线性系统稳定性演示文稿

an2 an3 bn 3 cn3 . . .
an4 an5 bn5 cn5 . . .
bn1
1 an1
an an1
an2 an1an2 anan3
an3
an1
bn3
1
an1
an an1
an4 an1an4 anan5
an5
an1
cn1
1 bn1
an1 bn1
an3 bn1an3 an1bn3
线性系统稳定性演示文稿
（优选）线性系统稳定性
二、线性系统稳定的充分必要条件
对一个线性系统而言，其闭环传递函数为：
M
T(s)
p(s) q(s)
sn
Q
K (s zi )
i 1
R
(s k )
[s2
2 m
s
(
2 m
m2
)]
k 1
m1
它的脉冲响应：
y(t )
Q k 1
Ak e kt
R
Bm
m1
s4
1
3
5
s3
2
4
0
s2 2314 1 2510 5 0
2
2
s1 1 4 2 5 6 1 0 2 0 0 0
1
1
s0
5
0
0
符号改变两次，系统不稳定， 且有两个正实部根
>> d=[1 2 3 4 5]; >> roots(d)
ans =
0.2878 + 1.4161i 0.2878 - 1.4161i -1.2878 + 0.8579i -1.2878 - 0.8579i
例2：请给出K与系统稳定性的关系
R(s)
K
Y(s)
解：1）系统闭环传递函数：
s(s2 s 1)(s 2)
Y(s)
K
T(s) R(s) s(s2 s 1)(s 2) K
2）闭环特征方程： D(s) s4 3s3 3s2 2s K 0
3）列写劳斯表：
s4 1 3 K
s3 3 2 0
60 K 0
(60 K )(K 6) 36Ka 0
Ka 0
k 60
系统稳定时K和a 的变化范围为：
a (60 k)(k 6) 36k
例4 某单位负反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系 统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范围。
解 依题意有
K s 1 9K (s 1) G(s) s 3 12 s 32
其它元素不全为零。 （3）劳斯表中出现全零行； （4）同（3）并在虚轴上有重根。
下面分别情况进行应用讨论
• 特殊情况1：第一列出现0，而其余不全为零
q(s) s4 s3 3s2 3s 2 0 各项系数均为正数
s4
1
3
2 解决方法：
s3
1
3
0 用无穷小正数代替零后继续运算。
s2 0( ) 2
s2
7
K0
3
s1 14 9K 0 0
7
s0 K 0 0
系统稳定的K值范围： K 0 (14 9K) / 7 0 0 K 14/9
系统临界稳定时： K 14/9
系统不稳定时： K 14/9
劳斯表第一列元素可能出现如下情况： （1）第一列元素均不为零（常规情况）； （2）第一列元素中有元素为零，且为零的这一行的
6
代替全0行的元素。
s1 2/ 5
例如： F(s) s4 5s2 6 0
s0
6
求导得: F(s) 4s3 10s1 0
s1,2 j 2 s3,4 j 3 s5 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
劳斯表出现全零行: s1,2 j 2 s3,4 j 3 s5 1 j
本章请掌握Routh判据
6.2 Routh-Hurwitz 稳定性判据
一、 Routh-Hurwitz 稳定性判据
系统特征方程： an s n an1s n1 an2 s n2 ... a1s a0 0
列写Routh表：
sn s n1 sn2 sn3 . . . s0
an an1 bn1 cn1 . . . hn1
s4 6s3 11s2 (K 6)s Ka 0
系统特征方程为： q(s) s4 6s3 11s2 (K 6)s Ka 0
Routh表：
s4 1 11
ka
s3 6 (k 6)
b3
60 6
k
,
c3
b3 (k
6) b3
6ka
s2 b3 ka
s1 c3 s0 ka
系统稳定充分必要条件：
s1
3 2
0
s0
2
系统不稳定：有两个正实部根
• 特殊情况2：某一行元素全为零
q(s) s5 s4 5s3 5s2 6s 6 0 各项系数均为正数
s5
1
s4
1
5
6 解决方法：
由全0行的上一行元素构
5
6 成辅助方程F(s)=0，并
s3 0 4 0 10 0 对其求导后，用所得系数
s2 Biblioteka Baidu/2
三、判别稳定性的方法
系统稳定
充分必要
全部特征根在 s左半平面
稳定性判定
系统特征根情况
直接方法：求解出系统特征根，从而判定。 问题：高阶方程求解困难
1）代数判据（Routh和Hurwits） 2）根轨迹法 3）Nyquist判据 适用于单变量、线性、定常系统 4）李雅普诺夫直接法 不仅适用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时 变系统 5）Matlab判别：pzmap(sys)、pole(sys)、roots(d)
bn3
bn1
二、 Routh-Hurwitz 稳定性判据的应用
劳斯—霍尔维茨判据表明，系统特征方程中具有 正实部根的个数等于劳斯表中第一列元素符号变化 的次数。
由此可得到：系统稳定则劳斯表中第一列元素的 符号均为正或均为负；系统不稳定的根的数目等于 符号变化次数。
例1：劳思判据判定稳定性
q(s) s4 2s3 3s2 4s 5 0
系统在s平面有对称分布的根：
①大小相等符号相反的实根
0
②共轭虚根
j
③对称于实轴的两对共轭复根
j
0
0
例3 焊接机器人焊接头由机械臂带动，自动到达不同焊接位 置。焊接头位置控制系统如图
确定使系统稳定的K和a 的变化范围。
解： 系统特征方程为：
q(s) 1 G(s) 1
K(s a)
s(s 1)(s 2)(s 3)
1
m
e mt
sin(mt
m )
显然，要想系统响应有界，其所有极点的实部必须为负。
反馈系统稳定的充分必要条件：系统传递函数的所有极点 必须在s平面的左半平面。
如果系统有任何一个极点不在左半平面，都称系统不稳定。
如果有一对共轭根在虚轴（jω轴）上，其它根都在左半平面，则系统在 有界输入作用下，其稳态输出将保持等幅振荡，只有输入为正弦波且频率为 虚根的幅值时，系统输出才无界，此时系统称为临界稳定。