古老而神奇的幻方的介绍1
幻方的历史渊源文化价值解题方法
幻方的历史渊源文化价值解题方法
幻方是一种中国传统游戏，最早出现于中国古代的洛书-九宫图。
在中国古代，幻方也被称作河图、洛书又叫纵横图。
九宫洛书既蕴含奇门遁甲的布阵之道，也被看作科学的结晶与吉祥的象征。
洛书（幻方）被公认为是组合数学的鼻祖。
同时，洛书以其高度抽象的内涵，对中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等都产生了重要影响。
幻方的规则是将给定数字放入正方形的格子中，使每行、每列和对角线的数字之和相等。
幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
幻方的解题方法包括暴力搜索法和加1法。
暴力搜索法包括列举每个数字的所有可能的排列，然后逐个检查它们是否满足幻方的要求。
虽然这种方法可以解决出所有幻方的问题，但是它对于大型幻方的解题过程中需要耗费大量的时间和精力，并且存在各种漏洞。
加1法也称为"Theorems of Kronecker"，是一种简单和高效的解题方法。
这种方法基于对任意一个幻
方进行加1操作，然后解决一个新的幻方来得到解决幻方的结果。
使用这种方法的缺点是它只能解决特定类型的幻方，而无法解决大部分幻方问题。
以上内容仅供参考，建议查阅关于幻方的书籍或咨询数学领域专业人士获取更多信息。
幻方知识点总结
幻方知识点总结幻方的起源可以追溯到公元前2200年的古代中国，最早的幻方出现在中国的《周髀算经》中。
这本书中记载了3阶和4阶的幻方，展示了当时中国对幻方的早期研究和应用。
随后，幻方传入了印度、中东和欧洲等地区，在这些地区的文化和数学传统中都留下了深远的影响。
著名的数学家如拉马努金、欧拉、高斯等都曾对幻方进行了深入的研究，为幻方的发展和应用做出了重要贡献。
要理解幻方，首先需要了解几个基本概念：阶数、和数、构造方法和性质。
阶数是指幻方数组的边长，比如3阶幻方就是一个3x3的数组。
和数是指每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和，也叫做幻方的魔数。
构造方法是指幻方的排列规则和建立过程，包括奇阶幻方和偶阶幻方两种不同的构造方法。
而幻方的性质则是指它特有的数学特点和规律，如对称性、旋转性、等价性等。
在构造幻方的过程中，最常用的方法是奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
对于奇阶幻方来说，它的构造方法相对简单，常用的有“Siamese method”、“Loubere method”等，它们都是通过一定的规则和步骤将数字逐个填入方格中，最终形成一个满足要求的幻方。
而对于偶阶幻方来说，则需要更复杂的构造方法，常用的有“method of de la Loubere”、“methodof de la Hire”等，它们需要通过巧妙的排列和替换来构造出一个满足要求的幻方。
在构造的过程中，对数字的排列、替换和对称性的利用都是十分重要的技巧。
除此之外，幻方还具有一些特殊的性质和规律。
比如，幻方的逆幻方、旋转幻方和反转幻方都是与原幻方有一定联系的新幻方，它们之间的对应关系和巧妙的变换方法都是幻方研究的重要内容。
幻方还具有对称性和等价性，这使得幻方可以在不同的方向上进行旋转、翻转和变换，从而获得新的幻方和新的挑战。
在实际生活中，幻方还有许多有趣的应用，比如在数学教育、艺术设计、密码学等领域都可以看到幻方的身影。
幻方的研究和探索不仅仅是一种数学游戏，它还蕴含着丰富的数学知识和有趣的推理技巧。
神奇的幻方
神奇的幻方标签：杂谈相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常大肆泛滥。
洪水冲毁房舍，吞没田园，给两岸人民带来巨大的灾难。
于是，每当洪水泛滥的季节来临之前，人们都抬着猪羊去河边祭河神。
每一次，等人们摆好祭品，河中就会爬出一只大乌龟来，慢吞吞地绕着祭品转一圈。
大乌龟走后，河水又照样泛滥起来。
后来，人们开始留心观察这只大乌龟。
发现乌龟壳有9大块，横着数是3行，竖着数是3列，每一块乌龟壳上都有几个小点点，正好凑成从1到9的数字。
可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思。
有一年，这只大乌龟又爬上岸来，忽然，一个看热闹的小孩惊奇地叫了起来："多有趣啊，这些小点点不论是横着加，竖着加，还是斜着加，算出的结果都是15！"人们想，河神大概是每样祭品都要15份吧，赶紧抬来15头猪和15头牛献给河神……果然，河水从此再也不泛滥了。
这个神奇的故事在我国流传极广，甚至写进许多古代数学家的著作里。
乌龟壳上的这些点点，后来被称作是"洛书"。
一些人把它吹得神乎其神，说它揭示了数学的奥秘，甚至胡说因为有了"洛书"，才开始出现了数学。
撇开这些迷信色彩不谈，"洛书"确实有它迷人的地方。
普普通通的9个自然数，经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加和是15的8个算式，全都包含在一个图案之中，真是令人不可思议。
