a,b ，c 的大小关系为A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005 下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.f(x) =x 2 +xB.f(x) = |lnx|C.f(x) =xsinxD.f(x) =e x +e -x6 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.1+1+2俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若m=54，则a 5＝3 B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C.若m ={}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 复数ii-12=______ 10 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11 已知数列{a n }是等比数列，且a 1 .a3 =4,a 4=8,a 3的值为____. 12 直线y= x+1被圆x 2-2x +y 2-3 =0所截得的弦长为_____ 13 已知函数f(x)=sin()10)(62<<-ωπωx 的图象经过点[0,π]上的单调递增区间为________14 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-+≥-)1(10401x k y y x y 其中k 0,>∈k R(I)当k=1时的最大值为______； (II)若2x y的最大值为1，则实数a 的取值范围是_____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15 (本小题满分13分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (I)若a 1=1，S 10= 100，求{a n }的通项公式。
2014年北京市海淀区高三二模数学(理)试题Word版带解析
海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习数 学（理科） 2014．5一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．sin(150)- 的值为A.12-B.12C. 32-D. 32.解析：01sin(150)sin1502-=-=-知识点;三角函数--------三角函数-------诱导公式 难度系数：22．已知命题:p “0a ∀>，有1ae ≥成立”，则p ⌝为A.0a ∃≤，有1a e ≤成立B.0a ∃≤，有1ae ≥成立 C.0a ∃>，有1ae <成立 D.0a ∃>，有1ae ≤成立解析：命题的否命题，存在变为任意，任意变为存在，条件不变，结论变为对立。
知识点：集合与逻辑用语---------常用逻辑用语---------全称量词与存在性量词难度系数：13．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应为 A.2- B.16 C. 2-或8 D. 2-或16解析：该程序框图是一分段函数21,log ;4,16;1,2,16, 2.x x S x S x x S S x ->===≤===-知识点;算法与框图--------算法和程序框图 难度系数：24．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心到极轴的距离为 A.1 B.2 C. 3 D. 2 .解析：把极坐标方程转化为标准方程，两边同乘以ρ，222222sin ,2,(1)1x y y x y ρρθ=+=+-=圆心到极轴的距离为1. 知识点：解析几何---------极坐标方程-------简单曲线的极坐标方程难度系数：25．已知(,)P x y 是不等式组10300x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域内的一点，(1,2)A ，O 为坐标原点，则OA OP的最大值是否开始输入1>xx S -=2 x S 2log =输出S结束A.2B.3C. 5D. 6解析：本题为不等式和向量的综合问题，做出平面区域2OA OP x y ∙=+，做出平面区域，把区域交点坐标带入，所以2OA OP x y ∙=+的最大值是6.知识点：不等式--------线性规划----------线性规划；平面向量---------数量积及其应用-------数量积的定义 难度系数：36．一观缆车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 的 长），巨轮的半径30m ，2AM BP ==m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈， 若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ， 则()h t = A.30sin()30122t ππ-+ B. 30sin()3062t ππ-+ C. 30sin()3262t ππ-+D. 30sin()62t ππ-解析：根据题意，函数的周期是2126ππ=，当t=0时，h （t ）=0，所以答案B. 知识点：三角函数-----------三角函数-----------三角函数应用 难度系数：37．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是 A.(2,4) B.(,2)-∞ C. (2,)+∞ D. (4,)+∞ 解析：等差数列的单调性与公差d有关，d>0数列是增的，110181954,294,7272222a a a d a a d d d d +=+==+=-+=+>，所以答案C.知识点：数列-----------等差数列难度系数：38．已知点E ，F 分别是正方体1111ABCD A BC D -的棱AB ，1AA 的中点， 点M ，N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有 A.0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条.解析：直线11,D E C F 在平面上有投影，过F 一定能做出底面的平行面，此时面与11,D E C F 一定相交，所以这样的平面有无数多条。
北京市海淀区2014年高三一模数学(文科)试题
海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 （文科） 2014.4本试卷共4页，150分。
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一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.52i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -2. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈= 则A.{}1-B.{}0C. {}1 D.Æ 3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60︒，则()⋅+a a b = A.1 B. 3 C.5D. 75. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是A B C D6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为A ．1B ．2C ．12D ．3 7. 已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件OyxOyxOyxOyx8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.双曲线221 3x y m -=的离心率为2，则m =__________.10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______方案一： 方案二： 方案三：11. 在ABC ∆中，3a =，5b =，120C = ，则sin ______,_______.sin Ac B== 12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++.能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为_________（填写相应函数的序号），若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________.13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组20,20x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω.(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝ ;(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是.俯视图主视图侧视图三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数π()sin sin()3f x x x =--.（Ⅰ）求π()6f ;（Ⅱ）求()f x 在ππ[,]22-上的取值范围.16．（本小题满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机.10(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.1图 图 218. （本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1k ≤时，求证：()1f x kx ≥-恒成立.19. （本小题满分14分）已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0). （Ⅰ）当,A B 关于点(1,0)M 对称时，求证：121x x ==；（Ⅱ）当直线AB 经过点(0,3) 时，求证：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =- ， 则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）试判断(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B ：123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列，并说明理由；（Ⅱ）求证：(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ； （Ⅲ）是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （文科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2014年高考北京卷数学文试题及答案解析
