高考数学：专题七 第三讲 分类讨论思想配套限时规范训练
2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第2部分 思想方法 第3讲 分类讨论思想
若∠PF2F1＝90°， 则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5，
解得|PF1|＝134，|PF2|＝43，∴||PPFF21||＝72.
当 0<a≤4 时，y＝t＋at 在[2，＋∞)上单调递增，y＝t＋at ≥2＋12a，
则 0<t＋1 at ≤a＋2 4，
即[f(xf)(]x2)＋a的最大值为a＋2 4，则a＋2 4＝25，解得 a＝1；
当 a>4 时，t＋at ≥2 a(当且仅当 t＝ a时，等号成立)，
则 0<t＋1 at ≤2aa，即[f(xf)(]x2)＋a的最大值为2aa， 则2aa＝25，解得 a＝2156(舍)， 综上，所求正实数a＝1.
C.{a2n}是等比数列
10
D. ai＝52
i＝1
思路分析 an＋2－2an＝1－(－1)n→n为奇，{a2n－1}为等比数列；n为偶， {a2n}为等比数列
对于A，当n是奇数时，an＋2－2an＝2， 所以an＋2＋2＝2(an＋2)， 又因为a1＝－2，所以a1＋2＝0， 所以当n是奇数时，an＋2＝0，即an＝－2， 即{a2n－1}是以首项为－2，公比为1的等比数列， 即选项A正确；
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20， 又|PF1|>|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴||PPFF12||＝2. 综上可知，||PPFF12||＝72或 2.
批注
P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，并没有说明哪个点是直角顶 点，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关键.
2021新高考数学二轮总复习 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想学案(含解析)-人教版高三全册数学
第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题中发挥着重要作用,大大提高了学生的解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,并快速找准突破点.充分利用分类讨论思想将复杂问题分解成若干题目涉及的知识角度进行求解.解题时要注意,按主元分类的结果应求并集,按参数分类的结果要分类给出. 思想方法诠释 1.分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略. 2.分类讨论的原则(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论. 3.分类讨论的常见类型(1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论. 思想分类应用应用一 由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论 【例1】(1)(2020安徽合肥二模,文10)记F 1,F 2为椭圆C :x 2x+y 2=1的两个焦点,若C 上存在点M 满足xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则实数m 的取值范围是( )A.(0,12]∪[2,+∞) B.[12,1)∪[2,+∞) C.(0,12]∪(1,2]D.[12,1)∪(1,2](2)设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和S n >0(n=1,2,3,…),则q 的取值范围是 .思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.【对点训练1】(1)“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020广东茂名一模,理12)已知函数f (x )={xx 2-xx +1,x ≤1,x -x ln x ,x >1(a ∈R ),若函数f (x )有四个零点,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(e,+∞) C.(4,+∞)D.(4,e 2)应用二 由参数引起的分类讨论【例2】设函数f (x )=ln(x+a )+x 2.若f (x )存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于ln e2.思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.【对点训练2】(2020山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数f(x)=m ln x-x+xx(m∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)略应用三由图形位置或形状引起的分类讨论【例3】设F1,F2为椭圆x29+x24=1的两个焦点,点P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则|xx1xx2|的值为.思维升华圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论.【对点训练3】设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于.应用方法归纳1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.思想方法诠释1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法.2.转化与化归的原则(1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则.3.常见的转化与化归的方法(1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法;(10)参数法.思想分类应用应用一特殊与一般化【例1】(1)e416,e525,e636(其中e为自然常数)的大小关系是()A.e416<e525<e636B.e636<e525<e416C.e525<e416<e636D.e636<e416<e525(2)(2020河北武邑中学三模,16)已知实数a,b,c,d满足x-2e xx =2-xx-1=1,其中e是自然对数的底数,那么(a-c)2+(b-d)2的最小值为.思维升华1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.【对点训练1】(2020湖南长郡中学四模,11)若0<x<1,则ln3+13,x2+1e x2,x+1e x的大小关系是()A.x2+1e x2>ln3+13>x+1e xB.x2+1e x2>x+1e x>ln3+13C.ln3+13>x+1e x>x2+1e x2D.ln3+13>x2+1e x2>x+1e x应用二命题等价转化【例2】(2020上海考前压轴卷,11)已知a,b,2c是平面内三个单位向量,若a⊥b,则|a+4c|+2|3a+2b-c|的最小值是.思维升华本例题充分体现了命题等价转化的重要性,首先将条件“三个向量都是单位向量及a⊥b”,等价转化为“2c=e及a=(1,0),b=(0,1)”,这样就达到了变陌生为熟悉的目的;其次将“|a+2e|”等价转化为“|2a+e|”,为求最值创造了有利条件同时也简化了运算;然后将“两向量模的和的最值”等价转化为“两根式和的最值”,最后根据两根式和的几何意义,将问题等价转化为两点的距离.【对点训练2】(1)已知在(-∞,1]上单调递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为()A.[-√2,√2]B.[1,√2]C.[2,3]D.[1,2](2)(2020河北武邑中学三模,5)若数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a2=2,(S n+1)(S n+2+1)=(x x+1+1)2,则S n=()A.x(x+1)2B.2n-1C.2n-1D.2n-1+1应用三常量与变量的转化【例3】已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f'(x)-ax-5,其中f'(x)是f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,则实数x的取值范围为.思维升华在处理多变量的数学问题中,在常量(或参数)在某一范围取值的前提下求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看做是变量,而把变量看做是常量,从而达到简化运算的目的.【对点训练3】设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为.应用四函数、方程、不等式之间的转化【例4】已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则a的取值范围是() A.[1,+∞) B.[-1,4)C.[-1,+∞)D.[-1,6]思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简,常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将不等式证明问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.【对点训练4】(1)(2020山东菏泽一模,8)已知大于1的三个实数a,b,c满足(lg a)2-2lg a lg b+lg b lg c=0,则a,b,c的大小关系不可能是()A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c(2)已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t∈[-1,+∞),使得对任意的x∈[1,m],m∈Z,且m>1,都有f(x+t)≤3e x,求m的最大值.应用五正难则反的转化+2x2-2x在区间(t,3)上总不为单调函数,【例5】若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2则实数m的取值范围是.思维升华否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从正面求解,再取正面答案的补集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单.因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.【对点训练5】安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为.(用数字作答)应用方法归纳1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用),角度的转化,函数的转化,通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化.(2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.(3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为由其导函数f'(x)构成的方程、不等式问题求解.第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想 一、分类讨论思想 思想分类应用【例1】(1)A (2)(-1,0)∪(0,+∞)解析(1)当焦点在x 轴上时,a 2=m ,b 2=1,m>1,由对称性可知当M 为上下顶点时,∠F 1MF 2最大,因为xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则∠F 1MF 2≥π2,∠F 1MO ≥π4,所以tan ∠F 1MO=xx≥tan π4=1,即√x -11≥1,解得m ≥2;当焦点在y 轴上时,a 2=1,b 2=m ,0<m<1,当M 为左右顶点时,∠F 1MF 2最大,因为xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则∠F 1MF 2≥π2,∠F 1MO ≥π4,所以tan ∠F 1MO=xx≥tan π4=1,即√1-x √x≥1,解得0<m ≤12,故选A .(2)由{a n }是等比数列,S n >0,可得a 1=S 1>0,q ≠0,当q=1时,S n =na 1>0,符合题意; 当q ≠1时,S n =x 1(1-x x )1-x >0,即1-x x1-x >0(n=1,2,3,…),则有{1-x >0,1-x x >0,①或{1-x <0,1-x x <0,② 由①得-1<q<0,或0<q<1,由②得q>1. 综上,可得q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).对点训练1(1)C (2)C 解析(1)当a=0时,f (x )=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f (x )=(-ax+1)x=-a (x -1x )x ,结合二次函数的图象可知f (x )=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,函数f (x )=|(ax-1)x|的大致图象如图.函数f (x )在区间(0,+∞)上有增有减,所以a ≤0是函数f (x )=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增的充要条件,故选C .(2)当a=0时,f (x )={1,x ≤1,x ,x >1,函数f (x )无零点,舍去.当a<0,且x ≤1时,f (x )=ax 2-ax+1为开口向下,对称轴为x=12的二次函数,f (12)=a ×(12)2-a ×12+1=-14a+1>0,f (1)=a-a+1=1>0.则x ≤1时,函数f (x )与x 轴只有一个交点; 当a<0,且x>1时,f (x )=x-a ln x.f'(x )=1-xx =x -xx>0, 故函数f (x )在(1,+∞)上单调递增,则f (x )>f (1)=1,即x>1时,函数f (x )与x 轴无交点; 则当a<0时,函数f (x )有一个零点.与题意不符,舍去.当a>0,且x ≤1时,f (x )=ax 2-ax+1为开口向上,对称轴为x=12的二次函数.f (12)=a ×(12)2-a ×12+1=-14a+1,f (1)=a-a+1=1>0.函数f (x )在(-∞,1]最多有两个零点; 当a>0,且x>1时,f (x )=x-a ln x.f'(x )=1-xx =x -x x. 令f'(x )=0,得x=a ,当0<a ≤1时,f'(x )>0,在(1,+∞)内单调递增,与已知矛盾,不符合题意,舍去;当a>1时,x ∈(a ,+∞)时,f (x )单调递增,x ∈(1,a )时,f (x )单调递减,f (a )=a-a ln a ,函数f (x )在(1,+∞)最多有两个零点.若使得函数f (x )有四个零点,则需{x >1,x (12)<0,x (x )<0,即{x >1,-14x +1<0,x -x ln x <0,解得a>4.故选C .【例2】解f (x )的定义域为(-a ,+∞),f'(x )=2x 2+2xx +1x +x,记g (x )=2x 2+2ax+1,其判别式为Δ=4a 2-8.①若Δ≤0,即-√2≤a ≤√2时,f'(x )≥0在(-a ,+∞)上恒成立,所以f (x )无极值. ②若Δ>0,即a>√2或a<-√2时,g (x )=0有两个不同的实根x 1=-x -√x 2-22和x 2=-x +√x 2-22,且x 1<x 2,由根与系数的关系可得{x 1+x 2=-x ,x 1·x 2=12,即{(x 1+x )+(x 2+x )=x ,(x 1+x )·(x 2+x )=12.(ⅰ)当a<-√2时,有x 1+a<0,x 2+a<0,即x 1<-a ,x 2<-a ,从而,f'(x )=0在(-a ,+∞)上没有实根,所以f (x )无极值.(ⅱ)当a>√2时,有x 1+a>0,x 2+a>0,即x 1>-a ,x 2>-a ,从而,f'(x )=0在(-a ,+∞)上有两个不同的根,且f (x )在x=x 1,x=x 2处取得极值.综上所述,f (x )存在极值时,a 的取值范围为(√2,+∞).f (x )的极值之和为f (x 1)+f (x 2)=ln(x 1+a )+x 12+ln(x 2+a )+x 22=ln[(x 1+a )(x 2+a )]+(x 1+x 2)2-2x 1x 2,而ln[(x 1+a )(x 2+a )]=ln 12,(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-a )2-2×12=a 2-1,所以f (x 1)+f (x 2)=ln 12+a 2-1>ln 12+1=ln e2.对点训练2解(1)由题意得x ∈(0,+∞),f'(x )=xx-1-x x 2=-x 2-xx +x x 2,令g (x )=x 2-mx+m ,Δ=m 2-4m=m (m-4).①当0≤m ≤4时,Δ≤0,g (x )≥0恒成立,则f'(x )≤0,f (x )在(0,+∞)上单调递减. ②当m<0时,Δ>0,函数g (x )与x 轴有两个不同的交点x 1,x 2(x 1<x 2), x 1+x 2=m<0,x 1x 2=m<0,则x 1<0,x 2>0,所以当x ∈(0,x +√x 2-4x2)时,g (x )<0,f'(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈(x +√x 2-4x2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )<0,f (x )单调递减.③当m>4时,Δ>0,函数g (x )与x 轴有两个不同的交点x 1,x 2(x 1<x 2), x 1+x 2=m>0,x 1x 2=m>0,则x 1>0,x 2>0,所以x ∈(0,x -√x 2-4x2)时,g (x )>0,f'(x )<0,f (x )单调递减;x ∈(x -√x 2-4x2,x +√x 2-4x2)时,g (x )<0,f'(x )>0,f (x )单调递增;x ∈(x +√x 2-4x2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当0≤m ≤4时,f (x )在(0,+∞)上单调递减.