第二章 静电场 格林函数法

（1）无界空间的Green函数 即在无穷大空间中放一个单位点电荷，求空间某处的 电势，也就是Green函数。
1 1 1 G ( x, x) 40 x x 40 ( x x) 2 ( y y) 2 ( z z) 2 1


1
2
其中 x 代表单位电荷的所在位置（源点坐标）， x 代表观察点坐标（场点坐标）。 现在，证明上述Green函数是否满足Green函数所满 足的微分方程。
也可以用来解Laplace equation的边值问题。 5、Green函数法的应用举例
[例] 在无穷大导体平面上有半径为a的圆，圆内和 圆外用极狭窄的绝缘环绝缘, 设圆内电势为V0，导
体板其余部分电势为零，求上半空间的电势。
z
R P(ρ,φ,z)
P'(ρ',φ',z')
a V0 x y

2
V [ ( ) ( )]dV S n dS （6） 式中V为包围面S所围的面积，该式称为Green 第一公式。
如果上式中的
得到
和
对调，即 A ，同理
V [ ( ) ( )]dV S n dS
2
（7）
于是 故得到
( x) ( x ) G ( x, x) ( x)dV 0 G ( x, x ) dS V S n
1 S ( x)dS 0 S
此式称为外问题的Green函数解的形式。
4、Green函数的制作
以上的讨论，表面上似乎把静电边值问题的解找到 了，其实并作为此，因为只有把问题的Green函数 找到了，才能对表达式（第一类边值问题的形式解 和第二类边值问题的形式解）作出具体的计算。实 际求Green函数本身并不是件容易的事，所以以上 解的形式只具有形式解的意义。当然，它把唯一性 定理更具体地表达出来了。 在这里介绍几种不同区域的Green函数的制作 方法。
电势方程为
0 假设有一包含 x 点的某空间区域V，在V 的边界

2
1
( x x)
（3）
S上有如下边界条件
S
0 或者 n
S
1 0S
（4）
则把满足边界条件（4）式的（3）式的解称为 泊松方程在区域V的第一类或第二类边值问题 的Green函数。
Green函数一般用 G( x, x) 表示，x 表示单位电荷 所在的位置，x代表观察点，在（3）式和（4） 式中，把
第五节
格林函数法
Method of Green function
Green函数法来求解的静电边值问题，是给定区域V内电荷
分布 (x )和区域V的边界面S上各点的电势 s或电势法 向导数 ，求区域V内各点的电势值。 n S
如果边界条件是给定S上的电势
s
, 这类边值问题称为
第一类边值问题, 也称狄利克莱边值问题；
G n
S
1 0S
这样且有第二类静电边值问题的Green函数解的 形式：
( x) 1 ( x ) G ( x, x) ( x)dV 0 [G ( x, x ) ( x) ]dS V S n 0S
( x) 1 G ( x, x) ( x)dV 0 G ( x, x ) dS ( x)dS V S n S S
因为Green公式中积分，微分都是对变量 x 进行的， 而Green函数关于源点和场点是对称的，即 G( x, x)
G( x, x ) ，为方便起见，把变量 x 换为 x ，故有 改为 ，即得
[G( x, x)
V
1
0
( x) ( x)
1
0
( x x )]dV
相当于无穷大金属平板旁边放置单位电荷求电势问题
其 Green函数为
其中
2
1 1 G ( x, x) ( ) 40 r r
1
) 2 ( y y) 2 ( z z) 2 r (x x
换为柱坐标，且有
b) 如果所取的Green函数属于第一类问题，即
G ( x, x ) ( x ) G ( x, x ) ( x)dV 0 ( x) dS V S n 这实质上就是第一类边值问题的解。
G( x, x) S 0 ，这时则有
c) 如果所取的Green函数属于第二类问题，即
( x) G ( x, x ) [G ( x, x ) ( x ) ]dS S n n
该式左边第二项为 1 1 ) ( x x )dV ( x ) V ( x 0 0 得到 1 1 [G ( x, x ) ( x)dV ( x ) V 0 0 ( x) G ( x, x ) [G ( x, x ) ( x) ]dS S n n
从 函数性质可知，保持小体积V 的面积为1， 从而有
1 1 1 V r dV V r dV S r dS r 1 2 3 dS 2 r d S r S r 4
2
1 21 V ( x x)dV V 4 r dV 1
( A)dV A dS A dS
V S S n
当 A , 和 均为连续、可微的标量 函数，故
A ( ) 2
又
于是，有
ˆ An A en n
如果边值（界）条件是给定S上的 n
，这类边值问题
S
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称为第二类边值问题, 也称诺埃曼边值问题。 Green函数法就是将要讨论的边值问题借助于有关点电荷 的较简单的边值问题而得到解决的。
1、点电荷密度的 函数表示 因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷密
度变为无穷大，而在其他地方电荷密度为零。若在
1 式中 S ( x )dS 为 在边界面S上的平均值。 S
在实际问题中，常遇到这类问题：在所考察的区域包 含有无穷大的边界面，假如，考察一导体球外的空间 电势分布问题，这时所考察的区域是球面和无穷大曲 面间包围的区域，所以这时边界面S→∞故有 G( x, x ) 1 0 n 0S S
z
x
o
r1 r2
x
y
根据镜象法得到：
1 1 G ( x, x) 40 ( x x) 2 ( y y) 2 ( z z ) 2 1 1 2 2 2 2 ( x x) ( y y) ( z z )
x 处有一点电荷Q，则电荷密度可写为
0 ( x ) Q ( x x)
V V
x x x x
（1）
显然
( x)dV Q ( x x' )dV Q
对于单位点电荷而言，Q=1，其密度为
( x ) ( x x)
（2）
2、Green函数 一个处在 x 点上的单位点电荷，它所激发的
故得到
1 4 ( x x) r
2
与微分方程比较，即有 1 1 2 2 1 G ( x, x) ( x x) 40 r 0
G 这里把 x 与 x 互换， ( x, x) 不变，即有
G( x, x) G( x, x )
这就说明Green函数具有对称性。 （2）上半空间的Green函数 即在接地导体平面的上半空间，由于 G 0 S 属于第一类边值问题。

