均值不等式的理解
均值不等式法
均值不等式法均值不等式是数学中的一种重要的不等式定理，被广泛应用于各个数学领域中。
它可以帮助我们求解各种数学问题，特别是在求最值问题时非常有用。
本文将介绍均值不等式的定义、证明及其应用，重点讨论算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式的性质和应用。
首先，我们来介绍均值不等式的定义。
均值不等式是指若a，b是非负实数且a≥b，则有关于a和b的某种函数f(a,b)成立不等式a≥f(a, b)≥b。
其中，f(a, b)是对a，b进行某种运算的函数。
在均值不等式中，我们常用到的运算有算术平均数、几何平均数和平方平均数。
对应的不等式就是算术均值不小于几何均值，几何均值不小于平方均值。
由此可以得出三个主要的均值不等式：算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式。
接下来，我们来证明这三个均值不等式。
首先是算术均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)即算术平均数不小于几何平均数。
证明如下：设a1，a2，...，an为非负实数，令A = (a1+a2+...+an)/n，G = √(a1a2...an)。
根据等差平均不等式，对于任意的非负实数ai，我们有：(A-ai) + (G/√ai) ≥ 0将上述不等式对i从1到n分别求和，我们有：nA - (a1+a2+...+an) + G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an)≥ 0由于A = (a1+a2+...+an)/n，所以上述不等式等价于：nA - nA + G(1/√a1 + 1/√a2 + ...+ 1/√an) ≥ 0化简得：G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an) ≥ 0由于√ai是非负实数，所以1/√ai也是非负实数。
所以上述不等式恒成立。
证毕。
其次是几何均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：√(a1a2...an) ≥ (a1+a2+...+an)/n即几何平均数不小于算术平均数。
高中数学均值不等式
（一） 知识内容1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b 的算术平均值，ab 叫做,a b 的几何平均值． 均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行 转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由 均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==；⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=，∵,AC BC CD AB ⊥⊥ ∴CD AD BD ab =⋅=， 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，有2a bOC CD ab +=>=．当且仅当a b =时，,O D 两点重合，有2a bOC CD ab +===． 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），有以下不等式：22221122a b a b a b ab a b ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭+≥≥≥≥ 其中222a b +称为平方平均数，2a b+称为算术平均数，ab 称为几何平均数，211a b+称为调和平均数．CO DBA均值不等式证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭≥ ∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104⎝⎭≥ ∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立． 2211ab a ba b=++=211a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．（三）典例分析：1.基础不等式【例1】 1．“0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【变式】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥ 1【例2】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【变式】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b +>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =，那么（ ）A ．P Q ≥B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【变式】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥【例3】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例4】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例5】 已知a b c >>2a c-的大小关系是________．【例6】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例7】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是( )A ．12a b+> B ．12b a+> C ．1lg 2a b b + D ．1lg 2b a a +2.