当m<0时,x ∈(0,x +√x 2-4x2)时,f (x )单调递增;x ∈(x +√x 2-4x2,+∞)时,f (x )单调递减.当m>4时,x ∈0,x -√x 2-4x2时,f (x )单调递减;x ∈(x -√x 2-4x2,x +√x 2-4x2)时,f (x )单调递增;x ∈(x +√x 2-4x2,+∞)时,f (x )单调递减.【例3】72或2 解析由题可得c=√5.若∠PF 2F 1=90°,则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,又因为|PF 1|+|PF 2|=6,|F 1F 2|=2√5, 解得|PF 1|=143,|PF 2|=43,所以|xx 1xx 2|=72.若∠F 1PF 2=90°, 则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2, 所以|PF 1|2+(6-|PF 1|)2=20, 所以|PF 1|=4,|PF 2|=2, 所以|xx1xx 2|=2.综上知,|xx 1xx 2|的值为72或2.对点训练312或32 解析不妨设|PF 1|=4t ,|F 1F 2|=3t ,|PF 2|=2t ,其中t ≠0.若该曲线为椭圆,则有|PF 1|+|PF 2|=6t=2a ,|F 1F 2|=3t=2c ,e=x x =2x 2x =3x 6x =12;若该曲线为双曲线, 则有|PF 1|-|PF 2|=2t=2a ,|F 1F 2|=3t=2c ,e=x x =2x 2x =3x 2x =32.二、转化化归思想 思想分类应用【例1】(1)A (2)252 解析(1)由于e 416=e 442,e 525=e 552,e 636=e 662,故可构造函数f (x )=e xx 2,只研究x>0的部分.f (4)=e 416,f (5)=e 525,f (6)=e 636.而f'(x )=(e xx 2)'=e x ·x 2-e x ·2xx 4=e x (x 2-2x )x 4=e x (x -2)x 3.令f'(x )>0,得x>2,即函数f (x )在(2,+∞)内单调递增,因此有f (4)<f (5)<f (6),即e 416<e 525<e 636.(2)因为实数a ,b ,c ,d 满足x -2e x x=2-xx -1=1,所以b=a-2e a,d=3-c ,所以点(a ,b )在曲线y=x-2e x上,点(c ,d )在曲线y=3-x 上,(a-c )2+(b-d )2的几何意义就是曲线y=x-2e x上的点到曲线y=3-x 上的点的距离的平方,最小值即为曲线y=x-2e x上与直线y=3-x 平行的切线,因为y'=1-2e x ,求曲线y=x-2e x上与直线y=3-x 平行的切线, 即y'=1-2e x=-1,解得x=0,所以切点为(0,-2), 该切点到直线y=3-x 的距离为d=√1+1=5√22,即d 为所求两曲线间的最小距离,所以(a-c )2+(b-d )2的最小值为d 2=252. 对点训练1B 解析设f (x )=x +1e x,则f'(x )=-xe x ,令f'(x )>0,解得x<0,令f'(x )<0,解得x>0,则f (x )在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 若0<x<1,则0<x 2<x<1<ln3, 因此f (x 2)>f (x )>f (ln3), 即x 2+1ex 2>x +1e x>ln3+13,故选B .【例2】4√5 解析由题意,令2c =e ,设a =(1,0),b =(0,1),e 对应的点C (x ,y )在单位圆上,所以问题转化为求|a +2e |+|6a +4b -e |的最小值.因为|a +2e |=|2a +e |,所以|a +2e |+|6a +4b -e |=|2a +e |+|6a +4b -e |=√(x +2)2+x 2+√(x -6)2+(x -4)2,即表示C 点到点(-2,0)和(6,4)的距离之和,过点(-2,0)和(6,4)的直线为x-2y+2=0,原点到直线x-2y+2=0的距离为√1+(-2)2=√5<1,所以该直线与单位圆相交,所以|a +2e |+|6a +4b -e |的最小值为点(-2,0)和(6,4)之间的距离,即d=√(-2-6)2+(0-4)2=4√5.对点训练2(1)B (2)C 解析(1)函数f (x )=x 2-2tx+1在区间(-∞,1]上单调递减,所以其图象的对称轴x=t ≥1.则在区间[0,t+1]上,0距对称轴x=t 最远,故要使得对任意的x 1,x 2∈[0,t+1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤2,只要f (0)-f (t )≤2即可,即1-(t 2-2t 2+1)≤2,解得-√2≤t ≤√2. 又因为t ≥1,则1≤t ≤√2.故选B . (2)∵(S n +1)(S n+2+1)=(x +1+1)2,令b n =S n +1,∴b n ·b n+2=x x +12,可得{b n }为等比数列,设其公比为q ,b 1=S 1+1=a 1+1=2,b 2=S 2+1=a 1+a 2+1=4,∴q=x2x 1=2,∴b n =b 1·q n-1=2×2n-1=2n .S n =b n -1=2n -1,故选C .【例3】(-23,1) 解析由题意,知g (x )=3x 2-ax+3a-5,令φ(a )=(3-x )a+3x 2-5,-1≤a ≤1.问题转化为对-1≤a ≤1,恒有g (x )<0,即φ(a )<0,所以{x (1)<0,x (-1)<0,即{3x 2-x -2<0,3x 2+x -8<0,解得-23<x<1. 故当x ∈(-23,1)时,对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有g (x )<0. 对点训练3(-∞,-1]∪[0,+∞) 解析因为f (x )是R 上的增函数,所以1-ax-x 2≤2-a ,a ∈[-1,1].(*)(*)式可化为(x-1)a+x 2+1≥0对a ∈[-1,1]恒成立. 令g (a )=(x-1)a+x 2+1,则{x (-1)=x 2-x +2≥0,x (1)=x 2+x ≥0,解得x ≥0或x ≤-1.即实数x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞). 【例4】C 解析不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,等价于a ≥x x-2(x x )2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,令t=xx ,则1≤t ≤3,∴a ≥t-2t 2在[1,3]上恒成立,令f (t )=-2t 2+t ,则f (t )=-2t 2+t=-2(x -14)2+18,∴当t=1时,f (x )取最大值,f (x )max =-1,即a ≥-1,故a 的取值范围是[-1,+∞).故选C .对点训练4(1)D 解析令f (x )=x 2-2x lg b+lg b lg c ,则lg a 为f (x )的零点,且该函数图象的对称轴为x=lg b ,故Δ=4lg 2b-4lg b lg c ≥0. 因为b>1,c>1,故lg b>0,lg c>0, 所以lg b ≥lg c ,即b ≥c.又f (lg b )=lg b lg c-lg 2b=lg b (lg c-lg b ),f (lg c )=lg 2c-lg b lg c=lg c (lg c-lg b ),若b=c ,则f (lg b )=f (lg c )=0,故lg a=lg b=lg c ,即a=b=c.若b>c ,则f (lg b )<0,f (lg c )<0,利用二次函数图象,可得lg a<lg c<lg b 或lg c<lg b<lg a ,即a<c<b 或c<b<a.故选D .(2)解因为当t ∈[-1,+∞),且x ∈[1,m ]时,x+t ≥0,所以f (x+t )≤3e x 等价于e x+t≤e x ,则t ≤1+ln x-x.所以原命题等价转化为:存在实数t ∈[-1,+∞),使得不等式t ≤1+ln x-x 对任意x ∈[1,m ]恒成立.令h (x )=1+ln x-x (1≤x ≤m ).因为h'(x )=1x -1≤0,所以函数h (x )在[1,+∞)内为减函数. 又x ∈[1,m ],所以h (x )min =h (m )=1+ln m-m.所以要使得对任意x ∈[1,m ],t 值恒存在,只需1+ln m-m ≥-1. 因为h (3)=ln3-2=ln (1e ·3e )>ln 1e=-1,h (4)=ln4-3=ln1e·4e 2<ln 1e =-1,且函数h (x )在[1,+∞)内为减函数,所以满足条件的最大整数m 的值为3. 【例5】(-373,-5) 解析g'(x )=3x 2+(m+4)x-2,若g (x )在区间(t ,3)上总为单调函数,则有两种情况:①g'(x )≥0在(t ,3)上恒成立;②g'(x )≤0在(t ,3)上恒成立.由①得3x 2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥2x -3x 在x ∈(t ,3)上恒成立,即m+4≥2x -3t 恒成立,则m+4≥-1,即m ≥-5;由②得m+4≤2x -3x在x∈(t,3)上恒成立,则m+4≤23-9,即m≤-373.综上所述,函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为(-373,-5).对点训练530解析根据题意,用间接法分析:先将甲、乙、丙、丁4人分成3组,再将分成的三组分别参加3个项目,有C42×A33=6×6=36种不同的安排方案,其中甲、乙参加同一个项目,则丙、丁参加另外的2个项目,有A33=6种情况,则甲、乙2人不能参加同一个项目的安排方案有36-6=30种.。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：10.3分类讨论思想(含答案解析)
第3讲 分类讨论思想[思想方法解读] 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏”．3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．体验高考1．(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫23，＋∞解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.2．(2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，FM ＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c2＝1， 直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )， 两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c . 由FM ＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)． 与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1， 消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2＞2， 解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0，因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 高考必会题型题型一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1 设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. (2)当B A 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1；当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值范围为a ≤－1或a ＝1.点评 对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B ⊆A ，包括B ＝∅和B ≠∅两种情况．解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素．变式训练1 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，∴S n ＝－12n 2＋212n ， 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n . 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧ －12n 2＋212n ，n ≤11，n ∈N *12n 2－212n ＋110，n ≥12，n ∈N *.题型二 分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值．解 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)． (3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.点评 本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a 的值． 变式训练2 (2016·云南玉溪一中期中)已知函数f (x )＝2e x －ax －2(x ∈R ，a ∈R)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2e x －x －2，f ′(x )＝2e x －1，f ′(1)＝2e －1，即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率k ＝2e －1，又f (1)＝2e －3，所以所求的切线方程是y ＝(2e －1)x －2.(2)易知f ′(x )＝2e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，f (x )在R 上单调递增；若a >0，则当x ∈(－∞，ln a 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(ln a 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 又f (0)＝0，所以若a ≤0，则当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．若a >0，则当ln a 2≤0，即0<a ≤2时， f (x )≥f (0)＝0在[0，＋∞]上恒成立，符合题意．当ln a 2>0，即a >2， 则当x ∈(0，ln a 2)时，f (x )单调递减， f (x )<f (0)＝0，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．题型三 根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是________． 答案 [7,8]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4， 取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)．①当3≤s <4时，可行域是四边形OABC (含边界)，如图(1)所示，此时，7≤z max<8.②当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图(2)所示，z max ＝8.综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8]．点评 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．变式训练3 设点F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值． 解 若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，又∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22，∴PF 21＋(6－PF 1)2＝20，又PF 1>PF 2，∴PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2. 综上知，PF 1PF 2的值为72或2. 高考题型精练1．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.3．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________．答案 4解析 当PO ＝PF 时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当OP ＝OF 时，点P 的位置也有两个；对FO ＝FP 的情形，点P 不存在．事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则FO ＝p ，FP ＝(x －p )2＋y 2，若(x －p )2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形．当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P 一共有4个．4．函数12log ,1,()2,1x x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥的值域为________．答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的， 此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．5．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，－1]．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )．(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0， 得a ≤73，故此时a 不存在． (2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a 2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0， 得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4，综上得－7≤a ≤2.7．