【高考数学】数列知识点、公式总结

一、数列的概念

1、数列的概念：

一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成

123,,,

,,

n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；n

a 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.

数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.

2、数列的分类：

按数列中项的多数分为：

（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.

3、通项公式：

如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.

4、数列的函数特征：

一般地，一个数列{}n a ，

如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;

如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;

如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.

5、递推公式：

某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．

二、等差数列 1、等差数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.

2、等差数列的通项公式：

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：

()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.

3、等差中项：

（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且

=2

a b

A +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2

n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足

2

1=

2

n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.

4、等差数列的性质： （1）等差数列{}n a 中，若

(),

m n p q m n p q N ++=+∈、、、则

m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；

（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；

（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则

{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为

常数列.

5、等差数列的前n 项和n S ： （1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++

++∈；

（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1

.,2

n n n S n a S S n -=⎧

=⎨

-≥⎩

（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和

()()

111=

.22

n n n a a n n S na d +-=+

6、等差数列前n 和的性质：

（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即

12122,,m m m m a a a a a a ++++

+++

+

21223m m m a a a ++++

+,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差

数列）；

（2）等差数列{}n a 的前n

项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛

⎫+

+- ⎪⎝

⎭当0d ≠时，n S 可看作关于

n 的二次函数，且不含常数项；

（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则

()11

==,n S n S S a S n

++-奇奇偶偶中间项且

若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，

则1

==.n n

S a S S nd S a +-偶奇偶奇且

7、等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则

（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；

（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.

三、等比数列 1、等比数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即()1n n

a q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比

数列的依据.

2、等比数列的通项公式：

设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：

()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.

3、等比中项：

（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且

2=A ab ;