923872-复变函数-7-习题课

2
练习：
(1)设a
0,
f
(t)
eat ,
e
at
,
t 0,则函数f (t)的 t0
Fourier积 分 为
.
(2)设F[
f
(t)]
1
3
2
,
则f
(t)
.
答案：
(1) f (t) 2a
0
cost a2 2
d
(2) 3 e |t| 2
2. 广义傅里叶变换 一些常见函数的广义Fourier变换: 1.u(t )和 1 ( )构成一个Fourier变换对.
(B) F[1] 2 ()
(C) F[2 (t)] 1
(D) F[sgn(t)] 2
i
提示：(D) sgn(t) 2u(t) 1再进行傅氏变换
3. 利用性质计算傅里叶变换
例5 计算函数f (t) | t | 的Fourier变换. 解 由于 | t | t sgnt t[2u(t) 1], 并且
时,由 于f (t )是 绝 对 可 积 的, 所 以
F (0) lim F ( ) lim f (t )e itdt
0
0
lim[
f
(t )e it
]dt
0
f (t )dt 0.
由 此 可 见,当 lim g(t ) 0时, 就 有F (0) 0,从 而 t
与 前 面 的 古 典 意 义 下 的积 分 性 质 相 一 致.
dt
2iRes[
t
e i| |t 2 a
2
, ai]
| 2i ei||t
e a|| .
2t t ai a
同理
F[ t 2
1
b2
]
b
e b| | .
所以
Y ( )
b
e b| | e a| |
a e . (ba )| | b
a
再取Fourier逆变换得方程的解
y(t ) F-1[Y ( )] a b a F-1[ e ] (ba)||
2
e(1ii )t dt e (1ii )tdt
0
0
| | 1 e(1ii )t 0
e(1i i )t 0
2 1 i i
1 i i
| | e e (1ii )t
(1 i i )t
1 i i 0
1 i i 0
1 2
1
1 i
i
1
1 i
i
1
1 (1
)i
)]
2
2F[ f (2t )]
i F ( ) 2 1 F ( )
4
2
22
i 4
F (
2
)
F (
2
)
id
2 d
(F ( ))
2
练习 求函数 (1 t )f (1t) 的傅里叶变换, 其中
F ( ) F[ f (t )].
解：
F ( )
(1
t
)
f
(1
t
)e
it
dt
1 t
f
2
e 4 .
2i
注意到f (t)为奇函数
f (t ) 1 F[ f (t )]eitd
2
1 π e itd
2 2i
1
2
e 4 isintd
4i
即有
2
e 4 isintd 2
f (t) 2
tet2 .
0
(3) 设f (t ) tei0t , 则F[ f (t )] ( D )
例10 求解积分方程
(t
y( )2
)
a2
d
t2
1 b2
(0
a
b).
解
方 程 两 边 是 未 知 函 数y(t )与 t 2
1 a2
的 卷 积,
即y(t ) *
t2
1 a2
.对 方 程 两 边 取Fourier变 换,
并 记F[ y(t )] Y ( ).由 卷 积 定 理 可 得 像 函 数
4. 综合运用
例8 计算函数f (t) tu(t)et sin 0t的Fourier
变 换.
解 法一 由F[u(t)et ] 1 ,
i
利用位移性质
F[u(t )et sin 0t]
1 F[u(t )etei0t ] 1 F[u(t )et ei0t ],
2i
2i
1
1
1
1
2i i( 0 ) 2i i( 0 )
i
2. (t)和1构成一个Fourier变换对.
3.1和2 ()构成一个Fourier变换对.
4.ei0t和2 ( 0 )构成一个Fourier变换对.
5.eit0和 (t t0 )构成一个Fourier变换对.
e dt i( 0 )t
2
(
0 ).
e d i(t t0 )
2
(t
f (t)
2
2
t
例10 若F[ f (t )] F ( ), 证明
F[ t
f
(t )dt]
F ( ) i
F (0) ( ).
证 由前面介绍的积分性质知,当g(t) t f (t)dt
满 足Fourier积 分 定 理 的 条 件 时, 有
F[ t f (t )dt] F ( ) .
(
)e
i
(1
)dt
ei
f
(
)e i( )
dt
eiF[tf (t)]
ie i
dF ( ) d
例7求函数f (t) tet2的Fourier变换,并推证
1
e
4 2
sintd
2
tet2 .
0
解 由钟型脉冲函数的Fourier变换知,
F[et2 ]
2
e 4 .
再由微分性质可得
F[tet 2 ]
2
1 e itd
2
sint (sint ). t t
记Sa(t ) sint ,则f (t ) Sa(t ),当t 0时,
t
定 义f (0) .信 号 Sa(t )(或 者Sa(t ))称 为
抽 样 信 号,它 在 连 续 时 间 的 离 散 化、 离 散 时
间 信 号 恢 复 以 及 信 号 滤波 中 发 挥 了 重 要 作 用.
i
当g(t )为 一 般 情 况 时, 可 以 将g(t )表 示 为
f (t)与u(t)的卷积,即
g(t) f (t)* u(t). 这是因为
t
f (t)* u(t) f ( )u(t )d f ( )d .
利用卷积定理
F[g(t )] F[ f (t )* u(t )] F[ f (t )] F[u(t )]
( A) 2 ( 0 ) (C) 2i ( 0 )
(B) 2 ( 0 ) (D) 2i ( 0 )
(4)设f (t) sin2 t,则F[ f (t)]
.
() [ ( 2) ( 2)]
2
(5)设f
(t)
0, et ,
t 0 ,则u(t)* t0
f
(t)
.
(1 et )u(t)
2i
2i
1
1
1
1
2i [ i( 0 )]2 2i [ i( 0 )]2
20 (
[
2 0
（
i ) i）2 ]2
例9 已知函数f (t )的Fourier变换为
F ( )
0, | | 1, | |
(
0),
求f (t ).
