第7章一元一次不等式与不等式组讲义

第7章 一元一次不等式与不等式组 1．不等式

用不等号连接起来的式子叫做不等式．

常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，

具体表示方法是: ①确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点； 不包含边界点，则是空心圆圈；

②确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，

是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．

3．不等式的基本性质

(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．

如果a >b ,那么a +c >b +c ,a -c >b -c .

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

如果a >b ,并且c >0,那么a c >b c （或

___a b c c ） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

如果a >b ,并且c <0,那么a c

___a b c c

） 不等式的对称性： 如果a>b ，那么b

不等式同向传递性： 如果a>b ，b>c,那么a>c 说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ； ⑤若ab ＞0或0a

b >，则a 、b 同号；

⑥若ab ＜0或0a

b <，则a 、b 异号。

任意两个实数a 、b 的大小关系：

①a -b>O ⇔a>b ； ②a -b=O ⇔a=b ； ③a-b

但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。

4．一元一次不等式 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．

注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．

5．解一元一次不等式的一般步骤

(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)

合并同类项；(5)化系数为1．

< > ≤ ≥

说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．

例：13

1

321≤---x x 解不等式：

解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （ （不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）

移 项，得 23663-+≤-x x （移项要变号） 合并同类项，得 73≤-x （计算要正确） 系数化为1， 得 3

7

-

≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 6．一元一次不等式组

含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：

①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同； ②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．

7．一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

8. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) ①⎩⎨

⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<

x a

x 的解集是a x <，如下图：

同大取大 同小取小

③⎩⎨⎧<>b x a x 的解集是b x a <<，如下图： ④⎩

⎨⎧>

大小交叉取中间 大小分离解为空

9．解一元一次不等式组的步骤

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；

(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 10. 不等式应用题

用一元一次不等式组解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵设未知数； ⑶列出不等式；

⑷求出不等式的解集； ⑸找出符合题意的值； ⑹作答。

例1.现计划把甲种货物1240t 和乙种货物880t 用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元.

(1)设运送这批货物的总费用为y 万元,这列货车挂A 型车厢x 节,试写出y 与x 之间的函数关系式.

(2)如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35t 和乙种货物15t,每节B 型车厢最多可装甲种货物25t 和乙种货物35t,装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数,那么共有几种方案?

(3)在(2)的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省费用.

【分析】题(1)中总费用应该是A 型车厢的费用和B 型车厢的费用的总和.

题(2)的要求是A 型车厢的甲种货物最大装载量与B 型车厢的甲种货物最大装载量的和不少于1240吨；A 型车厢的乙种货物最大装载量与B 型车厢的乙种货物最大装载量的和不少于880吨.

【解】 (1) ∵ 用A 型车厢x 节,则B 型车厢为(40-x )节,得 .322.0)40(8.06.0+-=-+=x x x y (2) 依题意,得 ()x x -+402535≥,1240

()x x -+4035≥.880

解之,得 24≤x ≤.26

∵ x 取整数， ∴ 24=x 或25或26.

∴ 共有三种方案:

① 24节A 型车厢和16节B 型车厢; ② 25节A 型车厢和15节B 型车厢; ③ 26节A 型车厢和14节B 型车厢. (3) 当24=x 时,2.27=y 万元; 当25=x 时,27=y 万元; 当26=x 时,8.26=y 万元;

故安排方案③,即A 型车厢26节,B 型车厢14节最省,最省费用为26.8万元. 【说明】目前中考越来越注重能力的考查.本题是一道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决.

例2. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t 运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车.

(1)设用x 辆车装运甲种大蒜,用y 辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围.

(2)设此次运输公司的利润为M (单位:百元),求M 与x 的函数关系式及最大运输