数学建模3

被称作改进的欧拉公式。
(4)
y n +1 的 预 测 值 − y n +1 再 把 它 带 2x / (0 < x < 1) y = y − y y ( 0) = 1
入梯形公式的 （3.3） 右端，作为较 正。
例 1、求解初值问题
解（1）向前欧拉公式的方法具体形式为： y n +1 = y n + h( y n − 取步长 h=0.1，计算结果见表 3－1。
x n = x 0 + nh, n = 0,1,2, L. 初值问题（3-1）的数值解法都采用进步式，即只要给出用 已知信息 y n , y n −1 , y n − 2 , L 就能给出计算 y n +1 的递推公式。
它的基本思想是在 x 小区间 [x n , x n +1 ] 上用差商
2、欧拉方法的递推公式： 欧拉方法的递推公式
h yn +1 = yn + 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) h h k1 = f ( xn , yn ), k2 = f ( xn + , yn + k1 ) 2 2 h h k3 = ( xn + 2 , yn + 2 k2 ), k4 = ( xn + h, yn + hk3 )
h yn +1 = yn + 2 (k1 + k2 ) 2x 2 xn +1 k1 = yn − n , k2 = ( yn + hk1 ) − yn yn + hk1
仍取 h=0.1，计算结果比较见表 3－2
改进欧拉法明 显改善了精度
xn
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
5
次课
yn +1 = yn + h(λ1k1 + λ2 k2 + λ3 k3 + λ4 k4 ) k = f ( x , y ), k = f ( x + α h, y + β hk ) 1 n n 2 n 1 n 1 1 k3 = f ( xn + α 2 h, yn + β 2 hk1 + β 3 hk2 ) k4 = f ( xn + α 3 h, yn + β 4 hk1 + β 5 hk2 + β 6 hk3 )
数
学
建 模 电 子 教 案 第 3 教学周/星期 五 /第
7、8 节/第
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次课
课
题
第三章 微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解 §3.1 一阶微分方程初值问题数值解 §3.2 猪的最佳销售时机 1.常微分方程的两个模型 2.一阶常微分方程初值问题数值解法 3.猪的最佳销售时机问题的模型及实验 欧拉方法、 Runge-kutta(龙 1. 了解一阶微分方程的初值问题的两个数值解法： 格－库塔)方法。 2. 会利用变化率分析并建立微分方程模型。 3. 会用软件 Mathematica 和 MATLAB 求解微分方程模型。 1.掌握微分方程数值解法得基本思想. 2.了解欧拉方法、利用改进的欧拉公式解一阶微分方程的初值问题的数值解 Runge-kutta (龙格－库塔)方法 Differential equation; numerical value solution; 微分方程 数值解
n=0,1,2…….
（1）
被称作向前欧拉公式或显式欧拉公式。
记 y( xn ) = y n
yn +1 = yn + hf ( xn +1 , yn +1 )
Βιβλιοθήκη Baidu（3）梯形公式： 梯形公式 ：
n = 0,1, 2L
（2）
被称作向后欧拉公式或隐式欧拉公式。
y n +1 = y n +
h [ f ( xn , y n ) + f ( xn+1 , y n+1 )] 2
当 T=37℃时，有 t=-2.95 小时＝-2 小时 57 分，8 小时 20 分－2 小时 57 分＝5 小 时 23 分。即死亡时间大约在下午 5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。 二、一阶微分方程初值问题数值解 一阶微分方程初值问题数值解 一阶微分方程 1、导入课程：微分方程的定解问题中着重考虑的一阶方程的初值问题 导入课程：
称作四阶 R-K 公式。
(6)
[xn , xn+1 ] 内仍
取 2 个点， 仿照 改进的欧拉公 式得
其中待定系数 λi , α i , β i 共 13 个，由于计算复杂，直接给出一组 λi , α i , β i 的值，得
2、尸体冷却模型 受害者的尸体于晚上 7:30 被发现， 法医于晚上 8:20 赶到凶案现场， 测得尸体温度 为 32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为 31.4℃，室温在几个小 时内始终保持 21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下 午张某一直在办公室上班，5:00 时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家 （凶案现场）步行需 5 分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使 他排除在嫌疑犯之外。 解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午 5 点 5 分之前，则张某就不 是嫌疑犯，否则不能将张某排除。 设 T(t)表示 t 时刻尸体的温度，并记晚上 8:20 为 t=0，则 T(0)=32.6℃， T(1)=31.4℃。 假设受害者死亡时体温是正常的， T=37℃是要确定受害者死亡的时间， 即 也就是求 T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。 人体体温受大脑神经中枢调节。 人死亡后体温调节的功能消失， 尸体的温度受外界 环境温度的影响。 假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律， 即尸体温度的变化律与他 同周围的温度差成正比。即 牛顿冷却定律： 即尸体温度的 变化律与他同 周围的温度差 成正比。
yn
1.0959 1.1841 1.2662 1.3434 1.4164
y( xn )
1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142
xn
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yn
1.4860 1.5525 1.6153 1.6782 1.7379
y( xn )
1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321
的大小反映出精度的高低。
Runge－ 二阶 Runge－kutta 公式
