北师大版数学必修四课件：第2章§3 3.2 平面向量基本定理

1、平面向量基本定理 平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共线向量 的线性组合,根据向量的加法和减法法则及其几何特点即 可解题. 2、基底 （1）零向量不能作基底； （2）两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底； （3）平面中的任意不共线向量都可以作为基底，一旦选定 一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.
DC、MN对应的向量中确定一组基底，将其他向量用这组
基底表示出来.
D
M
C
A
N
B
解：取 AB e1 , AD e 2为基底,则有 DC BC BA AD DC e1 e 2
1 e1 ; 2
1 1 e1 e1 e 2 , 2 2 1 1 1 MN MD DA AN e1 e 2 e1 e1 e 2 . 4 2 4
D
b
M
a
C
B
两条对角线相交于点M，且
A
用 表示 分析:因为ABCD为平行四边形可知M为AC 与BD的中点.
所以
MC MA
MB MD
AC AB AD a b DB AB AD a b
MC
1 AC 2
MB
1 DB 2
解:在平行四边形ABCD中
b
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D A
(1)一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面 所有向量的基底； (2)一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平 面所有向量的基底； (3)零向量不可以为基底中的向量.
3、如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M、N分别
是DC、AB的中点.请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、
因为 | AG |=10（kg）×10（m/s2）=100（N） F
A G E
所以,| AM || AF | 50N,| AN || AE | 50 3(N)
答：物体所受滑动摩擦力大小为50N，方向与斜面平行向 上；所受斜面支持力大小为
50 3N,
方向与斜面垂直向上.
D A
F
B
E
C
1、下列说法中，正确的有（(2)、(3)）
3.2 平面向量基本定理
1．了解平面向量基本定理的证明； 2. 掌握平面向量基本定理及其应用.
1、向量的加法：
（1）三角形法则： B C
A 首尾相连
（2）平行四边形法则： B C
A 共同起点
D
2、向量的减法：
a b
a
B
b
ab
A
D
共同起点 指向被减向量
3、共线向量定理:
2、过点C作平行于直线OB的直线， 与直线OA相交于M； 过点C作平行于直线OA的直线， 与直线 相交于 N； ON OC 则 OMOB O
a
M
C
B
，
注意:我们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量 和已知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关 联系,从而使问题简化.
说明：同上题一样，我们要找到与未知相关联的量，来解 决问题，避免做无用功！
1 | AF | AG sin 30 100 50(N) 2 3 | AE || AG | cos 30 100 50 3(N) 2
一、平面向量基本定理
存在唯一
作
aλ 特别的：λ 1=0，λ 2≠0时，
2
e 2 , a与e 2
1
共线.
λ 1≠0，λ 2=0时， a λ
λ 1=λ 2=0时，a 0.
e1 , a与e1
共线.
e1
e2
(2)作平行四边形OACB
A
C
B O
例2
a, b
如右图所示，平行四边形ABCD的
AB a, AD b, MA、 MB 、 MC和MD.
M
A B N
C
ON 与 OB 共线. 3、又 OM 与 OA 共线；
M A
O B N
C
OM λ OA 所以有且只有一个实数λ 1，使得： ON λ OB 有且只有一个实数λ 2 ，使得：
1 2
即 OC λ OA λ OB 亦即 c λ a λ b
1 2 1 2
请同学们作图验证
不用相当的独立功夫，不论在哪个严重的
问题上都不能找出真理；谁怕用功夫，谁
就无法找到真理。 ——列宁
探究四
（1）这一平面内所有向量的基底是否唯一呢？作图验证是
c
否可以由其他两个向量来表示
？
（2）对你给的这两个向量有什么要求？
（3）如果基底选定，λ 1，λ 2能唯一确定吗？能为零吗？
（1）基底不唯一； （2）要求这两个向量不共线；所以零向量不能作基底. （3）如果基底选定，则λ ，λ 唯一确定，可以为零.