2014年高考北京卷数学文试题及答案解析一、选择题1.[2014•北京文卷]若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0== B A . 2. [2014•北京文卷]下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B【解析】由定义域为R 排除选项C ，定义域单调递增排除选项A 、D. 3. [2014•北京文卷]已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--.4. [2014•北京文卷]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. B.3 C.7 D.15输出【答案】C【解析】7222210=++=S . 5. [2014•北京文卷]设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立. 6. [2014•北京文卷] 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C 【解析】在同一坐标系中作函数()xx h 6=与()x x g 2log =的图象如图，可得()x f 零点所在区间为()4,2. 7. [2014•北京文卷]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8. [2014•北京文卷]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 O 5430.80.70.5t p记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴()0625.075.32.025.12.022+--=-+-=t t t p ，即当75.3=t 时，P 有最大值.二、填空题9. [2014•北京文卷]若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10. [2014•北京文卷]设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为()0,m A -()0,m BP. 【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11. [2014•北京文卷]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12. [2014•北京文卷]在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2、815PBAC【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A . 13. [2014•北京文卷]若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14. [2014•北京文卷] 【答案】42【解析】交货期最短即少耽误工期，所以先让徒弟加工原料B ，交货期为4215216=++天. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都则最短交货期为 工作日. 15. [2014•北京文卷]已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.1=y 01=--y x 01=-+y x xy 3-=A（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. [2012•北京文卷] 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. Oy xy 0x 0【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-． 17. [2014•北京文卷]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ． 因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC A C ∥，且11AC A C =， 所以1FG EC ∥，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，GC 1B 1A 1FE CBA所以1C F ∥平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ==． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△． 18. [2014•北京文卷]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距． 课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 19. [2014•北京文卷] 已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． 所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c =故椭圆C的离心率c e a =．（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥， 所以0OA OB ⋅=， 即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又220024x y +=，所以 ()()222002AB x t y =-+-()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为 20. [2014•北京文卷] 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛= ⎝()11f f ==-所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝. （Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与()g x '的情况如下：)所以，(0)g t =当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在条直线与曲线()y f x =相切时，的取值范围是()31--， . （Ⅲ）过点()12A -， 存在条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ， 存在条直线与曲线()y f x =相切.：。
2014年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析版)
2014年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为R ，集合A ={x|x ≥1}，那么集合∁R A 等于（ ） A.{x|x >1} B.{x|x >−1} C.{x|x <1} D.{x|x <−1}2. 已知命题P:∀x ∈R ，x 2+x −1<0，则命题￢P 是（ ） A.∀x ∈R ，x 2+x −1≥0 B.∃x ∈R ，x 2+x −1≥0 C.∀x ∈R ，x 2+x −1>0 D.∃x ∈R ，x 2+x −1<03. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递增的是( ) A.y =x 3 B.y =cos x C.y =1x 2D.y =ln |x|4. 设a =log 23，b =log 43，c =sin 90∘，则（ ） A.a <c <b B.b <c <a C.c <a <bD.c <b <a5. 下面给出的四个点中，位于{x +y +1>0x −y +1<0表示的平面区域内，且到直线x −y +1=0的距离为√22的点是（ ） A.(−1, 1) B.(−2, 1) C.(0, 3) D.(1, 1)6. 已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →=λAB →+μAD →，则λ+μ＝（ ）A.2B.−2C.3D.−37. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A 、B 间的距离，李宁同学首先选定了与A 、B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别记为a 、b 、c)：①测量A 、C 、b ；②测量a 、b 、C ；③测量A 、B 、a ；则一定能确定A 、B 间距离的所有方案的序号为（ ）A.①②B.②③C.①③D.①②③8. 已知点E 、F 分别是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AA 1的中点，点M 、N 分别是线段D 1E 与C 1F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有（ ） A.0条 B.1条C.2条D.无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.复数2+i 的模等于________．若抛物线y 2=2px(p >0)的准线经过双曲线x 2−y 2=1的左顶点，则p =________．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为________．下列函数中：①y=−sin2x；②y=cos2x；③y=3sin(2x+π4)，其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数f(x)=sin2x的图象重合的是________. (填上符合要求的函数对应的序号)已知实数a>0且a≠1，函数f(x)={a x，x<3ax+b,x≥3，若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N∗)，且{a n}是等差数列，则a=________，b=________．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如图：根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大，该区域种植密度为________株/m2．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=2√3sin x cos x−2sin2x+a，a∈R．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．如图所示为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况：记△x=本月价格指数-上月价格指数．规定：△x>0时，称本月价格指数环比增长；△x<0时，称本月价格指数环比下降；当△x=0时，称本月价格指数环比持平．（1）比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；（2）直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份．若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都环比下降的概率；（3）由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大．（结论不要求证明）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．(Ⅰ)求证：AB⊥平面AA1 C1C；(Ⅱ)若线段AC上的点D满足平面DEF // 平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；(Ⅲ)证明：EF⊥A1C．已知函数f(x)=13x3+ax2+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．（1）求证：函数f(x)在点（0, f(0)）处的切线与f(x)总有两个不同的公共点；（2）若函数f(x)在区间(−1, 1)上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围．已知椭圆G的离心率为√22，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)．(Ⅰ)求椭圆G的方程；(Ⅱ)若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．给定正整数k≥3，若项数为k的数列{a n}满足：对任意的i=1、2、…、k，均有a i≤S kk−1（其中S k=a1+a2+...+a k），则称数列{a n}为“Γ数列”．(1)判断数列−1，3，5，2，4和34，3242，3343是否是“Γ数列”，并说明理由；(2)若{a n}为“Γ数列”，求证：a i≥0对i=1，2，…，k恒成立；(3)设{b n}是公差为d的无穷项等差数列，若对任意的正整数m≥3，b1，b2，…，b m均构成“Γ数列”，求{b n}的公差d．参考答案与试题解析2014年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】根据全集R及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集为R，集合A={x|x≥1}，∴∁R A={x|x<1}．故选：C．2.【答案】B【考点】命题的否定【解析】对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题，由此不难得到对命题“∃x<0，有x2>0”的否定．