无阻尼单摆运动微分方程的广义孤立波解
非线性物理5-1(孤立波)
他看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进，当船突然停 止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激 烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度 向前推进。
一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河 一直向前推进在行进过程中其形状与速度没有明显变化。
罗素称之为 孤立波 - Solitary wave。
2. 波动中的色散
色散关系
设一波动方程：
2u 2 2u 2 v m u0 0 2 2 t x
将解代入：
得关系
2 2 w 2 v0 k m2 0
得色散关系
2 2 w (k ) = v0 k m2
2 w v0 k vg 2 2 k v0 k m2
1. 一个奇特的水波
漫长的发展史 KdV方程 半 个 多 世 纪 后 ， 1895 年 ， 两 位 荷 兰 科 学 家 科 特 维 格 (Kortweg) 与德弗雷斯 (de Vries) 认为：罗素观察到的孤立波是 波动过程中 非线性效应与色散现象互相平衡 的结果。他们建立 了KdV方程：
u u 3 u u 3 0 t x x
第五章
孤立波
一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个 大鼓包，沿着运河一直向前推进。
第五章
第一节 历史回顾 第二节 KdV方程
孤立波
第三节 正弦—高登方程 第四节 非线性薛定谔方程与
广义五阶KdV方程的新的周期波解与孤立波解
第３ ３卷第 ３期
西南民族大学学报 ・ 然科学版 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ｕ ｈ ｓ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｒＮａ ｉｎ ｌ ｉｓ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ｏ ｒ ａ ｏ ｏ ｔ ｗｅ ｔ ｉ ｅ ｓ ｙ ｆ ｔ ａ ｉ ｅ ・ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥｄ ｔ ｎ ｔ ｏ ｏ ｔ Ｓ ｉ
如齐次平衡法 ， 曲正切 函数展开法 ， Ｄ １双 １Ａ Ｍ方法［ 利用分支理论直接积分的方法【 ８ １ ， ９ ｊ ，Ｆ一 方法【 Ｊ 叫等． 本文 利用刘适式【１ ¨ 等人提 出的Ｊｃｂ ａｏ ｉ 椭圆函数展开法， 对广义的五阶Ｋ Ｖ ｄ 方程进行求解， 不仅得到了方程 的准确刷
期解， 而且周期解在极限情况下可 以退化为相应的孤立波解．
为零， 就可 以得到相应 的代数 方程． ｛ Ｊ待定的系数法得到 ａ （＝０ １ ２ ， … ，． 的值从而得到方程的 ｊ ｉ ， ， ，３… ，） ２
行波周期解． 当ｍ－ ｌ ｓ毛 ａｈ ， － 时，ｎ ｔ 毛 从而（） ￣ ｎ ３ 式就退化为
（ ＝ ｔｈ ∑ ，ｎ ） ａ ．
２ ａｏ ｉ 圆函数展开 法 Ｊｃ ｂ 椭
考虑 非线性波方程
， ， ， ， ，．．… ，
（） １
作行波变换为 ： ＝／～） 专＝／ｘ ） ｋ ＋ ｔ， ４￣ ， １ ｃ ＋ｃ （
＝
（） ２
其中 ｋ ｃ 和 分别为波数和波速 ．
将／ ） ４４ 展开为下列 Ｊｃｂ椭圆正弦函数 ２ ａｏｉ ， 的级数 ：
此方法就为双曲正切函数展开法． 所以 Ｊｃｂ椭 圆函数展开法包含了双 曲正切函数展开法． ａｏｉ
（ ７ ）
３ 求解
广义的五阶 Ｋ Ｖ方程为 ： ｄ
高等结构动力学2
t
p (τ )
数值积分递推计算公式：v N = AN sin ω D t N − B N cos ω D t N 矩形公式： 曲边梯形：
AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) +
二次曲线： AN = AN −2 exp(−ξω∆τ )
+ ∆τ 3mω
∆τ y N −1 exp(−ξω∆τ ) mω D ∆τ [ y N −1 exp(−ξω∆τ ) + y N ] AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) + 2 mω D
FFT计算法则(续) ③ WNnm计算方法
(2 nm WN = WN
γ −1
nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 + 2γ − 2 mr − 2 +L+ m0 )
∵