不等式最值问题【例8】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例9】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例10】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_________．【例11】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【例12】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例13】 正数a 、b 满足9a b=，则1a b +的最小值是______．【例14】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【变式】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则_________．【变式】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例15】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 .【变式】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 .【例16】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【变式】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例17】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．【例18】 ⑴已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x =______，y =_____时，xy 有最大值为_______．⑵若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_______，此时____,_____.a b ==3.均值与函数最值【例19】 求函数2y =的最小值．【例20】 求函数y =.【例21】 求函数2211()1f x x x x x =++++的最小值．【例22】 已知3x ≥，求4y x x=+的最小值.【变式】 求函数2y =【点评】 当a 、b 为常数，且ab 为定值，a b ≠时，2a b+>般方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形a b +求出a b -之差的最内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用．【变式】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例23】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【变式】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．【点评】 第⑴题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：由21yx y ax x +=++得：2(1)10ax y x y +-+-=，2(42)140y a y a ∆=+-+-≥，且要满足有大于1-的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适．【例24】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．⑵求2y =的最小值．⑶求函数2y =的最值．【例25】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x =-+-的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【变式】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【变式】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例26】 ⑴求函数422331x x y x ++=+的最小值． ⑵解不等式：21log (6)2x x x --->．【例27】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12C D ．1【例28】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【变式】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为_________．【例29】 设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14【例30】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是( ) A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12【点评】 排序不等式知识：定义：设a a a ≤≤≤，b b b ≤≤≤为两组实数，c c c ，，为b b b ，，的任一称1211n n n a b a b a b -++为两个实数组的反序积之和（简称反序和）。
均值不等式课程设计
04 均值不等式的实际案例
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是均值不等式在实际中的一个重要应用，通过合理配置资产，实现风险和收益的平 衡。
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法一
通过数学归纳法证明。首先证明基础步骤，然后假设 步骤成立，推出结论。
均值不等式的证明方法二
利用柯西不等式证明。柯西不等式是$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$，当且仅当 $frac{a_1}{b_1} = frac{a_2}{b_2} = ... = frac{a_n}{b_n}$时等号成立。将柯西不等式中的$a_i$ 和$b_i$分别替换为$sqrt{a_i}$和$frac{1}{sqrt{b_i}}$， 即可证明均值不等式。
