工程数学_概率统计习题全解_同济大学_高等教育出版社
习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：
(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则
},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .
(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则
)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .
2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；
(3) =AC {取得球的号码是2，4}；
(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；
(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
3. 在区间]2,0[上任取一数，记??????≤<=121x x A ，???
???≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：
(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .
解 (1) ???
???≤≤=234
1x x B A ;
(2) =??????≤<≤≤=B x x x B A 2121
0或?
?????
≤
≤231214
1x x x x ; (3) 因为B A ?，所以φ=B A ；
(4)=??????≤<<≤=223410x x x A B A 或 ?
?????≤<≤<<≤223
121410x x x x 或或 4. 用事件C
B A ,,的运算关系式表示下列事件：
(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。 解 (1)C B A E =1； (2)C AB E =2； (3)ABC E =3； (4)C B A E =4；
(5)C B A E =5； (6)C B A C B A C B A C B A E =6；
(7)C B A ABC E ==7；(8)BC AC AB E =8.
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设i A 表示事件“第i 次
抽到废品”，3,2,1=i ，试用i A 表示下列事件：
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
(2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；
(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。
解 (1)21A A ； (2)321A A A ； (3)321A A A ；
(4)321A A A ； (5)321321321A A A A A A A A A .
6. 接连进行三次射击，设i A ={第i 次射击命中}，3,2,1=i ，=B {三次射击恰好命中二次}，
=C {三次射击至少命中二次}；试用i A 表示B 和C 。
解 321321321A A A A A A A A A B = 323121A A A A A A C =
习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解 这是不放回抽取，样本点总数???
?
??=350n ，记求概率的事件为A ，则有利于A 的样本点数
???
? ?????? ??=15245k . 于是
39299!2484950!35444535015245)(=??????=????
?????? ?????? ??==n k A P 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；
(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。
解 本题是有放回抽取模式，样本点总数27=n . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为D C B A ,,,.
(ⅰ)有利于A 的样本点数2
5=A k ，故 492575)(2
=??
?
??=A P
(ⅱ) 有利于B 的样本点数25?=B k ，故 4910
725)(2=?=B P
(ⅲ) 有利于C 的样本点数252??=C k ，故 49
20
)(=C P
(ⅳ) 有利于D 的样本点数57?=D k ，故 75
49357
57)(2==
?=D P . 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。
解 本题是无放回模式，样本点总数56?=n .
(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利
样本点数为32?，所求概率为
5
1
5632=??. (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22?，
所求概率为
15
2
5622=??. 4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：
(1) 2只都合格；
(2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。
解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为C B A ,,，则
522562342624)(=????=???
? ?????? ??=A P 15856224261214)(=???=???
? ?????? ?????? ??=B P 注意到B A C =，且A 与B 互斥，因而由概率的可加性知
15
14
15852)()()(=+=+=B P A P C P
5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为C B A ,,,样本点总数26=n (ⅰ)A 含样本点)2,5(),5,2(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
61
6
6)(2==∴A P
(ⅱ)B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
185
6
10)(2==∴B P
(ⅲ)C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。
2
1
3618)(==∴C P
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解 记求概率的事件为A ，样本点总数为35，而有利A 的样本点数为345??，所以 2512
5
345)(3
=??=A P . 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件A ：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件C ：“其中有人精通英语”。
解 样本点总数为???
?
??35
(1) 53106345!332352312)(==????=???
?
?????? ?????? ??=
A P ；
(2) 103345!33351322)(=???=???
?
?????? ?????? ??=
B P ； (3) 因B A
C =，且A 与B 互斥，因而
10
9
10353)()()(=+=+=B P A P C P .
8．设一质点一定落在xOy 平面内由x
解 记求概率的事件为A ，则A S
为图中阴影部分，而2/1||=Ω，
1859521322121||2
=?=??? ??-=A S
最后由几何概型的概率计算公式可得
9
52/118/5||||)(==Ω=A S A P . 9．（见前面问答题2. 3）
10．已知B A ?，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求
(1))(A P ,)(B P ；(2))(B A P ；(3))(AB P ；(4))(),(B A P A B P ；(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1)(=-=-=A P A P ，4.06.01)(1)(=-=-=B P B P ； (2)6.0)()()()()()()()(==-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P ； (3)4.0)()(==A P AB P ；
(4)0)()()(==-=φP B A P A B P , 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ; (5).2.04.06.0)()(=-=-=A B P B A P
11．设B A ,是两个事件，已知5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，试求)(B A P -及).(A B P - 解 注意到 )()()()(AB P B P A P B A P -+= ，因而)()()(B P A P AB P += )(B A P -4.08.07.05.0=-+=. 于是，)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=- 1.04.05.0=-=；3.04.07.0)()()()(=-=-=-=-AB P B P AB B P A B P .
习题三解答
1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .
解 4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P
)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==
3.04.06.05.01=+--=
2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解 1078
9
989981989910090910=?=????=p .
