人教版数学高二选修2-1练习空间向量与垂直关系

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高中数学人教A版选修2-1练习课件：3.2.2 空间向量与垂直关系

第三页，编辑于星期日：二十三点二十八分。
课堂对点训练
第四页，编辑于星期日：二十三点二十八分。
知识点一
证明线线垂直
1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AC的中点．
第五页，编辑于星期日：二十三点二十八分。
证明：BD1⊥EB1. 证明：以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，
3．2 立体几何中的向量方法
课时作业30 空间向量与垂直关系
第三章空间向量与立体几何
第一页，编辑于星期日：二十三点二十八分。
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
第二页，编辑于星期日：二十三点二十八分。
[目标导航] 1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．
第七页，编辑于星期日：二十三点二十八分。
知识点二
证明线面垂直
2．如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别为 AB、B1C 的中点．试用向量法判断 MN 与平面 A1BD 的位置关系．
第八页，编辑于星期日：二十三点二十八分。
证明：设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点，DA、DC、 DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D －xyz，
第十一页，编辑于星期日：二பைடு நூலகம்三点二十八分。
解：法一：如右图，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0， 3)，C1(0,1， 3)． ∵D 为 BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)． ∴A→D＝(1,1,0)，A→A1＝(0,0， 3)，B→C＝(－2,2,0)． ∴A→D·B→C＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， A→A1·B→C＝0×(－2)＋0×2＋ 3×0＝0.

人教新课标版数学高二选修2-1 作业 3.2空间向量与垂直关系(第二课时)

1．若两个不同平面α,β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则 ( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α,β相交但不垂直D ．以上均不正确解析：u ·v ＝(1,2，－1)·(2,3,8) ＝1×2＋2×3－1×8＝0. ∴u ⊥v .∴α⊥β. 答案：B2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8解析：∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.答案：C3．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP 等于( )A ．(337，－157，4)B ．(337，－157，－3)C ．(407，－157，4)D ．(407，157，－3)解析：由AB ·BC ＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. 又BP ⊥平面ABC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ BP ·AB ＝0， BP ·BC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.答案：B4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．AA 1解析：建立如图所示坐标系. 设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)， C (0,1,0)，D (0,0,0)， A 1(1,0,1)，E (12，12，1)．∴CE ＝(12，12，1)－(0,1,0)＝(12，－12，1)， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)，1A D ＝(－1,0，－1)，1A A ＝(0,0，－1)．∵CE ·BD ＝(12，－12，1)·(－1，－1,0) ＝－12＋12＋0＝0，∴CE ⊥BD ，∴CE ⊥BD . 答案：B5．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由题意得OP ⊥OQ . ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π36．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，且有AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是________．解析：由AP·AB＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB，故①正确；由AP·AD＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确；由①②知AP是平面ABCD的法向量，故③正确，④不正确．答案：①②③7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥平面BEF.解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标为A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0,22，0)，P(0,0,2).又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．∴PC＝(2,22，－2)，BF＝(－1，2，1)，EF＝(1,0,1)，∴PC·BF＝－2＋4－2＝0，PC·EF＝2＋0－2＝0，∴PC⊥BF，PC⊥EF，∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．(1)求证：A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a ). (1) 1A E ＝(－a ，a ，e －a )，BD ＝(－a ，－a,0)，1A E ·BD ＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E ⊥BD ，即A 1E ⊥BD .(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB ＝(a ，a,0)，1DA ＝(a,0，a )，DE ＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，ae ).由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2. ∴2－a e ＝0，即e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

人教版数学高二数学选修2-1 3.2不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题

不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题山东省利津县第一中学胡彬 257400关于空间向量在几何体中的应用,同学们在学习中注重的往往是两用空间向量解决求角球距离的问题,却忽视了利用空间向量处理垂直与平行关系问题.这样的做法往往导致了一旦遇到几何体中的垂直与平行关系问题要处理,而几何方法又无法解决时,可能就会束手无策,坐以待毙了.而实际上,利用空间向量处理垂直与平行关系问题同样会带来直观、运算量小、减少空间想象的力度等优点.一. 利用空间向量处理垂直关系问题例1.ABC-C 11B A 是各棱长均相等的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点.求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1 .[分析]:线与线、线与面、面与面的垂直平行关系是历年高考命题的热点，请注意各种关系的相互转化并最终转化到平面问题或比较简单、具体的问题而加以解决。

若用空间向量法则证明垂直问题主要是用好平面的法向量。

[解法一]取AB 1的中点M ，AB 中点N ，连结DM ，MN ，CN MN ∥21BB 1∥CD 且MN =21BB 1=CD DMA1B1BNACC 1∴ DM ∥CN 且 DM=CN由已知可得 CN ⊥AA 1,且CN ⊥AB ∴CN ⊥面AB B 1A 1, DM ⊥面AB B 1A 1,且 DM ⊂面AB 1D, ∴面AB 1D ⊥面AB B 1A 1[回顾]面面垂直的判定定理“l ⊥α , l ⊂α ⇒ α ⊥β ”中，首先，L 应是β内垂直于交线的直线。

将一个向量表示成几个便于计算的向量相加（首尾相接）在证线与线垂直中常用。

于是有下面的证法二。

[证法二] ·1AA =(++211AB )·1AA =(++211AA +2111B A )·1AA =-21a 2+0+21a 2+0 (a 为棱长)同样 DM ·AB =DC ·AB +CA ·AB +211AA ·AB +2111B A ·AB =0-21a 2+0+21a 2=0∴DM ⊥相交直线AB. AA 1, ∴DM ⊥平面AB B 1A 1 且 DM ⊂平面AB 1D ∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.本题也可以建立直角坐标系,利用向量坐标证明或证明面AB 1D 与面ABC 的法向量数量积为0.[证法三]以AB 的中点O 为原点，射线OB ，OC ，OM （M 是AB 1的中点）分别为x 轴,y 轴、z 轴正向建立空间直角坐标系.如图，设所有的棱长均为2，则A （-1，0，0），B （1，0，0）D （0,3 ,1）, B(1,0,2) xyCDA1MAOB B1C 1设平面AB 1D 的法向量为n =（x,y,z ）由n ·AD =（x,y,z ）（1，3，1）=x+3y+z=0和n ·1AB =（x,y,z ）（2，0，2）=2x+2z=0 ,取=（-1,0,1）.而平面AB B 1A 1的法向量为=（0, 3,0）·=（-1,0,1）·（0, 3,0）=0+0+0=0 ∴⊥∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.[回顾]:向量坐标法解题时注意；（1）点坐标，向量坐标，向量关系三大步的运算要准确，（2）将题意转化为相应的向量计算。

