第二章 统计指数理论(统计指数理论及其应用-上海财经大学 徐国祥 )

1.0205 0.7763 0.7246
1.02051.0714 1.0456
甲商品的价格上涨1.6％，乙商品上涨2.5％，但用总指数Kp计算 结果却是两种商品的价格平均上涨4.56％！
因此，通过费暄检验的指数并不一定就是好的指数，用费暄检验 作为评价指数优劣的标准缺乏科学依据。
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• 平均物价弹性系数和平均物量弹性系数的大小一般是不同的， 但是变化方向是完全一致的，均由相关系数决定。
3、何种经济环境能使派氏指数或拉氏指数比较好地揭示经济现象 的变化情况
• ρ>０时（适于经济过热和复苏时期），选用派氏指数比较好， 这时价格指数和物量指数同向变动，亦即价格、物量的环比发 展速度和环比增长速度有同向变动的趋势。
（二）派氏指数的经济解释 • 派氏价格指数的分子分母之差（p1q1 p0q1 (p1 p0 )q1 ）说
明报告期实际销售的商品由于价格变化而增减了多少销售额。
• 派氏物量指数的分子分母之差（ p1q1 p1q0 (q1 q0 )p1）说
明在价格已经发生变化的前提下，由于物量变动而带来的价值变 动。
p1q0 107.02% p0q0
Pp
p1q1 93.44% p0q1
物量指数
Lq
p0q1 107.02% p0q0
Pq
p1q1 93.44% p1q 0
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page11
一、费暄检验理论
• 恒等性检验：Pt/t=1，某时期的资料与其本身比较，结果必然为 100%。
q1 0
p1q0
Δ

p1q0
q1 0W10
其中：W10
p1q0 p1q0
• 派氏指数在寻找代表品物价、物量的平均变动时，都同时考虑了 物量、物价变动对它的影响
• 派氏物价指数与派氏物量指数的乘积V10比价值指数多出一项
S p Sq

2Sp2Sq2 Lp Lq
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j 1 N
p0i q0i
p0 j q0 j
i 1
j 1
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page3
二、拉氏指数的数理解释和经济解释
（一）拉氏指数的数理解释
1、拉氏价格指数是个体价格指数X的边际数学期望EX的一致渐进 无偏估计量
• 拉氏价格指数是随机变量p1/0在概率分布{W0}下的离散数学期望
Lp
• 派氏价格指数是随机变量p1/0在概率分布{W01}下的离散数学期望
• 派氏物量指数是随机变量q1/0在概率分布{W10}下的离散数学期望
Pp
p1q1 p0q1
p1 0
p0q1
Δ

p0q1
p1 0W01
其中：W01
p0q1 p0q1
Pq
p1q1 p1q0
p1q0 p0q0
p1 0
p0q0
Δ

p0q0
p1 0W0
其中：
p0 q0 p0q0
W0
• 拉氏价格指数是EX的渐进无偏估计
代表品价值指数为： V10
v1 v0
p1 0q1 0W0
p1 0Wp
p1 0W0
p1 0
p0q0 p0q0
p1q0 p0q0

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page15
二、时间互换检验
个体指数均符合这一检验。 对于统计指数的各种基本公式，仅简单综合法、简单几何平均法、 简单中位数法、简单众数法、固定加权综合法、以及加权几何平 均指数法符合，其余均不符合。
大多数指数不能通过时间互换检验的原因： 1、时间互换检验成立的前提是时间维的可逆性，这显然是主观意 识的产物，违背事物发展的规律。 2、时间互换检验不能反映经济实体的内在特征。 3、时间互换检验从思维方式上僵化了总体内部属性。
V1 0
p1q1 p0q0