【解答】解：∵对命题：“∀x∈A，¬P(X)”否定是“∃x∈A，P(X)”∴对命题“∀x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x−1≥0”故选B．3.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性．【解答】解：A，函数y=x3为奇函数，在(0, +∞)上单调递增，所以A不合适；B，函数y=cos x为偶函数，但在(0, +∞)上不单调，所以B不合适；C，函数y=1x2为偶函数，在(0, +∞)上单调递减，所以C不合适；D，函数y=ln|x|为偶函数，在(0, +∞)上单调递增，所以D合适．故选D. 4.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数的单调性、sin90∘=1即可得出．【解答】解：∵b=log43<log44=1，c=sin90∘=1，a=log23>log22=1．∴b<c<a．故选：B．5.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设到直线x−y+1=0的距离为√22的直线为x−y+a=0，则|a−1|√2=√22，即|a−1|=1，解得a=0或a=2，则对应的直线为x−y=0或x−y+2=0，则到直线x−y+1=0的距离为√22的点必在直线x−y+2=0上，故选：A．6.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量基本定理即可得出． 【解答】如图所示，建立直角坐标系．则AD →=(1, 0)，AC →=(2, −2)，AB →=(1, 2)．∵ AC →=λAB →+μAD →，∴ (2, −2)＝λ(1, 2)+μ(1, 0)＝(λ+μ, 2λ)， ∴ {2=λ+μ−2=2λ ，解得λ＝−1，μ＝3． ∴ λ+μ＝2． 7.【答案】 D【考点】解三角形的实际应用 【解析】根据图形，可以知道a ，b 可以测得，角A 、B 、C 也可测得，利用测量的数据，求解A ，B 两点间的距离唯一即可． 【解答】解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A ，B 两点间的距离． 对于②直接利用余弦定理即可确定A ，B 两点间的距离． 故选：D ． 8.【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】取BB 1的中点H ，连接FH ，在D 1E 上任取一点M ，过M 在面D 1HE 中，作MG 平行于HO ，其中O 为线段D 1E 的中点，交D 1H 于G ，再过G 作GN // FH ，交C 1F 于N ，连接MN ，根据线面平行的判定定理，得到GM // 平面ABCD ，NG // 平面ABCD ，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG // 平面ABCD ，由面面平行的性质得到则MN // 平面ABCD ，由于M 是任意的，故MN 有无数条． 【解答】解：取BB 1的中点H ，连接FH ，则FH // C 1D ， 连接HE ，在D 1E 上任取一点M ，过M 在面D 1HE 中，作MG 平行于HO ， 其中O 为线段D 1E 的中点，交D 1H 于G ， 再过G 作GN // FH ，交C 1F 于N ，连接MN ，O 在平面ABCD 的正投影为K ，连接KB ，则OH // KB ， 由于GM // HO ，HO // KB ，KB ⊂平面ABCD ， GM ⊄平面ABCD ，所以GM // 平面ABCD ，同理由NG // FH ，可推得NG // 平面ABCD ，由面面平行的判定定理得，平面MNG // 平面ABCD ， 则MN // 平面ABCD ．由于M 为D 1E 上任一点，故这样的直线MN 有无数条．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【答案】√5【考点】 复数的模 【解析】利用复数模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵ z =2+i ，∴ |z|=√22+12=√5． 故答案为：√5． 【答案】 2【考点】 双曲线的特性 【解析】先求出x 2−y 2=1的左顶点，得到抛物线y 2=2px 的准线，依据p 的意义求出它的值． 【解答】解：双曲线x 2−y 2=1的左顶点为(−1, 0)， 故抛物线y 2=2px 的准线为x =−1， ∴ p2=1，∴ p =2，故答案为：2． 【答案】 8【考点】 程序框图 【解析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件n >10，确定输出S 的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环S =1，n =2； 第二次循环S =1+2=3，n =22+1=5； 第三次循环S =3+5=8．n =52+1=26． 满足条件n >10，跳出循环体，输出S =8． 故答案为：8．【答案】①②【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用诱导公式的应用，根据y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：对于①，把y=−sin2x的图象向左平移π2个单位，即可得到y=−sin2(x+π2)=sin2x的图象，故①满足条件；对于②，把y=cos2x=sin(2x+π2)的图象向右平移π4个单位，即可得到y=sin[2(x−π4)+π2]=sin2x的图象，故②满足条件；对于③，y=3sin(2x+π4)无论向左或向右平移多少个单位，图象上各点的纵坐标不变，故不能通过向左（或向右）平移的方法使它的图象与函数f(x)=sin2x的图象重合，故③不满足条件．故答案为：①②．【答案】2,0【考点】分段函数的应用【解析】由条件得到a n={a n，n<3an+b,n≥3，根据等差数列的定义，即可得到a2−a=a，3a+b−a2=a，求出a，b 即可．【解答】解：∵函数f(x)={a x，x<3ax+b,x≥3，∴a n={a n，n<3an+b,n≥3，∴a1=a，a2=a2，a3=3a+b，a4=4a+b，a5=5a+b，…，a n=na+b，∵{a n}是等差数列，∴a2−a=a，即有a=0（舍去）或2，∴3a+b−a2=a，即b=0，故答案为：2，0．【答案】5,3.6【考点】根据实际问题选择函数类型收集数据的方法【解析】根据图象求出种植密度函数以及单株产量函数即可得到结论．【解答】解：种植密度函数对应的直线经过点(1, 2.4)，(8, 4.5)，则对应直线的斜率k=4.5−2.48−1=2.17=0.3，则直线方程为y−2.4=0.3(x−1)，即y=0.3x+2.1，单株产量函数对应的直线经过点(1, 1.28)，(8, 0.72)，则对应直线的斜率k=1.28−0.721−8=0.56−7=−0.08，则直线方程为y−1.28=−0.08(x−1)，即y=−0.08x+1.36，即总产量m(x)=(0.3x+2.1)(−0.08x+1.36)=−0.024(x+7)(x−17)=−0.024(x2−10x−119)，∴当x=5时，函数m(x)有最大值，即5号区域的总产量最大，此时当x=5代入y=0.3x+2.1得y=0.3×5+2.1=3.6，故答案为：5，3.6．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【答案】解：（1）∵f(x)=√3sin2x+cos2x+a−1=2sin(2x+π6)+a−1，∴T=2π2=π，∴函数f(x)的最小正周期为π．（2）令f(x)=0，即2sin(2x+π6)+a−1=0，则a=1−2sin(2x+π6)，∵−1≤sin(2x+π6)≤1，∴−1≤1−2sin(2x+π6)≤3，∴若f(x)有零点，则实数a的取值范围是[−1, 3]．【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法【解析】（1）首先，利用二倍角公式，化简函数解析式，然后，利用周期公式确定该函数的最小正周期；（2）令f(x)=0，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解．【解答】解：（1）∵f(x)=√3sin2x+cos2x+a−1=2sin(2x+π6)+a−1，∴T=2π2=π，∴函数f(x)的最小正周期为π．（2）令f(x)=0，即2sin(2x+π6)+a−1=0，则a=1−2sin(2x+π6)，∵−1≤sin(2x+π6)≤1，∴−1≤1−2sin(2x+π6)≤3，∴若f(x)有零点，则实数a的取值范围是[−1, 3]．【答案】解：（1）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．--------------------（2）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月．------------------------------------------设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A，--------------------------------------在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况．---------∴P(A)=311−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（3）从2012年11月开始，2012年11月，12月，2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大．-----------------------------------------【考点】频率分布直方图【解析】由2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．（2）由2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出价格指数环比下降的月份；通过列举得出任取连续两个月和所选两个月的价格指数都环比下降的取法，利用古典概型的概率公式求出．（3）由2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出价格指数方差最大的月份【解答】解：（1）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．--------------------（2）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月．------------------------------------------设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A，--------------------------------------在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况．---------∴P(A)=311−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（3）从2012年11月开始，2012年11月，12月，2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大．-----------------------------------------【答案】（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥面A1CC1．(II)∵面DEF // 面ABC1，面ABC∩面DEF＝DE，面ABC∩面ABC1＝AB，∴AB // DE，∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．(III)证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A＝AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，由(Ⅰ)得AB⊥A1C，∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥面ABC1，∴A1C⊥BC1．又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF // BC1，∴EF⊥AC1．【考点】直线与平面垂直【解析】（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．