2020-2021学年人教A版数学选修2-1配套训练：3.2 第2课时利用向量证明空间中的垂直关系

[A组学业达标]1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m等于()A．1B．－2C．－3 D．3解析：l1⊥l2⇒a⊥b⇒2×2＋1×2＋(－2)×m＝0.∴m＝3.答案：D2．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则()A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直D．l1，l2，l3两两互相垂直解析：∵a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0.b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.答案：A3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y＝()A．－3或1 B．3或－1C．－3 D．1解析：|a|＝22＋42＋x2＝6，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y ＝－1－12x ， ∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1， ∴x ＋y ＝1或－3. 答案：A4．已知平面α上的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )A ．(1，－1,1)B ．(2，－1,1)C ．(－2,1,1)D ．(－1,1，－1)解析：显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧a·n ＝0，b·n ＝0， ∴⎩⎨⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0. 令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1， ∴n ＝(－2,1,1)．答案：C5．平面α，β的法向量分别为m ＝(1,2，－2)，n ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－5D ．5 解析：由α⊥β知，m·n ＝0. ∴－2－8－2k ＝0，解得k ＝－5. 答案：C 6．下列命题中：①若u ，v 分别是两个不同的平面α，β的法向量，则u ∥v ⇒α∥β； ②若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇒u ∥v ；③若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题序号是________．解析：①正确；②正确；③，∵u ⊥α，a 所在直线与平面α平行或在平面α内， ∴u ⊥a .∴u·a ＝0，③正确；④正确．答案：①②③④7．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________(填序号)．解析：由于AP →·AB →＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．答案：①②③8．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →＝0. 即( 2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12. ∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3. 答案：π2或π39.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，垂足为A ，AB ⊥AD 于A ，AC ⊥CD 于C ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证AE ⊥CD .证明：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则A (0,0,0)，P (0,0,1)．∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形． ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12.设D (0，y,0)，则AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y －32，0.由AC ⊥CD 得AC →·CD →＝0，即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， ∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .10.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．求证： (1)平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)C 1F ∥平面ABE .证明：如图，以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BB 1所在直线的x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝a ，AB ＝b ，BB 1＝c ，则B (0,0,0)，A (0，b,0)，C 1(a,0，c )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c .(1)AB →＝(0，－b,0)， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，c .设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－by ＝0，a 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2y ＋cz ＝0，令x ＝2，则y ＝0，z ＝－a c ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，－a c .又平面B 1BCC 1的一个法向量为n 1＝(0,1,0)．∵n 1·n ＝2×0＋0×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a c ×0＝0，∴平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)C 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，－c ，且n ·C 1F →＝0，∴C 1F →∥平面ABE . 又∵C 1F ⊄平面ABE ， ∴C 1F ∥平面ABE .[B 组能力提升]11.在三棱锥P -ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1)D ．(2，－2,1)解析：∵AC ＝CB ＝1，PC ＝2， ∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)， ∴AP →＝(－1,0,2)，BP →＝(0，－1,2)．又(－1,0,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12＝－1×1＋0×1＋2×12＝0， (0，－1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12＝0×1＋(－1)×1＋2×12＝0， ∴向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12是平面P AB 的法向量．答案：A12.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD ，则平面PQC 与平面DCQ 的位置关系为( ) A ．平行 B ．垂直C ．相交但不垂直D ．位置关系不确定解析：以D 为坐标原点，线段DA ＝1，射线DA 为x 轴正半轴，DP 为y 轴正半轴，DC 为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz (图略)．则Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)， PQ →＝(1，－1,0)∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0， ∴PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，故PQ ⊥平面DCQ ，又∵PQ ⊂平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ ，故选B.答案：B13.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF . 解析：以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．则B (0,0,0)，B 1(0,0,3a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，3a ，C (0，2a,0)，设F (2a,0，m )，则CF →＝(2a ，－2a ，m )，B 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，B 1F →＝(2a,0，m －3a )∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF ⊥B 1F ，CF ⊥B 1D ，即⎩⎨⎧CF →·B 1F →＝0CF →·B 1D →＝0⎩⎨⎧2a 2＋m (m －3a )＝0a －a ＝0，解得m ＝2a 或a . 答案：a 或2a14.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的是________．①当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1； ②当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP ； ③∠APD 1的最大值为90°； ④AP ＋PD 1的最小值为 5.解析：以D 为坐标原点建立空间直角坐标系(图略)，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，C (0，3，0)，D 1(0,0,1)，C 1(0，3，1)，B (1，3，0)，A 1C →＝(－1，3，－1)．设P (x ，y ，z )，则A 1P →＝(x －1，y ，z －1)．对于①，当A 1C →＝3A 1P →，即(－1，3，－1)＝3(x －1，y ，z －1)时，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，33，23，则D 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，33，－13.设平面BDC 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎨⎧n 1·DC 1→＝3y 1＋z 1＝0，n 1·DB →＝x 1＋3y 1＝0，解得n 1＝(－3，1，－3)．由于D 1P →·n 1＝0，所以D 1P ∥平面BDC 1成立．对于②，当A 1C →＝5A 1P →，即(－1，3，－1)＝5(x －1，y ，z －1)时，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35，45.由⎩⎨⎧A 1C →·D 1A →＝0，A 1C →·D 1P →＝0，可知A 1C ⊥平面D 1AP 成立．对于③，设A 1C →＝λA 1P →，即(－1，3，－1)＝λ(x －1，y ，z －1)，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，3λ，1－1λ.cos 〈P A →，PD 1→〉＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，－3λ，1λ－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，－3λ，1λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－12，其分子化简得5－2λλ2，当λ>52时， cos 〈P A →，PD 1→〉<0，故∠APD 1的最大值可以为钝角，③错误．对于④，根据③计算的数据， P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，－3λ，1λ－1，PD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，－3λ，1λ，|P A →|＋|PD 1→|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－12 ＝25·1λ2－2·1λ＋1，在对称轴1λ＝15，即λ＝5时取得最小值为245＝455，故④错误．答案：①②15.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．求证：EF ⊥BC .证明：由题意，以点B 为坐标原点，在平面DBC 内过点B 作垂直于BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过点B 作垂直于BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B (0,0,0)，A (0，－1，3)，D (3，－1,0)，C (0,2,0)，因而E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，BC →＝(0,2,0)，因此EF →·BC →＝0.从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .16.如图，在三棱锥P -ABC 中，三条侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝3，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2. (1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ； (2)求证：EG 与直线PG 和BC 都垂直．证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系P -xyz ，则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)．于是EF →＝(0，－1，－1)，EG →＝(1，－1，－1)．设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ⊥EF →，n ⊥EG →，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)．显然P A →＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·P A →＝0，∴n ⊥P A →，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直， ∴平面GEF ⊥平面PBC .(2)由(1)，知EG →＝(1，－1，－1)， PG →＝(1,1,0)，BC →＝(0，－3,3)， ∴EG →·PG →＝0，EG →·BC →＝0， ∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ， ∴EG 与直线PG 和BC 都垂直．。