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P
图2.3
(1) .327.058.019
.0)()()|(===
A P A
B P A B P (2) 678.028
.019
.0)()()|(===
B P AB P B A P . 4．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：
),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P = 解 )(2
1
3.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====
)(5.07.035
.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==
)(3.05
.015
.0)()()|(B P A P AB P A B P ====
)(5
.015
.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
解 =B {迟到}，=1A {坐火车}，=2A {坐船}，=3A {坐汽车}，=4A {乘飞机}，则 4
1
==i i BA B ，
且按题意
25.0)|(1=A B P ，3.0)|(2=A B P ，1.0)|(3=A B P ，0)|(4=A B P .
由全概率公式有：
∑==?+?+?==4
1145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i i A B P A P B P
6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以
70
41
1482110621)|()()|()()(2211=
?+?=+=A B P A P A B P A P B P (2) 12
7
2414)(==B P
7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解 02.04.004.035.005.025.0?+?+??
%45.30345.0008.00140.00125.0==++=
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出""?和""-，由于通信受到干扰，当发出""?时，分别以概率0.8和0.2收到""?和""-，同样，当发出信号""-时，分别以0.9和0.1的概率收到""-和""?。求(1) 收到信号""?的概率；(2) 当收到""?时，发出""?的概率。
解 记 =B {收到信号""?}，=A {发出信号""?} (1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
52.004.048.01.04.08.06.0=+=?+?=
(2) 13
12
52.08.06.0)()|()()|(=?==B P A B P A P B A P .
9．设某工厂有C B A ,,三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次
品，求它依次是车间C B A ,,生产的概率。
解 为方便计，记事件C B A ,,为C B A ,,车间生产的产品，事件=D {次品}，因此 )|()()|()()|()()(C D P C P B D P B P A D P A P D P ++= 02.04.004.035.005.025.0?+?+?= 0345.0008.0014.00125.0=++=
362.00345.005
.025.0)()|()()|(=?==D P A D P A P D A P
406.00345.004
.035.0)()|()()|(=?==D P B D P B P D B P
232.00345
.002
.04.0)()|()()|(=?==D P C D P C P D C P
10．设A 与B 独立，且q B P p A P ==)(,)(，求下列事件的概率：)(B A P ，)(B A P ，)(B A P . 解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()(
pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()( pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()(
11．已知B A ,独立，且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==，求)(),(B P A P . 解 因)()(B A P B A P =，由独立性有
)()()()(B P A P B P A P =
从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )()(B P A P =
再由 9/1)(=B A P ，有 2))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--== 所以 3/1)(1=-A P 。最后得到 .3/2)()(==A P B P
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解 记 =B {命中目标}，=1A {甲命中}，=2A {乙命中}，=3A {丙命中}，则 3
1==i i A B ，因
而
.98
9113121321)()()(11)(32131=-=??-=-=???
? ??-==A P A P A P A P B P i i 13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p ，求这
解 记 =A {通达}，
=i A {元件i 通达}，6,5,4,3,2,1=i
则 654321A A A A A A A =， 所以
)()()()(654321A A P A A P A A P A P ++=
)()(654321652165434321A A A A P A A A A P ---642)1()1(3)1(3p p p -+---=
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解 0512.0)8.0()2.0(352
3=???
? ??=p .
15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解 104.0096.0008.0)2.0(8.023)2.0(332
3=+=?????
? ??+???? ??=p . 16．设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .
解 记=i A {A 在第i 次试验中出现}，.3,2,1=i )(A P p =
依假设 3
32131)1(1)(12719p A A A P A P i i --=-=???
? ??== 所以， 27
8
)1(3=-p ， 此即 3/1=p .
17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 =i A {第i 道工序为次品}，.3,2,1=i 则次品率
097.090307.0195.097.098.01)()()(132131≈-=??-=-=???
? ??==A P A P A P A P p i i
18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。
解 记 =A {译出密码}， =i A {第i 人译出}，.3,2,1=i 则 7075
.02925.016.065.075.01)()()(1)(32131=-=??-=-=???
?
??==A P A P A P A P A P i i 19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？
解 (1) 256632151010
=??
? ?????? ?? ； (2) 106
42110??
? ?????? ??∑=k k .
20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：
(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解 (1) 256255
)25.0(1)75.01(144=-=--
(2) 1282741436)25.0()75.0(242
22
2=??? ?????? ???=???
? ?? (3) 2568143)75.0(4
4
=??