(II)由AB // DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．(III)由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．【解答】（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥面A1CC1．(II)∵面DEF // 面ABC1，面ABC∩面DEF＝DE，面ABC∩面ABC1＝AB，∴AB // DE，∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．(III)证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A＝AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，由(Ⅰ)得AB⊥A1C，∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥面ABC1，∴A1C⊥BC1．又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF // BC1，∴EF⊥AC1．【答案】 解：（1）f′(x)=x 2+2ax +4， ∴ f′(0)=4，且f(0)=b ；∴ 在点（0, f(0)）处的切线方程为：y =4x +b ；解{y =4x +by =13x 3+ax 2+4x +b 得：x =0，或x =−3a ；∵ a ≠0，方程组有两个不同解，∴ 切线与f(x)总有两个不同的公共点．（2）法一：f′(x)=x 2+2ax +4=(x +a)2+4−a 2， 根据题意可知：4−a 2<0 ①方程x 2+2ax +4=0有两个实数根，x =−a −√a 2−4，或x =−a +√a 2−4；∴ {−1<−a −√a 2−4<1−a +√a 2−4>1 ②或{−1<−a +√a 2−4<1−a −√a 2−4<−1③∴ 解①得：a <−2，或a >2；当a <−2，或a >2时②的解是：a <−52； 当a <−2，或a >2时③的解是：a >52． ∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．法二：∵ f(x)在区间(−1, 1)上有且仅有一个极值点， ∴ 由二次函数图象性质可得 f′(−1)f′(1)<0 即(5−2a)(5+2a)<0， 解得a <−52或a >52，∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)． 【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的极值 利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据函数在一点的导数与过这一点切线斜率的关系，求出切线的斜率，再求出f(0)，从而求出切线方程．切线与函数曲线有几个公共点，就看切线方程与函数f(x)形成的方程组有几个解，所以连立方程组便能证明（1）．对于第二问，首先要求令导函数等于0的解有两个不同解，并要求只有一个根在(−1, 1)上，从而求出a 的范围． 【解答】 解：（1）f′(x)=x 2+2ax +4， ∴ f′(0)=4，且f(0)=b ；∴ 在点（0, f(0)）处的切线方程为：y =4x +b ；解{y =4x +by =13x 3+ax 2+4x +b 得：x =0，或x =−3a ；∵ a ≠0，方程组有两个不同解，∴ 切线与f(x)总有两个不同的公共点．（2）法一：f′(x)=x 2+2ax +4=(x +a)2+4−a 2， 根据题意可知：4−a 2<0 ①方程x 2+2ax +4=0有两个实数根，x =−a −√a 2−4，或x =−a +√a 2−4；∴ {−1<−a −√a 2−4<1−a +√a 2−4>1 ②或{−1<−a +√a 2−4<1−a −√a 2−4<−1③∴ 解①得：a <−2，或a >2；当a <−2，或a >2时②的解是：a <−52；当a <−2，或a >2时③的解是：a >52．∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．法二：∵ f(x)在区间(−1, 1)上有且仅有一个极值点， ∴ 由二次函数图象性质可得 f′(−1)f′(1)<0 即(5−2a)(5+2a)<0， 解得a <−52或a >52，∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．【答案】（1）∵ 椭圆G 的离心率为√22，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)， ∴ 设椭圆G 的方程为：x 2a 2+y 2=1,(a >1)． 由e =√22，得e 2=a 2−1a 2=12，解得a 2＝2，∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．（2）以MN 为直径的圆是不过点A ．理由如下：∵ C 、D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点， ∴ 设C(x 0, y 0)，且x 0≠0，则D(−x 0, y 0)． ∵ A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 直线AC 的方程为y =y 0−1x 0x +1．令y ＝0，得x M =−x 0y 0−1，∴ M(−x 0y 0−1,0)．同理直线BD 的方程为y =y 0+1−x 0x −1，令y ＝0，解得N(−x 0y+1,0)． AM →=(x 01−y 0,−1)，AN →=(−x 01+y 0,−1)，∴ AM →⋅AN →=−x 021−y 02+1，由C(x 0, y 0)在椭圆G:x 22+y 2=1上，∴ x 02=2(1−y 02)，∴ AM →⋅AN →=−1≠0，∴ ∠MAN ≠90∘，∴ 以线段MN 为直径的圆不过点A ． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】(Ⅰ)由已知条件设椭圆G 的方程为：x 2a 2+y 2=1,(a >1)．由e =√22，得e 2=a 2−1a 2=12，由此能求出椭圆的标准方程．(Ⅱ)设C(x 0, y 0)，且x 0≠0，则D(−x 0, y 0)，由已知条件推导出AM →⋅AN →=−x021−y 02+1，x 02=2(1−y 02)，由此能求出以线段MN 为直径的圆不过点A ．【解答】 （1）∵椭圆G 的离心率为√22，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 设椭圆G 的方程为：x 2a 2+y 2=1,(a >1)．由e =√22，得e 2=a 2−1a 2=12，解得a 2＝2，∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．（2）以MN 为直径的圆是不过点A ．理由如下： ∵ C 、D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点， ∴ 设C(x 0, y 0)，且x 0≠0，则D(−x 0, y 0)． ∵ A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 直线AC 的方程为y =y 0−1x 0x +1．令y ＝0，得x M =−x 0y0−1，∴ M(−x 0y0−1,0)．同理直线BD 的方程为y =y 0+1−x 0x −1，令y ＝0，解得N(−x 0y0+1,0)．AM →=(x 01−y 0,−1)，AN →=(−x 01+y 0,−1)，∴ AM →⋅AN →=−x21−y 02+1，由C(x 0, y 0)在椭圆G:x 22+y 2=1上，∴ x 02=2(1−y 02)，∴ AM →⋅AN →=−1≠0，∴ ∠MAN ≠90∘，∴ 以线段MN 为直径的圆不过点A ． 【答案】解：(1)①因为S 55−1=134<5，数列−1，3，5，2，4不是“Γ数列，②因为S 33−1=111128>34，又34是数列34，3242，3343中的最大项所以数列34，3242，3343是“Γ数列”．(2)反证法证明：假设存在某项a i <0，则a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k =S k −a i >S k ． 设a j =max {a 1, a 2, ...a i−1, a i+i ..., a k−1+a k }，则S k −a i =a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k ≤(k −1)a j ，所以(k −1)a j >S k ，即a j >S k k−1，这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． (3)由(2)问可知b 1≥0，d ≥0． ①当d =0时，b 1=b 2=...=b m =S m m<S mm−1，符合题设；②当d >0时，b 1<b 2<...<b m ，由“Γ数列”的定义可知b m ≤S mm−1，即(m −1)[b 1+(m −1)d]≤mb 1+12m(m −1)d ，整理得(m −1)(m −2)d ≤2b 1(∗)显然当m =2b 1+3时，上述不等式(∗)就不成立所以d >0时，对任意正整数m ≥3，(m −1)(m −2)d ≤2b 1不可能都成立． 综上讨论可知{b n }的公差d =0． 【考点】 数列的求和等差数列的通项公式数列的概念及简单表示法 【解析】（1）根据“Γ数列”的定义，即可判断数列−1，3，5，2，4和34，3242，3343是否是“Γ数列”，（2）若{a n }为“Γ数列”，利用反证法即可证明：a i ≥0对i =1，2，…，k 恒成立；（3） 【解答】解：(1)①因为S 55−1=134<5，数列−1，3，5，2，4不是“Γ数列，②因为S 33−1=111128>34，又34是数列34，3242，3343中的最大项所以数列34，3242，3343是“Γ数列”．(2)反证法证明：假设存在某项a i <0，则a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k =S k −a i >S k ． 设a j =max {a 1, a 2, ...a i−1, a i+i ..., a k−1+a k }， 则S k −a i =a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k ≤(k −1)a j ，所以(k −1)a j >S k ，即a j >S k k−1，这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． (3)由(2)问可知b 1≥0，d ≥0． ①当d =0时，b 1=b 2=...=b m =S m m<Smm−1，符合题设；②当d >0时，b 1<b 2<...<b m ， 由“Γ数列”的定义可知b m ≤S m m−1，即(m −1)[b 1+(m −1)d]≤mb 1+12m(m −1)d ，整理得(m −1)(m −2)d ≤2b 1(∗)显然当m =2b 1+3时，上述不等式(∗)就不成立所以d >0时，对任意正整数m ≥3，(m −1)(m −2)d ≤2b 1不可能都成立． 综上讨论可知{b n }的公差d =0．。