a +b a b WN = WN WN
∴ W
nm N
=W
( 2γ −1 nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 ) N
1.1 无阻尼精确解(续)
广义卷积(General Convolution Integral)：
v(t ) = p(τ )h(t − τ )dτ
0
∫
t
(t ≥ 0)
单位脉冲响应函数(Unit-Impulse Response Function)：
广义b方程的孤立波解及周期波解
广义b方程的孤立波解及周期波解
杨佼朋;梁勇
【期刊名称】《数学物理学报（A辑）》
【年(卷),期】2024(44)3
【摘要】对于广义b方程的研究主要集中在b≥0的情况,该文利用分支方法研究了b=−3这类特殊广义b方程的分支、非线性波解及动力学特征.在一定参数条件下,得到了该方程的分支相图,还发现了不同于b>0情况的新现象,在行波系统中有无限多周期轨穿过奇异直线φ=c.同时,给出了光滑孤立波解和光滑周期波解的存在性及其精确表达式,共获得了15个非线性波解的显式表达式.
【总页数】17页(P670-686)
【作者】杨佼朋;梁勇
【作者单位】广东外语外贸大学数学与统计学院;华南理工大学数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.广义DP方程的尖波解、孤立波类解和周期波解
2.(2+1)维NNV方程的周期孤立波解和双周期孤立波解
3.广义五阶KdV方程的新的周期波解与孤立波解
4.一类广义Camassa-Holm方程的孤立尖波、孤子类解和周期解
5.Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada方程的同宿呼吸波解、周期波解和扭结孤立波解
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（2＋1）维ZK方程的孤立波解和周期波解
（2＋1）维ZK方程的孤立波解和周期波解康晓蓉;鲜大权【摘要】对（2＋1）维ZK方程进行了动力学定性分析，应用椭圆方程映射法和Jacobi椭圆函数展开法求得了方程的孤立波解、周期波解。
%We made a qualitative dynamic analysis of the (2+1)-dimensional ZK equation .The elliptic equation mapping method and Jacobi elliptic function expansion method were applied to construct the soli -tary wave and periodic wave solutions to this equation .【期刊名称】《西南科技大学学报》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】4页(P91-94)【关键词】(2+1)维ZK方程;椭圆方程映射法;Jacobi椭圆函数【作者】康晓蓉;鲜大权【作者单位】西南科技大学理学院四川绵阳 621010;西南科技大学理学院四川绵阳 621010【正文语种】中文【中图分类】O175.2本文考虑如下形式的(2+1)维 Zakharov－Kuznetsov(ZK)方程:其中α，β，γ为非零实数。
1974年，Zakharov和Kuznetsov从含有冷离子和热等温电子的磁化等离子体中推导出了该模型方程。
它作为与波动现象密切相关的非线性方程，既可用于描述水波在(2+1)维空间的运动规律，也可用于描述处于磁场中的等离子体的运动规律。
早在20世纪90年代，Shivamoggi B.K.利用Painleve测试法对它作了研究［1］。
近年来，该方程引起了更多物理学家和数学家的关注。
闫振亚等用拟设法得到了组合的(2+1)维ZK方程的钟状与扭状组合型孤波解和周期孤波解［2］;Mou S.S.A.通过相似约化获得了(1)式的一些显式解［3］;Abdul－Majid Wazwaz采用 sin－cos法和扩展tanh法得到了2个修正形式周期孤子解和周期解［4－5］;石玉仁等用同伦分析法得到修正的方程(1)的一些近似精确解［6］;闫志莲等利用改进直接法给出了广义(2+1)维ZK方程的对称和新旧显式解间的关系［7］;邓朝方应用新的扩展双曲函数法，得到了方程(1)的若干周期波解［8］;杨征等用改进Riccati方程映射法得到了特殊孤子解结构［9］。
fxd1-2无阻尼单摆
02 sin
0
非线性方程
式中角频率：
0 g / l
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
线性化处理
d 2
dt2
02 sin
0
sin x x x3 x5 x7 3! 5! 7!
