《结构力学》第10章：结构动力计算基础

结构力学
10.6 多自由度体系的强迫振动
在自由振动微分方程
的右端增加动力荷载项FPi(t)，即可得到刚度法、柔度法描述 多自由度体系强迫振动的运动微分方程。
3. 主振型的正交 性 主振型的位移幅值就是体系在此主振型惯性力幅值作
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对多自由度体系的每一个自振频率ωi，可得到相应的主振 型Y(i)，利用虚功原理可以证明不同的主振型是相互正交的。 第一正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于质量矩阵M正 交，即
第二正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于刚度矩阵K正 交，即 利用主振型的正交性可以判断主振型的形状特点。第一主振型 的特点是各点位移位于结构的同一侧；第二主振型的特点是位 移图分两区，各居结构一侧；第三主振型的位移图分三区，交 替位于结构不同侧。这样才能保证三个主振型间的正交性。
图10.1
结构力学 3. 结构动力计算的任务
结构在动力荷载作用下产生的内力和位移，称为结构的动内 力和动位移，统称结构的动力反应。因为动力荷载随时间而变化 ，所以结构产生的动力反应也随时间变化。结构动力计算的主要 任务就是研究结构动力反应的计算原理和方法，确定结构动力反 应随时间变化的规律，从而进行强度和刚度等方面的力学讨论， 以作为结构设计、校核等的依据。
结构力学 3.结构的自振周期 3.结构的自振周期
右边是一个周期函数，其周期为
在自由振动过程中，质点每隔一段时间T，又回到原来的状态， 因此T称为结构的自振周期。 自振周期的倒数称为频率，记作
圆频率的计算公式如下
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结构自振周期T的一些重要性质: (1)自振周期与结构的质量和结构的刚度有关，而且只与这二者 有关，与外界的干扰因素无关。干扰力的大小只能影响振幅a的 大小，而不能影响结构自振周期T的大小。 (2)自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，则周期越大(频 率f越小)；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期 越小(频率f越大)；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的 质量或刚度着手。 (3)自振周期T是结构动力性能的一个很重要的数量标志。两个 外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力性能相差很大； 反之，两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相近， 则在动荷载作用下其动力性能基本一致。
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Fra Baidu bibliotek
李元美 主编
张代理 陈登智 副主编
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第1章 结构的计算简图 第2章 平面体系的几何组成 第3章 静定结构的受力分析 第4章 静定结构的位移计算 第5章 力法 第6章 位移法 第7章 力矩分配法 第8章 影响线 第9章 矩阵位移法 第10章 结构动力计算基础 10章
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10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6
单自由度体系自由振动微分方程式的通解为 其中的系数C1和C2可由初始条件确定。设在初始t=0时刻，质点有 初始位移y0和初始速度v0，即
由上式看出，振动是由两部分所组成：一部分是单独由初始位移 y0(没有初始速度)引起的，质点按 的规律振动，另 一部分是单独由初始速度v0(没有初始位移)引起的，质点按 的规律振动。 上式还可改写为
至于 的情形，体系在自由反应中 图10.6 仍不出现振动现象。由于实际问题中很 少遇到这种情况，故不作进一步讨论。
2. 有阻尼的强迫振动
开始处于静止状态的单自由度体系在任意荷载FP(t)作用下所 引起的有阻尼的强迫振动的位移公式。
结构力学
如果还有初始位移y0和初始速度v0，则总位移为
分突加荷载和简谐荷载两种情形: (1) 突加荷载:当t>0时，
(2) 简谐荷载
其中两个常数C1和C2，由初始条件确定。
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10.5 多自由度体系的自由振动
按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求 解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平 衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各 有其适用范围。
1. 刚度法
(1)多自由度体系自由振动的问题，主要是确定体系的全部 自振频率及其相应的主振型。 (2)多自由度体系自振频率不止一个，其个数与自由度的个 数相等。 (3)每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自 由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。 (3)与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和主 振型也是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的 刚度系数及其质量的分布情形有关，而与外部荷载无关。
结构动力计算的特点和动力自由度 单自由度体系的自由振动 单自由度体系的强迫振动 阻尼对振动的影响 多自由度体系的自由振动 多自由度体系的强迫振动
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10.1 结构动力计算的特点和动力自由度
1. 结构动力计算的特点