数学_2011年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2011年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在复平面上，复数z=2−i对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2.已知全集U=R，集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={x∈R|x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（）A {1}B {0, 1}C {1, 2}D {0, 1, 2}3. 函数f(x)=log2x−1x的零点所在区间是( )A (0,12) B (12，1) C (1, 2) D (2, 3)4. 若函数y=sin(x+π3)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A y=sin(12x+π6) B y=sin(12x+π3) C y=sin(2x+2π3) D y=sin(2x+π3)5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛的得分情况的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（）A 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6. 圆x2+y2−4x+2=0与直线l相切于点A(3, 1)，则直线l的方程为()A 2x−y−5=0B x−2y−1=0C x−y−2=0D x+y−4=07. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有（）A 0条B 1条C 2条D 3条8. 若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2．给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a1a2>b1b2；③a12−a22=b12−b22；④a1−a2<b1−b2．其中，所有正确结论的序号是（）A ②③④B ①③④C ①②④D ①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 双曲线C:x22−y22=1的渐近线方程为________；若双曲线C的右焦点和抛物线y2=2px的焦点相同，则抛物线的准线方程为________．10. 点P(x, y)在不等式组{y≤2xy≥−xx≤2表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为________．11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．12. 已知△ABC的面积S=√3，∠A=π3，则AB→⋅AC→=________．13. 已知数列{a n}满足a1=1，且a n=n(a n+1−a n)(n∈N∗)，则a2=________；a n=________．14. 已知函数f′(x)、g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示：①若f(1)=1，则f(−1)=________；②设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ(−1)，ℎ(0)，ℎ(1)的大小关系为________．（用“<”连接）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x．（1）求f(π4)的值；（2）若x ∈[0,π2]，求f(x)的最大值及相应的x 值． 16. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，且D ，E ，F 分别为BC ，BB 1，AA 1的中点．（1） 求证：平面B 1FC // 平面EAD ；（2）求证：BC 1⊥平面EAD ．17. 某学校餐厅新推出A 、B 、C 、D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下．为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（1）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率．18. 已知函数f(x)=13x 3−ax 2+bx ．(a, b ∈R)(I)若f ′(0)=f ′(2)=1，求函数f(x)的解析式；(II)若b =a +2，且f(x)在区间(0, 1)上单调递增，求实数a 的取值范围．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)两个焦点之间的距离为2，且其离心率为√22． （1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线与椭圆另一个交点为A ，且满 足BA →⋅BF →=2，求△ABF 外接圆的方程．20. 对于数列A:a 1，a 2，…，a n ，若满足a i ∈{0, 1}(i =1, 2, 3,…,n)，则称数列A 为“0−1数列”．定义变换T ，T 将“0−1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A:1，0，1，则T(A)：0，1，1，0，0，1．设A 0是“0−1数列”，令A k =T(A k−1)，k =1，2，3，…（1） 若数列A 2:1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．求数列A 1，A 0；（2） 若数列A 0共有10项，则数列A 2中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；（3）若A 0为0，1，记数列A k 中连续两项都是0的数对个数为l k ，k =1，2，3，…求l k 关于k 的表达式．2011年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. A3. C4. B5. D6. D7. B8. B9. y =±x ,x =−2√210. 611. π+112. 213. 2,n14. 1,ℎ(0)<ℎ(1)<ℎ(−1)15. 解：（1）∵ f(x)=sinxcosx +sin 2x ，∴ f(π4)=sin π4cos π4+sin 2π4，…=(√22)2+(√22)2 …=1．…（2）f(x)=sinxcosx +sin 2x =12sin2x +1−cos2x 2，… =12(sin2x −cos2x)+12=√22sin(2x −π4)+12，… 由x ∈[0,π2]得2x −π4∈[−π4,3π4]，… 所以，当2x −π4=π2，即x =38π时，f(x)取到最大值为√2+12．…16. 证明：（1）由已知可得AF // B1E，AF=B1E，∴ 四边形AFB1E是平行四边形，∴ AE // FB1，…∵ AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴ AE // 平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴ DE // B1C，…∵ ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ ED // 平面B1FC；…∵ AE∩DE=E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴ 平面B1FC // 平面EAD．…（2）∵ 三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴ C1C⊥面ABC，又∵ AD⊂面ABC，∴ C1C⊥AD．…又∵ 直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴ △ABC是正三角形，∴ BC⊥AD，…而C1C∩BC=C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴ AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵ 四边形BCC1B1是菱形，∴ BC1⊥B1C，…而DE // B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE=D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…17. 若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是0.1．（2）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5．其中不满意的人数分别为1，1，0，2个．…记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d．…设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”…从填写不满意的学生中选出2人，共有(a, b)，(a, c)，(a, d)，(b, c)，(b, d)，(c, d)6个基本事件，…而事件N有(a, c)，(a, d)，(b, c)，(b, d)，(c, d)5个基本事件，…．…则P(N)=56．答：这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率是5618. 解：(I)因为f′(x)=x2−2ax+b，由f ′(0)=f ′(2)=1即{b =14−4a +b =1得{a =1b =1， 所以f(x)的解析式为f(x)=13x 3−x 2+x ． (II)若b =a +2，则f ′(x)=x 2−2ax +a +2，△=4a 2−4(a +2)，(1)当△≤0，即−1≤a ≤2时，f ′(x)≥0恒成立，那么f(x)在R 上单调递增， 所以，当−1≤a ≤2时，f(x)在区间(0, 1)上单调递增；(2)当△>0，即a >2或a <−1时，因为f ′(x)=x 2−2ax +a +2的对称轴方程为x =a要使函数f(x)在区间(0, 1)上单调递增，需{a <−1f′(0)≥0或{a >2f′(1)≥0解得−2≤a <−1或2<a ≤3．综上：当a ∈[−2, 3]时，函数f(x)在区间(0, 1)上单调递增．19. 解：（1）由题意可得：2c =2,e =c a =√22，… ∴ c =1,a =√2，∴ b =√a 2−c 2=1，…所以椭圆C 的标准方程是 x 22+y 2=1．…（2）由已知可得B(0, 1)，F(1, 0)，…设A(x 0, y 0)，则BA →=(x 0,y 0−1)，BF →=(1,−1)，∵ BA →⋅BF →=2，∴ x 0−(y 0−1)=2，即x 0=1+y 0，…代入x 022+y 02=1， 得：{x 0=0y 0=−1或{x 0=43y 0=13， 即A(0, −1)或A(43，13)．…当A 为(0, −1)时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF 的外接圆是以O 为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x 2+y 2=1； …当A 为(43，13)时，k BF =−1，k AF =1， 所以△ABF 是直角三角形，其外接圆是以线段BA 为直径的圆．由线段BA 的中点(23，23)以及|BA|=2√53可得△ABF 的外接圆的方程为(x −23)2+(y −23)2=59．…综上所述，△ABF 的外接圆的方程为x 2+y 2=1或(x −23)2+(y −23)2=59．20. 解：（1）由变换T 的定义可得A 1:0，1，1，0，0，1...A 0:1，0，1…（2） 数列A 0中连续两项相等的数对至少有10对 …证明：对于任意一个“0−1数列”A 0，A 0中每一个1在A 2中对应连续四项1，0，0，1，在A 0中每一个0在A 2中对应的连续四项为0，1，1，0，因此，共有10项的“0−1数列”A 0中的每一个项在A 2中都会对应一个连续相等的数对， 所以A 2中至少有10对连续相等的数对．…（3） 设A k 中有b k 个01数对，A k+1中的00数对只能由A k 中的01数对得到，所以l k+1=b k ，A k+1中的01数对有两个产生途径：①由A k 中的1得到； ②由A k 中00得到， 由变换T 的定义及A 0:0，1可得A k 中0和1的个数总相等，且共有2k+1个， 所以b k+1=l k +2k ，所以l k+2=l k +2k ，由A 0:0，1可得A 1:1，0，0，1，A 2:0，1，1，0，1，0，0，1所以l 1=1，l 2=1，当k ≥3时，若k 为偶数，l k =l k−2+2k−2，l k−2=l k−4+2k−4，…l 4=l 2+22． 上述各式相加可得l k =1+22+24+⋯+2k−2=1(1−4k 2)1−4=13(2k −1)， 经检验，k =2时，也满足l k =13(2k −1)．若k 为奇数，l k =l k−2+2k−2l k−2=l k−4+2k−4...l 3=l 1+2．上述各式相加可得l k =1+2+23+⋯+2k−2=1+2(1−4k−12)1−4=13(2k +1)， 经检验，k =1时，也满足l k =13(2k +1)．所以l k ={13(2k +1)，k 为奇数13(2k −1)，k 为偶数．…。
2014年海淀区高三年级二模语文试卷附答案.docx
2014 年海淀区高三年二模文卷附答案一、本大共7 小，共15 分．下面文字，按要求完成1-4 。
武侠小大古一句典的：一个人如果【】，就放他去菜市，他会重新①（萌/激）生活的。