忽略3次以上的高次项
得线性方程
sin x x
d 2
dt2
02
C e* i0t 1
C2*ei0t
C1ei0t
C2ei0t
C1 C2*; C2 C1*
将 C1,C2 写成指数形式C1 (P / 2)ei ,C2 (P / 2)ei 后得：
(t) (P / 2)(ei(0t ) e ) i(0t ) P cos(0t )
看看实验结果：
0
5
10
20
T/T0 1.0000 1.0005 1.0019 1.0077
30 1.0174
45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 dt 2
02 sin
E
2 dt 2
K V E
右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过
程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
cos
4 单自由度系统的自由振动
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
由材料力学可知，简支梁受集 中载荷作用，其中点静挠度为
st
mgl 3 48EI
1 f 2π 48EI ml 3
求出系统的固有频率为
中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为
k 48EI l3
1.1 无阻尼系统的自由振动
1 1 2 2 2 2 I B pn kb 2 2
pn
kb 2 IB
1.3 瑞利法 利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能， 仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法。 应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。 对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位 移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截 面的静变形一样。 根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。 依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
v0 2 2 A x0 ( ) pn arctg ( pn x0 ) v0
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
f 1 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
非线性物理(单摆杜芬方程)讲义
面。所有相轨线都将呈现在柱
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期 周期与摆角无关？
T0 2 / 0 2 l g ? T ?
T0为零摆角极限下的周期 看看实验结果：
T/T0
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论：
1. 周期随摆角增加 而增加 2. 随摆角增加波形 趋于矩形
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 0 sin 0 2 dt
(1) (2) (3)
非线性方程, 式中角频率：
0 g / l
线性化处理
d 2 2 0 sin 0 2 dt
x x x sin x x 3! 5! 7!
g l
t
看作 t )，可得
(16)
1 2 E 1 cos H 2 mgl
由此解得
常量
2H 1 cos
(17)
3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线
单摆完整相图
0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合道； 1.坐标原点[ 0， 2.平衡点[ 0 ]为单摆倒置点(鞍点),附近相轨线双曲线; 0 ]或相反的连线为分界线. 0 ]到[ 3.从[
相图
引入代换 0t t 得： d 2 0 2 dt 一次积分后：
1 d 1 2 E 2 dt 2
2
(6)
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两 个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 2 E ，振动过 程是一个代表点沿圆周转动。