已知ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)>0， 解得x <1a或x >1. 若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a)(x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1； ③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a. 综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}． 8．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值． 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧ 1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32， 故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1， 故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，T n 的取值范围是[－712，0)∪(0，56]． 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a e x，其中a 为常数，a ≤2. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)是否存在实数a ，使f (x )的极大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)a ＝1，f (x )＝x 2＋x ＋1e x，∴f (0)＝1， ∵f ′(x )＝(2x ＋1)e x －e x (x 2＋x ＋1)e 2x＝－x 2＋x e x ＝－x (x －1)e x， ∴f ′(0)＝0，则曲线在(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝(2x ＋a )e x －e x (x 2＋ax ＋a )e 2x＝－x [x －(2－a )e x]， f ′(x )＝0的根为0,2－a ，∵a ≤2，∴2－a ≥0，当a ＝2时，f ′(x )＝－x 2e x ≤0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)内单调递减，无极值；当a <2时，2－a >0，f (x )在(－∞，0)，(2－a ，＋∞)内单调递减，在(0,2－a )内单调递增；∴f (2－a )＝(4－a )e a－2为f (x )的极大值， 令u (a )＝(4－a )e a －2(a <2)，u ′(a )＝(3－a )e a －2>0，∴u (a )在a ∈(－∞，2)上单调递增，∴u (a )<u (2)＝2，∴不存在实数a ，使f (x )的极大值为2.10．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1(a ∈R)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，求所有实数a 的值．解 (1)f ′(x )＝a x －1＝a －x x(x >0)， 当a ≤0时，f ′(x )<0，∴f (x )的减区间为(0，＋∞)；当a >0时，由f ′(x )>0得0<x <a ，由f ′(x )<0得x >a ，∴f (x )增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，而f (1)＝0，∴f (x )≤0在区间x ∈(0，＋∞)上不可能恒成立；当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(a)＝a ln a－a＋1，令g(a)＝a ln a－a＋1，依题意有g(a)≤0，而g′(a)＝ln a，且a>0，∴g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.。
最新高考数学文二轮复习讲义：第一编 数学思想方法 第三讲 分类讨论思想 Word版含解析
第三讲 分类讨论思想思想方法解读考点由概念、法则、公式引起的分类讨论典例1 (1)2021·福建高考]若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a ≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析]因为f(x)＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2，所以当x ≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a>1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案] (1,2](2)已知各项均为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，且S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，若b n ＝a n ＋1a n＋a na n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝________.解析] 由题意可得，S n >0，因为S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，所以S n ＝S n －1＋a 1，即数列{S n }是以S 1＝a 1为首项，以a 1为公差的等差数列，所以S n ＝n a 1，所以S n ＝n 2a 1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a 1－(n －1)2a 1＝(2n －1)a 1，当n ＝1时，适合上式，所以b n ＝a n ＋1a n ＋a n a n ＋1＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝1＋22n －1＋1－22n ＋1＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1＝2n ＋4n 2n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 答案] 4n 2＋6n2n ＋1四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．【针对训练1】 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即5(a 1＋2d)·a 1＝(2a 1＋2d ＋2)2 d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4， 所以a n ＝－n ＋11或a n ＝4n ＋6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n ，因为d<0，所以d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 由a n ≥0，即－n ＋11≥0得n ≤11. 所以当n ≤11时，a n ≥0，n ≥12时，a n <0.所以n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ； n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－…－a n ＝S 11－(S n －S 11)＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.考点由参数变化引起的分类讨论典例2 2021·江苏高考]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求c 的值．解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2>0(x ≠0)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a <0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫427a 3＋b <0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，0<b <－427a 3.又b ＝c －a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，427a 3－a ＋c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，则在(－∞，－3)上g (a )<0，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上g (a )>0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)x 2＋(a －1)x ＋1－a ]， 因函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 综上c ＝1.1．变量或参数变化时常见的分类讨论(1)解含参数的不等式时，常按参数的取值不同分类讨论． (2)平面解析几何中，直线点斜式中按斜率k 存在和不存在，直线截距式中按截距b ＝0和b ≠0分类讨论．2．利用分类讨论思想的注意点(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”． (2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．【针对训练2】 2021·四川高考]设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．解 (1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 此时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x .则s ′(x )＝e x －1－1. 而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又由s (1)＝0，有s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 考点 根据图形位置或形状分类讨论典例3 2021·广东高考]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解] (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心坐标为C 1(3,0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，设AB 方程为y ＝k 1x ，当AB 与圆C 1相切时⎩⎨⎧y ＝k 1x x 2＋y 2－6x ＋5＝0⇒(k 21＋1)x 2－6x ＋5＝0，由Δ＝36－4×5×(k 21＋1)＝0得k 1＝±255，代入方程组得x ＝53，因此x ∈⎝⎛⎦⎥⎤53，3.即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【针对训练3】 (1)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32答案 A解析 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t6t ＝12.若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.(2)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12 B.12 C ．0 D ．－12或0答案 D解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.。
高考 数学专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想(含答案解析)
) B. 2
⃗⃗⃗⃗⃗
√
C.2
D.2 2
√
-r ,即为 d2 2,其中 d 为点 P 与圆心 O 之间的距离,r 为圆的半径,因此当 d 取最小 值时,⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗ 取值最小,可知 d 的最小值为 |1-0+1| = 2,故⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 √ √2 1,故选
2 2
8.已知 AB 为圆 O:(x-1) +y =1 的直径,点 P 为直线 x-y+1=0 上任意一点,则⃗⃗⃗⃗⃗ · 的最小值为( A.1 答案 A 解析 由⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗ =(⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ )=⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ )+⃗⃗⃗⃗⃗ · ⃗⃗⃗⃗⃗ =
)
A.(-∞, ]
8 51 8
51
B.(-∞,3) D.[3,+∞)
C.[ ,+ ∞) 答案 C
解析 f'(x)=3x2-2tx+3,由于 f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有 f'(x)≤0 在[1,4]上恒成立,
3 1 3 1 即 3x 2-2tx+3≤0,即 t≥ ( + )在[1,4]上恒成立,因为 y= ( + )在[1,4]上单调递 2 2 51选 C. 增,所以 t≥3(4+ )1= ,故 2 4 8
专题对点练 3 分类讨论思想、转化与化归思想 专题对点练第 3 页 一、选择题 1.设函数 f(x)={2 -3, < 0,
√ + 1, ≥ 0,
若 f(a)>1,则实数 a 的取值范围是(
高考数学二轮复习专题9思想方法专题第三讲分类讨论思想文【含答案】
第三讲分类讨论思想分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的难点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论．预测2016年的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其是导数与函数问题)，将有一道进行分类求解的难度大的题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题．分类讨论解决的主要问题分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．分类讨论的类型1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a .(×) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×)(3)幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)．(×)(4)当n >0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f (x )＝(k 2－1)x 2＋2x －3在(－∞，2)上单调递增，则k ＝±22.(×) (6)已知f (x )＝x 2－4x ＋5，x ∈[0，3)，则f (x )max ＝f (0)＝5，f (x )min ＝f (3)＝2.(×)1．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线有(B )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：由2x 2－y 2＝2，得x 2－y 22＝1. 当l 无斜率时，|AB |＝2b 2a＝4，符合要求． 当l 有斜率时，若A 、B 两点都在右支上，则|AB |>4不符合要求，A 、B 在左、右两支上，有两条，所以共3条．2．已知正三角形ABC 的边长为3，到这个三角形的三个顶点距离都等于1的平面的个数是(D )A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个解析：对三个顶点和平面的位置分类：在平面同一侧有2个，在平面的两侧有6个． ∴共有2＋6＝8个．3．满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数有(B )A ．14个B ．13个C ．12个D ．10个解析：方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解，分析讨论．①当a ＝0时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解，此时b 可以取4个值，故有4个有序数对；②当a ≠0时，需要Δ＝4－4ab ≥0，即ab ≤1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)．∵(a ，b )共有4×4＝16个实数对，故答案应为16－3＝13.4. (2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＜0，f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，解得f (a )≥－2，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2. 故a 的取值范围是(－∞，2]．答案：(－∞，2]。
高考专题高考冲刺分类讨论的思想巩固练习.docx