作家雪小禅菜市②（一情/情有独），她：“我有一个癖好，就是每到一个地方都会去菜市逛逛，因那里充了烟火气息和旺盛的生命力⋯⋯”与古先生所大抵③（相同/略同）。
走菜市，你会真是一个生活虎的世界：者起袖子大声喝，迅速装袋、秤、收、找零，整个程极富奏感。
菜的大都是主，一日三餐的性价比，她使出身解数，在里“斗智”一番。
就平素弱的女性，了准一桌丰盛可控的菜，一菜市，便也仔地【】蔬菜，麻利地装大袋小袋⋯⋯菜市含着无的生活哲理。
姜昆的相声段子就巧妙地拿“菜市” 事：“生活就是大白菜，④ ，内容丰富，出不。
”通俗易懂，又人忍俊不禁。
1．填入文中两【】内的字形和加点字的音全都正确的一是（ 2 分）A．走无路癖好（ pǐ）身解数（ jiè）挑B．走投无路癖好（ pì）身解数（ xiè）挑C．走投无路癖好（ p ǐ）身解数（ xiè）挑D．走无路癖好（ pì）身解数（ jiè）挑2．依次填入文中横① -③的，最恰当的一是（ 3分）A．①萌②情有独③相同B．①激②情有独③略同C．①萌②一情③略同D．①激②一情③相同3．文中的女性形象特点概括不正确的一是（ 2 分）A．精明能干 B．持家有道 C．世俗小气D．生活4．填入文中横④的句子，与上下文接最恰当的一是（ 2 分）A．种了一茬又一茬B．吃了一有一C．品了一遍又一遍D．扒了一又一5．有客在超市菜把大白菜剥得只剩菜芯儿，把芹菜叶子得干干。
超市工作人前去阻，表达最得体的一是（ 2 分）A．本超市禁自行剥菜菜。
B．您么占小便宜是不的。
C．您太浪了，也影响您的形象。
D．您注意个人形象，做文明好市民。
6．歇后一般由两部分构成，前一部分起“引子”的作用，像面，后一部分起“后”的作用，像底。
2014年高考北京文科数学试题及答案（解析版）
;.2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2014年北京，文1，5分】若集合0,1,2,4A，1,2,3B，则A B （）（A ）0,1,2,3,4（B ）0,4（C ）1,2（D ）3【答案】C 【解析】因为{1,2}AB，故选C ．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．（2）【2014年北京，文2，5分】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）（A ）xye（B ）y x（C ）ln yx（D ）yx【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为),0(；选项D ，在)0,(上是减函数，故选B ．【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．（3）【2014年北京，文3，5分】已知向量2,4a，1,1b，则2a b（）（A ）5,7（B ）5,9（C ）3,7（D ）3,9【答案】A 【解析】因为2(4,8)a，所以2(4,8)(1,1)(5,7)ab，故选A ．【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．（4）【2014年北京，文4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）1 （B ）3 （C ）7 （D ）15 【答案】C【解析】当0k 时，1S ；当1k 时，123S ；当2k 时，347S ；当3k 时，输出7S ，故选C ．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（5）【2014年北京，文5，5分】设a 、b 是实数，则“ab ”是“22ab ”的（）（A ）充分必要条件（B ）必要而不必要条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分不必要条件【答案】D 【解析】若0,2ab ，则22ab ，故不充分；若2,0a b ，则22ab ，而a b ，故不必要，故选D ．【点评】判断充要条件的方法是：①若p q 为真命题且qp 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p q 为假命题且q p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p q 为真命题且q p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若pq 为假命题且qp 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．（6）【2014年北京，文6，5分】已知函数26log f xx x，在下列区间中，包含f x 零点的区间是（）（A ）0,1（B ）1,2（C ）2,4（D ）4,【答案】C 【解析】因为3(2)410,(4)202f f ，所以由根的存在性定理可知，故选A ．【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．;.O5430.80.70.5tp （7）【2014年北京，文7，5分】已知圆22:341C x y 和两点,0A m ，,00B m m，若圆C 上存在点P ，使得90APB，则m 的最大值为（）（A ）7 （B ）6（C ）5 （D ）4【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点0,0为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以15m ，故选B ．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．（8）【2014年北京，文8，5分】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p atbtc （a 、b 、c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A ）3.50分钟（B ）3.75分钟（C ）4.00分钟（D ）4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p atbtc 的图象上，所以930.71640.82550.5ab c a b c a b c ，解得0.2, 1.5,2a b c．2215130.2 1.520.2()416pttt，当153.754t 时，p 取最大值，故选B ．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，文9，5分】若i i 12i x x R ，则x．【答案】2【解析】由题意知：i 112i x ，所以由复数相等的定义知2x．【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．（10）【2014年北京，文10，5分】设双曲线C 的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点式1,0，则C 的方程为．【答案】221xy【解析】由题意知：2,1ca，所以2221bca，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C 的方程为221xy．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．（11）【2014年北京，文11，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为______．【答案】22【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为222222．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．（12）【2014年北京，文12，5分】在ABC 中，1a ，2b ，1cos 4C，则c；sin A ．【答案】2，158【解析】由余弦定理得：22212cos 52244c a b ab C ，故2c ；因为4417cos 2228A，所以15sin 8A．俯视图侧（左）视图正（主）视图11122;.【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（13）【2014年北京，文13，5分】若x 、y 满足1101yx y xy，则3z xy 的最小值为_______．【答案】 1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线3zxy 可得，当直线经过两条直线1y与10xy的交点0,1时，z 取得最小值1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．（14）【2014年北京，文14，5分】顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A 915原料B621则最短交货期为工作日．【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142天．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京，文15，13分】已知n a 是等差数列，满足13a ，412a ，数列nb 满足14b ，420b ，且nn b a 为等比数列．（1）求数列n a 和n b 的通项公式；（2）求数列n b 的前n 项和．解：（1）设等差数列n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d ，所以11312na a n d n n ，，．设等比数列n n b a 的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a ，解得2q ．所以11112n n nnb a b a q ．（2）由（1）知13212n nb n n，，．数列3n 的前n 项和为312n n，数列12n 的前n 项和为1212112nn×．所以，数列n b 的前n 项和为31212nn n ．【点评】本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．（16）【2014年北京，文16，13分】函数3sin 26f xx的部分图象如图所示．（1）写出f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求f x 在区间,212上的最大值和最小值．解：（1）f x 的最小正周期为π，07π6x ．03y ．（2）因为ππ212x ，，所以π5π2066x ，．于是当π206x，即π12x时，f x 取得最大值0；当ππ262x，即π3x 时，f x 取得最小值3．Oy xy 0x 0;.【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．（17）【2014年北京，文17，14分】如图，在三棱柱111ABCA B C 中，侧棱垂直于底面，ABBC ，12AA AC ，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点．（1）求证：平面ABE平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥EABC 的体积．解：（1）在三棱柱111ABCA B C 中，1BB 底面ABC ．所以1BB AB ．又因为ABBC ．所以AB平面11B BCC ．所以平面ABE 平面11B BCC ．（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC ．因为11AC AC ∥，且11ACAC ，所以1FG EC ∥，且1FG EC ．所以四边形1FGEC 为平行四边形．所以1C F EG ∥．又因为EG 平面ABE ，1C F 平面ABE ，所以1C F ∥平面ABE ．（3）因为12AA AC，1BC，ABBC ，所以223AB AC BC．所以三棱锥EABC 的体积111133123323ABC VS AA △．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E ﹣ABC 的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．（18）【2014年北京，文18，13分】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）．解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（2）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a 频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b频率组距．