初中数学 菱形 课件

第28课时 菱 形
(2)解：过点P作PH⊥AD交AD于点H，如解图，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE和△AEF是等边三角形，
∴AP＝ 1 AE＝ 1 AB＝2，
2
2
∴AH＝AP·cos 60°＝1，PH＝AP·sin 60°＝ 3，
∴DH＝AD－AH＝6－1＝5， ∴tan ∠ADP＝ PH ＝ 3 .(5分)
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第1题解图
第28课时 菱 形
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∴在Rt△ABD中，∠ADB＝90°－∠BAE＝30°，∠1＝∠2＝∠BAE＝30°， ∴在菱形BCDE中，∠ADC＝2∠ADB＝60°， ∴∠ACD＝180°－∠1－∠ADC ＝90°， 又∵BC＝1， ∴在菱形BCDE中， CD＝BC＝1， ∴在Rt△ACD中，AC＝ CD·tan ∠ADC＝.(5分)
第1题图
第28课时 菱 形
(1)证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，点E为AD的中点， ∴AE＝DE＝BE＝ 1 AD，
2 又∵AD＝2BC， ∴DE＝BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形BCDE为平行四边形， 又∵BE＝DE, ∴四边形BCDE为菱形；(2分)
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第28课时 菱 形
(2)解：如解图，连接AC， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， 又∵AD∥BC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB＝BC， 又∵AE＝BE＝BC， ∴AB＝ AE＝BE， ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE＝60°，
(1)证明：∵AB∥DC， ∴∠ACD＝∠BAC. ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， ∴AD＝CD. ∵AD＝AB， ∴AB＝CD. ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
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∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；(2分)
(2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝ 1 BD＝1，OA＝OC，
2 解得AH＝
24
2 .
5
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第28课时 菱 形
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【满分技法】 1. 菱形判定的一般思路：若一个四边形是菱形，则必是平行四边形，故在判定一个四 边形是菱形时，首先判断其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等，来判定 其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定方法，如四条边相 等或对角线互相垂直平分； 2. 与菱形有关的计算常涉及下面几种： (1)求长度(线段长或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中存在一个顶 角为60°，则菱形被连接另外两点的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计 算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；(2)求面积时，可利用菱 形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算.
2
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第28课时 菱 形
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③96； 【解法提示】由题意知四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴四边形 ABCD的面积为 1 ×16×12＝96.
2 ④40 【解法提示】由题意知四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴AO＝CO＝8， BO＝DO＝6，∴BC＝ BO2 CO2 ＝10，∴四边形ABCD的周长为4×10＝40.
第28课时 菱 形
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2. (2018北京21题5分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线 AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连 接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝ 5 ，BD＝2，求OE的长.
第2题图
第28课时 菱 形
第28课时 菱 形
②当∠BCO＝∠DCO时，由AD∥BC知∠BCO＝∠OAD， ∴∠OCD＝∠OAD，∴DC＝DA， ∴平行四边形ABCD是菱形； ∴AC⊥BD， ∵AC＝16，BD＝12， ∴OC＝8，OB＝6.根据勾股定理可得BC＝ OB2 OC2＝ 62 82＝10. ∵点H为BC的中点，∴OH＝ 1 BC＝5.
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(1)如图①，添加一个条件使得四边形ABCD为菱形.
①条件一：
；
例1题图
【判定依据】______________________________________________.
②条件二：
；
【判定依据】___________________________________________.
第28课时 菱 形
2 ∴OA＝ AB2 OB2＝2. ∵CE⊥AB，OA＝OC， ∴OE＝ 1 AC＝OA＝2.(5分)
2
第28课时 菱 形
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Y 3. (2014北京19题5分)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，
BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF、PD. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值.
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第28课时 菱 形
考点精讲
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【对接教材】北京版：八下第十五章P64－P65，P69－P70； 人教版：八下第十八章P55－P58.
