平行线被折线所截-最新
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（三角形的内角和是180°）
∴∠ABD+∠CDB+∠PBD+∠PDB+∠2=360° （等式性质）
即 ∠1 +∠3 +∠2 = 360°
返回
2. 如图，已知AB∥CD，求∠1，∠2，∠3，∠4之间满足怎 样的数量关系？
180°
E
180°
F
180°
+
+
= 540°
3. 如图，AB∥CD，求：∠1+∠2+
∵∠1+∠2+∠3=360° （已知）
∴∠2+∠3 - ∠BPE=180° （等式性质）
即 ∠DPE + ∠3 = 180°
∴PE∥CD （同旁内角互补，两直线平行）
∴AB∥CD （平行线的传递性）
5. 如图，已知AB∥CD，折线BPD是夹在直线AB和CD之间 的一条折线，求∠1、∠2、∠3之间有什么数量关系？为什 么？
又∵AB∥PE （已作）
∴PE∥CD （平行线的传递性）
E
∴∠1+∠BPE=180° （两直线平行，
∠3+∠DPE=180° 同旁内角互补）
∴∠1+∠3+∠BPE+∠DPE=360° （等式性质）
即∠1+∠3+∠2=360°
返回
解：过点P作PE∥AB ∵AB∥CD （已知）
又∵AB∥PE （已作） ∴PE∥CD （平行线的传递性） E∴∠1=∠BPE （两直线平行， ∠3=∠DPE 内错角相等）
∵∠BPE + ∠DPE + ∠2 =360° （周角的意义）
∴∠1+∠3+∠2=360° （等量代换）
返回
解：延长BP，交CD的延长线于点E
α β
∵AB∥CD （已知） ∴∠1+∠E=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∵点P在直线BE上 （已作） ∴∠2 +∠α=180° （邻补角的意义） 同理可得：∠3+∠β=180°
∴∠3 = ∠2-∠BPE （等式性质） 即 ∠3 = ∠DPE ∴PE∥CD （内错角相等，两直线平行） ∴AB∥CD （平行线的传递性）
例1：如图，已知AB∥CD，∠1 = 30°，∠CFE = 120°， 求∠2的度数
30° 120° 60°
∠2 = ∠1+∠3 =30°+ 60°=90°
例2：如图，已知AB∥CD，∠E = 70°，求∠B+∠F－∠C .
∴∠1+∠2+∠3+∠E+∠α+∠β=540°
（等式性质）
E
∵∠E+∠α+∠β=180° （三角形的内角和是180°）
∴∠1+∠2+∠3=360° （等式性质）
返回
解：联结BD
∵AB∥CD （已知） ∴∠ABD+∠CDB=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∵∠PBD+∠PDB+∠2=180°
∠1 + ∠3 = ∠2
1
2 3
∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4
4
1 3 (n 2) 2 4 (n 1)
8. 如图，若已知∠1 + ∠3 = ∠2 ，求证：AB∥CD
证： 过点P作PE∥AB ∵AB∥PE （已作） ∴∠1 = ∠BPE （两直线平行，内错角相等）
E ∵∠1+∠3=∠2 （已知）
2. 在平行线被折线所截的问题中过折点作 平行线构造同位角、内错角、同旁内角。
3. 将未解决的问题转化为已解决的问题的 数学思想。
谢谢观赏！
作业：已知 AB∥CD，∠B=40°，∠D=10°，求 ∠B+∠E+∠F+∠D
谢谢观看！ 2020
证： 过点P作PE∥AB
∵AB∥PE （已作）
又∵AB∥CD （已知）
E ∴PE∥CD （平行线的传递性）
∴∠1=∠BPE ∠3=∠DPE
（两直线平行， 内错角相等）
∴∠1+∠3=∠BPE+∠DPE （等式性质）
即∠1+∠3=∠2
6. 如图，已知AB∥CD，求∠1、∠2、∠3、∠4的数量关系
思想方法：
+∠（n+2）= ?
Q1
1个180°
Q2
2个180°
Q3
3个180°
Qn
n个1源自文库0°
n+1个180°
1 2 (n 2) (n 1) 180
4. 如图，若已知∠1+∠2+∠3 = 360°，能否证明：AB∥CD
证： 过点P作PE∥AB
∵AB∥PE （已作）
∴∠1+∠BPE=180°
E
（两直线平行，同旁内角互补）
思想方法：
∠B+∠F = ∠E + ∠C 等式 性质
∠B+∠F -∠C = ∠E 等量 代换
∠B+∠F -∠C = 70°
例3：如图，已知AB∥CD，求∠1、∠2、∠3之间的数量 关系 .