（3）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量．（19）【2014年北京，文19，14分】已知椭圆22:24C xy．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y，点B 在椭圆C 上，且OAOB ，求线段AB 长度的最小值．解：（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142xy．所以24a，22b ，从而2222cab．因此2a，2c ．故椭圆C 的离心率22c ea．组号分组频数1 02， 6 2 24，8 3 46，17 4 68，22 5 810，25 6 1012，12 7 1214， 6 81416， 2 9 1618， 2 合计100C 1B 1A 1FE C BAGC 1B 1A 1FECBA阅读时间ba频数组距18161412108642O;.（2）设点A ，B 的坐标分别为2t ，，00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ，所以0OA OB，即0020tx y ，解得002y tx ．又22024xy，所以2222ABx ty 22000022y x y x 222002044y xyx220202024442xxxx22002084042x x x≤．因为22002084042x x x≥≤，且当204x时等号成立，所以28AB ≥．故线段AB 长度的最小值为22．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．（20）【2014年北京，文20，13分】已知函数3()23f x xx ．（1）求()f x 在区间[2,1]上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()yf x 相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C 分别存在几条直线与曲线()yf x 相切？（只需写出结论）．解：（1）由323f xxx 得263f x x．令0fx，得22x或22x．因为210f，222f，22112ff ，，所以f x 在区间21，上的最大值为222f．（2）设过点1P t ，的直线与曲线yf x 相切于点00x y ，，则300023y x x ，切线斜率2063kx ，所以切线方程为263yy x 0xx ，2000631ty x x ．整理得324630x x t ．设32463g xxxt，则“过点1P t ，存在3条直线与曲线yf x 相切”等价于“g x 有3个不同零点”．21212121g xxxx x ．g x 与g x 的情况如下：x(0)，0 (01)， 1 (1)，()g x 0 0()g x ↗3t ↘1t ↗所以，(0)3g t是()g x 的极大值，(1)1g t 是()g x 的极小值．当(0)30g t≤，即3t ≤时，此时()g x 在区间1，和(1)，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t ≥，即1t ≥时，此时()g x 在区间(0)，和0，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当00g 且10g ，即31t时，因为1702110gt g t ，，所以g x分别在区间10，，01，和12，上恰有1个零点．由于g x 在区间0，和1，上单调，所以g x 分别在区间0，和1，上恰有1个零点．综上可知，当过点1P t ，存在3条直线与曲线yf x 相切时，t 的取值范围是31，．（3）过点12A，存在3条直线与曲线yf x 相切；过点210B ，存在2条直线与曲线yf x 相切；过点02C ，存在1条直线与曲线yf x 相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．。
2014年北京市海淀区高三二模参考答案(理科)
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1) }11.1 12.213. 14.6，5050 {本题第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a === ---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B = ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c = -------------------------------11分解得c = -------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-==<可得90A >，不符合题意，所以c =. --------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分 因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=. --------------------------------8分所以1EG CA ⊥，所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩ --------------------------10分令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n . --------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为. --------------------------------14分 16.解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ， -------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯ --------------------------4分 0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分 112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯= 2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯= 112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯= ----------------------------10分所以的的分布列为--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解： （Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π'()()c os 2f x x x =---------------------------------1分 由'()0f x =得π2x =--------------------------------------2分 (),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-，①当ππa <<时，(),'()f x f x 的情况如下分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a ②当时，(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2. 19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分 由e =222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分 解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=202011x y -+-, --------------------------------------10分由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分 所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分 所以90MAN ∠≠,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . ------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠, ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分 因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>,----------------11分 所以90ACB ∠≠, -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠, ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩ 化简得到222(1)20x kx ++-=，所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++,所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++. ----------------------------8分所以直线BD 的方程为222211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分 令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠, ----------------------12分所以90MAN ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点. --------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅的取值} 20.解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d = ---------------------------3分 （Ⅱ）法一：① 当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==恒成立. ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+， 当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数. ------------------------------------------------9分 法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x =，x ∈N ）中，总满足ic 是唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c bx -<. 所以，当2,3,,13c bi -=-时，111(2)(1)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c bf a b c -+-++=，3c bd b a -=- 依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c bi y ---=++，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a cbc by y +-++<-，解得3b ay -<. 所以，当,1,,1333c b c b c ai ---=+-时，111(1)(2)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-.3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b cf a b c -++++++=，30c a d -= 所以存在3c an -=，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.--------------------------------13分 法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-，所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b ca b c +++++=== 所以存在3dn =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。