人教A版高中数学高二选修2-1试题利用空间向量证明平行、垂直关系

3.2.2利用空间向量证明平行、垂直关系双基限时练(二十二)1．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定解析如图所示，易知EF∥AC，又AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AC∥平面DEF.答案 A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析如图，∵B1D1⊥CC1，B1D1⊥A1C1，又CC 1∩A 1C 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1C 1C ，而CE ⊂平面AA 1C 1C . ∴B 1D 1⊥CE .又B 1D 1∥BD ， ∴CE ⊥BD . 答案 B3．平面ABC 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABC 的法向量，则y 2等于( )A ．2B ．0C ．1D ．无意义解析 ∵AB →＝(1,2,1)－(0,1,1)＝(1,1,0)， AC →＝(－1,0，－1)－(0,1,1)＝(－1，－1，－2)．又a ＝(－1，y ，z )为平面ABC 的法向量， ∴a ⊥AB →，a ⊥AC →. ∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0.∴⎩⎨⎧－1＋y ＝0，1－y －2z ＝0，∴y ＝1，y 2＝1.答案 C4．直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA →，OB →，下列关系中能表示l ∥α的是( )A ．a ＝OA →B ．a ＝kOB →C ．a ＝pOA →＋kOB →D ．以上均不能解析 A 、B 、C 中均不能说明l ⊄α，因此应选D. 答案 D5．在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC ＝12a ，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析由于△ABC 是边长为a 的正三角形，AD ⊥BC ，折成二面角B －AD －C 后，AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，所以∠BDC 是二面角B －AD －C 的平面角．又BC ＝BD ＝CD ＝12a .所以△BCD 为正三角形．∴∠BDC ＝60°.答案 C6．若直线l 的方向向量a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,8)，则直线l 与平面α的位置关系是________．解析 ∵a ·n ＝(－2)×4＋3×0＋8×1＝0， ∴a ⊥n ，∴l ⊂α，或l ∥α. 答案 l ⊂α或l ∥α7．若平面α的一个法向量为n ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为________________．解析设l 与α所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n |·|a |＝3＋332·3＝63，∴cos θ＝1－sin 2θ＝33. 答案 338．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE ＝________.解析建立直角坐标系B －xyz 如图所示，依题意得B 1(0,0,3a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，3a ，C (0，2a,0)．设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )，则CE →＝(2a ，－2a ，z )， B 1E →＝(2a,0，z －3a )．要使CE ⊥平面B 1DE ，即B 1E ⊥CE ，得B 1E →·CE →＝2a 2－0＋z 2－3az ＝0. 解得z ＝a 或2a . 答案 a 或2a9．在正方体AC 1中，O ，M 分别是DB 1，D 1C 1的中点．证明：OM ∥BC 1.证明如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz .设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，OM→＝(－1,0,1)，BC1→＝(－2,0,2)，∴OM→＝12BC1→，∴OM→∥BC1→.又O∉平面B1BCC1，∴OM∥BC1.10．在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．∴A1F→＝(－x，a，－a)，C1E→＝(a，x－a，－a)．∵A1F→·C1E→＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0.∴A1F→⊥C1E→，即A1F⊥C1E.11.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.证明设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则EG→＝ED1→＋D1G→＝12A1D1→＋12D1C1→＝12b ＋12a ，而AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， ∴AC →＝2EG →，故AC →∥EG →. 即EG ∥AC .又EF →＝ED 1→＋D 1F →＝12A 1D 1→＋12D 1D → ＝12b －12c ，而B 1C →＝B 1C 1→＋C 1C →＝b －c ＝2EF →， ∴EF →∥B 1C →，即EF ∥B 1C . 又EG ∩EF ＝E ，AC ∩B 1C ＝C ， ∴平面EFG ∥平面AB 1C . 12.如图在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，求证：AC 1∥平面CDB 1.证明因直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，所以AC 2＋BC 2＝AB 2.所以AC ⊥BC ，所以AC ，BC ，C 1C 两两垂直，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)， B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE 则E (0,2,2)，因DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)．所以DE →＝12AC 1→，所以DE →∥AC 1→，又DE 与AC 1不共线，所以DE ∥AC 1，因DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1.所以AC 1∥平面CDB 1.。

高中数学人教A版选修2-1习题：第三章3.2第2课时空间向量与垂直关系 Word版含答案

第三章空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系A 级基础巩固一、选择题1．若直线l 的方向向量a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为u ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析：所以u ＝－2a ，所以a ∥u ，所以l ⊥α. 答案：B2．在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) A.PA →·AB →＝0 B.PC →·BD →＝0 C.PC →·AB →＝0D.PA →·CD →＝0解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥PA .又AC ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC ，所以PC ⊥BD .故选项B 正确，选项A 和D 显然成立，故选C. 答案： C3．若平面α、β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10 C.12D ．－12解析：因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a ·b ＝(－1，2，4)×(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10. 答案：B4．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α解析：因为a ·b ＝0，所以a ⊥b ，故选D. 答案：D5．已知A (3，0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2，4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1，4，－1)，则AB →·AC →＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.所以AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形．又|AB →|≠|AC →|，故选C.答案：C 二、填空题6．若l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝________．解析：由l ⊥α得，21＝112＝m2，即m ＝4.答案：47．平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，则有－x －2－8＝0，所以x ＝－10. 答案：－108．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →＝0，即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0.所以cos x ＝0或cos x ＝12.因为x ∈[0，π]，所以x ＝π2或π3.答案：π2或π3三、解答题9．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB 1⊥平面PAC .证明：如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A (2，0，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，O (1，1，0)．于是OB 1→＝(1，1，2)，AC →＝(－2，2，0)，AP →＝(－2，0，1)，由于OB 1→·AC →＝－2＋2＋0＝0 及OB 1→·AP →＝－2＋0＋2＝0. 所以OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，所以OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP .又AC ∩AP ＝A ，所以OB 1⊥平面PAC .10．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3， AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明：法一：如图，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，1，3)，因为D 为BC 的中点，所以D 点坐标为(1，1，0)，所以BC →＝(－2，2，0)， AD →＝(1，1，0)，AA 1→＝(0，0，3)，因为BC →·AD →＝－2＋2＋0＝0，BC →·AA 1→＝0＋0＋0＝0，所以BC →⊥AD →，BC →⊥AA 1→，所以BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，又AD ∩AA 1＝A ，所以BC ⊥平面ADA 1，而BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 法二：同法一，得AA 1→＝(0，0，3)，AD →＝(1，1，0)，BC →＝(－2，2，0)，CC 1→＝(0，－1，3)，设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎨⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AD →＝0得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1得x 1＝1，z 1＝0，所以n 1＝(1，－1，0)．由⎩⎨⎧n 2·BC →＝0，n 2·CC 1→＝0，解⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝1， z 2＝33，所以n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，33. 所以n 1·n 2＝1－1＋0＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.B 级能力提升1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A答案：B2．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P 的坐标为(x ，0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，则点P 的坐标为________．解析：因为AB →＝(－1，－1，1)， AC →＝(2，0，1)，PA →＝(－x ，1，－z )，由PA →·AB →＝0，PA →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，则x ＝13，z ＝－23，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－233.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .解：如图，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P (0，1，a )，则A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，C 1(0，1，1)，A 1B 1→＝(0，1，0)，A 1P →＝(－1，1，a －1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DC 1→＝(0，1，1)．设平面A 1B 1P 的一个法向量为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·A 1B 1→＝0，n 1·A 1P →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋（a －1）z 1＝0，所以x 1＝(a －1) z 1，y 1＝0. 令z 1＝1，得x 1＝a －1，所以n 1＝(a －1，0，1)．设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2，z 2＝－y 2.令y 2＝1，得x 2＝－2，z 2＝－1，所以n 2＝(－2，1，－1)．因为平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，所以n 1·n 2＝0，即－2(a －1)－1＝0，得a ＝12.所以当P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .。