【巩固练习】1．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 等于( )A ．－3B ．－38C ．3 D. 38或－3 2．已知a ＝(－1，－2)，b ＝(1，λ)．若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( ) A. 1(,)2-∞- B. 1(,)2-+∞ C. 1(,2)2-∪(2,)+∞ D ．(2，＋∞) 3．对一切实数，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞) 4．若A={x|x 2+(p+2)x+1=0，x ∈R}，且A ∩(0,+∞)=∅，则实数P 的取值范围是（ ）A ．p ≥－2B ．p ≤－2C ．p ＞2D ．p ＞－45.设集合A={x|x 2+6x=0}，B={x|x 2+3(a+1)x+a 2―1=0}，且A ∪B=A ，则实数a 的取值范围是 .6.方程(1-k)x 2+(3-k 2)y 2=4 (k ∈R)，当k=_________时，表示圆；当k ∈_________时，表示椭圆；当k ∈_________时，表示双曲线；当k=_________时，表示两条直线.7.当点M (x ，y )在如图所示的△ABC 内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)．则实数k 的取值范围是________．8．若函数321111()(1)3245f x a x ax x =-+-+在其定义域内有极值点，则a 的取值范围为________. 9．设F 1、F 2为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则12PF PF 的值为________．10．连掷两次骰子得到的点数为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )，与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，2π]的概率是________． 11.解关于x 的不等式:222ax x ax -≥-()a R ∈.12．在数列{a n }中，a 1=a ，前n 项和S n 构成公比为q 的等比数列.（1）求证在{a n }中，第2项开始成等比数列；（2）当a=250，12q =时，设2log ||n n b a =，求|b 1|+|b 2|+…+|b n |.13. 已知函数12()(0)f x x a x=-+>. （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若()20f x x +≥在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围.14．已知向量33(cos ,sin )22a x x =，(cos ,sin )22x x b =-，且[0,]2x π∈. （1）求a ，b 及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值是32-，求λ的值. 15．已知A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|=3∶1，如图.（1）求该椭圆的离心率；（2）设111AF F B λ=，222AF F C λ=，试判断12λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.【参考答案】1．【答案】D【解析】当a <0时，在x ∈[－3,2]上，当x ＝－1时取得最大值，得a ＝－3；当a >0时，在x ∈[－3,2]上，当x ＝2时取得最大值，得a ＝38 2．【答案】C【解析】∵〈a ，b 〉为钝角，∴a·b<0，即有λ>－12.又当λ＝2时，a 与b 反向．故选C. 3．【答案】B【解析】本题是不等式恒成立问题，可以构造函数，把函数转化为y ＝x ＋a x型，通过求解函数的最值得到结论．由不等式x 2＋a |x |＋1≥0对一切实数恒成立．①当x ＝0时，则1≥0，显然成立；②当x ≠0时，可得不等式a ≥－|x |－1x 对x ≠0的一切实数成立．令f (x )＝－|x |－1x ＝－1()x x+≤－2.当且仅当|x |＝1时，“＝”成立．∴f (x )max ＝－2，故a ≥f (x )max ＝－2.4．【答案】D【解析】当A ∩B=∅时，集合A=∅或A 中方程没有正数解，要注意A 本身为空集的情况.（1）当A=∅时，即二次方程无解⇒Δ=(p+2)2－4＜0⇒－4＜p ＜0 （2）当A ≠∅时，即方程的解为非正数21212(2)40(2)0010p x x p p x x ⎧∆=+-≥⎪⇒+=-+<⇒≥⎨⎪⋅=>⎩由（1）（2）知p ＞－4，选D.5.【答案】13{|11}5a a a -<≤-=或 【解析】A={x|x 2+6x=0}={0，―6}，由A ∪B=A ，得B ⊆A.（1）当B=∅时，即方程x 2+3(a+1)x+a 2―1=0无实数根，由Δ=9(a+1)2―4(a 2―1)＜0，解得1315a -<<-. （2）当B ≠∅时，即B={0}或B={―6}或B={0，－6}.①当B={0}时，即方程x 2+3(a+1)x+a 2－1=0有两个等根为0. ∴2103(1)0a a ⎧-=⎨+=⎩，∴a=－1 ②当B={―6}时，即方程x 2+3(a+1)x+a 2―1有两个等根为―6， ∴21363(1)12a a ⎧-=⎨+=⎩ ，此方程组无解.③当B={0，―6}时，即方程x 2+3(a+1)x+a 2―1=0有两个实根0和―6， ∴2103(1)6a a ⎧-=⎨-+=-⎩，∴a=1综上可知实数a 的取值范围是13{|11}5a a a -<≤-=或. 6.【答案】 k=-1；k ∈(3-,-1)∪(-1,1)；k ∈(-∞, 3-)∪(1,3)；k=1或k=3-【解析】①表示圆时，1-k=3-k 2>0，解得k=-1 ②表示椭圆时，22103013k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得：k ∈(3-,-1)∪(-1,1);③表示双曲线时，(1-k)(3-k 2)<0，解得k ∈(-∞, 3-)∪(1,3)； ④表示两直线时，21030k k -=⎧⎨->⎩或21030k k ->⎧⎨-=⎩， 解得k=1或k=3-.7.【答案】[－1,1]【解析】如图，延长BC 交y 轴于点D ，目标函数z ＝kx ＋y 中z 的几何意义是直线kx ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，由题意得当此直线经过点C (1,2)时，z 取得最大值，显然此时直线kx ＋y －z ＝0与y 轴的交点应该在点A 和点D 之间，而k AC ＝21110-=-，k BD ＝k BC ＝20113-=-，直线kx ＋y －z ＝0的斜率为－k ，所以－1≤－k ≤1，解得k ∈[－1,1]．8．【答案】152a --<或152a -+> 【解析】问题即21'()(1)04f x a x ax =-+-=有解. 当a ―1=0时满足； 当a ―1≠0时，只需Δ=a 2+(a －1)＞0，解得152a --<或152a -+>. 9．【答案】72或2 【解析】若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2.∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.∴12PF PF ＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2.解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2.∴12PF PF ＝2. 综上，12PF PF ＝72或2. 10．【答案】712【解析】∵m >0，n >0，∴a ＝(m ，n )与b ＝(1，－1)不可能同向．∴夹角θ≠0.∴θ∈(0，2π]⇔a ·b ≥0，∴m ≥n . 当m ＝6时，n ＝6,5,4,3,2,1；当m ＝5时，n ＝5,4,3,2,1；当m ＝4时，n ＝4,3,2,1；当m ＝3时，n ＝3,2,1；当m ＝2时，n ＝2,1；当m ＝1时，n ＝1； ∴概率是65432166+++++⨯＝71211.【解析】原不等式可化为：2(2)20ax a x +--≥，(1)当0a =时，1x ≤-，即(,1]x ∈-∞-；(2)当0a >时，不等式化为0)1)(2(≥+-x a x ， ∵0a >，∴201a >>-，故不等式解为),2[]1,(+∞--∞a； （3）当0a <时，不等式化为0)1)(2(≤+-x ax ， ①当21a=-，即2a =-时，不等式解为{1}x ∈-； ②当21a <-，即20a -<<时，不等式解为]1,2[-a； ③当21a >-，即2a <-时，不等式解为]2,1[a-； 综上所述，原不等式的解集为：0a =时，(,1]x ∈-∞-；0a >时，2(,1][,)x a∈-∞-+∞； 20a -<<时，2[,1]x a∈-； 2a =-时，{1}x ∈-；2a <-时，2[1,]x a∈-. 12．【解析】（1）由已知S 1=a 1=a ，1n n S a q -=⋅，∴21n n S aq --=，∴当n ≥2时，21(1)n n n S S a q q ---=-⋅，即2(1)n n a aq q -=-，∴11(1)n n a aq q -+=-，∴1n na q a +=， ∴当n ≥2时，{a n }为公比为q 的等比数列.（2）221(1)a S S a q =-=-，∴21(1)2n n a n a a q q n -=⎧=⎨-≥⎩. ∴当a=250，12q =时，12log ||50b a ==，n ≥2， 5022211log ||log |2(1)()|5122n n n b a n -==-=-. ∴51(*)n b n n N =-∈.①当1≤n ≤51时，12||||||(511)(512)(51)n b b b n +++=-+-++-(1)(101)51(12)5122n n n n n n n +-=-+++=-=. ②当n ≥52时， 12||||||(5049481)[123(51)]n b b b n +++=+++++++++- 5051(51)(50)(101)2550222n n n n ⨯---=+=+. ∴12(101)(151)2||||||(101)2550(52)2n n n n b b b n n n -⎧≤≤⎪⎪+++=⎨-⎪+≥⎪⎩ 13.【解析】（1）不等式()0f x >，即120a x -+>，即20x a ax-+>. 整理得，(x －2a)·ax ＜0.①当0a >时，不等式x(x －2a)＜0的解集为{x|0＜x ＜2a}.②当0a <时，不等式x(x －2a)＞0的解集为{x|x ＜2a 或x ＞0}.又由已知有x ＞0，故综上可知，当a ＞0时原不等式的解集为{x|0＜x ＜2a}；当a ＜0时原不等式的解集为{x|x ＞0}.（2）若()20f x x +≥在（0，+∞）上恒成立， 即1220x a x-++≥在（0，+∞）上恒成立， 于是112()x a x ≤+在（0，+∞）上恒成立.又x ＞0，∴12()x x +的最小值为4. ∴14a ≤，解得a ＜0或14a ≥. 14．【解析】 （1）33coscos sin sin cos 22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=. 2233||(cos cos )(sin sin )2222x x a b x x +=++-222cos22cos x x =+= ∵[0,]2x π∈，∴cos 0x ≥，∴||2cos a b x +=.（2）()cos 24cos f x x x λ=-，即22()2(cos )12f x x λλ=---∵[0,]2x π∈，∴0cos 1x ≤≤，①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值－1，这与已知矛盾. ②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值212λ--， 由已知得23122λ--=-，解得12λ=； ③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由已知得3142λ-=-，解得58λ=，这与1λ>相矛盾. 综上所述，12λ=即为所求. 15．【解析】 （1）当AC 垂直于x 轴时，22||b AF a=， 又∵|AF 1|∶|AF 2|=3∶1，∴213||b AF a =，从而2124||||2b AF AF a a+==， ∴a 2=2b 2，∴a 2=2c 2，∴22c e a ==. （2）由（1）得椭圆的方程为x 2+2y 2=2b 2，焦点坐标为F 1（－b ，0），F 2（b ，0）.①当AC 、AB 的斜率都存在时，设A （x 0，y 0），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）， 则AC 所在的直线方程为00()y y x b x b=--，由00222()22y y x b x b x y b ⎧=-⎪-⎨⎪+=⎩得222222000000(22)2()0x y bx b y by x b y b y +-++--=. 又A （x 0，y 0）在椭圆x 2+2y 2=2b 2上，∴2220022x y b +=， 则有22220000(32)2()0b bx y by x b y b y -+--=. ∴220022032b y y y b bx =--， ∴20032y b y b x =--， 故00222232||||y b x AF F C y b λ-===-， 同理可得0132b x bλ+=，∴126λλ+=； ②若AC ⊥x 轴，则21λ=，1325b b b λ+==，这时126λλ+=； ③若AB ⊥x 轴，则11λ=，25λ=，这时126λλ+=. 综上可知12λλ+是定值6.。
[原创]2014年《高考专题提升》数学(文科) 第二部分 第3讲 分类讨论思想[配套课件]
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解析：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当 a<0 时，要想满足条件，则由如图 D38，
图 D38 作出点 A 关于原点的对称点 C，则 C 点坐标为(－x1，－y1)， 由图象知－x1<x2，－y1>y2，即 x1＋x2>0，y1＋y2<0，同理当 a>0 时，则有 x1＋x2<0，y1＋y2>0，故答案选 B. 答案：B
学策略．
2．分类原则： (1)分类对象确定，标准统一；
(2)不重复，不遗漏；
(3)讨论注意简化或避免分类讨论．
3．分类讨论的一般步骤是： (1)确定讨论对象和确定研究的区域； (2)进行科学分类(按照某一确定的标准在比较的基础上分 类)，“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果．分类时， 应不重复，不遗漏； (3)逐类讨论； (4)归纳小结，整合得出结论．
2 2 x y 4 ＋ 3 ＝1， 或 x＋y－1＝－1， 2
解之，
可求出满足条件的点 M 有 4
6－ 7
6＋ 个： 7
57
9－2 57 ， ， 14
57
11 15 3 9＋2 57 ， 7 ，－14，－1，2. ， 14
ⅱ)若点 P 的坐标是(－1,2)，则 PF＝2 |x＋y－1| y＝－x＋1 的距离是 ， 2
2，点 M 到直线：
1 1 于是有2＝S△MPF＝2×2 1 ＋y－1＝± 2，
|x＋y－1| 2× ＝|x＋y－1|，从而 x 2
2 2 x y 4 ＋ 3 ＝1， 与(*)式联立： x＋y－1＝1 2
x2 y2 x2 y2 ＋ ＝1 ＋ ＝1 2 6 4 3 4 3 或 ，求得 x＝± 3 ，此时满足条 y＝1 y＝－1 件的点 M 有 4 个：
高三数学一轮复习 7.3 分类讨论思想学案
高三数学一轮复习 7.3 分类讨论思想学案【思想方法诠释】1．分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型：（1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．（3）由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．（5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．3．分类讨论的一般流程：【核心要点突破】要点考向1：根据数学概念的要求分类讨论（概念型）例1：设0<x<1，a>0且a≠1，比较|loga (1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。
注：本例是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论，我们称为概念分类型．由概念内涵分类的还有很多，如绝对值：|a|的定义分为a ＞0、a ＜0、a=0三种情况；直线的斜率分为：倾斜角，斜率k 存在，倾斜角，斜率不存在；指数、对数函数：与，可分为两种类型；直线的截距式分：直线过原点时为y=kx ，不过原点时为等．要点考向2：根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论例2：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0（n =1 , 2 , 3 ,…）. （1）求q 的取值范围； （2）设b n = a n +2 -23a n +1 ,记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小 . 思路精析：要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。
2021年高考数学二轮复习第一部分数学方法、思想指导第3讲分类讨论思想、转化与化归思想1分类讨论思想
最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.
-14应用一
应用二
应用三
关闭
突破训练3假设函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,那么实数a的取值
函数 f(x)=aex-x-2a 的导函数 f'(x)=aex-1,
范围是(
= ,cos α=
=- ,
5
5
- 5
- 5
5
∴sin α+cos α= 5 ;
5
∴
B sin α+cos α=± 5 ,故选 B.
∴当 m>0 时,sin α=
5
5
α+cos α=- ;
关闭
解析
答案
-8应用一
应用二
应用三
应用二 由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论
例2设等比数列{an}的前n项和为Sn.假设S3+S6=2S9,那么数列的
1-
q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)·
(q3-1)=0,因为 q≠1,
所以 q3-1≠0,则 2q3+1=0,
3
4
解得 q=- 2 .
C
关闭
解析
答案
-9应用一
应用二
应用三
思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对
数函数的单调性,根本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条
1
2
ax2+(a-1)x+(11-2
(-1) -
=
(x>0),
1
≤0,即 a≥ 2时,0<x<1 时,f'(x)<0,x>1 时,f'(x)>0,
高考数学----运用分类讨论的思想方法解题课时作业及真题练习