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海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数 学 （文科） 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B3.D4.B5.A6.A7.D8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.10.2 11.8 12.①② 13.2，0 14.5，3.6{第13，14题的第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）()2cos21f x x x a =++- --------------------------4分12cos2)12x x a =++- π2sin(2)16x a =++- ---------------------------6分 ∴周期2ππ.2T == ----------------------------7分 （Ⅱ）令()0f x =，即π2sin(2)1=06x a ++-， ------------------------------8分 则π=12sin(26a x -+， --------------------------------9分 因为π1sin(2)16x -£+£， ---------------------------------11分 所以π112sin(236x -£-+£， --------------------------------12分 所以，若()f x 有零点，则实数a 的取值范围是[1,3]-. -----------------------------13分 16.解：（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4分 （Ⅱ）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月. ------------------------------------------6分设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A ， --------------------------------------7分 在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------8分 其中事件A 有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况. ---------9分∴3().11P A = -----------------------------------------10分 （Ⅲ）从2012年11月开始，2012年11月,12月,2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大. -----------------------------------------13分17.解：（I ）1A A ^Q 底面ABC ，1A A \^AB ， -------------------------2分 AB AC ^Q ，1A A AC A =I ，AB \^面11A ACC . --------------------------4分 （II ）Q 面DEF //面1ABC ，面ABC I 面DEF DE =，面ABC I 面1ABC AB =， AB \//DE ， ---------------------------7分Q 在ABC D 中E 是棱BC 的中点，D \是线段AC 的中点. ---------------------------8分 （III ）Q 三棱柱111ABC A B C -中1A A AC =\侧面11A ACC 是菱形， 11A C AC \^， --------------------------------9分 由（1）可得1AB AC ^， Q 1AB AC A =I ，1AC \^面1ABC ， --------------------------------11分 1AC \^1BC . -------------------------------12分 又,E F Q 分别为棱1,BC CC 的中点，EF \//1BC ， ------------------------------13分 1EF AC \^. ------------------------------14分18. 解：（Ⅰ）由已知可得2'()24f x x ax =++. ---------------------------------1分 '(0)4f \=， ---------------------------------2分 又(0)f b =()f x \在0x =处的切线方程为4y x b =+. ---------------------------------4分令321443x ax x b x b +++=+，整理得2(3)0x a x +=. 0x \=或3x a =-， -----------------------------------5分 0a ¹Q 30a \-¹， ----------------------------------------6分 ()f x \与切线有两个不同的公共点. ----------------------------------------7分 （Ⅱ）()f x Q 在(1,1)-上有且仅有一个极值点，\2'()24f x x ax =++在(1,1)-上有且仅有一个异号零点， ---------------------------9分 由二次函数图象性质可得'(1)'(1)0f f -<， -------------------------------------10分 即(52)(52)0a a -+<，解得52a >或52a <-， ----------------------------12分1综上，a 的取值范围是55(,)(,)22-¥-+¥U . -------------------------------13分 19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)x y a a+=> --------------------------------------------1分由2e =，可得222112a e a -==，----------------------------------------------------------------3分 解得22a =, -----------------------------------------------------------4分 所以椭圆的标准方程为2212x y +=. ----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：设00(,),C x y 则000(,),0D x y x -¹ ------------------------------------------------------6分 因为(0,1),(0,1)A B -，所以直线BC 的方程为0011y y x x +=-， ------------------------------------------------------7分 令0y =，得001M x x y =+，所以00(,0)1x M y +. ----------------------------------------------8分 所以0000(,1),(,1),1x AM AD x y y =-=--+u u u u r u u u r -------------------------------------------9分 所以200011x AM AD y y -×=-++u u u u r u u u r ， ---------------------------------------------10分 又因为2200121x y +=，代入得200002(1)111y AM AD y y y -×=+-=-+u u u u r u u u r --------------------11分 因为011y -<<，所以0AM AD ×¹u u u u r u u u r . -----------------------------------------------------------12分所以90MAN йo ， -------------------------------------------------------13分 所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ---------------------------------------------14分法二：设直线BC 的方程为1y kx =-，则1(,0)M k. ------------------------------------------------6分 由22220,1,x y y kx ì+-=í=-î化简得到222(1)20x kx +--=，所以22(12)40k x kx +-=，所以12240,21k x x k ==+， -------------------------------------8分 所以22222421112121k k y kx k k k -=-=-=++， 所以222421(,)2121k k C k k -++，所以222421(,)2121k k D k k --++ ----------------------------------------9分所以2221421(,1),(,1),2121k k AM AD k k k --=-=-++u u u u r u u u r ---------------------------------------------10分 所以2222421210212121k AM AD k k k ---×=-+=¹+++u u u u r u u u r ， --------------------------------------12分 所以90MAN йo ， ---------------------------------------13分 所以点A 不在以线段MN 为直径的圆上. ------------------------------------14分20.解： （Ⅰ）①因为5135514S =<-，数列1,3,5,2,4-不是“G 数列”， ---------------------------------2分 ②因为31113311284S =>-，又34是数列2323333,,444中的最大项 所以数列2323333,,444是“G 数列”. ----------------------------------------------4分 （Ⅱ）反证法证明：假设存在某项i a <0，则12111i i k k k i k a a a a a a S a S -+-+++++++=->L L .设12111max{,,,,,,,}j i i k k a a a a a a a -+-=L L ，则12111k i i i k k j S a a a a a a a k a -+--=+++++++L L ≤(-1)，所以(1)j k k a S ->，即1k j S a k >-， 这与“G 数列”定义矛盾，所以原结论正确． --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）问可知10,0b d ³³．①当0d =时，121m m m S S b b b m m ====<-L ，符合题设； ---------------------9分 ②当0d >时，12m b b b <<<L由“G 数列”的定义可知1m m S b m £-，即111(1)[(1)](1)2m b m d mb m m d -+-£+- 整理得1(1)(2)2m m d b --£（*）显然当123m b =+时，上述不等式（*）就不成立所以0d >时，对任意正整数3m ³，1(1)(2)2m m d b --£不可能都成立.综上讨论可知{}n b 的公差0d =. --------------------------------------------------13分。