思想方法：
∠3+∠4 = ∠1
M
4
∠2 = ∠4 ∠3+∠2 = ∠1 N
总结：
1. 平行线被折线所截后产生的各个角之间的数量 关系。
平行线被折线所截
思考： 图中这些小于平角的角之间会有什么 数回量顾关：系两呢条？平行直线被第三条直线所截
1. 如图，已知AB∥CD，折线BPD是夹在直线AB与CD之 间的一条折线，思考：∠1、∠2、∠3有什么数量关系？ 为什么？
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下
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解：过点P作PE∥AB
∵AB∥CD （已知）
1 32αββ1α21223
作P1E∥AB 作P2F∥AB 利用平行线的传递性证明AB、 P1E、P2E、CD互相平行
由两直线平行，内错角相等，得：
4
∠1=∠α1
∠β1=∠α2
∠β2=∠4
再利用等式性质，得 ∠1+ ∠β1+ ∠β2=∠α1+∠α2+∠4
即 ∠1+∠3 = ∠2+∠4
7. 如图，已知AB∥CD，求∠1、∠2……∠（n+2）的数量 关系
∴∠ABD+∠CDB+∠PBD+∠PDB+∠2=360° （等式性质）
即 ∠1 +∠3 +∠2 = 360°
返回
2. 如图，已知AB∥CD，求∠1，∠2，∠3，∠4之间满足怎 样的数量关系？
180°
E
180°
F
180°
+
+
= 540°
3. 如图，AB∥CD，求：∠1+∠2+
∵∠1+∠2+∠3=360° （已知）
∴∠2+∠3 - ∠BPE=180° （等式性质）
即 ∠DPE + ∠3 = 180°
∴PE∥CD （同旁内角互补，两直线平行）
∴AB∥CD （平行线的传递性）
5. 如图，已知AB∥CD，折线BPD是夹在直线AB和CD之间 的一条折线，求∠1、∠2、∠3之间有什么数量关系？为什 么？
又∵AB∥PE （已作）
∴PE∥CD （平行线的传递性）
E
∴∠1+∠BPE=180° （两直线平行，
∠3+∠DPE=180° 同旁内角互补）
∴∠1+∠3+∠BPE+∠DPE=360° （等式性质）
即∠1+∠3+∠2=360°
返回
解：过点P作PE∥AB ∵AB∥CD （已知）
又∵AB∥PE （已作） ∴PE∥CD （平行线的传递性） E∴∠1=∠BPE （两直线平行， ∠3=∠DPE 内错角相等）
∵∠BPE + ∠DPE + ∠2 =360° （周角的意义）
∴∠1+∠3+∠2=360° （等量代换）
返回
解：延长BP，交CD的延长线于点E
α β
∵AB∥CD （已知） ∴∠1+∠E=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∵点P在直线BE上 （已作） ∴∠2 +∠α=180° （邻补角的意义） 同理可得：∠3+∠β=180°
∴∠3 = ∠2-∠BPE （等式性质） 即 ∠3 = ∠DPE ∴PE∥CD （内错角相等，两直线平行） ∴AB∥CD （平行线的传递性）
例1：如图，已知AB∥CD，∠1 = 30°，∠CFE = 120°， 求∠2的度数
30° 120° 60°
∠2 = ∠1+∠3 =30°+ 60°=90°
例2：如图，已知AB∥CD，∠E = 70°，求∠B+∠F－∠C .
∴∠1+∠2+∠3+∠E+∠α+∠β=540°
（等式性质）
E
∵∠E+∠α+∠β=180° （三角形的内角和是180°）
∴∠1+∠2+∠3=360° （等式性质）
返回
解：联结BD
∵AB∥CD （已知） ∴∠ABD+∠CDB=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∵∠PBD+∠PDB+∠2=180°
∠1 + ∠3 = ∠2
1
2 3
∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4
4
1 3 (n 2) 2 4 (n 1)
8. 如图，若已知∠1 + ∠3 = ∠2 ，求证：AB∥CD
证： 过点P作PE∥AB ∵AB∥PE （已作） ∴∠1 = ∠BPE （两直线平行，内错角相等）
E ∵∠1+∠3=∠2 （已知）
2. 在平行线被折线所截的问题中过折点作 平行线构造同位角、内错角、同旁内角。
3. 将未解决的问题转化为已解决的问题的 数学思想。
谢谢观赏！
作业：已知 AB∥CD，∠B=40°，∠D=10°，求 ∠B+∠E+∠F+∠D
谢谢观看！ 2020
证： 过点P作PE∥AB
∵AB∥PE （已作）
又∵AB∥CD （已知）
E ∴PE∥CD （平行线的传递性）
∴∠1=∠BPE ∠3=∠DPE
（两直线平行， 内错角相等）
∴∠1+∠3=∠BPE+∠DPE （等式性质）
即∠1+∠3=∠2
6. 如图，已知AB∥CD，求∠1、∠2、∠3、∠4的数量关系
思想方法：
+∠（n+2）= ?
Q1
1个180°
Q2
2个180°
Q3
3个180°
Qn
n个1源自文库0°
n+1个180°
1 2 (n 2) (n 1) 180
4. 如图，若已知∠1+∠2+∠3 = 360°，能否证明：AB∥CD
证： 过点P作PE∥AB
∵AB∥PE （已作）
∴∠1+∠BPE=180°
E
（两直线平行，同旁内角互补）
思想方法：
∠B+∠F = ∠E + ∠C 等式 性质
∠B+∠F -∠C = ∠E 等量 代换
∠B+∠F -∠C = 70°
例3：如图，已知AB∥CD，求∠1、∠2、∠3之间的数量 关系 .
思想方法：
∠3+∠4 = ∠1
M
4
∠2 = ∠4 ∠3+∠2 = ∠1 N
总结：
1. 平行线被折线所截后产生的各个角之间的数量 关系。
平行线被折线所截
思考： 图中这些小于平角的角之间会有什么 数回量顾关：系两呢条？平行直线被第三条直线所截
1. 如图，已知AB∥CD，折线BPD是夹在直线AB与CD之 间的一条折线，思考：∠1、∠2、∠3有什么数量关系？ 为什么？
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解：过点P作PE∥AB
∵AB∥CD （已知）
1 32αββ1α21223
作P1E∥AB 作P2F∥AB 利用平行线的传递性证明AB、 P1E、P2E、CD互相平行
由两直线平行，内错角相等，得：
4
∠1=∠α1
∠β1=∠α2
∠β2=∠4
再利用等式性质，得 ∠1+ ∠β1+ ∠β2=∠α1+∠α2+∠4
即 ∠1+∠3 = ∠2+∠4
7. 如图，已知AB∥CD，求∠1、∠2……∠（n+2）的数量 关系