第28课时 菱 形 考点 1 菱形的性质
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边 角 对角线
性质
字母表示
四条边___相__等____ 对边平行
AB＝BC＝CD＝DA AB∥CD，AD∥BC
第5题图
第28课时 菱 形
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠BAE＝∠CBF. ∵BE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC. 又∵AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)， ∴AE＝BF； (2)解：由题意知，BE垂直平分AD，即BE是AD的垂直平分线， ∴点B到线段AD两端点的距离相等， ∴BD＝AB＝2.
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(2)如图②，已知点A、点C关于直线BD对称，点H为BC上的一点，且AC＝16，
BD＝12.
①在四边形ABCD中，△BCD为
三角形，对角线AC、BD的位置关系为
________________；
②若∠BCO＝∠DCO，点H为BC的中点，求OH的长；
③若AB＝AD，则四边形ABCD的面积为
；
④若AC⊥BD，则四边形ABCD的周长为
第3题图
第28课时 菱 形
(1)证明：在▱ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴AB＝BE，
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同理，∵∠AFB＝∠FBE， ∠ABF＝∠FBE， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AB＝AF＝BE， ∵AF∥BE且AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AB＝AF， ∴▱ABEF是菱形；(3分)
DH 5
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第28课时 菱 形
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4. (2019北京20题5分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在
AB，AD上，BE＝DF，连接EF.
(1)求证：AC⊥EF；
(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD＝4，tanG＝ 1 ， 2
求AO的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，
；
⑤在④的条件下，连接OH，若OH⊥BC于点H，求cos∠COH的值；
第28课时 菱 形
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解：(1)①AB＝AD；
邻边相等的平行四边形为菱形．
②AC⊥BD；
对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
(2)①等腰，垂直；
【解法提示】∵点A、点C关于直线BD对称，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱
形，∴CB＝CD，AC⊥BD.∴△BCD为等腰三角形，AC、BD的位置关系为垂直．
∴∠BAC＝∠DAC.
∵AB＝AD，BE＝DF， ∴AB－BE＝AD－DF，即AE＝AF.
第4题图
∴△AEF是等腰三角形．
又∵∠BAC＝∠DAC，∴AC⊥EF；(2分)
第2பைடு நூலகம்课时 菱 形
(2)解：由题意作解图如下，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，OB＝ 1 BD＝ 1 ×4＝2.
第28课时 菱 形
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Y 练习 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，
BD＝8. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长.
练习题图
第28课时 菱 形
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(1)证明：∵在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8，
对角相等
对角线互相垂直且 ____平__分______
对角线平分一组对角
∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
AC⊥ BD ，AO＝OC，DO＝OB
AC平分∠DAB与∠BCD，BD平分 ∠ABC与∠ADC
第28课时 菱 形
性质
字母表示
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周长
C＝4a(a为菱形的边长)
1 mn
面积
S＝ 2
(m、n分别表示两条对角线的长)
2
2
∴∠G＝∠AEG.
由(1)知EF⊥AC.
又∵BD⊥AC.
∴EF∥BD.
∴∠AEG＝∠ABO.
∴∠G＝∠ABO.
∵tan G＝ 1，
∴tan
2 ∠ABO＝
AO
＝
1
.
∴AO＝OB·tan
OB 2 ∠ABO＝2×
1
＝1.(5分)
2
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第4题解图
第28课时 菱 形
考向拓展
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5. 如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD于点E，交AB的 延长线于点F. (1)求证：AE＝BF； (2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.
第28课时 菱 形
(8年5考，考则1道，5分)
玩转北京8年中考真题
考点精讲
目
录
重难点突破
中考试题中的核心素养
第28课时 菱 形
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玩转北京8年中考真题
1. (2017北京22题5分)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC， AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE. (1)求证：四边形BCDE为菱形； (2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长.
∴AO＝ 1 AC＝3，BO＝ 1 BD＝4，
2
2
∵AB＝5，且32＋42＝52，
∴AO2＋BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
第28课时 菱 形
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，
∵ ∴S1△A×BC6＝×124＝AC1·B×O5＝·A1H2 ，BC·AH，
对称性
既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴
第28课时 菱 形 考点 2 菱形的判定
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3. 四条边都相等的四边形是菱形.
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第28课时 菱 形
重难点突破
例1 已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.