解 f (t ) F1[F ( )] 1
F
(
)e
it
d
求该函数.
解
f
(t)
1
2
sin eitd
2 0
sin
costd
0
sin(1
t
)d
0
sin(1
t
)d
,
2
t 1
,
2
t 1
2
,
t
1
2
,
t 1
0, t 1 0, t 1
所以
0, | t | 1
f
(t
)
1
2
,
| t | 1.
1 4
,
| t | 1
0, | t | 1
, | t | 1 , | t | 1
0
2 4
2 4
costd
2
e |t|
cos
t.
解 所给函数Fourier变换为
F ( ) F[ f (t )] f (t )eitdt
e |t| cos teitdt
e |t| e it e it ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ it dt
2
1 0 e(1ii )tdt 0 e(1ii )tdt
b
ba
a(b
b
a)
t2
1 (b
a)2
.
(附录I公式31)
例11 求 常系 数 非齐 次 线性 微分 方程
d2 dt 2 y(t ) y(t ) f (t ) 的 解， 其 中f (t)为 已知 函 数.
设F [ y(t)] Y ( ),F [ f (t)] F( ).
解 利用Fourier变换的线性性质和微分性质，对上述 微分方程两端取Fourier变换得
再由Fourier积分公式得，在连续点处
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
i
F ( )sintd
0
2
0
sin
1
sint 2
d
即
0
sin sint 12
d
2 0,
sint, | t | | t |
.
例3 计算函数f (t ) e|t| cos t的Fourier变换, 并证明
Y ( )满 足 的 方 程 为
F[
y(t
)*
t
2
1
a2
]
F[
t
2
1
b2
].
Y
(
)F[
t
2
1
a2
]
F[
t
2
1
b2
].
即Y ( )
F[ t 2
1 b2
]
.
而
F[
t
2
1
a2
]
F[
t
2
1
a
2
]
e it t 2 a2 dt
cost
2 0
t 2 a 2 dt
e i| |t t 2 a2
(3) 设f (t ) (2 t ) ei0t , 则F[ f (t )] ( A )
( A) e2i 2 ( 0 ) (C ) e2i 2 ( 0 )
(B) e2i 2 ( 0 ) (D) e2i 2 ( 0 )
(4)下列变换中不正确的是( C )
( A) F[u(t)] 1 () i
0
t
]
F[t
cos
0t]
i(
1
0
)
( 0 )
i(
1
0
)
( 0 )
( 0 ) ( 0 )
(
1
0 )2
1
( 0 )
.
例6 求函数 (t 2)f (2t) 的傅里叶变换, 其中
F ( ) F[ f (t )].
解
F[( t
2)
f
(2t )]
1 2
1 2
F[tf
(t
F ( ) [ 1 ( )] i
F ( ) F (0) ( ). i
说明 :当 lim g(t ) 0的条件不满足时,它的 t
Fourier 变 换 就 包 括 一 个 脉 冲 函数 , 即
F[ t f (t )dt] F ( ) F (0) ( ).
i
特 别,当 lim g(t ) 0时,即 t f (t )dt 0
变 换,并 证 明
0
s
in sint 12
d
2 0,
sint, | t |
.
| t |
解 所给函数是奇函数,其Fourier变换为
F ( ) F[ f (t )] f (t )eitdt 2i0 f (t)sintdt 2i0 sint sintdt 2i sin 12 .
相对 似称
性 性 性 性 性性
质 质 质 质 质质
δ函数
广义Fourier变换
*
三、典型例题
1、求古典傅里叶变换、积分并验证广义积分结果
F ( ) f (t )eitdt
f (t) 1
F ( )eitd
2
例1
计
算
函
数f
(t
)
s in t 0,
,
| t | 的Fourier | t |
第七章 Fourier变换
一、重点与难点 二、 内容提要 三、典型例题
一、重点与难点
重点：1. 求函数的Fourier变换；
2. Fourier变换的简单应用
难点： 求函数的Fourier变换.
二、内容提要
Fourier积分定理
性质
Fourier变换
Fourier变换 的应用
线 性
位 移
微 分
积 分
t0 ).
练习：
(1) 设f (t ) (t t0 ), 则F[ f (t )] ( D )
(A) 1
(B) 2
(C)ei t0
(D) eit0
(2) 设f (t ) cos 0t,则F[ f (t )] ( A )
( A) [ ( 0 ) ( 0 )] (B) [ ( 0 ) ( 0 )] (C )i[ ( 0 ) ( 0 )] (D)i[ ( 0 ) ( 0 )]
1
1 (1
)i
2 2 4 44 .
再由Fourier积分公式得
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
1
F ( )costd
0
1
0
2 2 4 4 4 cos
td .
即
2
0 4
2 costd
4
e|t| cos t .
2
例4 已知某函数的傅氏变换为
F ( ) sin ,
2 0
0 (
i
)2
,
再由微分性质
F[tu(t )et
sin 0t ]
i
d
d
2 0
0 (
i )2
20 (
[
2 0
（
i ) i）2 ]2
法二
F[tu(t )et ]
id
d
F ( )
(
1
i )2
由位移性质,F[tu(t)et sin 0t]
1 F[tu(t)etei0t ] 1 F[tu(t)etei0t ],
F[2u(t) 1] 2F[u(t)] F[1]
[ 2
i
2 ( )] 2 ( )
2
i
.
由Fourier变换的微分性质,得
F[|
t
|]
iF ( )
2
2
.
练习：求函数 | t | cos0t 的傅里叶变换.
解 F[| t | cos 0t] F[t sgnt cos 0t]
2F[tu(t
) cos