人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案3.2第一课时空间向量与平行、垂直关系

立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系预习课本P102～108，思考并完成以下问题1．平面的法向量的定义是什么？2．设直线l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α，l ⊥α的充要条件分别是什么？[新知初探]1．平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.(2)线面垂直设直线l 的方向向量是a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝λu ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 的方向向量是惟一的( )(2)若点A ，B 是平面α上的任意两点，n 是平面α的法向量，则AB ·n ＝0( ) (3)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(－1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1)答案：A3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．6D ．10 答案：D求平面的法向量[典例] ，求平面α的一个法向量．[解] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB ＝0，n ·AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.得z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．利用待定系数法求法向量的解题步骤[活学活用]四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．∵AD ⊥平面SAB ，∴AD ＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量．设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·DC ＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0，∴y ＝－12.又n ·DS ＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0，∴z ＝12.∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12即为平面SCD 的一个法向量. 用空间向量证明平行问题[典例] 11111DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D -xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2，2,2)，所以FC 1＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，即⎩⎨⎧n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C B 11＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1，n 2⊥C B 11，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C B 11＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．[活学活用]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)，PQ＝(－3,2,1)，RS＝(－3,2,1)，∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.法二：RS＝RC＋CS＝12DC－DA＋12DD1，PQ＝PA1＋A Q1＝12DD1＋12DC－DA，∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即RS∥PQ.利用空间向量证明垂直问题[典例]如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.[证明]取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，又AB⊥平面BCE，∴以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示．则由已知条件有C(1,0,0)，E(0，－3，0)，D(1,0,1)，A(0，3，2)．设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，则n·EA＝(a，b，c)·(0,23，2)＝23b＋2c＝0，n·DA＝(a，b，c)·(－1，3，1)＝－a＋3b＋c＝0.令b＝1，则a＝0，c＝－3，∴n＝(0,1，－3)，又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．∵n·m＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0，∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.[活学活用]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC . 证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．法一：EF ＝(－1，－1,1)，AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)， ∴EF ·AB 1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF ·AC ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．又AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥AB 1，n ⊥AC ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1＝2y ＋2z ＝0，n ·AC ＝－2x ＋2y ＝0，令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1)．又EF ＝－n ，∴EF ∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .层级一学业水平达标1．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3,1)B ．(2,0,1)C ．(－2，－3,1)D ．(－2,3，－1)解析：选D 问题即求与n 共线的一个向量．即n ＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)． 2．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9解析：选C ∵l ⊥α，v 与平面α平行， ∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0， ∴z ＝－9.3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1,1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(－1,1,1)D ．(－1，－1，－1)解析：选D AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,1)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1. 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1， ∴CE ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)，A D 1＝(－1,0，－1)，A A 1＝(0,0，－1)．∵CE ·BD ＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD . 5.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵A M 1＝A A 1＋AM ＝A A 1＋12AB ，D P 1＝D D 1＋DP ＝A A 1＋12AB ，∴A M 1∥D P 1，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．6. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是_______(填序号)．解析：由于AP ·AB ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP ·AD ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．答案：①②③7．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ ＝0. 即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π38.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥面B 1DE ，则AE ＝________.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0,0,3a )，C (0，2a,0)， D2a 2，2a 2，3a . 设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )，则CE ＝()2a ，－2a ，z ，B E 1＝(2a,0，z －3a )，B D 1＝⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，0.又CE ·B D 1＝a 2－a 2＋0＝0，故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a .故AE ＝a 或2a . 答案：a 或2a9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，12. ∴PB ＝(1,1，－1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，EB ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF ＝(x ，y ，z －1)，EF ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －12，z －12. ∵EF ⊥PB ，∴x ＋⎝⎛⎭⎫y －12－⎝⎛⎭⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ∥PB ，可设PF ＝λPB ， ∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，∴EF ＝⎝⎛⎭⎫13，－16，16. (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 1·DE ＝0，n 1·EB ＝0，即⎩⎨⎧12y 1＋12z 1＝0，x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1. 取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵PA ＝(1,0，－1)，∴PA ·n 1＝0. 又∵PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB .(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 2·EF ＝0，n 2·DE ＝0，即⎩⎨⎧13x 2－16y 2＋16z 2＝0，12y 2＋12z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2.取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)． ∴PB ∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .10．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M 分别是BC ，AE 的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .试问在线段CD 1上是否存在一点N 使MN ∥平面ADD 1A 1，若存在确定N 的位置，若不存在说明理由．解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，B (a,2a,0)， C (0，2a,0)，D 1(0,0，a )， E ⎝⎛⎭⎫12a ，2a ，0，M ⎝⎛⎭⎫34a ，a ，0， DC ＝(0,2a,0)，CD 1＝(0，－2a ，a )，假设CD 1上存在点N 使MN ∥平面ADD 1A 1并设CN ＝λCD 1＝(0，－2aλ，aλ)(0<λ<1)．则DN ＝DC ＋CN ＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ) ＝(0,2a (1－λ)，aλ)，MN ＝DN －DM ＝⎝⎛⎭⎫－34a ，a －2aλ，aλ. 又DC 是平面ADD 1A 1的一个法向量． ∴MN ⊥DC ，则2a (a －2aλ)＝0，λ＝12.又MN ⊄平面ADD 1A 1.故存在N 为CD 1的中点使MN ∥平面ADD 1A 1.层级二应试能力达标1．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1，2，52，b ＝⎝⎛⎭⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝3，y ＝154解析：选D ∵l 1∥l 2，∴321＝x 2＝y 52，∴x ＝3，y ＝154，故选D.2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，给出下列结论：①平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)； ②平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)；③平面B 1CD 1的一个法向量为(1,1,1)；④平面ABC 1D 1的一个法向量为(0,1,1)．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵AD ＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ，∴AD ⊥平面ABB 1A 1，∴①正确；∵CD ＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD ＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴②不正确；∵B C 1＝(0,1，－1)，CD 1＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B C 1＝0，(1,1,1)·CD 1＝0，B 1C ∩CD 1＝C ，∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴③正确；∵BC 1＝(0,1,1)，而BC 1·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即④不正确．因此正确结论的个数为2，选B.3．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝⎛⎭⎫－16，13，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，3，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合解析：选D ∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B 建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,2,2)，A 1(2,2,0)，C (0,0,2)，B (2,0,2)，∴M (2,1,1)，N (1,1,2)，∴MN ＝(－1,0,1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN ⊥n ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.5．若直线l 的一个方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．解析：∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.答案：l ⊥α6．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ＝________.解析：∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. ∵BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，∴⎩⎨⎧ BP ·AB ＝0， BP ·BC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157，故BP ＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎫337，－157，－37.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D (0,0,0)，A (22，0,0)，C (0,22，0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，则B E 1＝(0，－2，－4)，EF ＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ·B E 1＝－2y －4z ＝0，n ·EF ＝－2x ＋2y ＝0，得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－24.又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC ＝(－22，22，0)，而n ·AC ＝1×(－22)＋1×22＋⎝⎛⎭⎫－24×0＝0，即n ⊥AC ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.8.如图，在三棱锥P -ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝3，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ；(2)求证：EG 与直线PG 和BC 都垂直．证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系P -xyz .则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0，0,0)．于是EF ＝(0，－1，－1)，EG ＝(1，－1，－1)．设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ⊥EF ，n ⊥EG ，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)．显然PA ＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA ＝0，∴n ⊥PA ，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直，∴平面GEF ⊥平面PBC .(2)由(1)，知EG ＝(1，－1，－1)，PG ＝(1,1,0)，BC ＝(0，－3,3)，∴EG ·PG ＝0，EG ·BC ＝0， ∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，∴EG 与直线PG 和BC 都垂直．。

