4矩阵的初等变换

2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.
如
0 1 2 1
0 0
0 0
0 0
5 0
2 1 2 1
0
1
1
1
0 0 1 2
0
0
0
5
1 2 3 1
0
0
1
4
0 0 0 2
0
0
0
0
0 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 2 3 2 0 0 0 1 3 0 0 0 0 4
相应的n阶初等矩阵右乘A.
定理2.3 任意一个矩阵A经过若干次初等变换，可以化 为下面形式的矩阵D.
推论 如果A为n阶可逆矩阵，则D=I.
1
O
D=
1 0 O
=
Ir O(mr
)r
0
Or(nr) O(mr)(nr)
证 根据定理2.3可知
P1 P2 Ps AQ1Q2 Qt D
1 0
0 1
0 0
0 0
B3
c5 4c1 3c2 3c3 0 0 0 0 0
最后得到的矩阵 B3是 的A 标准形， B1, B2 依次为 行阶梯形和行最简形矩阵。
定义 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B 等价关系的性质：
（1）反身性： A ~ A; （2）对称性： if A ~ B , B ~ A； （3）传递性： if A ~ B , B ~ C A ~ C.
1 0 1 1 0 0
r3 2r2 0 1 2 2 1
0
0 0 2 7 2 1
r3 21
1 0
0
0 1 0
1 2 1
1
2 7
0 1 1
0
0 1
2
2
1 0 0 5 1 1
r2 2r3 ,r1r3 0
1
0
2 5
2 1 1
0
0
1
7 2
1
1 2
所以
5 1 1
具有上述三条性质的关系就称为等价．
3、 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B
4、矩阵等价具有的性质
反身性;
对称性;
传递性.
7
4
9
r3 2 2
3
3 6
1 9
1 7
2
9
r2 r3
r3 2r1
1
0
1 2 2 2
1 2
4
0
r2 2 r3 5r2
r4
3r1
0
0
5 3
5 3
3 4
6
3
r4 3r2
1 0 0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 2 1
4 0
r3 r4
1 0
6 3
r4 2r3
例17 化下列矩阵A为矩阵D的形式
1 0 1
A 2 1 0
3 2 5
1 A 2
0 1
1 0
1 r3 2r1 ,r33r1 0
0 1
1 2
3 2 5
0 2 2
1 0 1
1 0 1
r3 2r2 0
1
2
r32
0
1
2
0 0 2
0 0 1
1 c3 c1 ,c3 2c2 0
M M
ain
(rj
)
M
am1 am2 L amn
a11 L
AI n (i ,
j)
a21 M
L
am1 L
a1 j L a2 j L M amj L (ci )
a1i L
a2i L
M
ami L (cj )
a1n
a2n M amn
1
２、数乘
O
1 1k 1 O
(ci )
(ri
M
a j1
L
M
基本事实
am1
L
a1n
M
ain
a jn
(ri
)
M
a jn
(
rj
)
amn
I(i, j)A 相当于ri rj , I(i(k))A 相当于 ri k, I(i, j(k))A 相当于ri krj ,
AI(i, j) 相当于ci c j , AI(i(k)) 相当于ci k, AI(i, j(k)) 相当于c j kci ,
)
记作 I i( k）
1
a11 L
M
I
m
(
i
(
k
))
A
kai1 M
L
am1 L
a1n M kain M
(ri
)
AIn( i(
a11
M
am1
k )) L
L
ka1i
M kami
L L
amn
(ci )
a1n M amn
３、倍加
1
O
11 L k
OO M
11
O
(ci ) (c j )
a
行最简形矩阵
称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：
1）行阶梯形矩阵 2）各非零行的首非零元均为1.
3）首非零元所在列其它元素均为０.
如
0 1 2 0
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
标准形矩阵 称形如D 的矩阵为标准形矩阵：
经过若干次初等行变换，A变为I，I变为 A1
例18 求矩阵
1 0 1 的逆矩阵。
A 2 1 0
3 2 5
解 1 0 1 1 0 0
( AI ) 2 1 0 0 1 0 3 2 5 0 0 1
1 0 1 1 0 0
r2 2r1 ,r33r1 0
1
2
0
1
0
0 2 2 0 0 1
0
0 1 0
0 0
或
1
1 r2 2r3 ,r1r3 0 0
0 1 0
0 0 1
四、逆矩阵的求解
1. 定理2.4 n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是
它可以表成一些初等矩阵的乘积. 证 先证必要性
由定理2.3知，若A可逆，则A经过若干次初等变换后，
可化为I，即存在矩阵 Pi ( i 1,2 s ),Q j ( j 1,2 t ) 使
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj;
1
ri
k
逆变换
ri
( ); k
ri krj 逆变换 ri krj .