在数学上，像这样一些具有奇妙性质的图案叫做"幻方"。
"洛书"有3行3列，所以叫3阶幻方。
它也是世界上最古老的一个幻方。
构造3阶幻方有一个很简单的方法。
首先，把前9个自然数按规定的样子摆好。
接下来，只要把方框外边的4个数分别写进它对面的空格里就行了。
根据同样的方法，还可以造出一个5阶幻方来，但却造不出一个4阶幻方。
实际上，构造幻方并没有一个统一的方法，主要依靠人的灵巧智慧，正因为此，幻方赢得了无数人的喜爱。
历史上，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝的著名数学家杨辉。
幻方
奇数阶幻方教授（带图）（1）五阶幻方（2）七阶幻方（1）幻方简介：幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。
幻方也是一种汉族传统游戏。
旧时在官府、学堂多见。
它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
幻方也称纵横图、魔方、魔阵，发源于中国古代的洛书——九宫图。
公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。
2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。
”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。
九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。
”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。
《周易本义》中的《洛书》，一个三阶幻方宋杨辉著《续古摘奇算法》中曾叙述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”。
（2）解幻方方法：1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
中国古代有趣的、神奇的幻方
神奇的幻方相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常泛滥成灾．河水泛滥时，又常有一只大乌龟背负着一张神秘的图浮出洛水．人们经过留心观察，发现乌龟壳分为9块，横3行，竖3列，每小块乌龟壳有几个小点点，正好凑成从1到9这9个数字．可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思．有一年，这只大乌龟又浮出水面来了，忽然，一个看热闹的小孩大声惊叫起来：“大家看啦，多么有趣啊，这些小点点横着加是15，竖着加也是15，斜着加还是15！”人们想，大概河神要的祭品每样都是15份吧，于是，赶紧抬来15头猪，15头牛和15只羊献给河神，……，果然，河水从此再也不泛滥了．这个神奇的故事流传很广，乌龟壳上的些点点，后来被称作“洛书”．我们撇开那些迷信色彩不谈，“洛书”确实有它吸引人的魅力．确实，1～9这9个平平常常的自然数，经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加的和是15的8算式，全部包含在一个图案中，真是妙不可言．在数学上，像这样具有奇妙性质的图案叫做“幻方”．“洛书”有3行3列，所以叫3阶幻方．它是世界上最古老的一个幻方．下面就是这种3幻方（洛方）：它的三行横的、三列竖的、二列对角钱的三个数之和都等于15．古今中外的很多数学家都研究过幻方，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝著名数学家杨辉．他深入探索各类幻方的奥秘，总结出构造幻方的简单法则，还动手构造了许多极为有趣的幻方，有名的“攒九图”就是他用前33个自然数构造而成的（下图）．攒九图有哪些性质呢？请动手算一算，每个圆圈上的数加起来是多少？每条直径上的数加起来又是多少？包括大数学家欧拉在内的许多著名数学家也对幻方产生过浓郁的兴趣．过去，幻方纯碎是一种数学游戏．后来人们在研究中发现了它在许多场合得到了实际应用，并且蕴含着许多深刻的数学原理．数学家进一步深入研究，终于使其成为一门内容极其丰富的新数学分支——组合数学．但是，幻方也并不神秘．下面请同学们每人自己动手构造一个3阶幻方．请将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，这9个数分别填入下图方阵的9个空格中，使得横、竖、斜对角线的所有3个数相加，其和为0．并把这8个等于0的算式写出来．。
幻方的历史小故事
**幻方是一种数字游戏，也是一种数字的排列方式**。
幻方最早可以追溯到公元前2000年的古埃及金字塔的纸草图，在中国古代称为“河图”，传说中是上古伏羲通过龙马身上的纹路而创制的。
在五年级上册语文中，也提到了幻方的历史小故事。
据资料记载，公元前7世纪，希腊数学家毕达哥拉斯就发现了商数为“1”的幻方，后来，中国数学家杨辉在《日用算法》中详细介绍了这种玩法。