人教A版高中数学选修2-1课时练习- 空间向量与平行、垂直关系

课时练习19 空间向量与平行、垂直关系[基础巩固]一、选择题1．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交 3．已知平面α内的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量的坐标为( ) A ．(1，－1,1) B ．(2，－1,1) C ．(－2,1,1) D ．(－1,1，－1)4．若直线l 的方向向量为a ＝(1,1,1)，向量b ＝(1，－1,0)和向量c ＝(0,1，－1)所在的直线都与平面α平行，则( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l ⊂αD ．以上都不对5．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝(－1,2,4)，n ＝(x ，－1，－2)，且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10 C.12 D ．－12 二、填空题6．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．7．已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．8．给出下列命题：①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，且向量a ⊂α，则a ·n ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题是________(填序号)．三、解答题9．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)；(3)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)； (5)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)；(6)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝(3,2，－12)．10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AA 1＝4，AD ＝5，求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .[能力提升]11．已知直线l 1的一个方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的一个方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且l 1⊥l 2，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．112．若点A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x y z ＝________.13．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，垂足为A ，AB ⊥AD 于A ，AC ⊥CD 于C ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：PD ⊥平面ABE .14．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明P A ∥平面EDB ； (2)证明PB ⊥平面EFD .课时练习19 空间向量与平行、垂直关系1．解析：逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)，所以MP →·n ＝6－12＋6＝0，所以MP →⊥n ，所以点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．答案：A2．解析：因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .答案：C3．解析：显然a 与b 不平行．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·n ＝0，b ·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0，令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1， ∴n ＝(－2,1,1)．故选C. 答案：C4．解析：∵a ·b ＝(1,1,1)·(1，－1,0)＝0， a ·c ＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，∴a ⊥b ，a ⊥c ，又b 与c 不平行且b 、c 所在的直线都与平面α平行，∴l ⊥α. 答案：A5．解析：若α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，即m ·n ＝0，即(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10，故选B.答案：B6．解析：因为a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)，所以n ＝－2a ，即a ∥n .所以l ⊥α. 答案：垂直7．解析：因为u 1·u 2＝(1,0,1)·(0,2,0)＝0，所以两平面的法向量垂直，即两平面垂直．答案：垂直8．解析：②中，α∥β⇔n 1∥n 2. 答案：①③④9．解析：(1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a ·b ＝8－6－2＝0， ∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)， ∴v ＝－3u ，∴v ∥u ，即α∥β.(3)∵a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)， ∴a ·u ≠0且a ≠k u (k ∈R )，∴a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直． (4)∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)， ∴a ·u ＝－3＋4－1＝0，∴a ⊥u ，即l ∥α或l 在α内． (5)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a ·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交但不垂直或异面但不垂直．(6)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝(3,2，－12)，∴u ·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β.10．解析：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A 1(5,0,4)，B (5,3,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,4)，B 1(5,3,4)，C (0,3,0)， ∴A 1D →＝(－5,0，－4)，A 1B →＝(0,3，－4)，D 1C →＝(0,3，－4)，B 1C→＝(－5,0，－4)．设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥A 1D →，m ⊥A 1B →，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1D →＝－5x －4z ＝0，m ·A 1B →＝3y －4z ＝0，取z ＝1，解得x ＝－45，y ＝43，即m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，43，1.设平面B 1D 1C 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧B 1C →·n ＝0，D 1C →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－5a －4c ＝0，3b －4c ＝0，令c ＝1，可求得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，43，1， ∴m ＝n ，即m ∥n ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C 1.11．解析：∵|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4. 又l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0，∴y ＝－1－12x .当x ＝4时，y ＝－3；当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝－3或1. 答案：A12．解析：AB →＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，∴x yz ＝23yy(－43y )＝23(－4)．答案：23(－4)13．解析：如图所示，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (1,0,0)，因为∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，所以△ABC 为正三角形．所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12.设D (0，y,0)，由AC ⊥CD 得AC →·CD →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y －32，0＝0，即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0. 设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为AB →＝(1,0,0)， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AE →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则n ＝(0,2，－3)．又PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n ，所以PD →∥n ，所以PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .14．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于G ，连接EG .依题意，得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a2)．∵底面ABCD 是正方形，∴G 是正方形ABCD 的中心．故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，则P A →＝(a,0，－a )，EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2，∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意，得D (0,0,0)，B (a ，a,0)，∴PB →＝(a ，a ，－a )．又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE .又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD .。

高中数学3.2立体几何中的向量方法(二)空间向量与垂直关系课时作业新人教A版选修2-1

§3.2 立体几何中的向量方法（二）——空间向量与垂直关系课时目1. 能利用平面法向量证明两个平面垂直.2. 能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．一、选择题1. 设直线l i ,丨2的方向向量分别为 a = (1,2 , - 2), b = ( — 2,3 , m )，若l i 丄丨2，贝卩m 等于 ( ) A . 1B . 2C . 3D . 42 .已知 A (3,0 , — 1) , B (0，— 2, — 6) , C (2,4 , — 2)，则△ ABC 是 ( )A .等边三角形B •等腰三角形 C.直角三角形D•等腰直角三角形6.如图所示，在正方体ABC —ABCD 中，E 是上底面中心，则AC 与CE 的位置关系是( )A .平行 B•相交 C.相交且垂直D.以上都不是二、填空题7. ______________________________ 已知直线l 与平面a 垂直，直线I 的一个方向向量为 U = (1 ,- 3, Z )，向量V = (3 , —2,1)与平面a 平行，则Z= . &已知a = (0,1,1), b = (1,1,0) , C = (1,0,1)分别是平面 a ,卩，Y 的法向量，贝U a ,卩,丫三个平面中互相垂直的有 __________ 对. 9. 下列命题中：① 若u , V 分别是平面a ,卩的法向量，贝U a 丄卩？U ・v = 0； ② 若U 是平面a 的法向量且向量a 与a 共面，则u ・a = 0; ③ 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直. 正确的命题序号是 __________ .(填写所有正确的序号) 三、解答题10. 已知正三棱柱 ABC-ABC 的各棱长都为1, M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1上的点，且 CN= [CC.求证：AB 丄MN3.若直线 l 的方向向量为 a = (1,0,2),平面A . I // aB .I 丄aC . l ?aD . l 与 a 斜交4. 平面 a 的一个法向量为 (1,2,0),平面卩平面卩的位置关系是 ( )A . 平行 B.相交但不垂直 C . 垂直D.不能确定5. 设直线I 1的方向向量为a = (1 , — 2,2), 关系是 ( )A . 平行B .垂直C 相交不垂直D.不确定a 的法向量为n = ( — 2,0 , — 4)，则( )的一个法向量为(2 , — 1,0),贝U 平面a 与12的方向向量为b = (2,3,2)，贝U I 1与12的11. 已知ABC-ABC是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC的中点，求证：平面ABD丄平面ABBA1.能力提升12.如图，在四面体ABO（中，OCL OA OCL OB / AOB= 120°,且OA OB= OC= 1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB= 3AQ证明：PQLOA13•如图，四棱锥P— ABCDK底面ABC［为矩形，PAL底面ABCD PA= AB={2，点E是棱PB的中点•证明：AE!平面PBC§ 3.2 立体几何中的向量方法(二)――空间向量与垂直关系知识梳理1. a 丄b a //u u 丄v2.作业设计1. B [ T l 1丄|2,.・.a丄b,.・.a •b = (1,2 , -2) - ( —2,3 , m) =- 2+ 6-2m^0,二m^2. ]2. C [ T AB= ( - 3,- 2, - 5) , XC= ( - 1,4 , - 1) , BC= (2,6,4),二XB- X C= 0AB丄AC且|爲AC工|丽，•••△ ABC为直角三角形.]3. B [T n = —2a,「. n// a,「. l 丄a .]4. C [T (1,2,0) - (2 , - 1,0) = 0,「.两法向量垂直，从而两平面也垂直. ]5. B [ T a -b = 2x 1 —2x 3+ 2x 2= 0, • a Xb,2，•'•I 1 丄 I 2.] 6. C [可以建立空间直角坐标系，通过 AC 与6E 的关系判断.]7. — 9解析 •/ I 丄％,••• U 丄V ,•- (1 , — 3, z ) • (3 , — 2,1) = 0,即 3+ 6 + z = 0, • z =— 9.8. 0解析 •/ a -b = (0,1,1)• (1,1,0) = 1工0,a ・c = (0, 1,1) • (1,0,1) = 1工0,b ・c = (1,1,0) • (1,0,1) = 1工 0. • a , b , c 中任意两个都不垂直，即a 、卩、丫中任意两个都不垂直.9. ①②③ 10. 证明• AB 丄M N 即AB 丄MN如图，以平面 2 ,4，ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴,A G AA 所在直线为y 轴、z 轴,则A (0,0,0),12 , 1 33 ,• AB =亚1 ,N O ,1, 4.工1 14 , 4 , 412 ,T T 31 1• AB • MN= —；+；+ ；= 0 ,1 , MN=11 .证明2，如图，取AB1 的中点M，则3M= D C+ C A A M又A M= DG+ G~B I + B M,两式相加得2DM= C B+CB I=CA+ C Bb b b b b由于2D M- AA= (CA^CB • AA = 0, (c b B－c b A)=|C b B|2－|C b A|2=0.•••DML AA, DML AB AA Q AB= A •••DML平面ABBA，而 DM 平面ABD. •••平面ABD!平面ABBA.12．证明取O为坐标原点，以OA OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示) ．设A(1,0,0) ，C(0,0,1) ，故 P QL C A ,I 卩 PQL OA13.证明如图所示，以A 为坐标原点，射线 AB AD AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴, 建立空间直角B - 2 © 0.2， 2，1••• P 为 AC 中点，• P 2，0,T 3 3•- AB= - 2，丐,0 ,又由已知，可得 AQ = 1A B = 3v,_3 ~6 ,1 —2 又 &o= O A + A Q = 2, ••• Pg OQb OP= 0, ••• PQ - &= 0,上6 -(1,0,0) = 0,坐标系Axyz.设D(0 , a,0),则B .2, 0,0) , Q 2, a,0),P(0,0 , 2),曰# 0 , * .于是AE= (# , 0 , #) , Bc= (0 , a,0), PC= ( .2 , a , —2),贝UAE- BC= 0 , AE- PC= 0.所以AE丄BC AE丄PC又因为B6 PC= C,所以AEL平面PBC。

