无阻尼单摆运动微分方程的广义孤立波解

随着 科学 的发展 ， 以物 理 问题 为 背景 的非 线性
演化 方 程 的研究 ， 成 为 当代 非 线 性科 学 的一 个 重 正 要 研究 方 向 ； 造和 发 展 非线 性 演 化 方程 的求 解 方 构
困难 的。 着 近 代 物 理 对 孤 立 子 和混 沌 问题 的 研 随 究 ， 具 有 孤 立 子 的非 线性 方 程 的 精 确解 析 解 ， 求 对
Ｅｍａ ｌ ｚ ｐ ｎ ｓｒ ｙ ｈ ｏ ｃ ｎ． ｎ ｉ： ｇ ｉ ｇ ｉ＠ ａ ｏ ． ｏ ｅ
第 ３期
张广 平 ： 阻尼 单摆 运 动微 分方程 的广 义孤 立 波解 无
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于微分 方程 和 动力 系统 产 生 了深 远 影 响 。 随着 孤 立
法 ， 非 线 性 数 学 物 理 问题 中 的研 究 课 题 之 一 。 是 无
阻尼单 摆 运 动 微 分 方 程 就 是 非 线 性 演 化 方 程 中 的
一
子 理论 的进 一 步发 展 ， 不 断发 现 许 多 非线 性 发 展 会
性 数学 物 理方 程 的精确 解 方 面 ， 献 ［． ］从 不 同 文 １８ 的角度 得 到 了一 些 重 要 的 结 果 。 者 应 用 文 献 ［ ］ 作 ９ 中指 数 函数法 ， 求解 无 阻尼单 摆 运动 微分 方程 ０ ｔ ｓ ［ （） （）＋ ｉ ０ ｔ ］＝０ ｎ （） １
首先， 令 则式 （ ）变 为 １
得到 了广 义孤 立波 解 。 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 来说 ， 非线 性 系 统行 为 的解 析 研 究 是 相 当
一
１ 变换 方 程
收 稿 日期 ：０ ０ —１ —２ ； 修 订 日期 ：０ １—０ —２ 。 ２１ ２ １ ２１ ２ ４
作者简介 ： 张广平 （９ ８ ） 男 ， １５一 ， 甘肃靖远 人 ， 副教授 。 主要从事数学物理方法 的研究 。
第 １ 第 ３期 ０卷
２ １ 年 ６月 ０ １
江 南 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＪａ ｇ ａ ｉｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｉｎ ｎ ｎＵｎｖ ｒｉ （ ｔｒ ｌ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｔ Ｓ ｉ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ３ １１ ．
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ． ０１
无 阻 尼 单 摆 运 动 微 分 方 程 的广 义 孤 立 波 解
张 广平
（ 陇东 学院 电气工 程 学院 ， 甘肃 庆 阳 ７ ５ ０ ） ４ ０ ０ 摘 要： 通过 变换 正 弦函数 ， 无 阻尼 单摆 运 动 微 分 方 程 转化 为等 价 的 多项 式 类 型 的 非线 性 常 微 将
