高三4月月考(模拟)数学(理)试题 Word版含答案

山东省桓台第二中学届高三4月月考（模拟）
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合}8,6,4,2{=A ，}0189|{2
≤+-=x x x B ，则=B A （ ） A ．}4,2{ B ．}6,4{ C ．}8,6{ D ．}8,2{ 2.若复数
i
i
a 21++（R a ∈）为纯虚数，其中i 为虚数单位，则=a （ ） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3-
3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）
A ．
41 B ．21 C ．31 D ．3
2
4.等比数列}{n a 的前n 项和为b a S n n +⋅=-1
3，则=b
a （ ）
A ．3-
B ．1- C. 1 D ．3
5.直线l ：)(04R k y kx ∈=++是圆C ：06442
2
=+-++y x y x 的一条对称轴，过点
),0(k A 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为（ ）
A ．
2
2
B ．2 C. 6 D ．62 6.祖冲之之子祖恒是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖恒原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个该几何体的下底面平行相距为h （20<<h ）的平面截几何体，则截面面积为（ ）
A ．π4
B ．2h π C. 2
)2(h -π D ．2
)4(h -π
7.函数x x f x
x cos 1
21
2)(⋅-+=的图象大致是（ ）
8.已知0>>b a ，0<c ，下列不等关系正确的是（ ）
A ．bc ac >
B ．c c b a > C. )(log )(log c b c a b a ->- D ．
c
b b
c a a ->
- 9.执行如图所示的程序框图，若输入2017=p ，则输出i 的值为（ ）
A ．335
B ．336 C. 337 D ．338
10.已知F 是双曲线E ：122
22=-b
y a x (0,0>>b a )的右焦点，过点F 作E 的一条渐近线
的垂线，垂足为P ，垂线PF 与E 相交于点Q ，记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为2d ，若d FP 2||=，则该双曲线的离心率（ ） A ．2 B ．2 C. 3 D ．4
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11.已知向量)2,1(=p ，)3,(x q =，若q p ⊥，则=+||q p ． 12.5)1
(x
x -的二项展开式中，含x 的一次项的系数为 ．（用数字作答）
13.若实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+1083204x y x y x ，目标函数y kx z -=的最大值为12，最小
值为0，则实数=k ．
14.已知数列}{n a 满足)2()2(2
2n n a n na n n +=+-+λ，其中2,121==a a ，若1+<n n a a 对
*∈∀N n 恒成立，则实数λ的取值范围为 ．
15.设函数2)2
()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为019=-+y x
，
则曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 满足下列条件：
①周期π=T ；②图象向左平移6
π
个单位长度后关于y 轴对称；③1)0(=f . （1）求函数)(x f 的解析式； （2）设)4
,
0(,π
βα∈，1310
)3
(-
=-
π
αf ，5
6)6(=+πβf ，求)22cos(βα-的值. 17. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知C a A c a cos sin 32-=. （1）求C ； （2）若3=
c ，求ABC ∆的面积的最大值.
18.如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G ，
2==BD AB ，3=AE ，EAB EAD ∠=∠.
（1）证明：平面⊥ACEF 平面ABCD ；
（2）若AE 与平面ABCD 所成角为 60，求二面角D EF B --的余弦值.
19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.
（1）求某户居民的用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式； （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电量不超过
260元的占80%，求b a ,的值；
（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户1月份是用电费用，求Y 的分布列和数学期望.
20.已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右顶点21,A A ，上下顶点分别为21,B B ，左右
焦点分别为21,F F ，其中长轴长为4，且圆O ：7
12
22=+y x 为菱形2211B A B A 的内切圆. （1）求椭圆C 的方程；
（2）点)0,(n N 为x 轴正半轴上一点，过点N 作椭圆C 的切线l ，记右焦点2F 在l 上的射影为H ，若HN F 1∆的面积不小于
2
16
3n ，求n 的取值范围. 21.已知函数x x x f ln )(=，e 为自然对数的底数. （1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；
（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的值； （3）关于x 的方程a x f =)(有两个实根21,x x ，求证：2
2112||-++<-e a x x .
试卷答案
一、选择题
1-5: BCBAC 6-10: DCDCB
二、填空题
11.25 12. 5- 13. 3 14. ),0[+∞ 15.