《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的无阻尼受迫振动
单自由度系统的受迫振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、单自由度系统的无阻尼受迫振动2、单自由度系统的有阻尼受迫振动1、单自由度系统的无阻尼受迫振动受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
km简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力。
简谐激振力随时间的变化关系可写成：)sin(j w +=t H F 其中：H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；j 是激振力的初相角。
（1）振动微分方程m 取物块的平衡位置为坐标原点，x 轴向下为正。
物块的受力为恢复力F e 和激振力F 。
F e F方程两边同除以m ，并令, 得到：m k =20w H h m=)sin(d d 2022j w w +=+t h x tx ——无阻尼受迫振动微分方程的标准形式解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
齐次方程的通解可写为：)sin(01q w +=t A x 特解可写为：2sin()x b t w j =+将x 2 代入微分方程，得到:)sin()sin()sin(22j w j w w j w w +=+++-t h t b t b 解得：220ww -=hb 微分方程的全解为：)sin()sin(2200j w ww q w +-++=t ht A x 结果表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。
第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。
第一部分会逐渐衰减，而第二部分则是稳定的。
0sin()A t w q +220sin()ht w f w w+-1、单自由度系统的无阻尼受迫振动（2）受迫振动的振幅2220sin()hx t w j w w=+-系统的受迫振动为简谐振动，振动频率也等于激振力的频率，振幅大小与运动的初始条件无关，而与振动系统的固有频率ω0、激振力的频率ω、激振力的力幅H 相关。
广义波动方程及其解法
广义波动方程及其解法波动是物理学中重要的现象之一，它在自然界和生活中无处不在，如声波、电磁波和水波等。
而波动方程是描述波动现象的数学模型，它的求解对于理解和应用波动现象具有重要意义。
广义波动方程是指在某些复杂情况下，在波动方程中添加一些额外的项，从而得到更为通用的波动方程。
在物理学中，广义波动方程通常可以分为三大类：弹性介质中的波动方程、电磁波方程和量子力学中的波动方程。
弹性介质中的波动方程弹性介质中的波动方程是广义波动方程的一种，它用于描述声波和地震波等在固体、液体和气体介质中的传播，是地球物理学研究中的基本方程之一。
以一维情况为例，弹性介质中的波动方程可表示为：$$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partialt}\left(\kappa\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\right)$$其中，$u(x,t)$表示介质中的位移或压强，$c$表示介质中的声速，$\rho$表示介质的密度，$\kappa$表示介质的体积弹性系数。
对于该方程，可以采用传统的偏微分方程解法，如使用分离变量法、特征线法和格林函数法等，获得波动方程的解析解。
此外，还可以使用有限元法、有限差分法和谱方法等数值方法，获得波动方程的数值解。
电磁波方程电磁波方程是另一类广义波动方程，它用于描述电磁场在真空和介质中的传播。
它的形式类似于弹性介质中的波动方程，但其中的场强和介质的电磁参数具有不同的物理含义。
以三维情况为例，电磁波方程可表达为：$$\nabla^2 \boldsymbol{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}=0$$$$\nabla^2 \boldsymbol{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{B}}{\partial t^2}=0$$其中，$\boldsymbol{E}$和$\boldsymbol{B}$分别表示电场和磁场，$c$表示光速，$\nabla^2$为拉普拉斯算子。