? ??=
习题四解答
1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
（1）5,4,3,2,1,0,15==i i
p i ；
（2）()3,2,1,0,652=-=i i p i ； （3）5,4,3,2,41
==i p i ；
（4）5,4,3,2,1,25
1
=+=i i p i 。
解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证i p 是否满足下列二个条件：其一条件为 ,2,1,0=≥i p i ，其二条件为1=∑i
i p 。
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，
因为064
6953<-=-=p ；
（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为∑=≠=5
1
12520
i i p 。 2. 试确定常数c ，使()()4,3,2,1,0,2
===i c
i X P i 成为某个随机变量X 的分布律，并求：()2≤X P ；
??? ??<<252
1
X P 。
解 要使i c 2成为某个随机变量的分布律，必须有12
4
0=∑=i i c ，由此解得3116
=c ；
（2） ()()()()2102=+=+==≤X P X P X P X P
3128
412113116=??? ??++=
（3）()()21252
1
=+==??? ??< 3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。 解 X 可能取的值为-3，1，2，且()()()6 1 2,211, 13=====-=X P X P X P ，即X 的分布律为 X 的分布函数 0 3- ()()x X P x F ≤== 31 13<≤-x 6 5 21<≤x 1 2≥x 4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数。 解 依题意X 可能取到的值为3，4，5，事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即()1013513=??? ? ??= =X P ；事件{}4=X 表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时()103352314=???? ?????? ???= =X P ；同理可得()106352415=??? ? ?????? ???= =X P 。 X 的分布律为 X 的分布函数为 0 3 ()=x F 101 43<≤x 10 4 54<≤x 1 5≥x 5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X 的分布律。 解 依题意X 服从参数6.0,5==p n 的二项分布，因此，其分布律 ()5,,1,0,4.06.055 =??? ? ??==-k k k X P k k ， 6. 从一批含有到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。 （1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。 解 （1）设事件 ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品，依题意， ,,,1n A A 相互独立，且 () ,2,1,13 10 == i A P i 而 ()()()() () ,2,1,13 10 1331 1 111=? ? ? ??====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k 即X 服从参数13 10 = p 的几何分布。 （2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为1，2，3，4， ()()()(). 286 1 10111213101234,143511121310233,26 512131032,13101=??????===????===??=== =X P X P X P X P X 的分布律为 （3）X 可能取到的值为1()()()(). 2197 6 1313131234,21977213131312233,169 3313131132,13101=????===????===??=== =X P X P X P X P 所求X 的分布律为 7. 设随机变量()p B X ,6~，已知()()51===X P X P ，求p 与()2=X P 的值。 解 由于()p B X ,6~，因此()()6,,1,0,1666 =-??? ? ??==-k p p k X P k k 。 由此可算得 ()()()(),165,16155p p X P p p X P -==-== 即 ()(),161655p p p p -=- 解得2 1=p ； 此时，()64 1521!25621212626 2 62 =??? ????=? ? ? ????? ?????? ??==-X P 。 8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X 表示出现国徽的次数，求X 的分布函数。 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为21，因此X 服从2 1,4==p n 的二项分布，即 ()4,3,2,1,0,212144=? ? ? ????? ?????? ??==-k k k X P k k 由此可得X 的分布函数 0， 0 161 ， 10<≤x ()=x F 165 ， 21<≤x 1611 ， 32<≤x 16 15 ， 43<≤x 1， 4≥x 9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？ 解 设至少要进n 件物品，由题意n 应满足 ()(),99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P 即 ()99.0! 4110 4<=-≤∑ -=-n k k e k n X P ()99.0! 404 ≥=≤∑=-n k k e k n X P 查泊松分布表可求得 9=n 。 10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。 解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从0001.0,1000==p n 的二项分布，即()0001.0,1000~B X ，由于n 较大，p 较小，因此也可以近似地认为X 服从1.00001.01000=?==np λ的泊松分布，即()1.0~P X ，所求概率为 ()()() . 004679.0090484.0904837.01! 11.0!01.0110121 .011.00=--=--≈=-=-=≥--e e X P X P X P 11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X 的分布律。 解 设事件i A 表示第i 次试验成功，则()75.0=i A P ，且 ,,,1n A A 相互独立。随机变量X 取k 意味着前1-k 次试验未成功，但第k 次试验成功，因此有 ()()()()()75.025.011111---====k k k k k A P A P A P A A A P k X P 12. 设随机变量X 的密度函数为 ()=x f x 2， A x <<0 0， 其他， 试求：（1）常数A ；（2）X 的分布函数。 解 （1）()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为()0≥x f ；其二为 ()?+∞ ∞ -=1dx x f ，因此有?