均值不等式课程设计
目录
• 均值不等式的基本概念 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的扩展 • 均值不等式的实际案例 • 均值不等式的挑战与展望
01 均值不等式的基本概念
均值不等式的定义
均值不等式的定义
对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$时等号成立。
均值不等式
均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。
也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。
什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。
均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。
设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。
因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。
一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。
均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。
几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。
均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。
详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。
由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。
由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。
均值不等式的定义-概述说明以及解释
均值不等式的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述均值不等式是数学中一个重要的不等式概念，它描述了一组数的平均值与它们的其他性质之间的关系。
均值不等式在数学分析、概率论、统计学以及许多其他领域都有广泛的应用。
本文将对均值不等式的定义、应用和证明进行详细的阐述，以便读者能更好地理解和应用这一重要的数学理论。
通过深入探讨均值不等式的概念和实际意义，我们可以更好地认识到其在数学和现实生活中的重要作用。
1.2 文章结构：本文将分为引言、正文和结论三个部分来进行阐述均值不等式的定义及相关内容。
在引言部分，我们将先介绍均值不等式的概念，然后简要说明文章的结构，最后阐明撰写本文的目的。
接下来，在正文部分，我们将详细讨论均值不等式的概念、应用和证明，以便读者更全面地了解均值不等式的内涵和意义。
最后，在结论部分，我们将总结均值不等式的重要性，强调其在实际中的意义，并展望其未来研究方向，以期为读者提供一个全面而深入的了解。
1.3 目的:本文的主要目的是介绍和阐述均值不等式的定义及重要性。
我们将深入探讨均值不等式的概念和应用，以及对其进行证明的方法。
通过本文的阐述，我们旨在帮助读者更好地理解均值不等式，并认识到其在数学和实际问题中的重要性。
同时，我们也将展望均值不等式在未来的研究方向，以期激发更多学者对其进行深入研究，并在实际问题中发挥更大的作用。
通过对均值不等式的全面探讨，我们希望读者能够对其有一个更全面的了解，从而在数学和实际问题中更好地运用和发展均值不等式的理论。
2.正文2.1 均值不等式的概念均值不等式是数学中一类重要的不等式，通常用于比较一组数的平均值。
对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，均值不等式可以用来比较它们的平均值，从而得出一些重要的数学结论。
常见的均值不等式包括算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）和柯西-施瓦茨不等式。
这些不等式在数学和实际问题中都有着广泛的应用和重要性。
三个正数的均值不等式的证明
三个正数的均值不等式的证明三个正数的均值不等式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解数值之间的关系。
在这篇文章中，我将向大家介绍关于三个正数的均值不等式，并给出其证明。
三个正数的均值不等式是指对于任意三个正数a、b和c，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数，并且大于等于它们的谐波平均数。
具体来说，我们有以下不等式：(a+b+c)/3 ≥ √(abc) ≥ 3/(1/a + 1/b + 1/c)我们来证明不等式的第一部分：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)。
假设a、b 和c是任意三个正数，我们可以将(a+b+c)/3的平方展开得到：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc接下来，我们考虑右侧的abc。
根据算术平均-几何平均不等式，我们有：(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ √(a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ abc现在，我们将前两个不等式相加，得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc + abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc通过简化不等式，我们可以得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(3abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)由于(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)是(a+b+c)^2的展开式，我们可以将不等式进一步简化为：(a+b+c)^2/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)接下来，我们可以将等式两边的(a+b+c)约去，得到：(a+b+c)/3 ≥ (2/3)(abc)(a+b+c)/3 ≥ 2abc/3由于abc是正数，不等式仍然成立。