广义对称正则长波方程的孤立波解
广义对称正则长波方程的孤立波解以《广义对称正则长波方程的孤立波解》为标题，本文主要探讨对称正则长波方程的孤立波解及其在天文学中的应用。
现代物理学中有许多不同的方程，其中一类是长波方程，它是一类受到重力作用的重要的非线性波方程。
这类方程在描述深海的潮汐预报，总水位的变化，地壳和大气中的波动与其他流体动力学现象中发挥着重要作用。
其中最著名的对称正则长波方程，就是以求解风暴中心位置及其机制所必须采用的方法之一。
该方程实质上是一维的、不可约、非线性的、拉普拉斯微分方程：$$U+U^{n+1}=0$$其中，U为木棒函数，n为正整数。
该方程中的孤立波解则是指方程的定性总路径，具体来说，就是将$$U+U^{n+1}=0$$对U的导数积分，得到的表达式的等价的表达形式。
孤立波解可以用于模拟风暴中心的运动，并可以用来预测风暴中心的位置。
在天文学上，孤立波解可以用于研究太阳的外层的极端运动，以及太阳系的惯性引力波传播，从而提出新的观点，用来解释太阳系的结构。
对称正则长波方程的孤立波解可以以多种形式描述，其中最常见的形式是双曲线形式：$$U(x,t)=(x^2-t^2)^{-1/2}$$其中，U(x,t)表示波的幅度，x表示空间变量，t表示时间变量，这种形式的孤立波解是最常用的形式。
另外，还有其他形式的孤立波解，例如，“指数波解”：$$U(x,t)=e^{-t/sqrt{x}}$$这种孤立波解可以用来模拟布朗运动中超声波的行为，在应用到声子发射和太阳风体形成等方面具有广泛的应用。
总之，以《广义对称正则长波方程的孤立波解》为标题，本文主要介绍了对称正则长波方程的孤立波解及其在天文学中的应用，对称正则长波方程的孤立波解有多种表示形式，可以用来模拟风暴中心的运动，预测风暴中心的位置，以及描述太阳系的结构。
单摆的运动微分方程与解
单摆的运动微分方程与解
单摆是一个基本的物理模型，其运动可以用微分方程来描述。
假设单摆的摆长为L，质量为m，角度为θ，角速度为ω。
根据牛顿第二定律，单摆的运动微分方程可以表示为：
m * d²θ/dt² = -mg * sin(θ)
这里，g 是重力加速度。
这个微分方程描述了单摆在受到重力和阻尼力作用下的运动。
解这个微分方程，可以得到单摆的角速度和角度随时间的变化。
解这个微分方程，可以得到单摆的角速度和角度随时间的变化。
角速度ω 的通解为：
ω = ω₀ * (1 - exp(-t / 2L))
其中，ω₀ 是初始角速度。
角度θ 的通解为：
θ = θ₀ * (1 - exp(-t / 2L)) + θ₁ * exp(-t / 2L)
其中，θ₀ 和θ₁ 是初始角度和最终角度。
这些解描述了单摆在受到重力和阻尼力作用下的运动规律。
1.2无阻尼自由振动 振动力学课件
第二节 无阻尼的自由振动
无阻尼的自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度
动能：
T 1(3mR2)2
22 势能：
k
1
A
k
1
a
k
R Bb
k
2
2
V 1 2(2 k 1 )(R a )22 1 2 (2 k 2)(R b )22
T m a x V m a x , m a x 0m a x
0 2 2 [ k 1 ( R 3 a m ) 2 2 k /2 2 ( R R b ) 2 ] 3 4 m [ k 1 ( 1 R a ) 2 k 2 ( 1 R b ) 2 ]
v W
解：
x(t)x0co0st x0 0si n0t
0
k=5.781069.8=19.6rad/s m 1.47105
卡住 x = 0
xv
x 0.25 A = 0.0128
0 19.6
x(t) x 0sin ( 0 t)0 .0 1 2 8sin (1 9 .6 t) (m )
v W
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 ：
系统最大势能：
Vmax
单自由度系统自由振动分析的一般目标：
1、求系统的固有角频率，即固有频率（由振动方程求） ； 2、求解标准方程。
二、能量法
对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可 以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出 系统的固有频率。
多自由度无阻尼力学模型
多自由度无阻尼力学模型一、引言多自由度无阻尼力学模型是指在没有阻尼的情况下，考虑多个自由度之间相互作用的力学模型。
这种模型在物理、工程等领域中有着广泛的应用，如机械振动、建筑结构、电路系统等。