=A xdx 012，解得1±=A ，其中1-=A 舍去，即取1=A 。 （2）分布函数 ()()()?∞-=≤=x dx x f x X P x F = ??????+++∞-∞-∞-x x x dx xdx dx xdx dx dx 10 1 000020200 1100 ≥<≤ = 1 02x 1 100 ≥<≤ 13. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,，求：（1）系数A ；（2）()10< X 的分布函数。 解 （1）系数A 必须满足?+∞ ∞--=1dx Ae x ，由于x e -为偶函数，所以 ???+∞∞-+∞+∞---===12200dx Ae dx Ae dx Ae x x x 解得2 1=A ； （2）()() 1101012 1 2 1 21 10----===< -=x dx x f x F = ???-∞--∞--+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 ≥ = ???-∞-∞-+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 00≥ = () x x e e --+121 2121 00≥ = x x e e --2 1121 00≥ 14. 证明：函数 ()=x f 0 22c x e c x - <≥x x （c 为正的常数） 为某个随机变量X 的密度函数。 证 由于()0≥x f ，且()120 22 0222 2 2 =-=??? ? ? ?- -==+∞ - ∞ +- ∞ +∞-∞+∞-- ???c x c x c x e c x d e dx e c x dx x f ， 因此()x f 满足密度函数的二个条件，由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数 ()=x f 025.05.0x e 2 200 >≤<≤x x x 对应的分布函数()x F 的表达式。 解 当0≤x 时，()()??∞-∞-===x x x x e dx e dx x f x F 5.05.0 当20≤ 025.05.025.05.0x dx dx e dx x f x F x x x 当2>x 时，()15.05.0025.05.00 22 0=+=++=???∞-x x dx dx dx e x F 综合有 ()=x F , 1,25.05.0, 5.0x e x + .2;20;0≥≤≤≤x x x 16. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布，求方程012=++Xt t 有实根的概率。 解 X 的密度函数为 ()=x f ,5 1 61< 方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为042≥-X ，即42≥X ，因此所求得概率为 () ()()()?=+=≥+-≤=≥-≤=≥6225 451 022224dx X P X P X X P X P 或。 17. 设某药品的有效期X 以天计，其概率密度为 ()=x f (),10020000 3 +x 0>x ; 0， 其他. 求：(1) X 的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。 解 (1) ()()?∞-=x dx x f x F = (),10020000, 003 dx x x ?+ .0;0≥ 100100001, 02 +-x .0;0≥ 10020010000 11200120012002 =??? ? ? ? +- -=-=≤-=>F X P X P 。 18. 设随机变量X 的分布函数为 ()=x F (),11, 0x e x -+- >≤x x 求X 的密度函数，并计算()1≤X P 和()2>X P 。 解 由分布函数()x F 与密度函数()x f 的关系，可得在()x f 的一切连续点处有()()x F x f '=，因此 ()=x f , 0, x xe - 其他0>x 所求概率()()()11211111---=+-==≤e e F X P ； ()()()()() 223211121212--=+--=-=≤-=>e e F X P X P 。 19. 设随机变量X 的分布函数为()+∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan ，求(1) 常数B A ,；(2)()1 解：(1)要使()x F 成为随机变量X 的分布函数，必须满足()()1lim ,0lim ==+∞ →-∞→x F x F x x ，即 ()()1 a r c t a n lim 0arctan lim =+=++∞ →-∞→x B A x B A x x 计算后得 1 20 2 =+ =- B A B A π π 解得 π 121= = B A 另外，可验证当π1,21= =B A 时，()x x F arctan 1 21π +=也满足分布函数其余的几条性质。 （2） ()()()()11111--=<<-= ()??????-+-+= 1arctan 1211arctan 121ππ 2 4141πππππ=??? ??-?-?= （3）X 的密度函数 ()()() +∞<<-∞+= '=x x x F x f ,11 2 π。 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min ）服从5 1 =λ的指数分布，其密度函数 为()=x f 0 ,515 x e - 其他0>x ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开。 （1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率； （2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。 解 （1）设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X 服从5 1=λ的指数分布，且顾客等待时间超过10min 就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为 ()?∞ +--==≥10 25 5 110e dx e X P x ； （2）设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y 服从2,5-==e p n 的二项分布，所求概率为 ()()() ()() () ()() 4 2 24 225 20 2141115105101-------+=-??? ? ??+-??? ? ??==+==≤e e e e e e Y P Y P Y P 21. 设X 服从()1,0N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）()2.2 ()176>X P ；（3）()78.0- 解 查正态分布表可得 （1）()()9861.02.22.2=Φ= （2）()()()0392.09608.0176.1176.1176.1=-=Φ-=≤-=>X P X P ； （3）()()()2177.07823.0178.0178.078.0=-=Φ-=-Φ=- ()()()()8788 .019394.02155.1255.1155.1=-?=-Φ=Φ--Φ= （5） ()()()[]15.2215.215.2-Φ-=≤-=>X P X P ()()0124.09938.0125.222=-=Φ-=。 22. 设X 服从()16,1-N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）()44.2 解 当()2,~σμN X 时，()?? ? ??-Φ-??? ??-Φ=≤≤σμσμa b b X a P ，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得 （1）()()8051.086.04144.244.2=Φ=??? ??