062=++y x
三、解答题
16.解：（1）∵)(x f 的周期为πω
π
==
2T ，∴2=ω，又函数)(x f 的图象向左平移
6
π个单位长度，变为])6
(2sin[)(ϕπ
++
=x A x g ，由题意，)(x g 的图象关于y 轴对称，∴
ππ
ϕπ
k +=
+⨯
2
6
2，Z k ∈，又2
||π
ϕ<
，∴6
π
ϕ=
，∴函数)6
2sin()(π
+
=x A x f ，又
1)0(=f ，∴16
sin
=π
A ，解得2=A ，∴函数)6
2sin(2)(π
+
=x x f .
（2）由1310)3(-
=-
π
αf ，56)6(=+πβf ，得1310
)6322sin(2-=+-ππα，
56
)632sin(2=++ππβ，
∴532cos ,1352cos ==βα，又)2,0(,πβα∈，∴13
122sin =α，54
2sin =β，
∴65
63
541312531352sin 2sin 22cos )22cos(=
⨯+⨯=+=-βαβαβαos . 17.解：（1）由已知及正弦定理可得C a A C A cos sin sin 3sin 2-=，在ABC
∆中，0sin >A ，∴C C cos sin 32-=，∴1cos 21sin 23=-C C ，从而1)6
sin(=-π
C ，∵π<<C 0，∴656
6
ππ
π
<
-
<-
C ，∴26ππ=-C ，∴3
2π=C . （2）解法1：由（1）知32π=
C ，∴23sin =C ，∵C ab S sin 2
1
=，∴ab S 43=
，∵ab
c b a C 2cos 222-+=，∴ab b a -=+322，∵ab b a 22
2≥+，∴1≤ab （当且仅当1
==b a
时等号成立），∴4343≤=ab S ；解法2：由正弦定理可知2sin sin sin ===C
c
B b A a ，∵
C ab S sin 2
1
=
，∴B A S sin sin 3=， ∴)3
sin(
sin 3A A S -=π
，∴43)62sin(23-+=
πA S ，∵3
0π<<A ，∴656
26
ππ
π
<
+
<A ，当262ππ=+A ，即6
π
=A 时，S 取最大值43.
18.解：（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，AB AD =，AC BD ⊥，GB DG =，在EAD ∆和EAB ∆中，AB AD =，AE AE =，EAB EAD ∠=∠，∴EAD ∆EAB ∆≅，∴EB ED =，∴EG BD ⊥，∵G EG AC = ，∴⊥BD 平面ACFE ，∵⊂BD 平面
ABCD ，∴平面⊥ACFE 平面ABCD .
（2）解法1：过G 作EF 垂线，垂足为M ，连接MB ，MG ，MD ，易得EAC ∠为AE 与面ABCD 所成的角，∴ 60=∠EAC ，∵GM EF ⊥，BD EF ⊥，∴⊥EF 平面BDM ，∴DMB ∠为二面角D EF B --的平面角， 可求得23=
MG ，213==BM DM ，在DMB ∆中余弦定理可得13
5
cos =∠BMD ，∴二
面角D EF B --的余弦值为
13
5.
解法2：如图，在平面ABCD 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于点M ，由（1）可知，平面⊥ACFE 平面ABCD ，∴⊥MG 平面ABCD ，∴直线GB GA GM ,,两两垂直，分别以
GM GB GA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系xyz G -，
易得EAC ∠为AE 与平面ABCD 所成的角，∴ 60=∠EAC ，则)0,1,0(-D ，)0,1,0(B ，
)23
,0,23(
E ，)23,0,233(-
F ，)0,0,32(=FE ，)2
3,1,23(-=BE ，)23,1,23(=DE ，设平面BEF 的一个法向量为),,(z y x n =，则0=⋅且0=⋅，∴0=x ，且
02
3
23=+-z y x ，取2=z ，可得平面BEF 的一个法向量为)2,3,0(=n ，同理可求得平面DEF 的一个法向量为)2,3,0(-=m ，∴13
5
,>=<m n cis ， ∴二面角D EF B --的余弦值为
13
5. 19.解：（1）当2000≤≤x 时，x y 5.0=；
当当400200≤<x 时，608.0)200(8.02005.0-=-⨯+⨯=x x y ；
当当400>x 时，140)400(0.12008.02005.0-=-⨯+⨯+⨯=x x y ，所以y 与x 之间的函数解析式为
⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤<-≤≤=140,140400200,608.0200
0,5.0x x x x x x y .