首先，说明动荷载与静荷载的区别。动荷载的特征是荷 载(大小、方向、作用位置)随时间而变化。如果从荷载对结 构所产生的影响这个角度来看，则可分为两种情况。一种情 况是：荷载虽然随时间变化，但是变得很慢，荷载的变化对 结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微。 另一种情况是：荷载不仅随时间在变，而且变得较快， 荷载的变化对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大。 其次，说明结构的动力计算与静力计算的区别。在动力 计算中，虽然形式上仍是在列平衡方程要注意两个特点：第 一，在所考虑的力系中要包括惯性力；第二，这里考虑的是 瞬间的平衡，荷载、内力等都是时间的函数。
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将动力荷载的幅值q=2kN/m作为静力荷载作用在结构上，求在其 作用下柱顶的水平位移(先作出由它引起的弯矩图，如图10.3 (b)，再选做力法一基本结构在单位力作用下的弯矩，图如图 10.3(c)，两图图乘即得)
于是得到等效动力荷载 代入式(10-15)得 其中动力系数 平稳阶段的加速度为 则最大惯性力为
结构力学 1. 有阻尼的自由振动
根据 述如下。 (1)考虑 的情况(即低阻尼情况)。 、 、 三种情况，可得出三种运动形态，分别表
低阻尼体系自由振动时 的 曲线，如图10.5所 示。这是一条逐渐衰减的波 动曲线。
图10.5
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(2)考虑 的情况。
其y-t曲线如图10.6所示。这 条曲线仍然具有衰减性质，但不 具有图10.5那样的波动性质。
1.自由振动微分方程的建立 1.自由振动微分方程的建立
这就是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程。这种推 导方法称为刚度法。 用F1表示惯性力，用δ表示弹簧的柔度系数，即在单位力作用下 所产生的位移，其值与刚度系数k互为倒数：
从位移协调的角度建立自由振动微分方程的推导方法称为柔度法。
结构力学 2. 自由振动微分方程的解
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图10.3 将图10.3(a)乘以6.534得由最大惯性 力产生的弯矩图，再叠加10.3(b)的 静力弯矩图，即得最大动力弯矩图， 如图10.4所示。 将弯矩图10.4与图10.3(c)相乘，即 得柱顶最大动位移 图10.4
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10.4 阻尼对振动的影响
振动中的阻尼力有多种来源，例如振动过程中结构与 支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周围介质的阻力， 等等。阻尼力对质点运动起阻碍作用。从方向上看，它总 是与质点的速度方向相反。从数值上看，它与质点速度有 如下的关系： (1)阻尼力与质点速度成正比，这种阻尼力比较常用，称为 黏滞阻尼力。 (2)阻尼力与质点速度的平方成正比，固体在流体中运动受 到的阻力属于这一类。 (3)阻尼力的大小与质点速度无关，摩擦力属于这一类。
3.动力荷载不作用在集中质量上时的等效动力荷载 3.动力荷载不作用在集中质量上时的等效动力荷载
动力荷载不直接作用在集中质量上，求解这种情况下的强迫 振动的特解时，可以根据质量m处位移相等的原则，把这些荷载 换算成作用于集中质量m处的等效动力荷载 ，然后按 求强迫振动的特解。
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【例10.6】图10.2所示排架横梁的EA=∞，屋盖及柱子等集中在横梁处 的总质量为m，即结构为单自由度体系。受均布动力荷载 的作 用，已知 。试求初始条件为零时结构的最大动力弯矩图和柱顶的 最大动力位移。 解：用结构静力学方法 ，先求得在柱顶水平单 位力作用下结构的弯矩 图，如图10.3(a)所示， 并由它求得柱顶的水平 位移即柔度系数 δ=130/(3EI)。因而结 构的自振频率为 图10.2
结构力学 2. 动荷载的分类
工程实际中经常遇到的动荷载主要有下面几类： 第一类是周期荷载。这类荷载随时间作周期性的变化。 第二类是冲击荷载。这类荷载在很短的时间内，荷载值急剧增 大(图10.1(a))或急剧减小(图10.1(b))。 第三类是随机荷载。前面两类荷载都属于确定性荷载，任一时 刻的荷载值都是事先确定的。如果荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定，则称为非确定性荷载，或称为随机荷载。
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多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始 位移和初始速度应当与此主振型相对应。在一般情形下，两个 自由度体系的自由振动可看作是两种频率及其主振型的组合振 动，即
2. 柔度法
按柔度法建立自由振动微分方程的思路是：在自由振动过 程中的任一时刻t，质量m1,m2,…,mn的位移 y1(t),y2(t),…,yn(t)应当等于体系在当时惯性力作用下所产 生的静力位移。 用下所引起的静力位移。
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10.3 单自由度体系的强迫振动
结构在动力荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。
1.简谐荷载 1.简谐荷载
设体系承受如下的简谐荷载： 式中θ是简谐荷载的圆频率，F是荷载的最大值，称为幅值。
2.一般动荷载 2.一般动荷载
一般动荷载FP(t)作用下所引起的动力反应分两步讨论：首 先讨论瞬时冲量的动力反应，然后在此基础上讨论一般动荷载的 动力反应。
4. 结构动力计算中体系的自由度
在动力计算中，一个体系的自由度是指为了确定运动过程中 任一时刻全部质量的位置所需确定的独立几何参数的数目。 由于实际结构的质量都是连续分布的，因此任何一个实际结构 都可以说具有无限个自由度。 常用的简化方法有集中质量法、广义坐标法和有限单元法。
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10.2 单自由度体系的自由振动