它不但可以用多个不同的数字组成一方阵，而且还可以不断拆分和组合，呈现不同的规律和变化。
此外，幻方也是引发数学家们思考和研究的数学问题之一。
幻方的制作和排列，可以展现出数字之间有趣的内在规律和联系，对于锻炼人们的思维能力和数学素养都有很好的作用。
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神奇的幻方 ppt课件
AC
DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
10
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12
9
8
5
32
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
❖ 其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2
6
31
10
27
30
7
29
8
35 28 3 4 5 36
❖ 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质
洛书
492 357 816
数与代数——神奇的幻方
数与代数——神奇的幻方相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟曾献给大禹一本洛书，书中有副奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，也就是在3×3的方阵中填入1~9，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等。
幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。
基本幻方的定义：是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的纵横均有n个数，而把每行、每列、有时还包括两条对角线的数加起来，它们的和都是相等，这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图，或n阶幻方。
幻和：每行、每列、两条对角线的数字和；基本幻方的幻和：n (n2+1) ÷2现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在3×3的方阵图中，每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等，就称它为三阶幻方。
可以证明三阶基本幻方具有以下基本性质：（1）在3×3的方格中填入9个不同的数，使得各行各列及两条对角线上3个数的和都相等，且为S，若中间一个数位m，则S=3m；（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方；（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方；注：其实三阶基本幻方还有一个有趣的性质：数学家哈尔莫斯、巴尔布尤把基本三阶幻方每行（列）数字组成一个三位数，并写出它们的逆序数，就得到下列美妙的等式：492+357+816=618+753+2944922+3572+8162=6182+7532+2942438+951+276=672+159+8344382+9512+2762=6722+1592+8342例1、请将-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4，这9个数字分别填入图中方阵的9个空格，使得三行、三列、两条对角线上的3个数的和都是0。
分析：利用三阶基本幻方以及性质2可以得到；例2、如图，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：图中左上角的数是多少？分析：虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关，故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数。
关于幻方的神话故事
关于幻方的神话故事在遥远的古代，有一个神秘而古老的传说，关于一个天界的守护神之间的斗争，他们用一种被称为幻方的奇妙仪式来决定胜负。
这些守护神分别代表着天地四方的元素力量，他们之间的较量被称为“幻方赛”。
故事的开始是在一个混沌的时代，人类的生活被一连串的自然灾害所困扰。
干旱、洪水、瘟疫无时无刻不在威胁着他们的生存。
天界的守护神们看到了这一切，决定为人类解决这个困扰已久的麻烦。
于是，五位守护神们集结在一起，商讨着如何解决这个问题。
经过长时间的研究和讨论，他们决定通过一场较量来决定彼此间的力量，以确定哪一位守护神能够拯救人类于水火之中。
这场较量就是后来被称为“幻方赛”。
幻方是一种魔法术式，利用了数字的神秘力量。
五位守护神分别代表一方元素：火、水、木、金、土。