均值不等式详解
4 π 函 y 其 α∈ 0 ] 中 （， 3 求 数 = sin α + sin α 2 的 小 。 最 值 4 4 解 y = sin α + ： ≥ 2 sin α • sin α sin α = 4,∴ 数 最 值 4 函 的 小 为。
用均值不等式求最值,必须注意 相等” 用均值不等式求最值 必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值. 则不能取到该最值
（2）设矩形的长、宽分别为 ）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)， ， ， 依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， ， 依题意有 ，
x+ y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 因为 ， ，所以， 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方， 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 时 式中等号成立， 当且仅当 此时x=y=9， ， 此时
那么上面不等式可以叙述为： 那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项大于或等于它们的 两个正数的等差中项大于或等于它们的 大于或等于 等比中项。 等比中项。
2
的最大
的值。 值，及此时x的值。 及此时 的值
3 解： f ( x) = 1 − (2 x + ) ，因为x>0， 因为 ， x
3 3 所以 2 x + ≥ 2 2 x ⋅ = 2 6 x x 3 得 −(2 x + )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 − 2 6 因此
当且仅当 号成立。 号成立。
均值不等式详解
定理： 定理： 如果a， ∈ ， 那么a 如果 ，b∈R， 那么 2+b2≥2ab 时取“ ） （当且仅当a=b 时取“=”） 当且仅当 证明： 证明： a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) 2
均值不等式
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
均值不等式-中等难度-讲义
一、等号成立条件条件：对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立． 证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．二、均值不等式定义：如果a b ，，是正数，那么2a b +a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2220a b +-=+=≥，即a b +≥2a b +三、均值不等式的几何解释 解释：对于任意正实数a b ，，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2DC AC BC =⋅，即CD ．这个圆的半径为2a b +，显然2a b +点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．四、均值不等式的理解 1.对于任意两个实数a b ，，2a b +叫做a b ，a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数． 2.对于=“”的理解应为a b =是2a b +a b ≠，则2a b +> 3.注意222a b ab +≥和2a b +>a b R ∈，，后者是+a b R ∈， 五、极值定理 1.若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s ； 【证明】x y ，都是正数，2x y +≥x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24s ； 2.若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是【证明】x y ，都是正数，2x y +≥x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥ 【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不 等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值．③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． abba D 'DC B A1．已知x+y=1x +4y+8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5√3B．9 C．4+√26 D．102．设实数x，y满足条{4x−y−10≤0x−2y+8≥0x≥0，y≥0，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A．256 B．83C．113D．43．若不等式(12)x2−2ax＜23x+a2恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．(34，+∞) C．(0，34) D．(−∞，34)4．已知两个正数a，b满足3a+2b=1，则3a +2b的最小值是（）A．23 B．24 C．25 D．265．