高考数学----运用分类讨论的思想方法解题课时作业及真题练习课时作业一、单选题1．已知()f x 为奇函数，且在上是递增的，若(3)0f −=，则()0xf x >的解集是（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或【答案】B 【解析】()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，()f x ∴在(,0)−∞内是增函数，又(3)0f −=，(3)(3)0f f ∴=−−=，∴当(,3)(0,3)x ∈−∞−⋃时，()0f x <；当(3,0)(3,)x ∈−⋃+∞时，()0f x >；()0x f x ∴⋅>的解集是(,3)(3,).−∞−⋃+∞故选.B2．已知函数若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,4)−∞ B ．1(,)4−∞C ．(,3)−∞D ．(,8)−∞【答案】A【解析】由题意知，2y x ax =−+图象的对称轴方程为.2a x = 当22a<，即4a <时，根据二次函数的性质可知，一定存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()();f x f x =(0,)+∞当22a …，即4a …时，由题意知22245a a −+>−，解得12a <，不符合题意． 综上所述，(,4).a ∈−∞3．已知角α的终边上一点000(,2)(0)P x x x −≠，则sin cos αα=（ ） A ．25B ．25±C ．25−D ．以上答案都不对【答案】C【解析】由已知可得角α的终边在第二或第四象限， 当角α是第二象限角时，在其终边上取点(1,2)P −，则||OP = 由三角函数的定义得sin 55αα==−， 则2sin cos 5αα=−； 当角α是第四象限角时，在其终边上取点(1,2)P −，则||OP = 由三角函数的定义得sin 55αα=−=， 则2sin cos 5αα=−， 综上，2sin cos .5αα=−4．已知函数21,1()4log 1,1a ax x x f x x x ⎧−−⎪=⎨⎪−>⎩…是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11[,)42B ．11[,]42C ．1(0,]2D ．1[,1)2【答案】B【解析】①1a >时，()f x 在(1,)+∞上是增函数；()f x ∴在R 上是增函数；显然()f x 在(,1]−∞上不是增函数；1a ∴>的情况不存在；②01a <<时，()f x 在(1,)+∞上是减函数；()f x ∴在R 上是减函数；1121114aa ⎧⎪⎪∴⎨⎪−−−⎪⎩……； 解得1142a剟； 综上得，实数a 的取值范围为11[,].42故选：.B5．若关于x 的不等式2220ax ax −−<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．或0}a …【答案】B【解析】当0a =时，不等式变为20−<恒成立，故0a =满足题意； 当0a ≠时，若2220ax ax −−<恒成立， 则，即，解得20.a −<<综上，20.a −<… 故选.B 二、多选题6．对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式(1)(1)0ax x −+<的解集可能是（ ）A ．1{|1}x x a−<<B ．{|1}x x ≠−C ．1{|1}x x a<<− D ．R【答案】AB【解析】由(1)(1)0ax x −+<，分类讨论a 如下． 当0a >时，11x a−<<，故A 正确； 当0a =时，1;x >− 当10a −<<时，1x a<或1;x >− 当1a =−时，1x ≠−，故B 正确； 当1a <−时，1x <−或1.x a> 故选.AB7．3sin 5α=，则的值可能为（ ）A ．B ．CD ．【答案】BC【解析】34sin ,cos 55αα=∴=±，当4cos 5α=时,cos()cos cos sin sin 444πππααα−=+43252510=+=， 当4cos 5α=−时,cos()cos cos sin sin 444πππααα−=+43()55=−= 故答案为.BC8．已知函数，则方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数可能为（ ）A ．2B ．6C ．5D ．4【答案】ACD 【解析】画出的图象，如图，因为22()2()10f x f x a −+−=， 所以2244(1)84a a ∆=−−=−，若a <a >则()f x 不存在，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为0；若a =22()2()10f x f x a −+−=化为2()2()10f x f x −+=，即()1f x =， 结合图象知：方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为2；若1a <<−或1a <<，则()1(0,1)f x =，或()1(1,2)f x =+，则方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为5个；若1a =±，则()0f x =或()2f x =，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为5个；若11a −<<，则()1[1f x =或()1(2,1f x = 方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为4个．结合选项可知，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数可能为2个或5个或4个． 故选：.ACD9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1(1)(1)(1)(2,)n n nS n S n n n n n N −=++−+∈…，若150S =−，则下列结论正确的有A ．50a >B ．当4n =时，n S 取得最小值C ．当0n S >时，n 的最小值为7D ．当5n =时，nnS a 取得最小值 【答案】ABD【解析】由1(1)n n nS n S −=+*(1)(1)(2,)n n n n n N +−⋅+∈…得111n n S Sn n n−−=−+ *21(2,)132S S n n N ∈∴−=…，32243S S −=，，111n n S Sn n n−−=−+， 累加得1(1)122n S S n n n −−=+，解得3*25150(2,)n S n n n n N =−−∈…， 当1n =时，150S =−满足上式，351502n n n S −−∴=，当2n …时，2133502n n n n n a S S −−−=−=，550a ∴=>，故选项A 正确；当2n …时，233502n n n a −−=单调递增，又1150a S ==−，22122a S S =−=−，{}n a ∴单调递增，且1234560a a a a a a <<<<<<<，∴当4n …时，{}n S 单调递减，当5n …时，{}n S 单调递增，且45S S <， ∴当4n =时，n S 取得最小值，故选项B 正确；又377517503202S −⨯−==−<，388518502702S −⨯−==>，∴当0n S >时，n 的最小值为8，故选项C 错误；当1n =，2，3，4时，0;n n S a >当5n =，6，7时，0;n n S a <当8n …时，0n nSa >， ∴当5n =，6，7时，考虑nnS a 的最小值， 又当5n =，6，7时，1na 恒为正且单调递减，n S 恒为负且单调递增，n n S a ∴单调递增，∴当5n =时，n nSa 取得最小值，故选项D 正确，故选.ABD 10．在棱长为1的正方体111ABCD A B C D −中，M 是线段11AC 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A ．四面体1B ACM 的体积恒为定值B ．直线1D M 与平面1AD CC ．异面直线BM 与AC 所成角的范围是[,]32ππD ．当1113A M AC =时，平面BDM 截该正方体所得的截面图形为等腰梯形【答案】ACD 【解析】对于A 选项，根据正方体的特征可得11//AC AC ， 因为11AC ⊂/平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ， 所以11//AC 平面1AB C ，即线段11AC 上的点到平面1AB C 的距离相等， 又因为1AB C 的面积为定值，M 是线段11AC 上一个动点， 所以四面体1B ACM 的体积为定值，故A 选项正确；对于B 选项，设直线1D M 与平面1AD C 所成的角为α，M 到平面1AD C 的距离为d ，则1dsi D Mα=， 因为11//AC AC ，11AC ⊂/平面1AD C ，AC ⊂平面1AD C ， 所以11//AC 平面1AD C ，所以M 到平面1AD C 的距离与1A 到平面1AD C 的距离相等， 连接1AC ，由1111A ACD C AA D V V −−=可得11111133ACD AA D S dS ⨯=⨯，又11sin 602AD CS︒==，11111122AA D S=⨯⨯=， 所以d =M 为11AC 的中点时，1DM 最小，为2，此时sin α取得最大值为3，故B 错误； 对于C 选项，设异面直线BM 与AC 所成的角为θ，当M 与1A 或1C 重合时，θ取得最小值，为3π， 当M 为11AC 的中点时，θ取得最大值，为2π， 所以异面直线BM 与AC 所成角的范围是[,]32ππ，故C 选项正确； 对于D 选项，过M 作11//EF B D ，分别交11A D ，11A B 于点E ，F ，连接DE ，BF ， 设11AC 与11D B 交点为O ，由正方体的性质知11//BD B D ，11BD B D =， 因为1113A M AC =，所以1132A M AO =， 所以11//EF B D ，1132EF B D =，11ED B F =，所以32EF BD =，//EF BD ，BF DE =，即四边形DEFB 为等腰梯形，故D 正确．故选：.ACD11．已知函数若5[()]2f f a =−，则实数a 的值可能为（ ） A ．73B ．43−C ．1−D ．116【答案】ACD【解析】令，则当0t …时，5352t −+=−，解得52t =； 当0t <时，152t t+=−，解得2t =−或12t =−， 令，则当0a …时，5352a −+=，解得56a =； 当0a <时，10a a +<，故152a a +=无解． 令，则当0a …时，352a −+=−，解得73a =； 当0a <时，12a a+=−，解得 1.a =− 令，则当0a …时，1352a −+=−，解得116a =； 当0a <时，，当且仅当1a =−时等号成立，故112a a +=−无解， 综上，实数a 可能的取值为5711,,1,.636− 故选.ACD 三、填空题12．定义新运算“⊗”，满足对任意的,a b R ∈，有.a b ab b ⊗=+若对x R ∀∈，恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】【解析】由得，，化简得210mx mx −−<对x R ∀∈恒成立， 当0m =时，10−<，成立； 当0m ≠时，满足，解得40m −<<；故实数m 的取值范围是故答案为：13．已知定义域为R 的函数3()3sin f x x x =+，满足2(1)(1)0f a f a −+−<，则实数a的取值范围是__________．【答案】(,2)(1,)−∞−⋃+∞ 【解析】因为3()3sin f x x x =+，所以3()3sin ()f x x x f x −=−−=−，即()f x 为奇函数，当0x …时，2()33cos f x x x '=+， 当[0,]2x π∈时，()0f x '…，当(,)2x π∈+∞时，2233()32x π⨯>…，又33cos 3x −剟，即()0f x '>， 所以当0x …时，2()33cos 0f x x x '=+…，所以函数3()3sin f x x x =+在[0,)+∞上为增函数，又()f x 为奇函数，所以函数3()3sin f x x x =+在(,)−∞+∞上为增函数，由2(1)(1)0f a f a −+−<，得22(1)(1)(1)f a f a f a −<−−=−+， 所以211a a −<−+，所以(2)(1)0a a +−>， 解得2a <−或1a >， 故答案为：(,2)(1,).−∞−⋃+∞14．在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =__________．【答案】3±【解析】由等比数列的性质可得213236a a a ==，所以26a =±， 又2460a a +=，当26a =时，454a =；当26a =−时，466a =， 所以2425496a q a ===，或26611(6q ==−−不可能为负数，舍去)， 所以 3.q =± 故答案为 3.±15．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，1()()2(2x f x x m m =−+为常数)，则当0x <时__________．【答案】()221xf x x =−−+【解析】根据题意，若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，又由当0x …时，1()()22x f x x m =−+，则(0)10f m =+=，即1m =−， 故当0x …时，1()()212x f x x =−−， 当0x <时，0x −>，则1()()2()12212x x f x x x −−=−−−=+−， 又由()f x 为奇函数，则()()(221)22 1.x x f x f x x x =−−=−+−=−−+故答案为()22 1.xf x x =−−+16．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点M 满足1()(2OM OA OB O =+为坐标原点)，过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若||2PF =，则点P 的横坐标为__________，||AB =__________．【答案】1；8【解析】由于点M 满足1()2OM OA OB =+，所以M 是线段AB 的中点． 抛物线的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为 1.x =− 设00(,)P x y ，由于P 在抛物线上，且||2PF =， 根据抛物线的定义得012x +=，所以01x =，则02y =±，不妨设(1,2)P ， 若直线l 的斜率不存在，则不妨设(1,2)A ，(1,2)B −，所以(1,0)M ， 此时M 的纵坐标和P 的纵坐标不相同，不符合题意， 所以直线l 的斜率存在，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 直线l 的方程为(1)y k x =−，代入抛物线方程并化简得2222(24)0k x k x k −++=， 则12242x x k+=+，12 1.x x = 由于M 是线段AB 的中点，所以1212(,)22x x y y M ++，又(1,2)P ， 所以1222y y +=，即124y y +=， 即1212244(1)(1)()2(2)24k x k x k x x k k k k k−+−=+−=+−==， 解得1k =，所以12246x x +=+=，所以(3,2)M ， 则点M 到准线1x =−的距离为4，根据抛物线的定义及中位线的性质可知||||||428.AB AF BF =+=⨯=17．已知关于x 的不等式a R ∈)，若1a =，则该不等式的解集是__________，若该不等式对任意的11x −剟均成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】{|11}x x −剟；【解析】当1a =时，(1)(1)0x x −+…，解之得：1 1.x −剟∴该不等式的解集是当1x =−时，不等式(1)(1)0ax x −+…等价于00…，恒成立， 当11x −<…时，10x +>，不等式(1)(1)0ax x −+…等价于10ax −…， 结合函数1y ax =−的性质可得，解得11a −剟， 综上所述，实数a 的取值范围是，故答案为{|11}x x −剟；真题练习题1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6e a ax x a −−+<+<−．