各种音律音调相互关系的探究

各种音律音调相互关系的探究

吴敏金

本文将用一些初等数学与简单的物理常识来探讨各种音律音调的相互关系，并引入一种新颍的音调----“超调”，供乐理专业人士及业余爱好者进一步研究。

众所周知，声音是空气振动形成的，并以波的形式传播，就单音而言，可简化为正弦波Asin(2πft+θ)表示。其中，振幅A决定了声音的响度，频率f决定了声音高度，而人耳对于声波的相位θ不敏感。音律学研究的重点是声波的频率。一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20Hz到20000Hz之间（Hz为每秒振动次数）。声波的振动频率越快，听起来就越“高”；反之，越低。

物理定律表明：弦长与其振动频率成反比。以二胡为例，通常外弦定音为440Hz（即钢琴上的a1）。设下方的琴马处为坐标0，上方的千斤处为坐标1，弦长为1单位长度。此时，弦的中间处为1/2，其振动频率为2*440=880Hz（即钢琴上的a2）,它与空弦之间的音程是一个8度。进而，在弦的坐标1/4处，其振动频率为2*880=1760Hz （即钢琴上的a3）,它与空弦之间的音程是二个8度……

一. 十二音阶平均律

生成音律的一个出发点是所谓“等差音高序列与等比频率序列”。由于人耳对于声波的频率是按指数敏感的，所以，一组声音，

如果它们的频率成等比级数排列，它们听起来就是“等差音高“的。

如前，设弦坐标1处,基准频率为1，而弦坐标1/2处，其对应的频

率为2。它们构成一个8度的音程（记为[C, C1]）。可将其划分成

“等差音高序列”的12个音阶（即，12个半音），也即要求其对应

的“等比频率序列”的公比d=2^(1/12)=2的开12次方=1.059463094

（简单记为1.059）。于是，按等比级数，从弦坐标1处（基准频率

为1）到弦坐标1/2处(对应的频率为2)之间的12个音阶，其相应

的频率与弦长(及其近似分数值)互为倒数，见下面的音律表。

此频率（弦长）序列称为十二音阶平均律。十二音阶平均律适合于音高相对固定的键盘乐器（比如钢琴、管风琴、羽管键琴等）。

十二音阶平均律、五度相生律与纯律的频率与弦长对照表

（注：弦长1是按“五度相生律”计算的，其中的181/256为近似分数值。弦长2是按“纯律”计算的。见后文）

二. 五度相生律

中外古典音乐理论（如毕达哥拉斯学派）对音律的研究发现：弦长比为简单整数比（2:1,3:2,4:3）时，其发出的声音为和谐悦耳

之音。例如，当空弦与弦坐标1/2处的弦长比为2:1，对应的频率比

为1:2，此为8度和音（即可理解为c-c1,d-d1,……）；当空弦与弦坐标2/3处的弦长比为3:2，对应的频率比为2：3，此为5度和音（可简单理解为1-5,2-6，3-7,4-1^，5-2^，6-3^,等等）；当空弦与弦坐标3/4处的弦长比为4:3，对应的频率比为3:4，此为4度和音。比如，二胡的内外弦是按“5度和音”来定音的，通常取为钢琴上的d-a1。3:2这个比例在音乐术语中叫“纯五度”，由此生成的音律叫做“五度相生律”（Pythagorean tuning）。

借助”五度相生律”,可在8度音程[C, C1]中,确定8个和音点。“五度相生律”的方法是：

1，从空弦的频率f0=1(弦长1，音高C)出发，按公比3/2，向上递升的等比频率级数fn(若fn>2,则fn/2。 /2为最

佳和音)：

f1=1*(3/2), (弦长2/3，音高G);

f2=f1*(3/2)/2=9/8, (弦长8/9，音高D);

f3=f2*(3/2)=27/16, (弦长16/27，音高A);

f4=f4*(3/2)/2=81/64, (弦长81/64，音高E);

f5=f5*(3/2)=243/128, (弦长128/243，音高B)。

(f6=f5*3/2/2=729/512，弦长512/729，音高#F)。

2，从弦正中间的频率g0=2(弦长1/2，音高C1)出发，按公比2/3，向下递降的等比频率级数gn(若gn<1,则gn*2。

*2为最佳和音)：

g1=2*(2/3)=4/3 (弦长3/4，音高F);

g2=g1*(2/3)*2=16/9 (弦长9/16，音高bB);

g3=g2*(2/3)=32/27 (弦长27/32，音高#D)

g4=g3*(2/3)*2=128/81 (弦长128/81，音高bA)

g5=g4*(2/3)=256/243 (弦长243/256，音高#C)。

(g6=g5*2/3*2=1024/729,弦长729/1024，音高bG)。

在8度音程[C, C1] ]中，如果取6个频率上行的和音f0,f1,f2,f3,f4,f5 及2个基本和音g0,g1, 就获得音阶序列：C-D-E-F-G-A-B-C1，此即构成了自然C大调，其频率分别为1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 23/16, 128/243, 2。（见前面音律表中的弦长1及C大调）。

如果取6个频率下行的和音g0,g1,g2,g3,g4,g5 及2个基本和音f0,f1, 就获得音阶序列：C-#C-#D-F-G-bA-bB-C1，其频率分别为1, 256/243, 32/27，4/3, 3/2, 128/81, 16/9，2。这是一种与自然C大调及C小调都不同的新调式，称之为自然C超调。（见前面音律表中的弦长1及C超调。第六节将详细论述）。

从上面论述中，可看到由“五度相生律”生成的音阶并不完全等于12音阶平均律，有一些和音点的频率仅仅是近似而已。（此外，用有限次的五度相生律无法生成出#F=bG的频率分数值与弦坐标分数值，只能用256/181来近似2的开方。）

三. 三分损益律

“五度相生律”可用所谓“三分损益律”上下交替增减而得。