分 方程 。 这种 常微 分 方程 可 以应 用指 数 函数 方 法求解 ， 而得 到广 义孤 立波 解。 从 关键 词 ：无 阻尼 单摆 ； 非线性 微分 方程 ； 数 函数方 法 ； 义孤 立 波解 指 广 中图分 类号 ： ７ ．４ 文献 标识码 ：Ａ 文章编 号 ：６ １—７ ４ （０ １ ０ ０ １５ １ １７ １ ７ ２ １ ） ３—０ ５ ３ ８—０ ３
ＺＨＡＮＧ ａ — ｉ ｇ Ｇｕ ｎｇ ｐ ｎ
（ ｏｌｇ ｆ ｌｃｒ ａ ｎｉｅｒ ｇ ｏ ｇＤ ｎ ｎｖｒ ｔ， ｉｇ ｎ ４ ００， ａ ｓ ） Ｃ ｌ ｅｏ ｅｔｃｌ ｇｎ ｅｉ ，Ｌ ｎ —ｏ ｇＵ ｉｅｓｙ Ｑ ｎＹａｇ７ ５０ Ｇ ｎｕ ｅ Ｅ ｉ Ｅ ｎ ｉ
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｗ ｅ ｃ ｎ ｃ ａ ｅ ｆｏ ｔ ｅ ｄ ｍｐ ｄ ｓｍｐ ｅ ｐｅ ｌ ｔａ ｔ ａ ｈ ｎｇ ｒ ｍ ｈ ａ ｅ ｉ ｌ ｄｕ ｕｍ ｆｅ ｅ ｉ ｌｅ ｕａ ｉｎ ｏ ｔｏ ｎｔ ｈｅ ｄｉ ｒ ｎｔａ ｑ ｔｏ ｆｍｏ ｉ ｎ ｉ ｏ ｔ ｎ ｎｌｎｅ ｒ ｏ ｄ ｎａ ｙ ｏ ｉ ａ ｒ ｉ ｒ ｄｉ ｅ ｅ ｉ ｌ ｑ ｔｏ ｂ ｔａ ｆ ｒ ｎ ｓｎ ｆ ｎｃ ｉ ｎ． Ｔｈｅ ｅｎ ｒ ｌｚ ｄ ｏ ｉｉ ｆ ｒ ｎｔａ ｅ ｕａ ｉ ｎ ｙ ｒ ｎｓｏ ｍｉ ｇ ｉ ｅ ｕ ｔｏ ｇ ｅ ａ ｉ ｅ ｓ ｌｔｏｎ ｓ ｌ ｉ ｎ ｉ ｂ ａ ｎｅ ｉ ｈｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｏ ｖ ｎ ｈ ｘ ｎｅ ｔａ ｕ ｔｏ ｏ ｕｔｏ ｓ ｏ ｔ ｉ ｄ ｕｓｎｇ ｔ ｔ ｏ ｆｓ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ ｅ ｐｏ ｎ ｉ ｌｆ ｎｃ ｉ ｎ． Ｋ ｅ ｗｏ ｄｓ： ｕ ａ ｅ ｓｍｐ ｅ ｙ ｒ ｎｄ ｍｐ ｄ ｉ ｌ ｐｅ ｄｕ ｕｍ ， ｎ ｎｌｅ ｒ ｒ ｎ ｒ ｄｉ ｅ ｅ ｉ ｌ ｑｕ ｔｏ ｎ ｌ ｏ ｉ ａ ｏ ｄｉ ａ ｙ ｆ ｒ ｎｔａ ｅ ａ ｉ ｎ， ｅ ｐ ｎ ｎｔａ ｆ ｘ ｏ ｅ ｉｌ ｆ ｃ ｉ ｎ， ｅ ｅ ａ ｉｅ ｏ ｉｉ ｎ ｓ ｌ ｉ ｎ ｕｎ ｔｏ ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｓ ｌｔｏ ｏ ｕｔｏ
Ｇ ｅ ｒ ｌｚ ｄ Ｓｏ ｉａｒ ａ ｅ Ｓｏ ｕｔｏ ｆＵ ｎｄａ ｐ ｄ Ｓｉ ｐｌ ｎ ｎｅ ａ ｉ ｅ ｌｔ ｙ Ｗ ｖ ｌ ｉ ｎ ｏ ｍ ｅ ｍ ｅ Ｐｅ ｄｕｌ ｕｍ
Ｄ ｉｆ ｒ ｎｔａｌＥｑｕａ ｉ ｓ ｏ ｏ ｉ ｎ ｆｅ ｅ ｉ ｔｏｎ ｆＭ ｔｏ
方 程具 有重 要 的物理 意 义新解 。 无 阻 尼单 摆 运 动 对
个， 它是非线性振动 问题 中研究得较多且较深入
微 分 方程精 确解 的研 究 ， 利 于对 非 线 性 系统 行 为 有
的解 析 研 究 ， 于 揭 示 无 阻 尼 单 摆 系 统 的 非 线 性 便
行 为
的一个 例 子 ， 是 一 个 简 单 的动 力 学 模 型 ， 有 非 也 具 常复 杂 的动 力 学 行 为 ， 一 个 复 杂 系统 。 求 非 线 是 在