已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式2x +1y＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜26．已知x，y∈R，满足4≥y≥4﹣x，x≤2，则x 2+y2+4x−2y+5xy−x+2y−2的最大值为（）A．2 B．136C．103D．1747．正实数ab满足1a +2b=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．408．已知抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则1m +1n的最小值为（）A．4 B．12 C．24 D．369．若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则1m +2n最小值（）A．2 B．6 C．12 D．3+2√210．设x＞0，y＞0，x+y+xy=2，则x+y的最小值是（）A．32B．1+√3 C．2√3﹣2 D．2﹣√311．已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（）A．√3 B．2 C．√5 D．312．已知a＞0，b＞0，1a +4b=2，则y=4a+b的最小值是（）A．8 B．6 C．2 D．913．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．已知正实数a，b满足ab=a+2，那么2a+b的最小值为．15．设x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）=1，则x+y的最小值为．16．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．（1）求k的值；（2）若a，b，c∈R，a 2+c22+b2=k，求b（a+c）的最大值．。
高一均值不等式知识点总结
高一均值不等式知识点总结高一数学学习中，均值不等式是一个非常重要的知识点，它在不同的问题中有广泛的应用。
均值不等式主要包括算术平均数与几何平均数、平均数不等式以及柯西-施瓦兹不等式等内容。
下面我们就来总结一下相关的知识点。
1. 算术平均数与几何平均数算术平均数是我们最常见的概念，指一组数的和除以数的个数。
几何平均数是一组数的乘积的n次方根，其中n为这组数的个数。
算术平均数与几何平均数之间存在一个重要的不等式关系，即算术平均数大于等于几何平均数。
这个不等式可以用于证明其他不等式。
2. 平均数不等式平均数不等式是均值不等式中比较常见的一种形式。
对于一组非负实数a1、a2、...、an，它们的算术平均数与几何平均数的大小关系可以表示为：（a1 + a2 + ... + an）/ n ≥ (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)这个不等式可以用于讨论多个变量之间的关系或者证明其他不等式。
3. 柯西-施瓦兹不等式柯西-施瓦兹不等式是高中数学中的一种重要不等式，它描述了内积与范数之间的关系。
对于实数空间或者复数空间中的向量a 和b，柯西-施瓦兹不等式可以表示为：|a · b| ≤ |a| * |b|其中|a|和|b|分别表示a和b的范数。
这个不等式在几何学中有很多应用，也可以用来证明其他不等式。
4. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种描述随机变量与其期望之间关系的不等式。
对于一个随机变量X和一个实数a，切比雪夫不等式可以表示为：P(|X - E(X)| ≥ a) ≤ Var(X) / a^2其中P表示概率，E(X)表示X的期望，Var(X)表示X的方差。
这个不等式可以用于分析随机变量的离散程度，也可以应用于概率论和统计学中。
以上是高一均值不等式的相关知识点总结。
通过对这些知识点的学习，我们可以更好地理解和应用不等式，解决实际问题。
在后续的学习中，我们还可以拓展和应用这些知识，进一步提高数学的应用能力。
均值不等式三个条件
均值不等式三个条件好嘞，咱们今天聊聊“均值不等式”的事儿。
这听起来有点深奥，但其实没那么复杂，放轻松。
均值不等式，简单说就是一种数学上的小秘密，让咱们知道，平均数总是有点意思。
就像你吃饭的时候，点了三道菜，米饭、青菜、肉。
肉多了，自然觉得好吃，青菜放得少，虽然也不错，但总归心里没那么满足。
嘿，均值不等式就是告诉你，这种心里感觉是有道理的。
想象一下，你和朋友们一起聚餐，桌子上摆了一大堆美食。
每道菜都有自己的分数，肉有10分，蔬菜5分，米饭3分。
咱们求个平均分，结果是（10 + 5 + 3）/ 3 = 6分。
听起来不错，但实际情况是，大家心里都觉得肉更重要，均值不能代表大家的真实感受。
这就是均值不等式的魅力所在，它让我们明白，简单的平均数可能藏着些猫腻。
再来聊聊这三个条件。
第一个条件就是，要想使用均值不等式，咱们需要有个正数的基础。
就像你在健身房练习，没个杠铃，练啥也没劲。
你得有点东西做基准。
均值不等式也是如此，数据得是正数，才能让咱们得到想要的结果。
想象一下，如果你把负数带进来，那可就糟糕了，整个人都乱了。
第二个条件，得是均匀分布。
你想象一下，考场上，一群小朋友考数学，成绩都集中在80分上下。
可你要是碰上一个特别优秀的，考了满分，那大家的平均分就会被拉高，可是这却不能反映其他小朋友的真实水平。
均值不等式说的就是这个意思，有些极端值可能会让平均数变得不那么靠谱。
第三个条件呢，就是数据之间得有一种相对的平衡感。
就像你在选择一双鞋子，左脚的鞋子和右脚的鞋子不能差得太多。
要是左脚的鞋子特别宽，而右脚的鞋子特别窄，那你可就不舒服了。
均值不等式在这里也提到，要确保你的数据之间相对均衡，才能更好地反映整体情况。
说了这么多，均值不等式其实就像是生活中的一个小小哲学。
它告诉咱们，生活中有时候要看得更深，不要只停留在表面。
就像我刚才说的那个聚餐的例子，虽然大家都享受着饭菜，但其实心里想的，可能并不是一碗米饭的味道，而是那块香喷喷的肉。
浅谈均值不等式
浅谈均值不等式浅谈均值不等式有任何问题欢迎讨论评论均值不等式的地位之重要，在⾼考中⼀些处理最值问题上，因其简单的优越性⽽地位可在某些条件下取缔函数虽然函数可以判断任意的多项式的任意区间的最⼤最⼩值，⽽均值不等式在能在正数和存在定值（下⾯详述），但是⾼考中总是有它的特殊性，就会悄默声地满⾜了均值不等式的条件，所以均值不等式在求值⽅⾯的⽤途超越了函数。