+Φ= （2）()()125.01415.115.1-Φ-=?? ? ??+-Φ-=->X P ()()()5498.0125.0125.011=Φ=Φ--=； （3）()()()3264.06736.0145.0145.0418.28.2=-=Φ-=-Φ=?? ? ??+-Φ=- ? ??+-Φ-??? ??+Φ= ()()6678.07734.018944.075.0125.1=+-=Φ+-Φ=； （5）()()()175.041541225-Φ-Φ=?? ? ??+-Φ-??? ??+Φ=<<-X P ()()9321.018413.07734.01175.0=+-=+Φ-Φ=； （6）()()()??? ?????? ??+Φ-??? ? ?+Φ-=≤≤-=≤--=>-410412*********X P X P X P ()()8253.05987.07724.0125.075.01=+-=Φ+Φ-=。 23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布()01.0,05.2N ，合格品的规格规定为2.02±，求该厂滚珠的合格率。 解 所求得概率为 ()()()()()927 .09938.019332.05.215.15.25.11.005.28.11.005.22.22.022.02=+-=Φ+-Φ=-Φ-Φ=? ? ? ??-Φ-??? ??-Φ=+≤≤-X P 24. 某人上班所需的时间()100,30~N X （单位：min ）已知上班时间为8：30，他每天7：50出 门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。 解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为 ()()1587.08413.0111103040140=-=Φ-=?? ? ??-Φ-=>X P ； （2）记Y 为5天中某人迟到的次数，则Y 服从1587.0,5==p n 的二项分布，5天中最多迟到一 次的概率为 ()()()()8192.08413.01587.0158413.01587.01514 50=???? ? ??+????? ??=≤Y P 。 习题五解答 1. 二维随机变量()Y X ,只能取下列数组中的值：()()()0,2,31,1,1,1,0,0?? ? ? ?--，且取这些组值的概率依次为12 5 ,121, 31,61，求这二维随机变量的分布律。 解 由题意可得()Y X ,的联合分布律为 2. 3,2,2,1中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X 、Y 分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求()Y X ,的分布律及()Y X P =。 解 X 可能的取值为3,2,1，Y 可能的取值为3,2,1，相应的，其概率为 ()()()()()()()()(). 03,3,61 34212,3,1211,3,61 34123,2,6134122,2,6134121,2,12 1 34113,1,6134212,1,01,1====??=======??====??====??====??====??= =====Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 ()()()()6 3,32,21,1===+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P 。 3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量 X 、Y 如下： X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量()Y X ,的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。 解 （1）在放回抽样时，X 可能取的值为1,0，Y 可能取的值也为1,0，且 ()()()(), 251 1010221,1,2541010820,1, 254 1010281,0,25161010880,0=??====??====??====??= ==Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 （2）在无放回情形下，X 、Y 样，具体为 ()()()(), 451 910121,1,458910820,1,45 8 910281,0,4528910780,0=??====??====??====??= ==Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 4. 对于第1题中的二维随机变量(Y X ,X 及关于Y 的边缘分布律。 解 把第1 按列相加得Y 的边缘分布律为 5. 对于第3Y X ,于 X 及关于Y 的边缘分布律。 解 在有放回情况下X Y 的边缘分布律为 在无放回情况下X 的边缘分布律为 Y 的边缘分布律为 6. 求在D Y X ,D 为x 轴、y 轴及直线12+=x y 围成的三角形区域。 解 区域D 见图5.2。 易算得D 的面积为4 1 2112 1 = ??=S ，所以()Y X ,的密度函数 ()=y x f , ,0,4 ()其他 D y x ∈, ()Y X ,的分布函数 ()()??∞- ∞-=y x dxdy y x f y x F ,, 当21- 1 +<≤<≤-x y x 时, ()202 1244,y y xy dx dy y x F y x y -+==??-； 当12,02 1+≥<≤-x y x 时，()1444,22 11 20 ++==??- +x x dy dx y x F x x ； 当10,0<≤≥y x 时，()200 2124,y y dx dy y x F y y -==??-； 当1,0≥≥y x 时，()??- +==02 11 20 14,x dy dx y x F 综合有 ,0 02 1<- ,242y y xy +- 12002 1 +<≤<≤- x y x 且 ()=y x F , ,1442++x x 1202 1 +≥<≤- x y x 且 ,22y y - 100<≤≥y x 且 ,1 10≥≥y x 且 7. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布，写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数。 解 X 的边缘密度函数为 ()()?+∞ ∞-=dy y x f x f X , = , 0, 41 20 ?+x dy 其他021<<- x = (), 0,124+x 其他 21 <<-x Y 的边缘密度函数为 ()()?+∞ ∞-=dx y x f y f Y , = , 0,40 2 1? -y dx 其他 10< (),0, 12y - 其他 10< 8. 在第3题的两种情况下，X 与Y 是否独立，为什么？ 解 在有放回情况下，由于()25160,0= ==Y X P ，而()()25 16 545400=?===Y P X P ，即()()()000,0=====Y P X P Y X P ；容易验证()()(),101,0=====Y P X P Y X P ()()()()()()111,1,010,1==========Y P X P Y X P Y P X P Y X P ，由独立性定义知X 与Y 相互独立。 在无放回情况下，由于()45280,0===Y X P ，而()()25 16 545400=?===Y P X P ，易见 ()()()000,0==≠==Y P X P Y X P ，所以X 与Y 不相互独立。 9. 在第6题中，X 与Y 是否独立，为什么？ 解 431,41=?? ? ??-f ，而3 4 31,241= ?? ? ??