每个守护神被赋予了一副守护幻方，这是一个3x3的方阵，每个方格填上了数字1到9。
通过调整数字的排列顺序，使得每一行、每一列和对角线的和都相等，这样守护神们便能够释放出强大的力量。
为了使比赛更加公平，五位守护神决定在一个神秘的竞技场中展开幻方赛。
他们被囚禁在不同的方位，无法直接干涉对方。
而幻方的力量会渗透整个竞技场，给予守护者们力量的增幅。
他们需要通过巧妙地调整幻方中的数字来夺取胜利。
当幻方赛开始时，竞技场中充斥着一种神秘而激烈的氛围。
守护者们集中精神，专注于调整幻方中的数字。
他们四下观望，寻找机会来扰乱对方的步伐。
毫无疑问，这场幻方赛将决定谁将成为人类的拯救者。
数小时过去了，竞技场中弥漫着一股燃烧的能量。
每个守护神都在不断尝试着不同的数字排列方式，希望发现那个能够使幻方完美的组合。
因为他们都知道，只有找到这个完美的组合，才能够释放出最强大的力量。
当第一位守护神成功地调整出一个完美的幻方时，整个竞技场开始发生剧烈的变化。
光芒四溢，迎面而来的能量让人们目眩神迷。
人们开始感受到一股强大的力量，他们已经能够预感到人类的困境即将烟消雾散。
在接下来的几个小时里，每一位守护者都成功地调整出了自己的完美幻方，释放出了强大的能量。
探寻神奇的幻方ppt
展望
01
幻方在数学领域的应用
幻方作为一种具有特殊性质的矩阵，在数学领域有着广泛的应用。例
如，幻方可以用于解决一些线性代数、组合数学和图论等问题。
02 03
幻方在其他领域的应用
除了在数学领域的应用外，幻方还被广泛应用于其他领域，如计算机 科学、信息科学、物理学等。这些领域的研究者可以利用幻方的性质 来解决一些与实际生活相关的问题。
负数阶幻方的构造方法
负数阶幻方是一种由(-n)×(-n)个元素组成的正方 形矩阵，其中n为正整数。
中心法：将幻方划分为四个相等的子区域，每个 子区域包含(-n-1)/2×(-n-1)/2个元素。将每个子 区域的中心元素放置在幻方对应位置上，然后按 照规律填充其他元素。
奇数阶幻方构造方法可以扩展到负数阶幻方，只 需将阶数取相反数即可。
幻方可以用于解决组合问题，例如通过构造幻方，可以找到某 些组合问题的最优解。
幻方可以用于研究组合性质，例如通过观察幻方中的数字规律 ，可以揭示出一些组合性质和组合恒等式。
在几何学中的应用
01
几何学是研究形状、大小、位置和变化的数学分支。幻方作为一种几何结构， 在几何学中有着广泛的应用。
02
幻方可以用于研究几何形状的对称性和周期性，例如通过构造具有特定对称性 的幻方，可以找到某些几何形状的最优填充方式。
幻方可以用于研究代数结构和性质，例如通过 观察幻方中的数字规律，可以揭示出一些代数 结构和性质。
05
幻方在其他领域的应用
在计算机科学中的应用
程序设计和编码
幻方可以被用来检测程序的正确性和效率，因为它们具有完美的数学性质。例如 ，程序员可以使用幻方来检测算法的正确性，或者在编写代码时使用幻方来优化 代码结构。
中国的精彩幻方
中国的精彩幻方中国的精彩幻方1.玉挂幻方上海陆家嘴公园陆深墓出土文物中有一件玉挂，其反面是一个4阶泛对角幻方，这填补了中国古代泛对角幻方的一个空白……2.安西王府幻方铁板之研究据杨勇先改写陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度——阿拉伯数码的铁板，这是1957 年在西安东郊元代安西王府遗址出土的。
经专家鉴定，它是一个六阶幻方。
这个幻方每行、每列及两条对角线上的6 个数之和都相等，都是111 .比如第一行的六个数之和就是28+1+3+31+35+10=111这个幻方铁板是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料，也是元代西安接受阿拉伯文化影响的具体体现。
笔者对这个幻方进行了仔细研究，发现这个六阶幻方不是普通的幻方，它还具有两个独特的性质。
第一，该幻方还是一个二次幻方。
幻方中第一行和第六行中六个数的平方和也相等：28^2+4^2+3^2+31^2+35^2+10^2=309527^2+33^2+34^2+6^2+2^2+9^2=3095第一列和第六列中六个数的平方和也相等：28^2+36^2+7^2+8^2+5^2+27^2=294710^2+1^2+30^2+29^2+32^2+9^2=2947而一般的幻方根本不具有这个特性。
第二，这个幻方去掉最外面一层，中间剩下的部分仍然是一个四阶幻方。
这个四阶幻方由 11 到 26 这 16 个数组成，其每行，每列及两条对角线上的 4 个数之和都是 74 .比如18+21+24+11=7420+15+14+25=7421+12+26+15=7424+17+19+14=74更为奇特的是，这个4阶幻方还是一个完美幻方。
即各条泛对角线上的4个数之和也都是 74 .比如18+15+19+22+7423+21+14+16=7411+23+26+14=74具有这个性质的幻方是很少见的。
可以想象，要设计这样的幻方，其难度也是非常大的。
3.澳门回归纪念碑特别说明：由于各方面情况的不断调整与变化，中小学教育网所提供的所有考试信息仅供参考，敬请考生以权威部门公布的正式信息为准。
幻方
我的发现