下⾯分别讲解均值不等式：1、课标要求据新课标（《普通⾼中数学课程标准（2017年版）》），均值不等式属于必修部分（2018年⼈教版新教材必修Ⅰ，2003年⼈教版B版⽼教材必修Ⅴ第三单元第⼆节）。
其内容要求：掌握基本不等式（即均值不等式）√a b≤a + b2 , (a ,b≥ 0) 。
结合具体实例，能⽤基本不等式（即均值不等式）解决简单问题的最⼤值获最⼩值问题。
2、均值不等式的来源由完全平⽅公式( a−b )2=a2−2 a b+b2 , (a ,b∈R ) ①平⽅的性质x2≥ 0 ， ( x∈R ) ②由①②整理可得a2−2 a b+b2≥ 0 , (a ,b∈R ) ③移项得a2+b2≥ 2 a b , (a ,b∈R ) ④为⽅便起见我们令x=a2≥ 0 ,y=b2≥ 0 ⑤将④代⼊⑤得x+y≥ 2 √x y , (x≥ 0 ,y≥ 0) ⑥则⑥即为均值不等式⼩结：均值不等式：a+b≥ 2 √a b ,当且仅当a=b时等号成⽴名称来源：均值不等式为什么叫均值不等式？因为a + b2 为算数平均值，√a b为⼏何平均值。
所以命名为均值不等式，因为a ,b∉R即，a ,b有限制条件，所以是基本不等式3、常见形式①a + b2 ≥√a b , ( a ,b∈R+)②a+b≥ 2 √a b , ( a ,b∈R+)③a2+b2≥ 2 a b , ( a ,b∈R)④ a 2 + b 2 ≥ (a +b )22 , ( a , b ∈ R )综上所述 a 2 + b 2 2 ≥ a + b 2 ≥ √ a b ≥ 21 a + 1b以上四个形式所代表的含义分别为：平⽅平均值 代数平均值 ⼏何平均值 调和平均值4、应⽤说⽩了，不等式的应⽤就是求最⼤最⼩值啊①求值的格式：1、最经典的⼀种就是a + b ≥ 2 √ a b ，在两者同正且和（或积）为定值时，可以求得积的最⼤值（或和的最⼩值）例如：已知 a , b ∈ R , 且 a − 3 b + 6 = 0 , 则 2a + 18b 的最⼩值讨论：初学者遇到这道题或许会有些迷茫，找正数也没有，找定值也没有，怎么会是均值不等式的裸题呢？分析：没有正数，可以寻找正数，虽然 a , b ∈ R ,但是我们知道对于指数函数 y = a x 来说， y > 0 ，（不懂得⼩伙砸（⼩姑娘）可以去学习⼀下基本初等函数——指数函数），那么我就可以得到 2a > 0 和 18b> 0 ，就满⾜了条件要求的正数，然后我们看到题⽬条件中存在等式，可以将等式变形，就得到了 a − 3 b = −6 ，那么定值也有了，下⾯不就是构建均值不等式的关系了吗？那么问题来了——看不出来啊！这个时候，你要⾃信，把得到的两个条件合并⼀下，就得到了 2a + 2 − 3 b = 2 a − 3 b = 2 − 6 ，那么这个式⼦有何题⽬有什么关系呢？有指数运算性质可以得到2 −3 b = 1 2 3 b = 1 ( 23 )b = 1 8b=原式。
对数不等式和均值不等式
对数不等式和均值不等式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：对数不等式和均值不等式是数学中常见的重要不等式之一，常常在高等数学中出现。
这两类不等式的性质和用途在很多数学问题中都起到了重要的作用，尤其是在优化理论、凸函数理论、概率统计等领域中。
首先我们来说说对数不等式。
对数不等式是指不等式的两边都取对数后形成的不等式，常见的对数不等式有如下几种形式：1. 若a>0，b>0，则a^b>b^a。
4. 若a>0，则\ln{(1+a)}<a。
对数不等式在数学中有很多应用，例如在高等代数、概率论、微积分等领域中都能见到其影子。
对数不等式在研究数学问题时可以简化问题的难度，有时也可以用来证明其他数学不等式。
接下来说说均值不等式。
均值不等式是数学中一类重要的不等式，其基本思想是对一组数进行加工处理，然后比较其大小关系。
常见的均值不等式有如下几种形式：1. 算术平均数不小于几何平均数，即AM\geq GM，其中AM表示算术平均数，GM 表示几何平均数。
3. 三者平均不小于谐均值，即(AM+GM+QM)/3\geq HM，其中HM 表示谐均值。
均值不等式在数学中也有很多应用，特别是在概率统计、优化理论等领域中。
通过均值不等式可以得到很多有用的结论，对于解决一些复杂的问题起到了非常关键的作用。
对数不等式和均值不等式是数学中常见的重要不等式，它们在数学分析、凸函数理论等领域中有很重要的作用。
研究这两种不等式可以帮助我们更好地理解数学问题，解决实际问题中遇到的困难，也能够培养我们的数学思维和分析能力。
希望通过学习对数不等式和均值不等式，能够给我们带来更多的启发和收获。
【文章结束】。
第二篇示例：对数不等式和均值不等式是高等数学中的两个重要概念，它们在解决实际问题和证明数学定理中都有广泛的应用。
在本文中，我将分别介绍对数不等式和均值不等式，并探讨它们在数学领域的重要性和实际应用。
让我们来了解一下对数不等式的概念和特点。
均值不等式公式完全总结归纳非常实用
均值不等式公式完全总结归纳非常实用1.算术平均值不等式（AM）：对于任意非负实数a1，a2，...，an，有（a1+a2+...+an）/n ≥ (√a1+√a2+...+√an)/√n这个不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的算术均值总是大于等于它们的平方根的算术均值。
2.几何平均值不等式（GM）：对于任意正实数a1，a2，...，an，有（a1·a2·...·an）^(1/n) ≤ (a1+a2+...+an)/n这个不等式告诉我们，对于一组正实数，它们的几何均值总是小于等于它们的算术均值。
3.平均数不等式（QM）：对于任意非负实数a1，a2，...，an，有(√(a1^2+a2^2+...+an^2))/n ≥ (a1+a2+...+an)/n这个不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的平方和的平均值总是大于等于它们的算术均值。
4. 加权平均值不等式（Weighted AM）：对于任意非负实数a1，a2，...，an和非负权重w1，w2，...，wn，有(w1a1+w2a2+...+wnan)/(w1+w2+...+wn) ≥(w1√a1+w2√a2+...+wn√an)/(√(w1+w2+...+wn))这个不等式告诉我们，对于一组非负实数和它们的对应权重，加权平均值总是大于等于加权平方根的平均值。
