文化和艺术中的数学——MC埃舍尔图形创意的数学观研究

３８上海交通大学学报（哲学社会科学版）第１８卷面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻反映了非欧几里德几何学的精髓，而他自已也被悖论和“不可能”（Ｔｈｅｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ）的图形结构所迷住。

总体来看，埃舍尔图形创意的数学灵感主要来源于以下几个方面：数学家罗杰·彭罗斯（ＲｏｇｅｒＰｅｎｒｏｓｅ）的三角原理、数学对称理论、几何学中无穷悖论以及射影几何理论等。

基于以上的数学灵感，他创造性地创作了许多吸引人的艺术成果，并且借助可视化的图形创意发展演绎了数学的思想和理论。

２．Ｍ．Ｃ．埃舍尔创意作品的特征与分类依据Ｍ．Ｃ．埃舍尔艺术作品的风格和形式特征以及所基于的数学思维和理论，其作品风格特征以及创意所基于的数学原理和理论大概可分为如下几种类型：（１）幻想的空间（Ｔｈｅｉｌｌｕｓｉｏｎｏｆｓｐａｃｅ），基于视错觉及几何学原理。

（２）渗透的世界（Ｐｅｎｅｔｒａｔｉｏｎｏｆｗｏｒｌｄｓ），基于视错觉及几何学原理。

（３）有规律的平面分割（Ｔｈｅｒｅｇｕｌａｒｄｉｖｉ－ｓｉｏｎｏｆｔｈｅｐｌａｎｅ），基于数学对称理论。

（４）透视（Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ），基于射影几何理论。

（５）有规则的晶体和螺旋形的体构（Ｒｅｇｕ—ｌａｒｓｏｌｉｄｓａｎｄｓｐｉｒａｌｓ），基于晶体学理论。

（６）所谓“不可能”（Ｔｈｅｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ）或称矛盾空间，基于视错觉以及数学家罗杰·彭罗斯的三角原理（ＲｏｇｅｒＰｅｎｒｏｓｅ’ｓｔｒｉａｎｇｌｅ）。

（７）太空（Ｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅ）或时空无穷极限，基于数学和几何学中无穷悖论理论。

图ｌ是数学家罗杰·彭罗斯的三角原理示图和“疯狂的板条箱”（ＣｒａｚｙＣｒａｔｅ）示意图。

图２、图３、图４和图５分别是Ｍ．Ｃ．埃舍尔基于以上相关数学原理而创作的部分作品（资料来源于“ＴｈｅＭａｇｉｃＭｉｒｒｏｒｏｆＭ．Ｃ．Ｅｓｃｈｅｒ”ｂｙＢｒｕｎｏＥｒｎｓｔ）。

如图２所示，这是Ｍ．Ｃ．埃舍尔根据数学家罗杰·彭罗斯的三角原理（文章发表在１９５８年２月英国心理学杂志）所创作的一系列探索和研究的作品，称为不可能存在的建筑（Ｉｍ—ｐｏｓｓｉｂｌｅＢｕｉｌｄｉｎｇ）。

作品中所探索和表现的矛盾空间以及由视错觉所形成的幻觉，其主要原理是基于数学家罗杰·彭罗斯的三角原理和视觉心理学等有关知识。

在作品《上升与下降》中，见图２（ａ）图２（ｂ）是作品的草图和原理解析说明，如果人们紧跟着画中的那些僧侣向上走，理应每走动一步都会到达更高一层台阶。

但是，走完一圈之后，人们却发现自己又回到了原点。

反之，如果人们跟着那些僧侣沿着台阶向下走动，同样当人们完成整圈之后又回到了原处。

无穷尽的上升与下降这种循环反复就是这作品的主题。

当然，作品其中还蕴含作者对审美、对生命，对宇宙等种种思考。

显然，数学和视觉心理学等有关原理在图形结构的构造中起有效的辅助作用。

图２（ｃ）是Ｍ．Ｃ．埃舍尔根据数学家罗杰·彭罗斯的三角原理所创作的另一幅作品。

画面中瀑布流水川流不息，人们初看发现不出任何异样，也就是说，人们的视线如跟随建筑中的细部和Ｚ字型水沟看去，根本无法发现画中所蕴藏的视错觉骗术。

但经细心观察就能发现，水的流向完全违反地心引力原理，瀑布水的源头与下面的积水沟是同处一个水平面，人们眼睛看到的和物质对象存在差异和错觉。

图２（ｄ）是作品的草图和原理解析示意图。

圈１田２（ａ）圈２（ｂ）图２Ｉｔ）图２（ｄ）图３（ａ）是Ｍ．Ｃ．埃舍尔基于数学几何学中无穷悖论理论为探索太空或时空无穷极限而创作的系列作品之一，作品名为《内部变小无极限》（Ｔｈｅｉｎｎｅｒｐａｒｔｏｆｓｍａｌｌｅｒａｎｄｓｍａｌｌｅｒ），２０１０年第５期林迅文化和艺术中的数学３９描绘同一母题的向内无穷尽变小和收缩变换。

