特征根法求数列的递推公式
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特征根法求数列的递推公式
一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列
形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①
若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a
例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，
由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得121
12
c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+
例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a
解：其特征方程为2
441x x =-，解得1212x x ==，令()1212n
n a c nc ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
由1122121()121(2)2
4
a c c a c c ⎧
=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=
二、形如1n n n Aa B
a Ca D
++=
+的数列
对于数列1n n n Aa B
a Ca D
++=
+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）
其特征方程为Ax B
x Cx D
+=
+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②
若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a αα
ββ
++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的
值可求得c 值。
这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为
11a a α
β--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a 若②有二重根αβ=，则可令111
n n c a a αα
+=+--（其中c 是待定常数）
，代入12,a a 的值可求得c 值。
这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为
1
n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a 例3已知数列{}n a 满足1112
2,(2)21
n n n a a a n a --+==
≥+，求数列{}n a 的通项n a
解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令1111
11
n n
n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =
，可得13
c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以1111
13a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1
111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，
3(1)3(1)
n n
n n
n
a --∴=+- 例4已知数列{}n a 满足*1121
2,()46
n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为21
46
x x x -=
+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令
1111
12
2
n n c a a +=
++
+
由12,a =得23
14
a =
，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112
152a =+
为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552
n n n a ∴=+-⋅=-+，
135106
n n a n -∴=-