第1讲三角形的倒角练习

一、什么是三角形内角？

三角形相邻两边组成的角叫做它的内角． 二、什么是三角形的外角？

三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的．

三角形内角和定理：

三角形三个内角和等于180︒． 三角形的外角：

三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的． 三角形的外角和：

每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6个外角之和)．三角形的外角和等于

360︒．

三角形内角和定理的三个推论：

推论1： 直角三角形的两个锐角互余．

推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形内角和180︒的几种证明方法：

①添加平行线法：

②帕斯卡(法国数学家)折纸法：

③更具动手可行性的剪角法：(不严密)把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．

2

21

12

21

1

3

3

2

2

1

1

与三角形有关的角

知识回顾

知识讲解

三角形外角和360︒的证明法：

三角形按最大角的大小来分类：

⎧⎪

⎨⎪⎩锐角三角形：最大的内角为锐角的三角形直角三角形：最大的内角为直角的三角形钝角三角形：最大的内角为钝角的三角形

三角形的角与不等式：

⒈若ABC ∆为锐角三角形，则090A ︒<∠<︒，090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒； ⒉若ABC ∆为直角三角形，且90A ∠=︒，则090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒，

90A B C ∠=∠+∠=︒，B A C ∠=∠-∠，C A B ∠=∠-∠．

⒊若ABC ∆为钝角三角形，且90A ∠>︒，则090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒，090B C ︒<∠+∠<︒． 多边形及其内角和

１ 基本概念

⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． ⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．

⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．

⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． ⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．

⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．

２ 基本性质

⑴ 稳定性．

⑵ 内角和与外角和定理．

如下图，n 边形的内角和为(2)180n -⨯︒(3)n ≥，多边形的外角和都是360︒．

⑶ n 边形的对角线：一个顶点有(3)n -条对角线，共有

(3)2

n n

-条对角线． ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180︒．

C

B

A

分割成(n-2)

个三角形求内角和n 个平角-内角和

板块一、三角形内角和

【例1】 已知在ABC ∆中，80C ∠=︒，20A B ∠-∠=︒，则B ∠的度数是( )

A ．60︒

B ．30︒

C ．20︒

D ．40︒

【例2】 一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中α∠的度数为 ．

【例3】 如下图，求C D ∠+∠的度数．

【例4】 如图，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数．

【例5】 如图所示，已知70A ∠=︒，40B ∠=︒，20C ∠=︒，求BOC ∠度数．

α

同步练习

70︒

30︒E D

C

B

A A

B

C D E F

【例6】 如图所示，已知EGF BEG CFG ∠=∠+∠，试探索A B C D ∠+∠+∠+∠的度数．

【例7】 如下图，已知133α∠=︒，83β∠=︒，求A B C D ∠+∠+∠+∠

= ．

【例8】 如下图，ABC ∆中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠= ．

【例9】 如图所示，将ABC △沿着DE 翻折，若1280∠+∠=︒，则B ∠= ．

【例10】 如图，求A B C D E F G H I ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的值．

2

1

E

D B C

A D

C

B

A

β

αA

B C

D

E 1

2

【例11】 如图在三角形纸片ABC 中，65A ∠=︒，75B ∠=︒，

将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC △内，若120∠=︒，则2∠为多少度？

【例12】若三角形的三个外角的比是234∶∶，则这个三角形的最大内角的度数是 ．

【例13】如下图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 、E 为AB 上两点，若AE AC =，45DCE ∠=︒

求证：BC BD =．

【例14】已知三角形有一个内角是(180)x -度，最大角与最小角之差是24︒．求x 的取值范围．

【例15】 如图，127.5∠=︒，295∠=︒，338.5∠=︒，求4∠的大小．

4

3

2

1

A

B

D

E

C

F

E

A

D

C B

215

4321E D

C B

A