定理 利用初等行变换可把矩阵 A化为行阶梯形矩阵. 利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.
利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩
阵化为标准形矩阵.
相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵.
１、对调
1
O
01 L 10
MM
01 L 10
O
(ci ) (c j )
(ri ) (rj ) 1
记作 I(i, j)
a11 a12 L
M
M
a1n M
a j1 a j2 L
Im(i, j)A
M
M
a jn
(ri
)
M
ai1
ai2 L
P1 P2 Ps AQ1Q2 Qt I
则
A Ps1 P21P11QIQt t11 QQ221Q1Q1111
即，A可以表示成一些初等矩阵的乘积
再证充分性 因为A可以表示成初等矩阵乘积，而初等矩阵均可逆 所以A可逆，结论成立。
1 1
2 1
1 1
0 1
1 0
01
1 0
21
1 1
0 1
:
I
(
2
其中，Pi ( i 1,2 s ),Q j ( j 1,2 t ) 都是n阶初等矩阵， 则其都可逆，其对应的行列式都不为0，所以上式两边 取行列式
P1P2 Ps AQ1Q2 Qt D
P1 P2 Ps A Q1 Q2 Qt D
因为A可逆，所以 A 0 ，综上有 D 0
所以，D In
a11 L AIn(i, j(k )) M
a1i L M
am1 L ami L
(ci )
(ri
)
记作I i , j( k )
(rj
)
1
a1 j ka1i L M
amj kami L (cj )
a1n
M amn
a11
L
M
ai1 ka j1 L
Im (i, j(k))A
,1(
1
))
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
01 : I( 2( 1 ))
1 0
2 1
:
I(
1,2(
2
))
2. 初等矩阵求逆法 若A可逆，则 A1 可表示成初等矩阵的乘积，即
A1 G1G2 ( Gk
因为 A1 A I ，有
( G1G2 Gk )A I ( G1G2 Gk )I A1
即 ( G1G2 Gk )( AI ) ( I A1 )
1
0
0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 1 0
4
0
3 0
1
0
0
0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3
3
0
行阶梯形矩阵 行最简形矩阵
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
标准形矩阵
行阶梯形矩阵
称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：
1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；
2 1 1 1 2
A
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用 初等行变换. 化矩阵为标准形时，初等行变换和初 等列变换均可以使用.
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
A
1
1 2
1
4
r1
r2
2
1
1
1
2
4 6 2 2
3
6 9
初等矩阵的重要结论
初等矩阵均可逆
I 1(i, j) I(i, j);
I 1(i(k)) I (i( 1 ));
k
I 1(i, j(k)) I(i, j(k)).
三、相关定理
定理2.2 设Amn ( aij )mn . （1） 对A的行进行某种初等变换得到的矩阵，等于用
相应的m阶初等矩阵左乘A； （2） 对A的列进行某种初等变换得到的矩阵，等于用
3、 利用初等行变换可把矩阵 A化为行阶梯形矩阵. 利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵. 利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵 化为标准形矩阵.
4、利用初等变换求逆矩阵
作业
❖ 27（3）、（4）、（6）
例4 将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化为 行最简形,最后化为标准形.
一、矩阵的初等变换（Elementary Transformation）
1、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换. （1）互换两行： ri rj （2）数乘某行： ri k （3）倍加某行： ri krj
同理，把 r换成 可c 定义矩阵的初等列变换.
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵 的初等变换．
1
O
D=
1 0 O
=
Ir O
O
O
0
行阶梯形
1 3
0 0
2 4
r2 3r1
1 0
0 0
2 2
r2 (
1 ) 2
1 0
0 0
2 1
行最简形
行标准形
r1 2r2
1 0
0 0
01 c2 c3
1 0
0 1
00
二、初等矩阵的概念
定义 I经过一次初等变换变为P ，P就称为初等矩阵.
A1
2 5
1
2 1
7 2
1
1 2
例19 利用上题中的A，求 ( I A )1
五、小结
１、矩阵的初等变换（Elementary transformation）
初等行(列)变换
ri ri
rj ci c j
k ci k ;
;
ri krj ci kc j .
2、初等矩阵
0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 1 0
4
0 3
B1
0
1
B1
0 0
0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 1 0
4 0
r1 r2
1 0
3 0
r2 r3
0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3 3
B2
0
c3 c4
1 0 0 0 0
B2
c4 c1 c2
0 0