双曲线经典试题

双曲线习题精选精讲

（1）双曲线定义——与椭圆相伴相离.

双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中. 从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三：

1.按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数（小于两定点间的距离），而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数（大于两定点间的距离）；

2.按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e （e ＞1），而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e （0＜e ＜1）；

3.按主要参数a 、b 、c 之间的关系，双曲线要求c 2=a 2+b 2 .a b c 其中，，依次表示双曲线

的实，虚半轴和半焦距.而椭圆则要求 a 2

=b 2

+c 2

a b c 其中，，分别表示椭圆的长，短半轴

和半焦距.

【例1】若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线22

1x y a b

-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）

A. a m -

B. ()a m -2

1

C. 22a m -

D. a m -

()121PF PF ∴+=

()122PF PF ∴-=±

()()

()22

12121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A.

【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.

【例2】已知双曲线127

922=-y x 与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM

PF 2

1

+

最小，则P 点的坐标为

【分析】待求式中的

1

2

是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.

【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，

右准线为3

2

l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，

连FP ，则1

22

PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时

PM 13752

2

5

PF PM PN MN +=+==-=为最小.

在127

92

2=-y x 中，令3y =，

得212x x x =⇒=±∴0，

取x =所求P

点的坐标为（）.

（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯

对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.

双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.

X

Y O F(6,0)M(5,3)P N P ′

N ′

X=

32

【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21

±=的双曲线方程是

【解析】设所求双曲线为()2

214

x y k

-=

点（1，3）代入：135

944

k =

-=-.代入（1）

： 2222

3541443535

x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22

221x y a b

-=中，令222200x y x y a b a b -=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁

地设待求双曲线为22

22x y k a b

-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.

（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄

将双曲线22221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22

221x y b a

-=.这两个双曲线就是互相共轭

的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一

样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.

【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：

2

212

11

e e +=1. 【证明】双曲线22221x y a b -=的离心率2222

1122c c a b e e a a a +=⇒==；

双曲线22221x y b a

-=的离心率2222

2222

c c a b e e b b b +=⇒==. ∴22

2222

2212111a b e e a b a b

+=+=++.

（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美

实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴. 【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为(

)222

1x y a -=，

直线CD ：y=m.代入（1）：x =.故有：

())

,C m D

m .

取双曲线右顶点(),0B a .那么：

()(

)

222,,,BC x m a m BD x a m =-+-=

+

X

O

Y

C

D

A B