2020秋高中数学人教版2-1学案：3.2.2空间向量与垂直关系含解析

2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：3.2.2空间向量与垂直关系含解析3。

2。

2空间向量与垂直关系自主预习·探新知情景引入1．两向量垂直时,它们所在的直线垂直吗?2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？3．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂直关系?新知导学空间垂直关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a＝（a1,a2,a3)，b＝(b1，b2，b3），平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3),v＝（v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥m__a⊥b____a·b＝0__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥α__a∥u____a＝λu，λ∈R__a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥β__u⊥v__u·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0预习自测1．设直线l1，l2的方向量分别为a＝（－2,2,1），b＝（3,－2，m），若l1⊥l2，则m等于（D)A．－2B．2C．6D．10［解析]l1⊥l2，则a⊥b，所以－6－4＋m＝0，∴m＝10，故选D．2．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是(A)A．n1＝（1，2,1），n2＝（－3,1，1)B．n1＝（1,1,2），n2＝（－2，1，1)C．n1＝(1,1，1），n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1，2,1）,n2＝(0，－2,－2）3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测）已知直线l的方向向量a＝（－1,2,1），平面α的法向量b＝（－2，4,2),则直线l 与平面α的位置关系是（B)A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l∈α[解析]∵直线l的方向向量a＝(－1,2，1），平面α的法向量b＝（－2，4,2）,∴b＝2a，∴则b与a共线,可得：l⊥a。

故选B．4．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝（x，－2，3），且α⊥β，则x＝__－4__.[解析］α⊥β，则a⊥b，∴x－2＋6＝0，∴x＝－4。

人教版高中数学选修2-1《空间向量与垂直关系》

1 3 ∵M 为 BC 中点，∴ M(4， 4 ，0)． 1 3 1 → → ∴MN ＝(－4， 4 ，4)，AB1 ＝(1，0，1)． 1 1 → → ∴MN ·AB1 ＝－＋0＋＝0. 4 4 → → ∴MN ⊥AB1 ，∴AB1⊥MN.
题型二
利用空间向量证明线面垂直
例2
如图，正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 中，
AA1＝2AB＝4，点 E 在 CC1 上且 C1E＝3EC. 证明：A1C⊥平面 BED.
【解析】
以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，射
线 DC 为 y 轴的正半轴，射线 DD1 为 z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz.
依题设 B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)． → ＝(0，2，1)，DB → ＝(2，2，0)，A → → DE C ＝ ( － 2 ， 2 ，－ 4) ， DA 1 1 ＝(2，0，4)． → → ＝0，A → → ＝0，因为A C · DB C · DE 1 1 故 A1C⊥BD， A1C⊥DE. 又 BD∩DE＝D，所以 A1C⊥平面 BED.
三、面面垂直若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β⇔________⇔________⇔________.
【答案】 u⊥v u· v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
题型一
利用空间向量证明线线垂直
例 1
已知正三棱柱 ABC－ A1B1C1 的各棱
→ ＝0，即设平面 BEF 的法向量 n＝(x， y， z)，∴n· EF 3 3 (x， y，z)· (－ 4 a， 4 a，0)＝0，∴x＝ y. 3 a 3 a → 由 n· BF＝0，即(x，y，z)· (0， 2 a，2 )＝0，有 2 ay＋2 z＝0， ∴z＝－ 3y. 取 y＝1，得 n＝(1，1，－ 3)． 3 3 → →. ∵n· CD＝(1，1，－ 3)· (－ 2 a， 2 a，0)＝0，∴n⊥ CD ∴平面 BEF⊥平面 ABC.