（注：e 2.71828=是自然对数的底数） 【解析】（1）()22e 12e 22xf x x x x −'=−+=， 当e02x <<，()0f x '<；当e 2x >，()0f x ¢>， 故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '−=−，故方程()()()f x b f x x a '−=−有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫−−−−+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=−−−−+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=−+−+−−+ ⎪⎝⎭ ()()31e x x a x =−−−， 当0e x <<或x a >时，()0g x '<；当e x a <<时，()0g x '>， 故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数， 因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0g a >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫−−−−+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫−−−−+> ⎪⎝⎭， 整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a>+=， 此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫−−−<+−+−+=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设()3e ln 22u a a a =−−，则()2e-202a u a a '=<， 故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <−−=， 故()1012e a b f a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数， 不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫−−−−+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫−−−−+< ⎪⎝⎭， 整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<， 又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=−+−+， 设e t x=，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x +−+−+=即为： 2e ln 0e 2e a a t t t b +−+++=即为()21ln 02mm t t t b −++++=， 记123123e e e,,,t t t x x x === 则123,,t t t 为()21ln 02m m t t t b −++++=有三个不同的根， 设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<， 要证：22132e 112e e 6e 6e a a x x a −−+<+<−，即证13e 2e e 26e 6e a at t a −−+<+<−，即证：13132166m mt t m −−<+<−， 即证：131********m m t t t t m −−⎛⎫⎛⎫+−+−+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t −−++−−<+， 而()21111ln 02m m t t t b −++++=且()23331ln 02m m t t t b −++++=， 故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t −+−−+−=， 故131313ln ln 222t t t t m m t t −+−−=−⨯−， 故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t −−+−−⨯<−+， 即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +−−++>−即证：()()()213121ln 0172m m m k k k −−+++>−，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>−，则()()2112ln 1k k k kk ϕ⎛⎫'=−− ⎪⎝⎭−，设()12ln u k k k k =−−，则()2122210u k k k k k'=+−>−=，所以()()10u k u >=，()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()1k m ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m −−+−−++++>+−−， 记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω−−−+=+<<+， 则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω−−−+−+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m −−−++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m −−+++>−，故原不等式得证：2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =−． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <−，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n ++>++．【解析】（1）当1a =时，()()1e x f x x =−，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>， 故()f x 的减区间为(),0∞−，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax xh x x =−+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+−，设()()1e e ax xg x ax =+−， 则()()22e e ax xg x a a x '=+−，若12a >，则()0210g a '=−>，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>， 故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=−，与题设矛盾. 若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+−=−， 下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立， 证明：设()()ln 1S x x x =+−，故()11011x S x x x−'=−=<++， 故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立. 由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++−<−=−≤， 故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数， 所以()()00h x h <=.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=−+<−+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=. 综上，12a ≤. （3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x −+<成立， 令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <−即12ln t t t<−对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n ∈N ，有 整理得到：()ln 1ln n n +−<()21ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n n n+>−+−+++−+()ln 1n =+，故不等式成立.3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=−−+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）当0a =时，()1ln ,0f x x x x =−−>，则()22111xf x x x x−'=−=，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 所以()()max 11f x f ==−；（2）()()11ln ,0f x ax a x x x =−−+>，则()()()221111ax x a f x a x x x −−+'=+−=， 当0a ≤时，10ax −<，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==−<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减； 又()110f a =−<，由（1）得1ln 1x x +≥，即1ln 1x x ≥−，所以ln x x x <<当1x >时，11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x =−−+>−−+>−+则存在2312m a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0f m >，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x−'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =−=，所以()f x 有唯一零点，符合题意； 当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；此时()110f a =−>，由（1）得当01x <<时，1ln 1xx>−，1>ln 21x ⎛> ⎝， 此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax ax x x ⎛=−−+<−−+−< ⎝存在2114(1)n a a=<+，使得()0f n <，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意； 综上，a 的取值范围为()0,∞+.。
【步步高】高考数学 考前3个月(上)专题复习 专题七 第三讲 分类讨论思想配套限时规范训练
第三讲 分类讨论思想（推荐时间：50分钟） 一、选择题1.设函数f (x )＝ 若f (m )>f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)2．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为( )A ．－112，0B.112，－112C.112，0 D.14，－1123．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或8334．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( )A.53B.52C.52或153D.53或54 5．若方程x2k －4－y2k ＋4＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为 ( ) A ．(2k ，0)、(－2k ，0)B ．(0，2k )、(0，－2k )C ．(2|k |，0)、(－2|k |，0)D ．由k 的取值确定6．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)7．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条8．设函数f (x )＝x －2m sin x ＋(2m －1)sin x cos x (m 为实数)在(0，π)上为增函数，则m 的取值范围为( )A ．[0，23]B ．(0，23)C ．(0，23]D ．[0，23)二、填空题9．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________________________________________________________________________．10．函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．11．已知a >0，命题p ：函数y ＝a x(a ≠1)在R 上单调递减，命题q ：不等式|x －2a |＋x >1的解集为R ，若p和q 有且只有一个是真命题，则a 的取值范围是________．12．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是__________________________． 三、解答题13．已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．14．(·安徽)设函数f(x)＝a e x＋1a e x＋b(a>0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．答案1. D 2．A 3．D 4．D 5．D 6．C 7．B 8．A 9．[0,4] 10.12或32 11.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞) 12．(0,4)13．解 f (x )＝2a ·12(1－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b＝－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， 又∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1. 因此，由f (x )的值域为[－5,1]可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－2a ×－12＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×－12＋2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.14．解 (1)f ′(x )＝a e x－1a e x， 当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减． ①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ； ②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32， 解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.。
高考----数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练
高考数学总复习资料高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析: 例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).（2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)（3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0 不等式的解为 x ∈∅.综上，当 0<a<1时，x ∈(a 2, a)当a<0或a>1时，x ∈(a,a 2) 当a=0或a=1时，x ∈∅.评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.例2．解关于x 的不等式 ax 2+2ax+1>0(a ∈R) 解:此题应按a 是否为0来分类.（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a ≠0时分为a>0 与a<0两类①10)1(00440002>⇒⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->⇒⎩⎨⎧>>a a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根aa a a aa a a a a a x )1(12442222,1-±-=-±-=-±-=.则原不等式的解为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . ②101000440002<<⇒⎩⎨⎧<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<>a a a a a a a ∆时， 方程ax 2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-∞，+∞）.③ 11000440002=⇒⎩⎨⎧==>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->⇒⎩⎨⎧=>a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-∞,-1)∪(-1,+∞).④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a a a a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:))1(1,)1(1(aa a a a a ----+-. ⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1000440002∆ 综上:当0≤a<1时，解集为（-∞，+∞）. 当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . 当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞). 当a<0时，解集为))1(1,)1(1(aa a a a a ----+-. 例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(西城2003’一模 理科）解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1]. (2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a .当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在.② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120a a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1).a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a.-2<a<0时，x ∈]1,2[-a .a<-2时，x ∈]2,1[a-.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 10:能不分则不分； 20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值. 解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x 令sinx=t, t ∈[-1,1]. 则6243)2()(22++---=a a at t f (t ∈[-1,1]). (1)当12>a即a>2时，t=1，2533m ax =++-=a a y 解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）. (2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432m ax =++-=a a y ,解方程为:34-=a 或a=4（舍）.