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奇妙的幻方
什么是幻方
例如由三行三列九个数字组成的正 方形排列，它的每一行、每一列、每条 对角线上的三个数字的和都是同一个常 数15。这种美妙的正方形排列，在我国 历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵 横图。后来，人们称它为“幻方”。
幻方的传说
据传说，大约公元前00年的时候，位于陕西的洛河 常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。于是，大 禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通 河道，驯服了河水，感动了上天。 事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹, 图上有九个数字。大禹因此得到上天赐给的九种治理天 下的方法。这张图，就是闻名于世的洛书,洛书中每个小 圆圈都代表一个l。
【转帖】幻方的来源及神奇传说
【转帖】幻⽅的来源及神奇传说说明：原帖来⾃：/幻⽅1—幻⽅的来源及神奇传说根据记载，传说夏禹治⽔时, 在洛⽔⾥出现了⼀只⼤乌龟, 龟背上刻有奇特的图案（如图），古代⼈们把这个图取名为“洛书”，也有的称作“河图”，我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
这个图实际上就是将1-9这九个数字写成三⾏三列，使每⾏、每列及两条对⾓线上三个数的和都等于15（如下图）。
这样的3×3的图我们称为三阶幻⽅。
由于此图共有九个数字，所以汉代的徐岳把他称为九宫算(或九宫图)。
九宫算在汉代之后⼜有很⼤的扩展，成为纵横均为ｎ⾏的纵横图也就是n阶幻⽅。
幻⽅最早记载于我国公元前500年的春秋时期《⼤戴礼》中。
⽽在国外，公元130年，希腊⼈塞翁才第⼀次提起幻⽅。
我国不仅拥⽤幻⽅的发明权，⽽且是对幻⽅进⾏深⼊研究的国家。
公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻⽅，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》⼀书中。
⽽欧洲，直到公元1514 年德国画家Albrecht Dure 才在他著名的铜板画Melencolia 上绘制出了完整的4阶幻⽅。
有趣的是，他连创作年代（１５１４）也镶于这个幻⽅中，⽽且上下左右四个⼩⽅阵的和皆为34（如下图）11514412679810115133216下⾯我们来说说关于“河图”和“洛书”的两个故事吧。
“河图”的说法和我们的祖先伏羲有关。
相传很久以前，洛阳北黄河边上的孟津，有⼀年从黄河⾥爬出了个⼤怪物。
这个怪物异常庞⼤，⼀张嘴就吞下个活⼈，⼀打滚地⾥的庄稼全都遭秧。
从此这⾥⽥地渐渐荒芜，百姓也吃尽苦头，⽆以谋⽣。
怪物闹得⼤家没有活路，只好找来了伏羲。
羲皇听了⼤家的诉说后，忙带上宝剑，来到河边。
那怪物原来是黄河中的龙马，看到羲皇挥舞宝剑站在⾯前，知道逃脱不掉，忙伏地告饶，乞求羲皇放它条⽣路，并承诺：“若放了我，定从黄河⾥拿件宝贝给您!”羲皇听到说：“我不要什么宝贝，只要你答应不再祸害百姓，我就放你。
幻方
幻方（一）李明亮幻方是我国古代研究的算术内容之一，在中国，至少已有两千多年的历史了。
它最早被称为“洛书”（就是三行幻方）。
据说，大禹治水时，在洛水看到一只神龟背上有奇特的图案，这就是“洛书”——《周易》称：“河出图，洛出书。
”幻方就是由“洛书”与“河图”发展而来的。
在甄鸾（公元六世纪北周人）注的《数术记遗》一书中，称幻方为“九宫算”。
南宋的杨辉把幻方叫做“纵横图”，并对幻方进行了深入的研究，例如，他构造三行幻方的方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。
”他还进一步研制出了四至十行的幻方。
在幻方里，每一横行（以下简称行）、每一竖行（以下简称列）、每一对角线上的数的和都相等。
我们把幻方中的这个相等的和称为幻方定数。
组成幻方的数一般是等差数列（按顺序排列的一列数，每相邻的两个数的差都相等）。
如用1、3、5、……15、17这九个数可以制成一个三行幻方。
把n2个数按一定的顺序排成n行n列的方阵，如果每一行、每一行、每一对角线上的数都成等差数列，那么，用这n2个数就可以制成n行幻方。
如用2、4、6，9、11、13，16、18、20也可以制成三行幻方。
一、幻方的制法（一）行数为奇数的幻方的制法（以七行幻方为例）１．选1、2、3、……49这４９个数，把它们按顺序排成７行７列的斜方阵。
排好后，在中间画一个正方形（以中间数２５为中心），使斜方阵中间行（22、23、24、25、26、27、28这一行）和中间列（4、11、18、25、32、39、46这一列）的数都正好落在正方形的对角线上；再把这个正方形平均分成４９个方格，其中２４个是空方格（制n行幻方时，有（n2－１）÷2个空方格）。
如图２．２．把正方形外面的数填入空格。