1
0
( x)
取 满足
G ( x, x)
2
1
0
( x x)
代入Green第二公式，有

V
) 2 ( x ) ( x ) 2G ( x, x)]dV [G ( x, x ( x ) G ( x, x) [G ( x, x) ( x) ]dS S n n




1
2
根据镜象法得
G ( x x )
1 [ 4 ( R R 2 RR cos ) 1 ] RR (( ) R 2 RR cos ) R
2 2 1 0 2 2 1 2 0 0
1
2
在制作Green函数时，必须注意：求Green函数本身 不是很容易的，只有当区域具有简单几何形状时才 能得出解析的解，如果 ( x) 0 时，Green函数法
证明： 选电荷所在处为坐标原点，即 x 0，在球坐 标系中：
G ( x,0)
1 40 r
考虑球对称性，得到
1 G ( x,0) 4 r 而 2 1 0 (r 0) r
2 2 0
1
1 当r = 0时，取一小球面S 包围着原点，取 r
2
对小球体积V 积分，即
Solution:
： 静电问题
2 0 z R00 V0 z 0 0 R 0
此题Green函数满足的形式为
z0
1 2 G ( x , x ) ( x x ) 0 G ( x , x ) 0 z 0
换成G，即Green 函数所满足的方程
1
和边界条件为
G ( x x)
2
0
( x x)
（5）
G( x x) 1 G( x x) S 0 或 n 0S S
3、Green公式和边值问题的解 （1）Green公式的两种形式 根据 Gauss 定理，知道
故得到
( x ) G ( x, x ) ( x)dV
V
( x) G ( x, x ) 0 [G ( x, x ) ( x) ]dS S n n
这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。
讨论几点： a) 在区域V 中，任一点的势唯一地决定 (x) 电荷分布及边界的值 或 S n S
给定一个区域V，其中给定了 (x ) , S , n
S
且待求的边值问题：

2
1
0
( x)
S
V 给定了 (x )
相应的Green函数问题是： 1 2 G ( x, x) ( x x)
0
边界条件：
现在，取 满足
2
G 1 GS 0 或 n S 0S


1
2


这也可看到 G( x, x) G( x, x )
（3）球外空间的 Green函数
即在接地导体球外的空间，由 G S 0 ，属于 第一类边值问题。
z R' R0 θ' o

x
r' θ

r
R
x
α
y
x
R2 x2 y2 z 2 R 2 x 2 y 2 z 2 其中： cos cos cos sin sin cos( ) 1 2 2 r | x x | R R 2 RR cos 2 R 1 2 2 4 2 | x ( 0 ) x | r R R R0 2 R0 RR cos R R
将（6）式减去（7）式，得
[ ]dV ( )dS （8） V S n n
2 2
该式称为Green第二公式。
Green第一、第二公式是等价的。Green公式对解静 电问题的意义是：在区域V 内找一个待定函数
通过这个 公式从已知确定未知。 ，（ 为待求） （2）边值问题的解