图３（ｂ）是根据几何学中无穷悖论理论而创作的另一幅作品，相同母题在无穷尽变小和收缩变换同时形成有规律性的空间填补。

图４是Ｍ．Ｃ．埃舍尔以探索宇宙、自然、生命和数学为主题和灵感而创作的系列作品之一，作品名为《四面体小行星》（Ｔｅｔｒａｈｅｄｒａｌｐｌａｎｅｔｏｉｄ），描绘有人类居住的小行星，是一个环绕星球表面的正四面体（Ｒｅｇｕｌａｒｔｅｔｒａｈｅｄｒｏｎ），共由四个三角形表面构成，其中二个三角形的面为可视面（朝正面），画面中间垂直的边锋将正四面体的两个面分离。

所有垂直于可视三角形面的直线：围墙、房子、居住人群、树等，向球体的中心方向，直线的透视消失点聚焦在球体的中心，即球的地心引力中心，所有水平于可视三角形面的表面：花园、道路、弯曲伸展的运河水的表面均是构成球体外壳的组成部分。

作品的数学灵感来源于晶体学、射影几何及柏拉图宇宙天体模型原理等。

图５（ａ）为Ｍ．Ｃ．埃舍尔的自画像《手持反射球体》（ＨａｎｄｗｉｔｈＲｅｆｌｅｃｔｉｎｇＳｐｈｅｒｅ），球中反射影像就是Ｍ．Ｃ．埃舍尔本人，作品是根据几何学中射影几何理论而创作。

图５（ｂ）为Ｍ．Ｃ．埃舍尔形究球体上射影几何原理的示图。

图３【ａ）图３（ｂ）图４图５（ａ）图５（ｂ）二、数学对称理论的释义１．数学对称理论在科学中，对称性指的是研究对象在某种变换或操作下保持不变的性质，因而具有根本性意义。

所谓对称变换（ｓｙｍｍｅｔｒｙｔｒａｎｓｆｏｒ—ｍａｔｉｏｎ）是对称操作（Ｓｙｍｍｅｔｒｙｏｐｅｒａｔｉｏｎ）的结果。

在平面中，对称操作只影响对象的几何学性质的变换，对称变换仅涉及设计的结构。

同时，允许反演对称操作并使对象重新回到原点。

在艺术中，对称性常与平衡、形状、形式、空间等相联系。

历史上最早意识到“对称”在二维平面设计中（尤其是纺织品图案设计及平面图形装饰设计）具有辅助作用，并努力使“对称”原理非神秘化地应用于设计实践的人是Ｈ．Ｊ．Ｗｏｏｄｓ。

他是英国利兹大学纺织系的一名物理学家，在２０世纪３０年代他连续发表了４篇研究论文，［１］试图通过简易通俗的数学语言解析数学对称原理，并通过可视化的图形符号解析对称在构建图形结构与设计过程中的辅助作用。

Ｗｏｏｄｓ的最初动机是鼓励和启发那些从事纺织品图案设计的学生，通过学习数学对称原理，在二维重复的有规律性的图形结构的设汁过程中得到帮助。

这些最初的理论探索和尝试在以后的晶体学领域得到发展并被用于解释三维空间的晶体结构。

从非数学研究的角度看，ＯｗｅｎＪｏｎｅｓ的著作《装饰原理》（ＴｈｅＧｒａｍｍａｒｏｆＯｒｎａｍｅｎｔ。

出版于１９世纪初）似乎最具影响力。

该书分析介绍了大量的图案与装饰，并根据不同的时期、民族区域和风格对其分类。

该书在以后的２０世纪，直至近年还在继续再版，同时印有法文２０１０年第５期林迅文化和艺术中的数学４３ＡｎｃｉｅｎｔＷｏｒｌｄ”ｂｙＦｌｉｎｄｅｒｓＰｅｔｒｉｅ）这是基于数学对称原理而构成的各种编织纹样装饰，来自不同区域、民族和文化的与图案相关的原始手工艺品。