(3)当12-<a 即a<-2时， t=-1时，y max =-a 2+a+5=2即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴ 2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2. 例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S n n --=1)1(1， 从而.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++nn n n n n n q a q q a q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n n S S S . ∵ 函数xy 5.0log =为单调递减函数.∴15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---b y a x ，一条渐近线的斜率为2=ab， ∴ b=2.∴ 555222==+==a a a b a c e . （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=ba，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或. 评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a .解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a0)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--aa，下面分为三种情况. ①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a aa a 即a<1时，解为)12,2(a a --.②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a a aa 时，解为∅. ③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121aa a ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(a a --.由（3）a>1时，aa--12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a aa a ⇒ a 不存在.② ⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a aa a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ a a .综上:a=1时，x ∈(2,+∞). a<1时，x ∈)12,2(aa-- a=0时，x ∈∅.0<a<1时，x ∈)2,12(a a-- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa.评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记. 课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x 2．解不等式1|)3(log ||log |3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M. （1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+235321 2.]4943[，3. (1) M 为），（），（2452 ∞- (2)),9()35,(+∞-∞∈ a 4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
高考数学思想技法攻略精讲：第三讲分类讨论思想
第三讲 分类讨论思想要点一 由概念、性质、运算引起的分类讨论[解析] (1)①当2－a ≥2，即a ≤0时，22－a －2－1＝1， 解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2； ②当2－a <2即a >0时，－log 2[3－(2－a )]＝1， 解得a ＝－12，舍去．综上所述，f (a )＝－2，故选A. (2)由题意得q 2＝a 3＋a 6＋a 9a 1＋a 4＋a 7＝9，q ＝±3，①当q ＝3时，a 2＋a 5＋a 8＝3(a 1＋a 4＋a 7)＝6，S 9＝2＋6＋18＝26； ②当q ＝－3时，a 2＋a 5＋a 8＝－3(a 1＋a 4＋a 7)＝－6，S 9＝2－6＋18＝14.所以S 9＝14或26.[答案] (1)A (2)14或26解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．[对点训练]1．(2018·洛阳统考)已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当x1>1且x2>1时，x1＋x2>2且x1·x2>1成立，即充分性成立；当x1＋x2>2，且x1x2>1时，不妨取x1＝0.1，x2＝100，此时x1>1不成立，即必要性不成立．故“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的充分不必要条件，故选A.[答案] A2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B ⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2，满足B⊆A；当B≠∅时，若B⊆A，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]． [答案] (－∞，4]要点二 由图形位置或形状引起的分类讨论[解析] (1)根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，m －1<0，解得m <1，此时渐近线方程为y ＝±1－m3－m x ，由题意得，1－m 3－m＝12，解得m ＝13；②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m <0，m －1>0，解得m >3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3 x ，由题意得，m －1m －3＝12，无解．综上可知m ＝13，故选B(2)函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．①当a <－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)，由－(a ＋1)＝4，得a ＝－5，满足题意．②当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，由a 24＝4，得a ＝±4(舍去)．③当a >2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1，由a －1＝4，得a ＝5，满足题意．综上可知，a ＝5或－5. [答案] (1)B (2)5或－5几类常见的由图形的位置或 形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化； (2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化； (4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等． [对点训练]3．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8][解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，由图，可得A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)． ①当3≤s <4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC 及其内部，此时，z ＝3x ＋2y 在点B 处取得最大值，且z max ＝3(4－s )＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤z max<8.②当4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△OAC′及其内部，此时z＝3x＋2y在点C′处取得最大值，且z max＝8.综上可知，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]，故选D.[答案] D4．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析]当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V＝43×233×12×6＝833.综上所述，所求体积为43或83 3.[答案]43或83 3要点三由参数变化引起的分类讨论【例3】(2018·山东青岛调研)已知f(x)＝ax－(2a＋1)ln x－2 x，其中a∈R，讨论函数f(x)在定义域上的单调性．[解] 函数f (x )＝ax －(2a ＋1)ln x －2x 的定义域为{x |x >0}． f ′(x )＝(ax )′－(2a ＋1)(ln x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′＝a －2a ＋1x ＋2x 2＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x 2＝(ax －1)(x －2)x 2. 当a ＝0时，f ′(x )＝－(x －2)x 2. 可以看出，当x >2时，f ′(x )<0； 当0<x <2时，f ′(x )>0，所以，a ＝0时，函数f (x )在区间(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2.(ⅰ)若a <0，则1a <0<2，当0<x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0，所以a <0时，f (x )在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．(ⅱ)若0<a <12，则0<2<1a ，解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2>0，得0<x <2或x >1a ；解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x2<0，得2<x <1a .所以0<a <12时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上单调递减；在区间(0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增． (ⅲ)若a ＝12，则f ′(x )＝(x －2)22x 2，在定义域(0，＋∞)上，总有f ′(x )＝(x －2)22x 2≥0.所以a ＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数f (x )为单调递增函数． (ⅳ)若a >12，则0<1a <2，解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x2>0，得0<x <1a 或x >2； 解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2<0，得1a <x <2.所以，a >12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫2，1a 上单调递减；在(0,2)，⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数f (x )为单调递增函数；当a >12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减．破解由参数变化引起分类讨论的4个关键点(1)确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．(2)确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．(3)分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解． (4)得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论． [对点训练]5．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x －3.由于f ′(1)＝－2，f (1)＝0.曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x >1时，f (x )>0⇔ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，①当a ≤2时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，∴g ′(x )>0，则g (x )在(1，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0，因此g (x )>0.②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a－1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1， 故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在区间(1，x 2)上单调递减，且g (1)＝0，此时g (x )<0，与已知矛盾，舍去．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．1.分类讨论的原则 (1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 2.分类讨论的思维流程明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．专题跟踪训练(三)一、选择题1．(2018·佛山二模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43[解析] 若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m ＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43，故选D.[答案] D2．(2018·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4，故选B.[答案] B3．(2018·湖南郴州质量监测)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是( )A ．1 B.16 C.12D.13[解析] 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，∴甲排在左边的概率是26＝13，故选D.[答案] D4．(2018·湖北武汉调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋2y ≤4x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143 C ．3或143D ．3或－113[解析] 先画出线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z ＝x ＋ay 取最大值只需直线在x 轴上的截距最大，当a >0时，－1a <0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去． 当a <0时，－1a >0，③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >12，即－2<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去； 综上可知实数a 的值为3或－113，故选D. [答案] D5．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 解法一：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ， 其对称轴为x ＝－2a .当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a <0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法二：由f (x )＝ax 2＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4， 要使函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，需使f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，则f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立，当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2x ， 因为－2x 在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1.综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法三：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上单调递增，最大值为f (2)，满足题意，排除A 、C 、D ，故选B.[答案] B6．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合； 当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0. 综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[解析] ∵2sin2α＝1＋cos2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1， 即2sin αcos α＝cos 2α.