=?? ? ??-Y X f f ，易见?? ? ????? ??-≠??? ??-314131,41Y X f f f ，所以X 与Y 不相互独立。 10. 设X 写出表示()Y X ,解 由于X 与Y 相互独立，因此 ()()() ,3,2,1,4,3,2,1,,=======j i y Y P x X P y Y x X P j i j i 例如()()()8 121415.025.0,2=?=-=-==-=-=Y P X P Y X P -1 61 121 121 0 241 481 481 0.5 6 1 121 12 1 11. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，X 服从[]2.0,0上的均匀分布，Y 服从参数为5的指数分布， 求()Y X ,的联合密度函数及()Y X P ≥。 解. 由均匀分布的定义知 ()=x f X ,0,5 其他 2.00< ()=y f Y , 0, 55y e - 其他0>y 因为X 与Y 独立，易得()Y X ,的联合密度函数 ()()()==y f x f y x f Y X , , 0,255y e - 其他0,2.00>< dxdy y x f Y X P ,， 其中区域(){}y x y x G ≥=|,见图5.3，经计算有 ()() 12 .0052 .00051525---=-==≥???e dx e dy e dx Y X P x x y 。 12. 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()= y x f , (), 0, 43y x ke +- 其他0,0>>y x 求：（1）系数k ；（2）()20,10≤≤≤≤Y X P ；（3）证明X 与Y 相互独立。 解 （1）k 必须满足()??+∞∞-+∞ ∞-=1,dxdy y x f ，即()10430=??+∞ +-+∞ dx ke dy y x ，经计算得12=k ； （2）()()()()832 01 043111220,10--+---==≤≤≤≤??e e dx e dy Y X P y x ； （3）关于X 的边缘密度函数 ()()?+∞ ∞-==dy y x f x f X , (), 0,120 43dy e y x ?+∞+- 其他 0>x = , 0, 33x e - 其他0>x 同理可求得Y 的边缘密度函数为 ()=y f Y , 0, 44y e - 其他0>x 易见()()()+∞<<-∞+∞<<-∞=y x y f x f y x f Y X ,,,，因此X 与Y 相互独立。 13. 已知二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()=y x f , (),0, 1y x k - 其他 x y x <<<<0,10 （1）求常数k ；（2）分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（3）X 与Y 是否独立？ 解 （1）k 满足()??+∞∞-+∞∞-=1,dxdy y x f ，即()??=-10011x ydy x k dx 解得24=k ； （2）X 的边缘密度函数 ()()?+∞ ∞-==dy y x f x f X , (), 0, 1240 dy y x x ?- 其他10< (), 0, 1122x x - 其他 10< Y 的边缘密度函数为 ()=y f Y (), 0,1241 ?-y ydx x 其他 10< 0, 1122 y y - 其他10< （3） 3141212441,21=??=?? ? ??f ，而()()16271694112,23214112= ??==??=y f x f Y X ，易见 ?? ? ????? ??≠??? ??412141,21Y X f f f ，因此X 与Y 不相互独立。 14. 设随机变量X 与Y 且()5 30|1===X Y P ，（1） 求常数b a ,的值；（2）当b a ,取（1）中的值时，X 与Y 是否独立？为什么？ 解 （1）b a ,必须满足∑∑===2 13 11j i ij p ，即 1252251253252=+++++a b ，可推出25 17 = +b a ，另外由条件概率定义及已知的条件得 ()()()5325 201,00|1=+===== ==b b X P Y X P X Y P 由此解得253=b ，结合2517 =+b a 可得到2514=a ， 即 25 32514= = b a （2）当25 3 ,2514==b a 时，可求得()()25170,2550====Y P X P ，易见 ()()()0025 2 0,0==≠===Y P X P Y X P 因此，X 与Y 不独立。 15. 对于第2题中的二维随机变量()Y X ,的分布，求当2=Y 时X 的条件分布律。 解 易知()122===?Y P p ，因此2=Y 时X 的条件分布律为 16. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布，求当?? ? ??<<-=021,x x X 时Y 的条件密度函数。 解 X 的边缘密度函数为（由第7题所求得） ()=x f X (), 0,124+x 其他 21 <<-x 由条件密度函数的定义知当??? ??<<- =021,x x X 时Y 的条件密度函数为 ()()()==x f y x f x y f X X Y ,|| (), 0,1244 +x 其他 120+< 0, 121 +x 其他 120+< 习题六解答 1. 设X 的分布律为 求出：以下随机变量的分布律。（1）2+X ；（2）1+-X ；（3）2X 。 解 由X 由此表可定出 （1）2+X 的分布律为 （2）1+-X 的分布律为（3）2X 的分布律为 其中() ()()24 682242=+=-=+===X P X P X P 。 2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量=Y , 1,1;1,0>≤X X 若若试求随机变量Y 的分 布律。 解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布，因此 (),,2,1,0,! !11 1 ====--k k e e k k X P k 而 ()()()()11 12!1!01010---=+==+==≤==e e e X P X P X P Y P ； ()()()1 211111--=≤-=>==e X P X P Y P 。 苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013年8月 习题1-1 样本空间与随机事件 1．选择题 （1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）AB AC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C （2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ） A {}123T T T t ++> B {}123TT T t > C {}{}123min ,,T T T t > D {}{} 123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。 解：{},18543 ，，，＝Ω ；{} 18,,12,11 ＝A 。 （2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。 解：{ } ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。 （3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量 长度与规格的误差不超过0.1。 。 