本文将从多自由度无阻尼力学模型的定义、基本方程式和解析方法等方面进行详细介绍。
二、多自由度无阻尼力学模型的定义多自由度无阻尼力学模型是指在没有阻尼的情况下，考虑多个自由度之间相互作用的力学模型。
其中，“自由度”指系统中可以独立变化的量，比如机械振动中可以是质点位置或速度等；“相互作用”指不同自由度之间存在耦合关系，即一个自由度变化会影响到其他自由度。
三、基本方程式1. 多自由度系统动能多自由度系统动能可以表示为：T = 1/2 ∑i=1n mi vi^2其中，n为系统中自由度数目；mi为第i个质点的质量；vi为第i个质点的速率。
2. 多自由度系统势能多自由度系统势能可以表示为：V = 1/2 ∑i=1n ki xi^2 + 1/2 ∑i,j=1n i>j kij xi xj其中，ki为第i个自由度的劲度系数；kij为第i个自由度和第j个自由度之间的耦合系数；xi为第i个自由度的位移。
3. 拉格朗日方程多自由度系统的拉格朗日方程可以表示为：∂L/∂xi - d/dt(∂L/∂vi) = 0其中，L = T - V是拉格朗日量。
4. 哈密顿方程多自由度系统的哈密顿方程可以表示为：dq/dt = ∂H/∂pdp/dt = -∂H/∂q其中，H = T + V是哈密顿量；q和p分别代表广义坐标和广义动量。
四、解析方法1. 特征值法特征值法是求解多自由度无阻尼力学模型的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）将拉格朗日方程写成矩阵形式；（2）求解矩阵特征值和特征向量；（3）将特征向量代入原方程组中，得到每个自由度的振动频率和振幅。
2. 耦合振动法耦合振动法是求解多自由度无阻尼力学模型的另一种常用方法。
具体步骤如下：（1）将原方程组分解成每个自由度的单独方程；（2）将单独方程组合成一个整体方程；（3）求解整体方程的特征值和特征向量；（4）将特征向量代入原方程组中，得到每个自由度的振动频率和振幅。
非线性偏微分方程的孤立波解的开题报告
非线性偏微分方程的孤立波解的开题报告
一、研究背景：
孤立波是指在介质中以个别波包的形式传播的波，其波形保持不变，速度和形状决定于介质性能。
孤立波解是非线性偏微分方程研究中的重要问题，其能够解释海浪、光学领域等现象。
二、研究目的：
本研究旨在研究非线性偏微分方程的孤立波解，通过对孤立波解的求解和分析，探究其物理机制和实用价值，为解决非线性偏微分方程的相关问题提供理论指导。
三、研究内容和方法：
1. 系统学习非线性偏微分方程和孤立波解的基本理论原理，熟悉关于孤立波解的定义、性质和分类。
2. 对现有的一些非线性偏微分方程模型，如Korteweg-de Vries方程、Boussinesq方程等进行分析研究，分别得到它们的孤立波解。
3. 基于前两步的研究内容，根据所学知识建立自己的非线性偏微分方程模型，并通过数值模拟等方法验证该模型的孤立波解。
四、预期成果：
通过研究非线性偏微分方程的孤立波解，我们希望能够得到相应的求解方法，探讨解的存在唯一性及其性质，并能够成功应用到实际问题中。
五、研究意义：
非线性偏微分方程的孤立波解研究能够深入理解物理现象和自然规律，对于国家科学技术、环境生态以及能源资源等领域的发展具有重要意义。
无阻尼单摆周期的高阶公式
无阻尼单摆周期的高阶公式
王瑞军;沈文梅;王雷震;孙宏凯
【期刊名称】《河北建筑工程学院学报》
【年(卷),期】1998(0)1
【摘要】本文利用计算机数学软件Maple计算了无阻尼单摆的周期,得到了高阶结果。
【总页数】3页(P67-69)
【关键词】无阻尼;单摆;Maple
【作者】王瑞军;沈文梅;王雷震;孙宏凯
【作者单位】河北建筑工程学院物理教研室;河北建筑工程学院数学教研室
【正文语种】中文
【中图分类】O321
【相关文献】
1.小角度下单摆系统阻尼系数β的公式推导与验证 [J], 赵立珍;张高高;陆道溢
2.以重力场中的周期公式为依托、应用知识的迁移速写各种复合场中的单摆周期[J], 吕晴霞;
3.用微元法推导无阻尼单摆运动任意角度下的周期公式 [J], 许飞;谢海芬
4.小角度下单摆系统阻尼系数β的公式推导与验证 [J], 赵立珍;张高高;陆道溢;
5.用简谐运动的周期公式求单摆小角度摆动的周期 [J], 张晓丽
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用分析力学的方法推导以广义坐标表示的虚功原理
用分析力学的方法推导以广义坐标表示的虚功原理
杨佩兰
【期刊名称】《邯郸职业技术学院学报》
【年(卷),期】2001(014)002
【摘要】本文考虑非稳定约束情况,应用广义坐标推导了具有理想约束质点系的虚功原理表达式.