5. 广义均值不等式（Generalized Mean Inequality）：对于任意非负实数a1，a2，...，an和非零实数p，有[(a1^p+a2^p+...+an^p)/n]^(1/p) ≥[(a1^q+a2^q+...+an^q)/n]^(1/q)其中p和q是互为倒数的实数，即1/p+1/q=1这个不等式告诉我们，对于一组非负实数和给定的p和q，p次幂均值总是大于等于q次幂均值。
除了上述的基本均值不等式外，还有一些特殊形式的均值不等式：6. 帕纳不等式（Peano's Inequality）：对于两个非负实数a和b，有(a+b)^n ≥ a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
均值不等式常用公式
均值不等式常用公式均值不等式是数学中常用的重要不等式之一，可以用来描述一组数的大小关系。
在实际应用中，均值不等式常被用来求解最优化问题、证明其他不等式以及推导数学结论等等。
本文将介绍常用的均值不等式公式，并逐一解释其几何意义和使用方法，以帮助读者更好地理解和应用均值不等式。
一、算术均值不等式（AM-GM不等式）算术均值不等式是最基本的均值不等式，也是最常见的一种。
对于任意正实数 x1, x2, ..., xn，有以下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn)/n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)解释：这个不等式告诉我们，对于一组正实数，它们的算术均值（即平均数）一定大于等于它们的几何均值的开方。
几何均值指的是将这些数进行乘积后开根号得到的值。
应用：算术均值不等式常被用来求解最优化问题，例如确定一组数的最小值或最大值。
此外，它也常被用来证明其他不等式，以及推导其他数学结论。
二、几何均值不等式（GM-HM不等式）几何均值不等式是另一种常用的均值不等式，也被称为GM-HM不等式。
对于任意正实数 x1, x2, ..., xn，有以下不等式成立：√(x1 * x2 * ... * xn) ≥ n/(1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)解释：几何均值不等式告诉我们，一组正实数的几何均值一定大于等于它们的调和均值倒数的倒数。
调和均值的倒数是将这些数的倒数进行算术平均后再取倒数得到的值。
应用：几何均值不等式常被用来证明其他不等式，以及推导数学结论。
它也可以用于最优化问题的求解，求出一组数的最小值或最大值。
三、均值不等式的推广除了常见的AM-GM和GM-HM不等式，均值不等式还有其他一些推广形式，如以下两个常见的不等式：1. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)2. 切比雪夫不等式（Chebyshev不等式）：对于任意实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn（其中b1≥b2≥...≥bn），有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)/n ≥ (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn)/n^2这些推广形式的不等式在解决特定问题时，能够更灵活地运用于不同的数学领域中。
高中数学必修四-《均值不等式》课件
【证明】 左边＝ba＋ac－1＋bc＋ab－1＋ac＋bc－1 ＝ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3. ∵a，b，c 为正数， ∴ba＋ab≥2(当且仅当 a＝b 时取“＝”)； ac＋ac≥2(当且仅当 a＝c 时取“＝”)； bc＋bc≥2(当且仅当 b＝c 时取“＝”)．
从而ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥6(当且仅当 a＝b＝c 时取 等号)．
在求实际问题中的最值时，应按下面的思路来 求解：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值 的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成 函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时， 一般先考虑用均值不等式，当均值不等式求最 值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；
已知 a>0，b>0，且1a＋ab＝1，求 a＋b 的最小值．
【错解】 ∵1＝1a＋9b≥2 a9b∴ ab≥6 ∴a＋b≥2 ab≥12，∴a＋b 最小值为 12
【错因】 上述解法错误的原因是①和②等号成立的条 件不同，①成立的条件是 a＝b，②成立的条件是 b＝9a，从 而推出 a＝b＝0，这与已知条件矛盾．
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400
平方米的三级污水处理池，平面图如下图 所示．池外圈建造单价为每米200元，中间 两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单 价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计， 且池无盖)．
(1)试设计污水池的长和宽，使总造价最低， 并求出最低造价；
(2)若受场地限制，长与宽都不能超过25米， 则污水池的最低造价为多少？
(2)常值代替 这种方法常用于“已知 ax＋by＝m(a、b、x、y 均为正数)， 求1x＋1y的最小值．”和“已知ax＋by＝1(a、b、x、y 均为正数)， 求 x＋y 的最小值”两类题型． (3)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等 式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．如已知 a，b 为正数， a＋b＝ab－3，求 ab 的取值范围．可构造出不等式 2 ab≤a＋b＝ab－3，即( ab)2－2 ab－3≥0.
