等比数列教案——经典
《等比数列》教学设计 (共2课时)
第一课时
1、创设情境，提出问题 (阅读本章引言并打出幻灯片) 情境1:本章引言内容
提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的
麦粒数依次为：
于是发明者要求的麦粒总数是+ 2 + 22 +2' +
情境2:某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款, 二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？
10000(1+r),10000 (1 r)2,10000 (1 r)3,
情境3:将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所
得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？ 111
2'4‘8 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得
2、自主探究，找出规律:
学生对数列(1)，( 2)，( 3)分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每
一项与前一项的比都等于同一常数。 也就是说这些数列从第二项起，每一项与前 一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母 q (q 0)表示，即 a n : a n 1 q(n N,n 2,q 0)。
1 如数列(1)，( 2)，( 3)都是等比数列，它们的公比依次是 2，1+r, 1
2 点
评：等比数列与等差数列仅一字之差， 对比知从第二项起，每一项与前一 项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称 为“公差”或“公比”。 3、观察判断，分析总结:
观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理
由，然后回答下面问题：
1, 2，22,23,24,
，263 (1)
(2)
(3)
1, 3, 9, 27,……
111
1 —— - ................
，2， 4， 8，
1，-2，4，-8，....
-1，-1，-1，-1，……
1, 0, 1, 0,……
思考：①公比q能为0吗？为什么？首项能为0吗？
②公比q 1是什么数列？
③q 0数列递增吗？q 0数列递减吗？
④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：_____________
这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。
选题分析；因为等差数列公差d可以取任意实数，所以学生对公比q往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比q有防患意识，问题③是让学生明白q 0时等比数列的单调性不定，而q 0时数列为摆动数列，要注意与等差数列的区别。
备选题：已知x R则x,x2,x3,……x n,……成等比数列的从要条件是什么？
4、观察猜想，求通项：
方法1:由定义知道a2 a1q,a3 a?q a1q2, a4 a3q a^3, 归纳得：等比数列的通项公式为：a n a1q n 1（ n N）
（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的
结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶段我们只承认它是正确
的就可以了）
方法2:迭代法
根据等比数列的定义有
2 3 n 2 n 1
a n a n 1 q a“ 2 q a“ 3 q ................................ a? q 印q
方法3:由递推关系式或定义写出：—2 q,更q,免q, ............................... q，通过观
a i a2 a3 a n 1
察发现岂？乞？至？……玉q q q……q q n 1
a i a? a3 a n 1
q" 1，即：a n a1q n 1(n N )
a1
(此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用) 公式a n a1q n 1 (n N )的特征及结构分析：
(1)公式中有四个基本量：a1,n,q,a n，可“知三求一”，体现方程思想。
(2)a1的下标与的q n1上标之和1 (n 1) n ,恰是的下标，即q的指数比
项数少1。
5、问题探究：通项公式的应用
例、已知数列a n是等比数列，a3 2,a8 64，求a^的值。
4 4
备选题：已知数列a n满足条件：a n p(-)n，且a4一。求a$的值
5 25
&课堂演练：教材138页1、2题
5 备选题1:已知数列a n为等比数列，a1a310,a4a6一，求a°的值
4 备选题2:公差不为0的等差数列a n中，a2,a3,a6依次成等比数列，
则公比等于__________
7、归纳总结：
(1)等比数列的定义，即色1 q n 1 (q 0)
a1
(2)等比数列的通项公式a n a1q n 1 (n N )及推导过程。
选作：1、已知数列a n为等比数列，且a1 a2 a3 7,a1a2a3 8，求a n
2 、已知数列a n满足a11,a n1 2a n 1
(1)求证：a n1是等比数列；。
(2)求a n的通项a n。
第二课时
1、复习回顾：
上节课，我们学习了……(打出幻灯片)
(1)等比数列定义：a n: K 1 q(n N,n 2,q 0)
(2)通项公式：a n a i q n 1 (n N ,q 0)
(3)若电-1，数列a n是等比数列吗？a n a1 (- 1)n 1对不对？
a n 1n n
(注意：考虑公比q为常数)
2、尝试练习：
在等比数列a n中
(1)a2 18,a4 8，求a「q
(2)a5 a1 15,a4 a? 6,求a.
(3)在一2与一8之间插入一个数A,使一2, A,—8成等比数列，求A
(鼓励学生尝试用不同的方法求解，相互讨论分析不同的解法，然后归纳出等比数列的性质)
3、性质探究：
(1) 若a,G,b成等比数列，贝U G2 ab有，称G为a,b的等比中项，
即G , ab (a与b同号)；
思考：a2是谁的等比中项？a3呢？a n呢？
总结归纳得到性质(2)
2
(2) a n a n 1 a n 1(n 2)
逆向思考：若数列a n满足a；a n 1 a. 1(n 2)，它一定是等比数列吗？
(3) 若m n p q，贝U a m a n a p a q(m, n,p, q为正整数)
(4) a n a m q n m(n f m, n,m N )
4、灵活运用：
下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。
例1、在等比数列a n中，a3 a5 100，求a4
变式1、等比数列a n中，若a2 2,a6 162，则印。________________________
变式2、等比数列a n中，若a7 a12 5，则a8 a9 a10 a11____________________
变式3、等比数列a n中，若a1 a2 a3 7? a2 a3 8，则a n = __________________________
例2、已知数列a n, b n是项数相同的等比数列，求证：a n b n是等比数列。
变式1、已知数列a n, b n是项数相同的等比数列，问数列a n b n是等比数列吗？
变式2、已知数列a n是等比数列，若取出所有偶数项组成一个新数列，此数列还
是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？
变式3、已知数列a n是等比数列，若取出a1o,a2o,a3o,……组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？
变式4、已知数列a n是等比数列，若每一项乘以非零常数C组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？
(通过上述问题的讨论求解，归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质)
例3、三个数成等比数列，它们的和为14,它们的积为64,求这三个数。
备选题、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19,后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数。
5、课堂演练：
教材138页3、4、5
备选题：已知数列a n为等比数列，且a n f 0,a2a4 2a3a5 a4a6 25则a3 a5_______________ 备选题：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21, 中间两项的和为18，求这四个数。
&归纳总结：
(1)等比中项的概念
(2)等比数列有关性质
7、课后作业：
必作：教材139页习题6、7、10、11
选作：1、在数列a n, b n中，a n f 0,b n f 0，且anb,% 1成等差数列，
成等比数列，a1 1,b 2,a2 3，求a n : b n的值。
2、设xfyf2，且x y,x y,xy,-能按某种顺序构成等比数列x
，求这个等比数列。