人船模型之二(带详细解析)

人船模型之二

动量守衡定律是自然界最重要最普遍的归律之一，利用该定律只考虑相互作用物体作用前后动量变化的关系，省去了具体细节的讨论，为我们解决力学问题提供了一种简捷的方法和思路。人船模型问题是一种很常见的题形，在研究过程当中，如果能恰当地应用动量守恒定律进行解题，会给我们带来意想不到的效果。

[例1] 如图1所示，静水面上停有一小船，船长L = 3米，质量M = 120千克，一人从船头走到船尾，人的质量m = 60千克。那么，船移动的距离为多少？（水的阻力可以忽略不计）

过程分析当人从船头走到船尾，通过脚与船发生了作用（也可以认为走动过程就是人与船发生间歇性碰撞的过程）。

选取人和船为研究对象，由于不计水的阻力，所以系统

在水平方向上动量守恒。

解：设人从船头走到船尾，船对地的就离为S，则人对地移动了L - S，根据动量守恒定律可得

M S/t - m (L - S)/t = 0

解得

S = ML/(M + m) = 60*3/(120 + 60) = 1米

此题虽然很简单，但所展示的物理模型很重要，如果真正掌握了此题的解法，那么，下面几道题完全可以做到同法炮制，快速求解。

※[例2] 一质量为M的船，静止于湖水中，船身长L，船的两

端点有质量分别为m1和m2的人，且m1>m2,当两人交换位置后，船身位移的大小是多少？（不计水的阻力）

过程分析此题初看上去较上题繁杂得多，物理模型也迥然相异，但实质上是大同小异，如出一辙。试想，若把质量大的人换成两个人，其中一个人的质量为m2，另一个人的质量为m = m1 - m2。由上一题可知，当两个质量都为m2的人互换位置之后，船将原地不动。这样一来，原来的问题就转化为上题所示的物理模型了，当质量为m = m1 - m2的人从船的一端走到另一端，求船的位移。

解：设船对地移动的位移为S，则质量为m = m1 - m2的人对地移动的位移就是L - S，由动量守恒定律可得

（M + 2m2）S/t – (m1 - m2) (L - S)/t = 0

解得

S = (m1 - m2)L/(M + m1 + m2)

※[例3] 某人在一只静止的小船上练习射击，船和人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为M，枪内装有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹射出枪口时相对地面的速度为v O，在发射一颗子弹时，前一颗粒子弹已陷入靶中，则在发射完n 颗子弹后，小船后退的距离为多少（不计水的阻力）。

过程分析子弹发射时在枪内的运动，和击靶的过程，类似于人船模型中相互作用。连发n颗子弹，相当于n个人从船头走到船尾。把船、人、枪、靶和子弹作为一个系统进行研究，因该系统在水平方

向上不受外力，所以在这个方向上总动量守恒。

解：设一颗子弹完成射击过程的历时为t，小船移动So，由动量守恒定律可得

[M + (n - 1) m] So/t – m (L - So)/t = 0

解方程可得

So = mL/(M + nm)

因此，发射n颗子弹后，小船后退的距离

S = nSo = nmL/(M + nm)

※[例4] 如图2所示，在光滑水平地面上，有

两个光滑的直角三形木块A和B，底边长分别为a、b，

质量分别为M、m，若M = 4m，且不计任何摩擦力，当B滑到底部时，A向后移了多少距离？

过程分析选定木块A和B整体作为研究对象，在B沿斜面下滑的过程中，与人船模型类同，该系统在水平方向上所受的合外力为零，所以，在水平方向上动量守恒。

解：设当B沿斜面从顶端滑到底部时，A向后移动了S，则B对地移动了a - b – S,由动量守恒定律得

MS/t – m(a – b - S)/t = 0

解得

S = m(a - b)/(M + m) = (a – b)/5

[例5]质量为M的气球下系一质量可忽略的足够长的绳子，绳子上距地面H高处有一质量为m的猴子。开始时气球和猴子均静止在空中，猴子从某时刻开始沿绳子缓慢下滑，要它恰能滑到地面，开始下滑时，它下面的绳子至少应为多长？

过程分析选定气球和猴子为一个系统，在猴子沿绳子下滑着地前的整个过程中，系统在竖直方向上所受合外力为零，因此，在竖直方向上每时每刻动量守恒，与人船模型类同。

解：设猴子从开始下滑到着地历时t，其间气球又上升了h，由动量守恒定律得

M h/t – m H/t = 0

解得

h = Hm/M

因此，所求绳长至少应为