每个数都填入它所在行或所在列中离它最远的空格中；同一行或同一列中，如果正方形外面有两个或两个以上的数，就先填靠近正方形的数，如先填9和41，后填1和49。
奇妙的幻方
641341 36507810612()2292n阶幻方（标准幻方）.其中，相等的4K型的数叫做幻方具有轮换性.如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移动也行）.这样，随你怎样选取5 X5的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮换性.幻方的构造方法:学与练（一）1 .奇数阶幻方的构造方法:114221018114222581641225816192152361921513219175132197203112472031142210181142225816412258161921523619215知识要点幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格. 一般地, 在n x n （n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n xn个连续的自然数（注意,这n x n个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做和叫做幻和，n叫做阶.幻和=幻方内所有数字之和十阶数，奇数阶幻方的中心数=幻和十阶数. 非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方.幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方•偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（双偶数，4K+ 2型的数叫做单偶数）.幻方具有对称性.如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性. 同一曲线所串连的四个数的和都相等,并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和•这就是幻方的对称性.⑴杨辉三阶幻方构造法:我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”•“九子斜排”即以右图中A、B、C、D任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图中以A处为起点，从向右向下方向），将1〜9这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A处与C 处，B处与D处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置•这样,个三阶幻方就编排完了.训练⑴①用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少?②用“杨辉三阶幻方构造法”及3〜11编排一个三阶幻方，填入右图中.如右图⑴的3 X3的阵列中填入1〜9九个自然数，构成了我们熟知的三阶幻方•现有一个3 X3的阵列如右图⑵，请选择九个不同的自然数填入这九个方格中，使得其中最大数为20 ,最小数大于5, 而且且每行、每492357816列及每条对角线上的三个数④请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中.如右图所示, 在3 X3的阵列中,的和都相等.6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36.⑥ 把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少?v A I 1 *第一行第三列的位置上填11⑺ 将九个连续自然数填人右图中三行三列的九个方格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上的三个数之和都等于 51 .⑻ 在右图中的空格中填入不大于 18而且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行、每列和对角线上三个数之和都等于 30 .⑼ 把1〜9这九个数字填入3 X 3的方格中，这样，每一行的三个数字组成一个三位数，如果要使第二行的三位数是第一行的 2倍，第三行的三位数是第一行的3倍,应怎样填数?⑽ 诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）•为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了 25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？⑵ 罗伯法（用于编排奇数阶连续自然数幻方） ：这是由法国人罗伯总结出的构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法. 