在中西方传统的建筑和圣殿的建造过程中，在布局和结构中都有发现其中蕴含着数学对称原理，当然这其中也蕴涵着文化、宗教、美学等内容的考量。

在传统文化符号中，对称常应用于有规律的、持续的、带有周期性的排列和装饰的文化符号。

对称不仅对数学家和物理学家有吸引力，生物学家、画家、建筑师、心理学家、考古和史学家乃至音乐家都在思考和讨论它的普遍意义和影响力。

图１２数学对称在图形创意中应用的历史十分久远，可追溯到人类的史前文化。

所谓图形创意，即人类在原始岩石及山洞墙壁上涂鸦时就已开始的一项文化启蒙活动，在世界上发现的大量岩壁上均有记录。

现今考古发现的那些古代原始岩画或山洞中的壁画，绘画的主题基本上都是动物、人物、狩猎等与生活和劳动有关的内容。

描绘生动，形象简练，具有强烈的符号特征。

图１３为我国西南地区位于云南中南部沧源岩画。

（资料来源于《对称与图形创意》林迅著）从对称的图形创意角度看，在现已发现的大量的新石器时代的手工陶艺及夏商周的青铜制品中，其纹样和各种装饰与原始岩画作比较，图形的“繁”（复杂性）“复”（重复和周期性）程度、图案的故意编排及创意设计的特征也较为突出，网案装饰的规律性和周期性特征十分明显，图案中相同母题的重复和排列显然是根据某种编排的“法则”和规律进行的，所谓法则，即基于人类最原始几何学的思考和原理．对研究图形设计起源和发展提供了极其珍贵的史料。

图１４（ａ）和１２（ｂ）（资料来源于Ｇｏｏｇｌｅ－图片搜索）分别为新石器时代的彩陶文化和商代晚期的青铜器“父丁卣”（装饰纹样局部）。

图１３图１４（ａ）圈１４【ｂ）数学对称理论，是人类在劳动和生活中的某种需要和兴起所激发的一种数学思维和活动的灵感。

从人类懂得选择适当的石头和砖瓦用来构筑自已的藏身和住宿时起，人类已经开始接触图形和图案并同时引入了数学几何对称的思考和概念。

人类这种原始的数学活动的灵感所体现出的规律性、周期性以及循环反复的特征，与数学几何对称的基本原则是吻合的，对数学几何对称理论的逐步形成和发展起到了促进作用。

图１５是中国新疆高昌古城遗址。

（图片由作者本人拍摄于古城遗址）４４上海交通大学学报（哲学社会科学版）第１８卷图１５三、数学对称理论在Ｍ．Ｃ．埃舍尔图形创意中的具体应用埃舍尔图形创意的数学灵感和理论来源于很多方面，就有规律的平面分割创意（或称有规律地重复的平面图形创意）而言，其创意中的数学思维与原理主要基于数学对称理论。

虽说埃舍尔图形创意研究中所使用的符号标示与国际晶体学领域广泛通用的符号标示体系有所不同，但他们共同所基于的对称理论和原理是完全一致的。

以下对埃舍尔图形创意中所具体应用的相关数学对称理论、原理及符号标示作进一步详细解释。

图１６是埃舍尔基于ｃｌａｓｓｐ３类对称特征及原理所创作的作品（资料来源于“ＴｈｅＭａｇｉｃＭｉｒｒｏｒｏｆＭ．Ｃ．Ｅｓｔｈｅｒ”ｂｙＢｒｕｎｏＥｒｎｓｔ），是一幅以人物为主题的有规律的平面分割创意。

根据平面对称操作原理，人物图形的排列与变形巧妙地将整个平面填满，人物的形与形之间不存在形的重叠以及被遗漏覆盖的空间出现。

ｃｌａｓｓｐ３类对称特征的图形创意，基于一个六边形点阵的单位胞体和一个等于３的最高旋转阶。

存在三个不同的三次旋转中心。

基础区域（ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｒｅｇｉｏｎ）的面积是单位胞体面积的三分之一。

图形结构中存在三种不同的三次旋转中心（１２０。

旋转中心），即头部、脚以及膝盖相接点。

如选择任何其中一个点作为三次旋转中心，并将整个人物图形围绕该点旋转１２０。

，从而能使整个人物的图形与自身完全重合，根据对称操作只影响到对象的几何学性质的变换原则，在示图中对称变换仅涉及设计的结构，即对称操作可循环反复地使人物与自身重合。

完整的图案构成也可以通过平移和重复排列基本平移单位朝两个不同的方向移动。

在图案的生成和构成过程中共运用了两种几何变换，即平移和旋转对称操作。