3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ， B ， C 都发生：解： ABC ； （2） A ， B ，C （3） A 发生， B 与 C （4） A ， B ， C 中至少有一个发生：解：C B A ?? （5） A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示 下列各事件： （1）只有一个是次品； 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 概率统计试卷二 一、（10分）已知随机变量X 服从参数为1的泊松分布，记事件{}2,X A =≥ {}1,X B =<求()()() ,,.P P P A B A -B B A 二、(10分)对以往数据分析结果表明，当机器运转正常时，产品的合格率为９０％；而当机器发生故障时其合格率为３０％，机器开动时，机器运转正常的概率为７５％，试求已知某日首件产品是合格品时，机器运转正常的概率。 三、（１２分）设（X ，Y ）为二维离散型随机变量，X ，Y 的边缘概率函数分别为 且()01,P XY ==试求： （1）（X ，Y ）的联合概率函数；（2）X ，Y 是否相互独立？为什么？ （3）X ，Y 是否相关？为什么？ 四、（14分）设（X ，Y ）的联合密度函数为()()22,0,0,0, x y e x y f x y -+?>>?=???其余， 试求：（1）()X 1,Y 2;P <> （2）()X Y 1.P +< 五、（12分）假设一条生产流水线在一天内发生故障的概率为0.1，流水线发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日无故障这条流水线可产生利润20万元，一周内发生一次故障时，仍可获利润6万元，发生二次或二次以上故障就要亏损2万元，求一周内这条流水线所产生利润的期望值。 六、（12分）假设生产线上组装每件成品花费的时间服从指数分布。统计资料表明：该生产线每件成品的平均组装时间10分钟。假设各件产品的组装时间相互独立。试求在15小时至20小时之间在该生产线组装完成100件成品的概率。（要用中心极限定理） 七、（16分）设()1n X ,,X 是取自总体X 的一个样本，X 服从区间[],1θ上的均匀分布， 其中1,θθ<未知，求（1）*θθ的矩估计； （2）θθ的极大似然估计； （3）试问：θ是否为θ的无偏估计？若不是，试将θ修正成θ的一个无偏估计。 八、（14分）已知某种食品的袋重（单位：千克）服从正态分布() 2N μσ，，其中 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件两次出现的面相同}； (2) 记录某电话总机一分钟， (2) 记X为一分钟 2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设取得球的号码是偶数}，取得球的号码是奇数}，取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： ；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)；；解是必然事件； 是不可能事件； 取得球的号码是2，4}； 取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； 取得球的号码为奇数，且不小于取得球的号码为5，7，9}； 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6，8，10}； 取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 在区间[0,2]上任取一数，记，，求下列事件的表达式： ；(2)B；(3)A； 解 或 (3) 因为，所以； 或或或用事件 的运算关系式表示下列事件： (1) A出现，B,C都不出现（记为E1）； (2) A,B都出现，C不出现（记为E2）； (3) 所有三个事件都出现（记为E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）； (5) 三个事件都不出现（记为E5）； (6) 不多于一个事件出现（记为E6）； (7) 不多于两个事件出现（记为E7）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。 解；AB； ；； ；； ； 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，，试用Ai表示下列事件： (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解；(2)A1A2A3；(3)A1A2A3；； 6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，，三次射击恰好命中二次}，三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。 解 习题二解答 1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。 解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为A， 则有利于A的样本点数 于是 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率； (2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。 解本题是有放回抽取模式，样本点总数记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D. ⅰ)有利于A的样本点数，故 ⅱ) 有利于B的样本点数，故 20(ⅲ) 有利于C的样本点数，故 ⅳ) 有利于D的样本点数，故 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。 解本题是无放回模式，样本点总数 (ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利 样本点数为，所求概率为 (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为， 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 同济大学概率论与数理统计 复习试卷 1、对于任意二个随机事件B A ,，其中1)(,0)(≠≠A P A P ，则下列选项中必定成立的是( ) （A ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分必要条件； (B) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分条件非必要条件； (C) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的必要条件非充分条件； (D) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的既非充分条件也非必要条件. 2、 设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三等品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 ，在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为 . 3、 对任意常数)(,,b a b a <，已知随机变量X 满足 (),()P X a P X b αβ≤=≥=. 记()b X a P p ≤<=,则下列选项中必定成立的是 ( ) (A))(1βα+-=p ； (B) )(1βα+-≥p ； (C) )(1βα+-≠p ； (D) )(1βα+-≤p . 4、 设随机变量X 的概率密度为 ???