【总页数】2页(P21-22)
【作者】杨佩兰
【作者单位】邯郸职业技术学院机电系,邯郸,056001
【正文语种】中文
【中图分类】O312
【相关文献】
1.虚功原理与广义坐标 [J], 薛纭
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3.分析力学由广义坐标到作用-角变量--分析力学札记之六 [J], 梅凤翔
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5.谈虚功原理中的广义坐标 [J], 王怡林
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２ １ 年 ６月 ０ １
江 南 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＪａ ｇ ａ ｉｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｉｎ ｎ ｎＵｎｖ ｒｉ （ ｔｒ ｌ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｔ Ｓ ｉ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ３ １１ ．
性 数学 物 理方 程 的精确 解 方 面 ， 献 ［． ］从 不 同 文 １８ 的角度 得 到 了一 些 重 要 的 结 果 。 者 应 用 文 献 ［ ］ 作 ９ 中指 数 函数法 ， 求解 无 阻尼单 摆 运动 微分 方程 ０ ｔ ｓ ［ （）１
无 阻 尼 单 摆 运 动 微 分 方 程 的广 义 孤 立 波 解
张 广平
（ 陇东 学院 电气工 程 学院 ， 甘肃 庆 阳 ７ ５ ０ ） ４ ０ ０ 摘 要： 通过 变换 正 弦函数 ， 无 阻尼 单摆 运 动 微 分 方 程 转化 为等 价 的 多项 式 类 型 的 非线 性 常 微 将
Ｇ ｅ ｒ ｌｚ ｄ Ｓｏ ｉａｒ ａ ｅ Ｓｏ ｕｔｏ ｆＵ ｎｄａ ｐ ｄ Ｓｉ ｐｌ ｎ ｎｅ ａ ｉ ｅ ｌｔ ｙ Ｗ ｖ ｌ ｉ ｎ ｏ ｍ ｅ ｍ ｅ Ｐｅ ｄｕｌ ｕｍ
Ｄ ｉｆ ｒ ｎｔａｌＥｑｕａ ｉ ｓ ｏ ｏ ｉ ｎ ｆｅ ｅ ｉ ｔｏｎ ｆＭ ｔｏ
分 方程 。 这种 常微 分 方程 可 以应 用指 数 函数 方 法求解 ， 而得 到广 义孤 立波 解。 从 关键 词 ：无 阻尼 单摆 ； 非线性 微分 方程 ； 数 函数方 法 ； 义孤 立 波解 指 广 中图分 类号 ： ７ ．４ 文献 标识码 ：Ａ 文章编 号 ：６ １—７ ４ （０ １ ０ ０ １５ １ １７ １ ７ ２ １ ） ３—０ ５ ３ ８—０ ３
随着 科学 的发展 ， 以物 理 问题 为 背景 的非 线性
演化 方 程 的研究 ， 成 为 当代 非 线 性科 学 的一 个 重 正 要 研究 方 向 ； 造和 发 展 非线 性 演 化 方程 的求 解 方 构
困难 的。 着 近 代 物 理 对 孤 立 子 和混 沌 问题 的 研 随 究 ， 具 有 孤 立 子 的非 线性 方 程 的 精 确解 析 解 ， 求 对
ＺＨＡＮＧ ａ — ｉ ｇ Ｇｕ ｎｇ ｐ ｎ
（ ｏｌｇ ｆ ｌｃｒ ａ ｎｉｅｒ ｇ ｏ ｇＤ ｎ ｎｖｒ ｔ， ｉｇ ｎ ４ ００， ａ ｓ ） Ｃ ｌ ｅｏ ｅｔｃｌ ｇｎ ｅｉ ，Ｌ ｎ —ｏ ｇＵ ｉｅｓｙ Ｑ ｎＹａｇ７ ５０ Ｇ ｎｕ ｅ Ｅ ｉ Ｅ ｎ ｉ