（2）由（1）可知，当260=y 时，400=x ，则80.0)400(=≤x P ，结合频率分布直方图可知
⎩
⎨
⎧=+=+⨯+2.005.01008
.03.010021.0a b ，∴0015.0=a ，0020.0=b （3）由题意可知X 可取50，150，250，350，450，550，
当50=x 时，25505.0=⨯=y ，∴1.0)25(==y P ， 当150=x 时，751505.0=⨯=y ，∴2.0)75(==y P ，
当250=x 时，140508.02005.0=⨯+⨯=y ，∴3.0)140(==y P ， 当350=x 时，2201508.02005.0=⨯+⨯=y ，∴2.0)220(==y P ，
当450=x 时，310500.12008.02005.0=⨯+⨯+⨯=y ，∴15.0)310(==y P ， 当550=x 时，4101500.12008.02005.0=⨯+⨯+⨯=y ，∴05.0)410(==y P ， 故Y 的概率分布列为
所以随机变量X 的数学期望
5.17005.041015.03102.02203.01402.0751.025=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EY
20.解：（1）由题意知42=a ，所以2=a ，所以)0,2(1-A ,)0,2(2A ，),0(1b B -，),0(2b B ，则
直线22B A 的方程为
12=+b y
x ，即022=-+b y bx ，所以
7124|2|2
=+-b b ，解得32=b ，故椭圆C 的方程为13
42
2=+y x . （2）由题意，可设直线l 的方程为0,≠+=m n my x ，联立⎩
⎨⎧=++=12432
2y x n
my x 消去x 得0)4(36)43(222=-+++n mny y m （*），由直线l 与椭圆C 相切，得
0)4)(43(34)6(222=-+⨯-=∆n m mn ，化简得04322=+-n m ，设点),(t n mt H +，
由（1）知)0,1(),0,1(21F F -，则
111)(0-=⋅-+-m n mt t ，解得2
1)
1(m
n m t +--=，所以HN F 1∆的面积2221|)1(|21|1)1(|)1(211m n m m
n m n S HN
F +-=+--+=∆，代入0432
2=+-n m 消去n 化简得||231m S HN F =
∆，所以)43(163163||2322+=≥m n m ，解得2||3
2≤≤m ，即494
2≤≤m ，
从而43
4942≤-≤
n ，又0>n ，所以4334≤≤n ，故n 的取值范围为]4,33
4[. 21.解：（1）对函数)(x f 求导得1ln 1ln )('+=⋅+=x x
x x x f ，
∴11ln )('2
2-=+=--e e f ，又22
2
2
2ln )(-----==e e
e e
f ，∴曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程为
)()2(22----=--e x e y ，即2---=e x y .
（2）记)1(ln )1()()(--=--=x x x x x f x g λλ，其中0>x ，由题意知0)(≥x g 在),0(+∞上恒成立，下求函数)(x g 的最小值，对)(x g 求导得λ-+=1ln )('x x g ，令0)('=x g ，得
1-=λe x ，当x 变化时，)('x g ，)(x g 变化情况列表如下：
∴1111
min )1()1()()()(-----=---===λλλλλλλe e e e g x g x g 极小，
∴01≥--λλe ， 记1
)(--=λλλe
G ，则1
1)('--=λλe
G ，令0)('=λG ，得1=λ.
当λ变化时，)('λG ，)(λG 变化情况列表如下：
∴0)1()()(max ===g G G 极大λλ 故01
≤--λλe
当且仅当1=λ时取等号，又01≥--λλe ，从而得到1=λ；
（3）先证2
)(---≥e x x f ，记2
2
ln )()()(--++=---=e x x x e x x f x h ，则
2ln )('+=x x h ，令0)('=x h ，当x 变化时，)('x h ，)(x h 变化情况列表如下：
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∴0ln )()()(22222min =++===-----e e e e e h x h x h 极小，0)(≥x h 恒成立，即
2)(---≥e x x f ，记直线2---=e x y ，1-=x y 分别与a y =交于),'(),,'(21a x a x ，不妨设21x x <，则21121)('----≥=--=e x x f e x a ，从而11'x x ≤，当且仅当22--=e a 时取等号，由（2）知，1)(-≥x x f ，则1)(1'222-≥=-=x x f x a ，从而22'x x ≤，当且仅当0=a 时取等号，故2
212122112)()1(''||--++=---+=-≤-=-e a e a a x x x x x x ，因等号成立的条件不能同时满足，故22112||-++<-e a x x .。