均值不等式的猫狗公式
均值不等式的猫狗公式均值不等式的猫狗公式是一种数学工具，用于推导出多个变量之间的不等式关系。
它的命名源于猫和狗的比喻，类似于一个猫和一个狗在一个房间里，它们可以描述两个变量之间的关系，这个关系可以被扩展到更多的变量。
在这篇文章中，我们将详细介绍均值不等式的猫狗公式，并通过实际例子来说明它在解决数学问题中的应用。
首先，让我们回顾一下均值不等式的基本概念。
均值不等式是指如果a和b是两个非负实数，那么它们的平均值不小于它们的几何平均值，即(a+b)/2 ≥ √(ab)。
这是非常基本的均值不等式，可以很容易地通过平方差公式来证明。
接下来，让我们引入均值不等式的猫狗公式。
假设有n个非负实数a1，a2，...，an。
我们对每个非负实数ai引入一个猫Ci和一个狗Di。
假设k个猫在一起可以吃掉一个狗，那么我们可以得到以下关系：(a1+C1)+(a2+C2)+...+(an+Cn) ≥k((a1+D1)(a2+D2)...(an+Dn))^(1/k)在上述不等式中，左边的和表示所有的猫和实数的总和，右边的表达式表示所有狗和实数的总和。
通过这个不等式，我们可以得到多个变量之间的关系，并解决一些复杂的数学问题。
为了更好地理解均值不等式的猫狗公式，让我们看一个实际的例子。
假设有三个非负实数a，b和c，我们想要证明以下不等式：(a+1)(b+1)(c+1) ≥ 8abc我们可以用均值不等式的猫狗公式来解决这个问题。
对于a，b和c，我们引入三个猫C1，C2和C3，和一个狗D。
根据猫狗公式，我们有：(a+C1)+(b+C2)+(c+C3)≥3((a+D)(b+D)(c+D))^(1/3)将参数k设为3，我们可以简化不等式为：(a+b+c)+(C1+C2+C3)≥3((a+D)(b+D)(c+D))^(1/3)由于每个猫只能吃一只狗，所以C1+C2+C3≥D。
因此，我们可以进一步简化不等式为：(a+b+c)+D≥3((a+D)(b+D)(c+D))^(1/3)继续化简，我们得到：(a+b+c) ≥ 3√(abc)这正是我们想要证明的不等式。
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均值不等式的理解√(ab)<(a+b)/2
均值不等式变化多样，简单而又应用灵活，所以必须要抓住其本质才能更好理解、记忆、应用。
首先给出一个不等式（由均值不等式推导而来）ab≤((a+b)/2)^2≤(a^2+b^2)/2，可能很多人跟我一样，认为这么对称又很好的看出了ab、a+b、a^2+b^2的大小关系，可能就是其本质，而事实上并非如此，这里仍然未能把握住不等式的本质，若依此记忆，其效果会适得其反，应用上总是感觉奇怪、不灵活。
为了解决这个问题，首先先来反思放缩法与不等式的关系，其实不等式就是一个不等关系，关系符的左右两端有一定差值，差值可大可小，随便怎么移项差值不变，但左右两端乘以一个数，差值也相应乘以一个数，所以这里放缩的大小与方向也就会发生变化。
那么不等式的本质应该是什么？不就是对不等式进行化简的最简形式吗！只不过对不等式进行推导变化后，它的差值、形式发生了变化而已，当然另外还可以通过换元法(a→√a)来得到新的有所不同的不等式。
那么我们就用上面的观点分析这个不等式的本质。
很简单就是(a-b)^2≥0，
对于ab≤((a+b)/2)^2，ab≤（a^2+b^2+2ab)/4，所以差值就是((a-b)^2）/4
对于ab≤(a^2+b^2)/2，差值显然是((a-b)^2）
自然对于((a+b)/2)^2≤(a^2+b^2)/2，差值为((a-b)^2）/4。
所以所有的与均值不等式有关的不等式都应该是从(a-b)^2≥0推导而来，只不过形式、两端的差值有所不同而已。
由(a-b)^2≥0移项脱离出ab可得2ab≤a^2+b^2两端除以2，差值也缩减为1/2，即ab ≤(a^2+b^2)/2，这里也可看出，往往差值越小，越简洁的不等式越有实用价值。
由ab≤(a^2+b^2)/2换元可得√(ab)<(a+b)/2，再两端平方，差值发生变化，可得ab≤((a+b)/2)^2。
由(a-b)^2≥0移项右端构建出(a+b)^2可得((a+b)/2)^2≤(a^2+b^2)/2，差值缩小为1/4.
由(a-b)^2≥0移项左端构建出(a+b)^2可得ab≤((a+b)/2)^2差值缩小为1/4.
经过以上推导，也算抓到了不等式的核心，感受到了形式与本质的关系，所以记忆也变的清楚了。
应用上可左端到右端，或右端到左端，尽可能让差值小即可。