<<=其它,010,5)(4x x x f ，则使得)()(a X P a X P <=>成立的常数=a ，X Y ln 2-=的密度函数 为=)(y f Y . 5、如果22,,EY EX ∞<<∞且X 与Y 满足()(),D X Y D X Y +=-则必有 （ ） ()A X 与Y 独立； ()B X 与Y 不相关； ()()0C D Y =； ()()()0.D D X D Y = 6、 设12,,n X X X 相互独立且服从相同的分布， ∑====n i i X n X X D X E 1 111,3)(,1)(，则由切比雪夫不等式可得() ≤≥-11X P ，∑=n i i X n 121依概率收敛于 . 7、 设521,X X X 独立且服从相同的分布， ()1,0~1N X .()()2 542321X X X X X c Y +++=.当常数c = 时,Y 服从自由度为 的F 分布. 8、一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人。然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同， 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？ 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 1．盒中有同类产品10件，其中一级品4件，甲先从盒中任意取2件，乙再从剩下的产品中任意取2件。 (1).求乙取出的2件都不是一级品的概率； (2).求在乙取出的2件都不是一级品的条件下，甲取到的2件都是一级品的概率。 2. 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7和0.9。已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9。 （1）求仪器的不合格率； （2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大。 3. 设随机变量X 的分布函数为 ?????>≤≤<=1 1100,0)(2 x x ax x x F 求 (1). 常数a ；(2). X 的概率密度函数；(3). )7.03.0(< 求（1）边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （2）(1)P X Y +<； （3）Z X Y =+的概率密度()Z f z . 6. 设2)(=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0=ρXY ，求 （1）32322-+-=Y XY X U 的数学期望； （2）53+-=Y X V 的方差。 7. 罐中有5个红球，2个白球,无回放地每次取一球，直到取到红球为止，设X 表示抽取次数，求（1）X 的分布列，（2）()E X 8. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为： ???-<<<<=其它, 0)1(20,10,1),(x y x y x f 求： （1）关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ； （2）)(X E 和)(X D ； （3）条件概率密度函数)|(|y x f Y X ； （4）Z =X +Y 的概率密度函数)(z f Z 。 9. 假设本班同学身高服从方差为144的正态分布，随机选取25名同学测得身高数据，算得170x cm =，是否可以认为本班同学的平均身高μ为175cm 。(0.9750.975(24) 2.0639, 1.96t u ==) 10. 设总体X 的概率密度函数为 ???<<+θ=θ其它, 010,)1()(x x x f 其中1->θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本。 （1）求θ的矩估计量M θ?； （2）求θ的极大似然估计量MLE θ?； （3）若给出来自该总体的一个样本1-e ,2-e ,2-e ,1-e ,3-e ,3-e ,2-e ,2-e ，求概率}2.0{ 1. 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： (1)A发生，B，C都不发生； (2) A与B发生，C不发生； (3)A，B，C都发生； (4) A，B，C至少有一个发生； (5)A，B，C都不发生； (6) A，B，C不都发生； (7)A，B，C至多有2个发生； (8) A，B，C至少有2个发生. 2. 设A，B是两事件，且P（A）=,P(B)=,求： （1）在什么条件下P（AB）取到最大值 （2）在什么条件下P（AB）取到最小值 3.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率. 5.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的） 6.已知5%的男人和%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半） 7.设P（A）=,P(B)=,P(A B)=，求P（B｜A∪B） 8.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 9. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努 力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人 （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人 概率统计练习册习题解答 苏州科技学院 概率论与数理统计》活页练习册习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013 年12 月 习题1-1 样本空间与随机事件 1选择题 （1）设A,B,C为三个事件，则A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（D） （A）AB IJ AC U BC（B）A U B U C（C ）AB CU A B C UA BC （D ） AUBUC （2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件系统的寿命超过t”可表示为（D） A ;T1T2T3k B ITT2T3 t? C :min 汀,T2,T3? t? D ;max：T1，T2,T3i >t? 2?用集合的形式表示下列随机试验的样本空间「与随机事件A:对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示射击次数不超过5次”。 解：Q = {l,2,3,，}； A = {1,2,3,4,}。 3?设某工人连续生产了4个零件，A i表示他生产的第i 个零件是正品（i=123,4 ），试用A表示下列各事件： （1 ）只有一个是次品； (2)至多有三个不是次品；卜- A- A3 一A4 习题1-2 随机事件的概率及计算 1填空题 (1)已知 A B，P(A)=0.4，P(B)=0.6，贝P(A)二—0.6，P(AB)二 二0 ，P(AB)二0.4。 P(A B) (2)设事件A与B互不相容，P(A) =0.4, P(B) = 0.3，则P(AB)= 0.3 ，P(AU B)= 0.6 。 2 ?选择题 (1)如果P(AB) =0，则(C ) (A) A与B互不相容(B) A 与B互不相容 (C) P(A_B)二P(A) (D) P(A_B) =P(A) _P(B) (2)两个事件A与B是对立事件的充要条件是 (C ) (A) P(AB) = P(A) P(B) (B) P(AB) =0 且P(A B) =1概率统计练习册习题解答(定)
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