具体方法如下：先把1 （或最小的数）放在第一行正中；然后按以下规律排列剩下的n 21个数：① 每一个数放在前一个数的右上一格； ② 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； ③ 如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； ④ 如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；⑤如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同④.根据这个规则，可以编一个编排奇数阶连续自然数幻方的 口诀：㈠ 横向叫行竖叫列，从 1开始连续写，1写首行下中间，右列沉底将 2写；㈡ 数顺右上方向走，碰到边框猛回头，上行最左写后数，再沿右上方向走；㈢ 若碰有数下一格，方向不变继续走，碰顶向右掉到底，再按前面规则走。
幻方的起源你知道吗？趣味数学
幻方的起源你知道吗？趣味数学幻方（magicsquare）起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。
《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。
易十数为体，八九为用，八九不离十。
《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型。
幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。
现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度，但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底。
幻方是一个丰蕴的知识宝库。
幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变。
正可谓“横看成岭侧成峰”。
《系辞》曰：“神无方而《易》无体”，这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法，其几何形体亦无常于一制一式，因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法。
发现新方法是很重要的，但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等，有时比方法本身更为重要。
不同方法以及方法的不同用法，各种方法合理的交互应用等，必然会产生幻方新的结构与造型。
n阶幻方的全部解各有一个幻方群，1至n2自然数列的n2个数在整个幻方群中的变位关系，阶次越大变化就越复杂，它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则。
《易》九宫学博大精深。
汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。
”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟------此不易之道也”等等。
但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。
同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献。
幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝。
自汉唐以来统一的中国繁荣富强，在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题飘洋过海，东传日本，西播欧美。
神奇的幻方-完整版PPT课件
上下对开并交换 仍是一个四阶幻方
纵向切开，交换后再接起来
横切一刀，交换后再接起来
九阶幻方
若把上述九个三阶幻方的每个幻方的“幻和”值写在九宫格中，又构成一个新的三阶幻方
将幻方按图中粗线分成九块，即为九个三阶幻方 距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数和都为82
谢谢观看
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
10
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12
9
8
5
32
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
六阶幻方
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
构成
三阶幻方构成方法之一
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