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｗ ｅ ｃ ｎ ｃ ａ ｅ ｆｏ ｔ ｅ ｄ ｍｐ ｄ ｓｍｐ ｅ ｐｅ ｌ ｔａ ｔ ａ ｈ ｎｇ ｒ ｍ ｈ ａ ｅ ｉ ｌ ｄｕ ｕｍ ｆｅ ｅ ｉ ｌｅ ｕａ ｉｎ ｏ ｔｏ ｎｔ ｈｅ ｄｉ ｒ ｎｔａ ｑ ｔｏ ｆｍｏ ｉ ｎ ｉ ｏ ｔ ｎ ｎｌｎｅ ｒ ｏ ｄ ｎａ ｙ ｏ ｉ ａ ｒ ｉ ｒ ｄｉ ｅ ｅ ｉ ｌ ｑ ｔｏ ｂ ｔａ ｆ ｒ ｎ ｓｎ ｆ ｎｃ ｉ ｎ． Ｔｈｅ ｅｎ ｒ ｌｚ ｄ ｏ ｉｉ ｆ ｒ ｎｔａ ｅ ｕａ ｉ ｎ ｙ ｒ ｎｓｏ ｍｉ ｇ ｉ ｅ ｕ ｔｏ ｇ ｅ ａ ｉ ｅ ｓ ｌｔｏｎ ｓ ｌ ｉ ｎ ｉ ｂ ａ ｎｅ ｉ ｈｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｏ ｖ ｎ ｈ ｘ ｎｅ ｔａ ｕ ｔｏ ｏ ｕｔｏ ｓ ｏ ｔ ｉ ｄ ｕｓｎｇ ｔ ｔ ｏ ｆｓ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ ｅ ｐｏ ｎ ｉ ｌｆ ｎｃ ｉ ｎ． Ｋ ｅ ｗｏ ｄｓ： ｕ ａ ｅ ｓｍｐ ｅ ｙ ｒ ｎｄ ｍｐ ｄ ｉ ｌ ｐｅ ｄｕ ｕｍ ， ｎ ｎｌｅ ｒ ｒ ｎ ｒ ｄｉ ｅ ｅ ｉ ｌ ｑｕ ｔｏ ｎ ｌ ｏ ｉ ａ ｏ ｄｉ ａ ｙ ｆ ｒ ｎｔａ ｅ ａ ｉ ｎ， ｅ ｐ ｎ ｎｔａ ｆ ｘ ｏ ｅ ｉｌ ｆ ｃ ｉ ｎ， ｅ ｅ ａ ｉｅ ｏ ｉｉ ｎ ｓ ｌ ｉ ｎ ｕｎ ｔｏ ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｓ ｌｔｏ ｏ ｕｔｏ
方 程具 有重 要 的物理 意 义新解 。 无 阻 尼单 摆 运 动 对
个， 它是非线性振动 问题 中研究得较多且较深入
微 分 方程精 确解 的研 究 ， 利 于对 非 线 性 系统 行 为 有
的解 析 研 究 ， 于 揭 示 无 阻 尼 单 摆 系 统 的 非 线 性 便
行 为
的一个 例 子 ， 是 一 个 简 单 的动 力 学 模 型 ， 有 非 也 具 常复 杂 的动 力 学 行 为 ， 一 个 复 杂 系统 。 求 非 线 是 在
首先， 令 则式 （ ）变 为 １
得到 了广 义孤 立波 解 。 般 来说 ， 非线 性 系 统行 为 的解 析 研 究 是 相 当
一
１ 变换 方 程
收 稿 日期 ：０ ０ —１ —２ ； 修 订 日期 ：０ １—０ —２ 。 ２１ ２ １ ２１ ２ ４
作者简介 ： 张广平 （９ ８ ） 男 ， １５一 ， 甘肃靖远 人 ， 副教授 。 主要从事数学物理方法 的研究 。
Ｅｍａ ｌ ｚ ｐ ｎ ｓｒ ｙ ｈ ｏ ｃ ｎ． ｎ ｉ： ｇ ｉ ｇ ｉ＠ ａ ｏ ． ｏ ｅ
第 ３期
张广 平 ： 阻尼 单摆 运 动微 分方程 的广 义孤 立 波解 无
３９ ５
于微分 方程 和 动力 系统 产 生 了深 远 影 响 。 随着 孤 立
法 ， 非 线 性 数 学 物 理 问题 中 的研 究 课 题 之 一 。 是 无
阻尼单 摆 运 动 微 分 方 程 就 是 非 线 性 演 化 方 程 中 的
一
子 理论 的进 一 步发 展 ， 不 断发 现 许 多 非线 性 发 展 会