y n +1 = y n + h (λ1 k 1 + λ 2 k 2 ) k1 = f ( x n , y n ) k = f ( x + α h, y + β hk ), 0 < α , β < 1 n n 1 2
dT = −k (T − 21.1) k 是常数， dt 分离变量积分得： T (t ) = 21.1 + ae − kt
由 T(0)=21.1+a=32.6 得 a=11.5；由 T(1)=21.1+ae-k=31.4 k=0.11，所以 T(t)=21.1+11.5e-0.11t . 得 e-k＝115/103，即
2
2 xf ′′( x) = 1 + f ′ ( x) f (100) = 0, f ′(100) = 0
这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹
1 1 3 200 2 f ( x) = x − 10 x 2 + 30 3
因 f (0) =
200 > 60 ，所以狼追不上兔子。 3
其中 λ1 , λ 2 , α , β 为待定系数，它满足： λ1 + λ 2 = 1, λ 2α = 上式被称作是二阶 R－K 公式。
(5)
1 β , =1 2 α
Runge－kutta 四阶 Runge－kutta 公式
4
数
学
建 模 电 子 教 案 第 3 教学周/星期 五 /第
7、8 节/第 在区间
教学内容
教学目标
教学重点
教学难点 双语教学 内容、 安排
教学手段、 板书、 结合多媒体教学 措施 作业、 后记
P69,2
教 学 过 程 及 教 学 设 计
一阶微分方程初值 初值问题数值解 §3.1 一阶微分方程初值问题数值解 一、两个模型 1、饿狼追兔问题 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西 100 米处。假设兔子与狼同时发现对方 并一起起跑，兔子往正北 60 米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且 狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？ 解 首先建立坐标系，兔子在 O 处， 狼在 A 处。由于狼要盯着兔子追，所以 狼行走的是一条曲线，且在同一时刻， 曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为 曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹 是 y=f(x)，则有 y′ x=100 = 0 ， y x=100 = 0 又因狼的速度是兔子的两倍，所以 在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到 (0,h)处，而狼在(x,y)处，则有
y ( x n +1 ) − y ( x n ) / 代替导数 y ， 而方 h
程右端函数中的在小区间 [x n , x n +1 ] 的端点上取值，得到方程的近似表达式，称为欧拉 公式。 向前欧拉公式： （1） 向前欧拉公式：
y n +1 = y n + hf ( x n , y n )
（2）向后欧拉公式： 向后欧拉公式：
1
h C(x,y) x O A(100,0) y B -60 y=f(x)
备注
用多媒体
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次课
h− y f ′( x) = 0 − x 2h = 100 1 + f ′2 ( x)dx ∫x
整理得到下述模型
某些类型的导 弹对目标追击 的数学模型于 此模型类似。
y ′ = f ( x, y ) y( x0 ) = y0
(3 − 1)
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次课
函数 f ( x, y ) 满足利普希茨条件： f ( x, y ) − f ( x, y ) ≤ L y − y （3-1）的解 y = y (x ) 存在并且唯一。
2 xn ) yn
此方程的解析 解为
y = 1 + 2x ，
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按这个解析式
xn
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
yn
1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351
y( xn )
1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142
(3 − 2)
常微分方程的解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程， 实际问题中主要靠数值 解法。 所谓数值解法， 就是寻求解 y(x)在一系列离散节点 x1 < x 2 < L < x n < x n +1 < L 上的近似值 y1 , y 2 , L , y n , y n +1 , L. 相邻两个节点的距离 h = xn +1 − xn 称为步长，节点为
n=0,1,2,…
…(3)
将向前和向后 欧拉公式加以 平均得到。 迭代过程分为 两步： 由向前欧 拉 公 式 算 出
被称作梯形公式。 （4）改进的欧拉公式: 改进的欧拉公式
− y n +1 = y n + hf ( x n , y n ) n = 0,1,2...... − h y n +1 = y n + f ( x n , y n ) + f ( x n +! , y n +1 ) 2
xn
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yn
1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.7848
y( xn )
1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321
子算出的准确 值 y ( x n ) 同近 似值 y n 相比较 欧拉方法的精 度很差。
（2）用改进的欧拉公式为
3、Runge-kutta(龙格－库塔)方法 Runge-kutta(龙格－库塔) 龙格 它的基本思想是将 y ( x + h) 在 x 处进行泰勒展开， 并取其前面几项来近似 y ( x + h) 而得到公式：
y ( x + h) ≈ y ( x) + h • φ ( x, y ( x), h) 由上式产生的迭代公式： y n +1 = y n + hφ ( x n , y n , t ) n = 0,1,2,...... p +1 若 y ( x + h) − [ y ( x ) + hφ ( x, y ( x ), h) ] = o( h ) ，则称以上述公式为 P 阶公式，P