三阶幻方构成方法之二
画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4
2
7
5
3
8
6
9
9
3
7
1
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
❖ 如；八阶幻方
❖
十阶幻方
❖
十二阶幻方
神奇
四阶幻方
❖ 幻和 ❖ 是34
16+13+1+4 ❖ 5+2+12+15 ❖ 3+8+9+14
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古老而神奇的幻方1
同学们，来我们先做一个数字游戏，在如下的表格中分别填入1-9这9个数字，并且使
呵呵，同学们，经过大家的一番思考，心中有答案了吗？那么我们看下面的一个结果：
大家填写的答案有可能不一致，但是只要能满足上述的规律，那么我们填写的答案就都是正确的。
对于上面我们研究的问题，相信同学们都有了一些了解。
我们今天要学习的内容是幻方，那么何谓幻方呢？
多少世纪来人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣．从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系．在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们．有关幻方的最早记录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”．传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的．在中国古典文献中记载了洛书的传说：公元前23世纪大禹治水之时，一只
巨大的神龟出现于黄河支流洛水中，龟甲上有9种花点的图案，分别代表这9个
数，而3行、3列以及两对角线上各自的数之和均为15，世人称之为洛书。
中国汉朝的数术记遗中，称之为九宫算，又叫九宫图。
洛书，一个3阶幻方。
黑色的结表示偶数，白色的结表示奇数．在这个幻方里它的变幻常数(即任何一行、一列、或对角线上数字的和)为15．
而南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。
其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。
我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。
由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
下去，请同学们进一步思考并整理看看本节课开头的数字游戏还有哪些答案？并且阅读“河图”和“洛书”的两个故事。
“河图”的说法和我们的祖先伏羲有关。
相传很久以前，洛阳北黄河边上的孟津，有一年从黄河里爬出了个大怪物。
这个怪物异常庞大，一张嘴就吞下个活人，一打滚地里的庄稼全都遭秧。
从此这里田地渐渐荒芜，百姓也吃尽苦头，无以谋生。
怪物闹得大家没有活路，只好找来了伏羲。
羲皇听了大家的诉说后，忙带上宝剑，来到河边。
那怪物原来是黄河中的龙马，看到羲皇挥舞宝剑站在面前，知道逃脱不掉，忙伏地告饶，乞求羲皇放它条生路，并承诺：“若放了我，定从黄河里拿件宝贝给您!”羲皇听到说：“我不要什么宝贝，只要你答应不再祸害百姓，我就放你。
”龙马答应潜入河中。
几天后，它果然背负着一块玉版献给羲皇。
伏羲发现，玉版图案中各行各列以及各对角线数字之和都相等。
伏羲知它是黄河中的宝贝，便唤它为“河图”。
据说，伏羲皇同龙马结下深厚友情，伏羲经常去看龙马。
一天，伏羲细看龙马身上的花纹，再琢磨河图上的图案，一下悟出了八卦图。
据说，伏羲还曾将他的八卦知识写了本书叫《易经》，后经商周末年周文王的完善，变成了今日的《周易》，一直广为流传。
至于“洛书”，需从大禹治水说起。
有年夏天，大禹凿开了龙门，伊河在龙门南形成的湖水流入了洛河。
待湖水渐渐变浅时，从湖底浮出一个足有磨盘大的乌龟。
大禹的手下见了，忙挥剑去砍，被大禹拦住了。
大禹看这只龟对百姓也从没做过坏事，便把它放入洛河。
过了不久，有一天，整个洛阳城都被大雾笼罩，大禹率领手下到洛河岸边察看水情。
忽然，在大雾茫茫的洛河里升起了一束五彩宝光，随之，罩在空中的大雾也烟消云散。
大禹仔细一看，那宝光升起的地方，浮出一只乌龟，那宝光也正是从乌龟背上的一块玉版放出来的。
原来，当日的乌龟为报答大禹，特将此玉版献上，并称这块玉版为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的圆圈用数目表示出来，得到九个数。
这九个数就组成了一个纵横图。
后来经过反复揣摸，大禹整理出九个方面的内容，有历法、种植谷物，制定法令等。
后来，古人根据“洛书”的九章大法，整理出一本科学法典——《洪范篇》，这部书一直传至今日。
“洛书”在古代被人们认为是一个吉祥的象征，所以许多人都将他画在纸上携带，认为有保平安的效果。
至今还有许多印度人把“洛书”的图案佩在胸前当作护身符呢。