人教版数学高二A版选修2-1学业测评空间向量与垂直关系

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的法向量为a ＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝( )A ．4 B.－4 C ．5D ．－5【解析】 ∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0. ∴k ＝－5. 【答案】 D2．在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A.PA →⊥AB →B.PA →⊥CD →C.PC→⊥BD → D.PC→⊥AB → 【解析】由题意知PA ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面上的线AB ，CD 都垂直，A ，B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD ⊥平面PAC ，故PC ⊥BD ，C 选项正确．【答案】 D3．已知AB→＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2，4 D ．4，407，－15【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP→⊥AB →，BP →⊥BC →，则⎩⎨⎧（x －1）＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.【答案】 B4．已知点A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，点D 满足条件：DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，AD ＝BC ，则点D 的坐标为( )A ．(1，1，1)B ．(－1，－1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．(1，1，1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－13，－13 【解析】设D (x ，y ，z )，则BD→＝(x ，y －1，z )，CD →＝(x ，y ，z －1)，AD →＝(x －1，y ，z )，AC →＝(－1，0，1)，AB →＝(－1，1，0)，BC →＝(0，－1，1)．又DB ⊥AC ⇔－x ＋z ＝0 ①， DC ⊥AB ⇔－x ＋y ＝0②， AD ＝BC ⇔(x －1)2＋y 2＋z 2＝2③，联立①②③得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－13，所以点D 的坐标为(1，1，1)或⎝⎛⎭⎪⎫－13，－13，－13.故选D. 【答案】 D5．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段【解析】 M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面．【答案】 C 二、填空题6．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2，1)与平面α平行，则z ＝________. 【导学号：18490112】【解析】由题意知u ⊥v ，∴u ·v ＝3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9. 【答案】－97．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．【解析】由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0.解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 【答案】 (－64，－26，－17)8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．【解析】 ∵AB→·AP →＝0，AD →·AP →＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．又AB→与AD →不平行， ∴AP→是平面ABCD 的法向量，则③正确．由于BD→＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)， ∴BD→与AP →不平行，故④错误．【答案】 ①②③ 三、解答题9.如图3-2-15，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF .图3-2-15【证明】以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0，0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0, 2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量，则n ⊥BD →，n ⊥DF →，所以⎩⎨⎧n ·BD→＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－ 2. 则n ＝(1，1，－2)．因为AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.所以n ＝－ 2 AM →，得n 与AM →共线．所以AM ⊥平面BDF .10．底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】法一设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.连接AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 因为AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →.所以OE ∥AS . 又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .法二设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎨⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0，令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)．因为AS ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)．因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .[能力提升]1.如图3-2-16，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )图3-2-16A ．(1，－2，4)B ．(－4，1，－2)C ．(2，－2，1)D ．(1，2，－2)【解析】设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1.故AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，1. 所以⎩⎨⎧AE→·n ＝0，AF→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y＋12z＝0，－12x＋z＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y＝－12z，x＝2z.当z＝－2时，n＝(－4，1，－2)，故选B.【答案】 B2.如图3-2-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()图3-2-17A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在DQ与平面A1BD垂直【解析】以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，P(0，2，0)，A1B→＝(1，0，1)，A1D→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，B1P→＝(－1，2，0)，DB1→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，－12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝x ＋z ＝0，n ·A 1D →＝y ＋12z ＝0，取z ＝－2，则x ＝2，y ＝1，所以平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(2，1，－2)．假设DQ ⊥平面A 1BD ，且B 1Q →＝λB 1P →＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ →＝DB 1→＋B 1Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12，因为DQ→也是平面A 1BD 的法向量，所以n ＝(2，1，－2)与DQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12共线，于是有1－λ2＝－1＋2λ1＝－12－2＝14成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ 与平面A 1BD 垂直，故选D.【答案】 D3.如图3-2-18，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．图3-2-18【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，平面PBC 的一个法向量n ＝(0，1，1)，∵EF→＝－12n ，∴EF→∥n，∴EF⊥平面PBC.【答案】垂直4．如图3-2-19，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝12AD.图3-2-19(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由. 【导学号：18490113】【解】因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．高中数学-打印版精心校对 (1)AP→＝(0，0，1)，AC →＝(1，1，0)，CD →＝(－1，1，0)，可得AP→·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD . 又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC .(2)设侧棱PA 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12.设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1，1，0)，PD →＝(0，2，－1)，所以⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1，1，2)．所以n ·BE →＝(1，1，2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →. 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD .综上所述，当E 为PA 的中点时，BE ∥平面PCD .。

高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法解决垂直问题课

∵ 1 ·1 = (−, , −)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,
∴ 1 ⊥ 1 , 即A1F⊥C1E.
典例透析
题型一
题型二
题型三
证明线面垂直
【例2】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交
点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
1 1 = (−1, −1,0), = (−2, −2,0),
∴ = 21 1 , = 21 1 ,
∴A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面.
典例透析
题型一
题型二
题型三
(2)1 · = (0,0,2)·(-2,2,0)=0, · = (2,2,0)·(-2,2,0)=0.
2 2
= 0, · = 0,
因此 CE⊥AM,CE⊥AD.
又 AM∩AD=A,∴CE⊥平面 AMD.
又 CE⊂平面 CED,
∴平面 AMD⊥平面 CED.
反思证明面面垂直通常有两种方法,一是利用面面垂直的判定定理
转化为线面垂直、线线垂直去证明;二是证明两个平面的法向量互
相垂直.
典例透析
题型一
典例透析
题型一
题型二
题型三
证明面面垂直
【例 3】如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥
FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=
1
.
2
求证:平面 AMD⊥平面 CDE.
分析:因为FA⊥平面ABCD,
所以可以以点A为坐标原点建立空间直角坐标系.
从而证得结论.
典例透析
题型一

数学高二-选修2-1【检测】2.4.2空间向量与垂直关系

1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面π的法向量为n ＝(－3,0，－6)，则( )A ．l ∥πB ．l ⊥πC ．l πD ．l 与π斜交解析：a ＝－13n ，∴a ∥n ，∴l ⊥π. 答案：B2．已知平面π内有一个点M (1，－1,2)，平面π的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面π内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)解析：对选项A ：MP ＝(1,4,1)．MP ·n ＝6－12＋6＝0.∴MP ⊥n ，故点P (2,3,3)在π内．答案：A3．若直线l 的一个方向向量为(2,1,2)，向量(－1,2,0)及向量(0,2，－1)都与平面π平行，则( )A ．l ⊥πB ．l ∥πC ．l πD ．以上都不对解析：∵(2,1,2)·(－1,2,0)＝0，(2,1,2)·(0,2，－1)＝0，而向量(－1,2,0)与向量(0,2，－1)不共线，∴l ⊥π.答案：A4．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则向量BP 等于( )A.⎝⎛⎭⎫337，－157，－3 B.⎝⎛⎭⎫407，－157，－3 C.⎝⎛⎭⎫407，－2，－3 D.⎝⎛⎭⎫4，407，－3 解析：AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，由BP ·AB ＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP ·BC ＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.BP ＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3.答案：A5．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (4,1,2)，B (2,5，－1)，C (3,2，λ)，若AC ⊥BC ，则λ＝________.解析：∵AC ＝(－1,1，λ－2)，BC ＝(1，－3，λ＋1)，且AC ⊥BC ，∴－1－3＋(λ－2)(λ＋1)＝0.解得λ＝3或－2.答案：3或－26．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是________．解析：∵AP ·AB ＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB . 故①正确；AP ·AD ＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ，故②正确；由①、②知AP ⊥平面ABCD ，故③正确，④不正确．答案：①②③7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：PA ∥平面EDB ；(2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2. ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心．故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，且PA ＝()a ，0，－a ，EG ＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2.∴PA ＝2EG ，则PA ∥EG .又EG 平面EDB 且P A ⃘平面EDB .∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，故PB ·DE ＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，∴PB ⊥平面EFD .8.三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)， ∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)．∴1AA ＝(0,0，3)，AD ＝(1,1,0)，BC ＝(－2,2,0)，1CC ＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·1AA ＝0，n 1·AD ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0. 令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·BC ＝0，n 2·1CC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0. 令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33，∴n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2.∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.。