p1q0 p0q0
p0q1 p0q0
结果仍与按n个产品计算的指数值Pt/b相等。
• 时间互换检验：Pt/b×Pb/t=1
对于大样本 费暄 或增减非主
• •
因子互换检验：Pt/b×Qt/b=Vt/b 循环检验（连锁检验）：P1/0× P2/1×…×Pt/t-1= Pt/0
检验 要产品，指 回本书目录
核心 数值变化极 小，可忽略
不计
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• ρ<０时（适于经济正常和滑坡时期），选用拉氏指数比较好， 物价指数和物量指数异向变动，亦即物价和物量的环比发展速 度或环比增长速度具有反向变动的趋势。
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page10
2.2 统计指数的优良性检验理论
例：某商店3种商品报告期和基期销售资料如下表所示。
拉氏 派氏
价格指数
Lp
p3q3 p2q2
n p3 2 )
n q3 0 (
p3q3 p0q0
Kq3 0
n p3 0 )
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page14
通过费暄检验的指数是否就是好的指数？ 以下列商品报告期和基期销售资料为例。
K p n p1 0 (
p1q1 p0q0
n q1 0 )
较直
• 公度性检验：指数值不随各种产品的计量单位变化而变化。 观，
一般
• 比例性检验（平均值检验）：若每个个体指数pt/b=C（b表示基 期），则总指数Pt/b=C。
指数 容易 通过
• 确定性检验：当某商品的单位价格或数量为0时，Pt/t既不为0， 也不为无穷大，更不是不定。
• 进退检验（联合检验）：在原有n个产品资料中，增减一个产品，
p0q0 p1q1
n q0 1 ) 1
n q1 0 (
p1q1 p0q0
n p1 0 ) n q0 1 (
p0q0 p1q1
n p0 1 ) 1
2、因子互换检验
K p Kq n p1 0 (
p1q1 p0q0
n q1 0 ) n q1 0 (
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page2
2、代表品价值指数是总体价值指数的一致无偏估计量
代表品个体价格指数：p1/0=p1/p0
代表品个体物量指数： q1/0=q1/q0
代表品个体价值指数： v1/0=v1/v0= p1/0 q1/0
代表品价值指数：V10
v1 v0
pFra Baidu bibliotekq1 p0q0
p3q3 p2q2
n q3 2 )
n p3 0 (
p3q3 p0q0
Kp3 0
n q3 0 )
Kq1 0 Kq2 1 Kq3 2 n q1 0 (
p1q1 p0q0
n p1 0 )
n q2 1 (
p2q2 p1q1
n p2 1 )
n q3 2 (
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page16
三、因子互换检验
因子互换检验要求物价指数与转换所成物量指数的乘积，应等于 价值指数。
个体指数均符合这一检验。
对于统计指数的各种基本公式，除简单几何平均法和加权几何平 均法外，其余均不符合 。
许多指数不能满足因子互换检验的根本原因，是由于对p1/0与q1/0 的相互关系COV(p1/0 ,q1/0)的处理不当。
p1 0q1 0
p0q0 p0q0
N
总体商品的价值：
V

lim
N
pjqj
j 1
N
p1j q1j
总体商品的价值指数：
EZ lim N
j 1 N
p0 j q0 j
j 1
n
p1i q1i
N
p1j q1j
nlimV1 0
lim n
i 1 n
EZ lim N
Lp
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由于代表品样本是分层样本，所以指数 p10W 是EX的无偏估计

量。又因为 p0q0 W ，所以拉氏价格指数渐近于无偏估计。
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p0q0
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• 拉氏价格指数是EX的一致估计
n
p1i q0i
n
lim
n
Lp
lim n
i 1 n
p0i q0i