①当cos α＝0时，α＝k π＋π2(k ∈Z )， 此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1； ②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3. 综上所述，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为－1或3. [答案] －1或39．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．[解析] 若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.[答案] 72或2 三、解答题10．(2018·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，求△ABC 的面积．[解] 解法一：由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32，∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0<B <23π，∴－π3<2B －π3<π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.解法二：∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B .当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.11．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意可得2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫满足x 25＋y 24＝1，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1， 连接PM ，因为QM 为圆P 的切线， 所以PM ⊥QM ， 所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1 ＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2.①若－4t ≤－2，即t ≥12时， 当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322， 解得t ＝38<12(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12， 当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值， 且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.12．(2018·东北三校联考)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R ，讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] 由题意知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． (ⅰ)当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； (ⅱ)当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14. 由g (－1)＝1>0， 可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 因此函数有两个极值点． ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点； 当a >89时，函数f (x )有两个极值点．专题跟踪训练(三)一、选择题1．(2018·佛山二模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43[解析] 若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m ＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43，故选D.[答案] D2．(2018·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4，故选B.[答案] B3．(2018·湖南郴州质量监测)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是( )A ．1 B.16 C.12D.13[解析] 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，∴甲排在左边的概率是26＝13，故选D.[答案] D4．(2018·湖北武汉调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋2y ≤4x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143 C ．3或143D ．3或－113[解析] 先画出线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z ＝x ＋ay 取最大值只需直线在x 轴上的截距最大，当a >0时，－1a <0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去． 当a <0时，－1a >0，③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >12，即－2<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去； 综上可知实数a 的值为3或－113，故选D. [答案] D5．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 解法一：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ， 其对称轴为x ＝－2a .当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a <0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法二：由f (x )＝ax 2＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4， 要使函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，需使f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，则f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立，当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2x ， 因为－2x 在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1.综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法三：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上单调递增，最大值为f (2)，满足题意，排除A 、C 、D ，故选B.[答案] B6．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合； 当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0. 综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[解析] ∵2sin2α＝1＋cos2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1， 即2sin αcos α＝cos 2α.①当cos α＝0时，α＝k π＋π2(k ∈Z )， 此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1； ②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3. 综上所述，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为－1或3. [答案] －1或39．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．[解析] 若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.[答案] 72或2 三、解答题10．(2018·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，求△ABC 的面积．[解] 解法一：由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32，∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0<B <23π，∴－π3<2B －π3<π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.解法二：∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B .当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.11．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意可得2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫满足x 25＋y 24＝1，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1， 连接PM ，因为QM 为圆P 的切线， 所以PM ⊥QM ， 所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1 ＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2.①若－4t ≤－2，即t ≥12时， 当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322， 解得t ＝38<12(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12， 当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值， 且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.12．(2018·东北三校联考)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R ，讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] 由题意知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． (ⅰ)当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； (ⅱ)当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14. 由g (－1)＝1>0， 可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 因此函数有两个极值点． ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点； 当a >89时，函数f (x )有两个极值点．。
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第三讲分类讨论思想
（推荐时间：50分钟）
一、选择题
1.设函数f(x)＝若f(m)>f(－m)，则实数m的取值范围是
( ) A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
2．设集合A＝{x|x2＋x－12＝0}，集合B＝{x|kx＋1＝0}，如果A∪B＝A，则由实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为( )
A．－1
12
，0
B.1
12
，－
1
12
C.1
12
，0
D.1
4
，－
1
12
3．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )
A.8
9
3
B．4 3
C.2
9
3
D．43或8
3
3
4．已知双曲线的渐近线方程为y＝±3
4
x，则双曲线的离心率为( )
A.5 3
B.
5 2
C.
5
2
或
15
3
D.5
3
或
5
4
5．若方程
x2
k－4
－
y2
k＋4
＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为( )
A．(2k，0)、(－2k，0)
B ．(0，2k )、(0，－2k )
C ．(2|k |，0)、(－2|k |，0)
D ．由k 的取值确定
6．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( )
A ．(－∞，2]
B ．[－2,2]
C ．(－2,2]
D ．(－∞，－2)
7．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线有
( )
A ．4条
B ．3条
C ．2条
D ．1条
8．设函数f (x )＝x －2m sin x ＋(2m －1)sin x cos x (m 为实数)在(0，π)上为增函数，则m 的取值范围为
( )
A ．[0，2
3]
B ．(0，2
3)
C ．(0，2
3]
D ．[0，2
3
)
二、填空题 9．函数f (x )＝
mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是
________________________________________________________________________． 10．函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2，则a 的值是________．
11．已知a >0，命题p ：函数y ＝a x
(a ≠1)在R 上单调递减，命题q ：不等式|x －2a |＋x >1
的解集为R ，若p 和q 有且只有一个是真命题，则a 的取值范围是________． 12．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能
够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是__________________________． 三、解答题
13．已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣
⎡⎦
⎤
0，
π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．
14．(2012·安徽)设函数f (x )＝a e x
＋
1
a e x
＋b (a >0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3
2x ，求a ，b 的值．
答案
1. D 2．A 3．D 4．D 5．D 6．C 7．B 8．A 9．[0,4]
10.12或32
11.⎝⎛⎦⎤0，1
2∪(1，＋∞)
12．(0,4)
13．解 f (x )＝2a ·1
2
－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b
＝－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋3
2
sin 2x ＋2a ＋b
＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6＋2a ＋b ，
又∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7
6
π，
∴－12≤sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π
6≤1.
因此，由f (x )的值域为[－5,1]
可得⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，－2a ×－1
2
＋2a ＋b ＝1，
－2a ×1＋2a ＋b ＝－5，
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a <0，
－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×－1
2
＋2a ＋b ＝－5，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2
b ＝－5或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2
b ＝1.
14．解 (1)f ′(x )＝a e x －
1
a e x
， 当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减． ①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，
在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ； ②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，
从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1
a
＋b .
(2)依题意f ′(2)＝a e 2－
1a e 2＝32
， 解得a e 2＝2或a e 2
＝－12
(舍去)，
所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝1
2，
故a ＝2e 2，b ＝12
.。