高中数学选修2-1课后限时练习24 空间向量与垂直关系

高中数学选修2－1课后限时练习24 空间向量与垂直关系一、选择题1．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α共面，且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量解析：当a ∥b 时，n 不一定垂直平面α. 答案：D2．已知平面α的一个法向量为a ＝(x,1，－2)，直线l 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎫12，y ，－1，若l ⊥α，则( )A ．x ＋2y ＝－4B ．x ＋y ＝3C ．x ＋2y ＝12D ．x ＋y ＝32解析：∵l ⊥α，∴a ∥n ，∴x 12＝1y ＝－2－1，∴y ＝12，x ＝1.∴x ＋y ＝32.答案：D3．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，则满足AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( ) A ．圆 B ．圆面 C ．直线D ．平面解析：由题意知，点M 构成的图形是过点A ，且以n 为法向量的平面．答案：D4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则CE 垂直于( ) A ．BD B ．AC C ．A 1CD ．AA 1解析：建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，则C (0,2,0)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，C 1(0,2,2)，∴E (1,1,2)，DB →＝(2,2,0)，CE →＝(1，－1,2)． ∵DB →·CE →＝2－2＋0＝0， ∴DB →⊥CE →， ∴CE ⊥BD . 答案：A5．设棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 为棱DD 1所在直线上一点，且满足B 1D ⊥平面P AC ，则点P 为( )A ．棱DD 1的中点B ．点D 1C ．DD 1的延长线上一点D ．不存在解析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，B 1(a ，a ，a )．设存在点P (0,0，z )，则AP →＝(－a ，0，z )，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→＝(a ，a ，a )．∵B 1D ⊥平面P AC ， ∴DB 1→·AP →＝0，DB 1→·AC →＝0， ∴－a 2＋az ＝0，－a 2＋a 2＝0， ∴z ＝a .即点P 与D 1重合．答案：B 二、填空题6．若直线a 与b 是两条异面直线，它们的方向向量分别为a ＝(1,1，－1)和b ＝(2，－3,2)．又a 与b 的公垂线的方向向量为n ＝(x ，y,5)，则xy ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·n ＝x ＋y －5＝0，b ·n ＝2x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴xy ＝4.答案：47．已知A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则P A →＝________.解析：P A →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)， ∵P A →⊥AB →，P A →⊥AC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧P A →·AB →＝x －1－z ＝0，P A →·AC →＝－2x －z ＝0.解得⎩⎨⎧x ＝13，z ＝－23，∴P A →＝⎝⎛⎭⎫－13，1，23. 答案：⎝⎛⎭⎫－13，1，23 8．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量n ＝(6，－3,6)，则点P (2,3,3)与平面α的关系是________________．解析：MP →＝(1,4,1)，MP →·n ＝6－12＋6＝0， ∴MP →⊥n ，又n ⊥平面α，M ∈平面α， ∴P ∈平面α. 答案：P ∈平面α 三、解答题9. 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz .则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)．则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1， ∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1. ∴n 2＝(1，－1,4)．∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD .若P A ＝AB ＝BC ＝12AD .(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．解：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD .又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD . 又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .(1)证明：设A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，则AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)，∴CD →·AP →＝0，CD →·AC →＝0， ∴CD →⊥AP →，CD →⊥AC →，即CD ⊥AP ，CD ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC .(2)因为E 在P A 上，设为(0,0，a )，则BE →＝(－1,0，a )， CD →＝(－1,1,0)，DP →＝(0，－2,1)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由DP →·n ＝0，CD →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋z ＝0，－x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝1，z ＝2，∴n ＝(1,1,2)，∵BE ∥平面PCD ，∴n ⊥BE →，∴n ·BE →＝0，即－1＋2a ＝0， ∴a ＝12，所以存在E 点，且为P A 的中点．。

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§3.2立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直
关系
课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．
1．空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系
线线垂直线面垂直面面垂直
设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔______
设直线l的方向向量是a＝
(a1，b1，c1)，平面α的法向量
u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔
________
若平面α的法向量u＝(a1，b1，
c1)，平面β的法向量为v＝
(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔
________
线线垂直线面垂直面面垂直
①证明两直线的方向向量的数量积为______．①证明直线的方向向量与平面的法向
量是______．
①证明两
个平面的
法向量
_________
___．
②证明两直线所成角为
______.②证明直线与平面内的相交直线
________.
②证明二
面角的平
面角为
________._
_______.
一、选择题
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于()
A．1B．2C．3D．4
2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是()
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交但不垂直
C ．垂直
D ．不能确定
5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．相交不垂直
D ．不确定 6.
如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系
是( )
A ．平行
B ．相交
C ．相交且垂直
D ．以上都不是二、填空题
7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.
8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中：
①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题
10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱
CC 1上的点，且CN ＝1
4
CC 1.求证：AB 1⊥MN .
11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.
能力提升
12．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC ＝1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.
13．如图，四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD为矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.
垂直关系的常用证法
(1)要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
(2)要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．
(3)要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
§3.2立体几何中的向量方法(二)
——空间向量与垂直关系
知识梳理
1．a⊥b a∥u u∥v
2.
线线垂直线面垂直面面垂直
①证明两直线的方向向量的数量积为0.
②证明两直线所成角为直角.①证明直线的方向向量与平面
的法向量是平行向量．
②证明直线与平面内的相交直
线互相垂直.
①证明两个平面的
法向量垂直．
②证明二面角的平
面角为直角.
1．B[∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝0，∴m＝2.] 2．C[∵AB→＝(－3，－2，－5)，AC→＝(－1,4，－1)，BC→＝(2,6,4)，∴AB→·AC→＝0，∴AB⊥AC，且|AB→|≠|AC→|≠|BC→|，∴△ABC为直角三角形．]
3．B[∵n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]
4．C[∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．]
5．B[∵a·b＝2×1－2×3＋2×2＝0，∴a∥b，
∴l1⊥l2.]
6．C[可以建立空间直角坐标系，通过AC1→与CE→的关系判断．]
7．－9
解析∵l⊥α，∴u∥v，
∴(1，－3，z)·(3，－2,1)＝0，
即3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
8．0
解析∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，
a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，
b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.
∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直．
9．①②③ 10．证明
如图，以平面ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴，AC →、AA 1→
所在直线为y 轴、z 轴，则A (0,0,0)，
B 1⎝⎛⎭
⎫32，1
2，1， M ⎝⎛⎭⎫34，3
4，0，N ⎝
⎛⎭⎫0，1，14. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，MN →
＝⎝⎛⎭
⎫－34，14，14.
∴AB 1→·MN →
＝－38＋18＋14
＝0，
∴AB 1→⊥MN →
，即AB 1⊥MN . 11．证明
如图，取AB 1的中点M ，则D M →＝D C →＋CA →＋AM →. 又D M →＝DC 1→＋C 1B 1→＋B 1M →，
两式相加得2D M →＝CA →＋C 1B 1→
＝CA →＋CB →.
由于2D M →·AA 1→＝(CA →＋CB →)·AA 1→
＝0， 2D M →·AB →＝(CA →＋CB →)·(CB →－CA →) ＝|CB →|2－|CA →
|2＝0.
∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ， ∴DM ⊥平面ABB 1A 1，而DM ⊂平面AB 1D . ∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1. 12．证明
取O 为坐标原点，以OA ，OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz (如图所示)．
设A (1,0,0)，C (0,0,1)，
B ⎝⎛⎭
⎫－12，3
2，0. ∵P 为AC 中点，∴P ⎝⎛⎭⎫12
，0，1
2. ∵AB →
＝⎝⎛⎭
⎫－32，32，0，
又由已知，可得AQ →＝13AB →
＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0，
又OQ →＝O A →＋AQ →＝⎝⎛⎭
⎫1
2，36，0，
∴PQ →＝OQ →－OP →
＝⎝⎛⎭⎫0，36，－12.
∴PQ →·O A →
＝⎝
⎛⎭⎫0，36，－12·(1,0,0)＝0，
故PQ →⊥O A →
，即PQ ⊥OA . 13.
证明如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz . 设D (0，a,0)，
则B (2，0,0)，C (2，a,0)，
P (0,0，2)，E (22，0，2
2)．
于是AE →＝(22，0，22
)， BC →
＝(0，a,0)，
PC →
＝(2，a ，－2)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0. 所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC .
又因为BC ∩PC ＝C ，所以AE ⊥平面PBC .。