lim
n
i 1
p(i ) 10
p0i q0i p0i q0i

xf1(x)dx EX
0
i 1
其中：p1(i0)为代表品样本中第i类商品的个体价格指数（i=1,2,…,n）
当代表品样本足够大时，拉氏价格指数收敛于边际数学期望EX。
2、拉氏物量指数是个体物量指数Y的边际数学期望EY的一致渐进 无偏估计量
同理：
• 拉氏物量指数是随机变量q1/0在概率分布{W0}下的离散数学期望
• 拉氏物量指数是EY的渐进无偏估计 • 拉氏物量指数是EY的一致估计
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page5
（二）拉氏指数的经济解释
• 拉氏价格指数的分子分母之差（p1q0 p0q0 (p1 p0 )q0 ）说
• 价值额的变动中考虑了物量变动和价格变动交互影响引起的价值 变动。
• 派氏价格指数由于权数是实时变化的，所以代表性较强，但不能 很好地反映纯价格比较原则。
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page8
四、拉氏指数与派氏指数的比较
1、两者之间的大小关系完全取决于两因素p、q之间的相关程度及
相关方向
Pp Lp Lp
第二章 统计指数理论
2.1 统计指数的数理经济理论 2.2 统计指数的优良性检验理论 2.3 统计指数的评价标准
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2 2.1 统计指数的数理经济理论
一、个体指数与总指数性质及其关系描述
1、个体指数是随机变量 随机变量要具备下列四个条件： ①变量所有可能的值都是已知的； ②在每次试验之前变量将出现什么值是未知的； ③每次试验后变量是一个确定的数； ④如果反复进行同样的试验，变量出现的值有一定的规律性。
明消费者若要维持基期消费水平，由于变动将会增减多少实际开 支。
• 拉氏物量指数的分子分母之差（p0q1 p0q0 (q1 q0 )p0 ）说
明在价格不边的前提下，纯粹由于物量变动而带来的价值变动。
• 价值额的变动中只考虑了价格或物量自身的变动所引起的价值变 动，没有考虑物量变动和价格变动交互影响引起的价值变动。
• 拉氏价格指数由于在相对较长的时间里保持权数不变（如每5年 或每10年才更新一次权数），所以能较好的反映纯价格比较原则， 但代表性较差，尤其是在产品更新换代快的时期。
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三、派氏指数的数理解释和经济解释
（一）派氏指数的数理解释
1、派氏价格指数和派氏物量指数不是个体价格指数X和个体物量 指数Y联合分布的边际数学期望EX、EY的点估计量
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以下列价格指数和物量指数为例，验证是否满足费暄最后三个检验。
K p n p1 0 (
p1q1 p0q0
n q1 0 )
1、时间互换检验
Kq n q1 0 (
p1q1 p0q0
n p1 0 )
n p1 0 (
p1q1 p0q0
n q1 0 ) n p0 1 (
p1q1 p0q0
n p1 0 )
p1q1 p0q0
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page13
3、循环检验
Kp1 0 Kp2 1 Kp3 2 n p1 0 (
p1q1 p0q0
n q1 0 )
n p2 1 (
p2q2 p1q1
n q2 1 )
n p3 2 (

W0( 1)2
q,p
W0
(
p1/
0 Lp
Lp
)2
q,p

Sp2 L2p
q,pVp2
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• 当 q,p 0 时，拉氏指数大于派氏指数，拉氏指数比派氏指数能 较好地反映社会经济现象的变动情况。
• 当 q,p 0 时，派氏指数大于拉氏指数，派氏指数比拉氏指数能 较好地反映社会经济现象的变动情况。
LpLq
物量指数 同理

W0
(
p1 0 Lp
1)( q1 0 Lq

1)
W0( 1)(k 1)
其中π和k表示相对个体指数，是个体指数与拉氏总指数的比值。
令 q,p

k
1 为价格弹性系数，则
1
B 1 W0 ( 1)2q,p

W0 ( 1)2q,p W0 ( 1)2
B 1 COV(p1 0 ,q1 0 ) SpSq
SpSq
Lp Lq
VpVq
2、两者之间的大小关系取决于变异系数Vp和个体指数的平均价格 弹性
以价格指 数为例，
B 1 COV (p1 0,q1 0 ) W0 (p1 0 Lp )(q1 0 Lq )
LpLq