一类Jobshop多目标优化调度方法
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n i=1 n
图 1 T hE的计算示意图
（2） （3）
T max = max (Ti )
Ti 的计算： 当求出所有作业的完工时间 ThE 后， 每一个工件 i 的 最 后 一 道 工 序 完 工 时 间 即 为 Ti， 即有： Ti=TkE（k=m， 2m ， 3m ， …， nm） 。
其中， Tavg 为工件的平均流程时间， Tmax 为所有工件最大完工时 间， Ti 为工件 i 的完工时间。
X i2
设备 j 上加工的最后作业 p
X im（ 2， …， n ） 须为升序排列。 ] i=1，
a b ThE 时间
建立的数学模型如下：
OPT f ( X ) = OPT ( f1( X )，f 2 ( X ))＝(min T avg， min T max) （1） T avg = Ti å i=1 n
之一[11]。近年来， 学者对禁忌搜索算法进行了改进研究并加以 了实际应用。改进主要着眼于两方面： （1） 对禁忌搜索算法本
11-12] 身的参数进行改进 [1， ； （2） 将禁忌搜索算法与其他智能搜索
加工作业参数Biblioteka Baidu
安排顺序 X X11 X12 … X 1i … X 1， m-1 X 1m X21 X22 … X n， m-1 Xnm 加工设备 Y 1 2 … k … 3 5 2 1 … 5 4 加工时间 t11 t12 … t1 i … t1 ， m-1 t1 m t21 t22 … tn ， m-1 tnm
基金项目： 国家自然科学基金 （the National Natural Science Foundation of China under Grant No.70601037)； 教育部 “新世纪优秀人才支持计 划” （the Program for New Century Excellent Talents in University, China No.NCET-07-0908） 。 作者简介： 曾强 （1975-） ， 男， 博士研究生， 河南理工大学工业工程系副主任， 主要从事工业工程、 生产管理相关领域的研究； 杨育 （1971-） ， 男， 教 授、 博士生导师， 主要从事网络化协同制造、 工业工程相关领域研究； 王小磊， 女， 博士研究生， 主要从事工业工程、 产品协同设计相关领 域的研究； 梁学栋， 男， 博士研究生， 主要从事工业工程、 产品协同设计相关领域的研究。 收稿日期： 2009-10-19 修回日期： 2009-12-05
Job-shop 调 度 问 题 近 年 来 一 直 是 学 术 界 的 研 究 热 点 。 Job-shop 问题可归为非柔性设备下的 Job-shop 调度问题和柔 性设备下的 Job-shop 调度问题两类 [1-2]。对于非柔性设备下的 Job-shop 调度问题， 目前国内外学者已进行了大量的研究并取 得了一定的研究成果。从优化目标来看， 最大完工时间 [3-7]、 工 [8-9] 件总流程时间或平均流程时间 被作为 Job-shop 优化调度的 目标， 但迄今为止， 将这两个目标结合起来进行多目标优化的 研究较少， 这跟一定时期的市场环境要求是相关联的。 21 世 纪的今天， 市场环境发生重大变化。片面地追求工件最大完 工时间最短或片面地追求工件平均流程时间最短的调度方案 都与今天激烈的市场竞争环境不相符。工件最大完工时间只 能反映工件整体完工速度， 而不能反映各工件的完工速度； 而 工件平均流程时间虽能较好地反映各工件完工速度， 但可能
算法结合从而取长补短[13-15]。 本文提出了一类 Job-shop 多目标优化方法， 构建了以工件 平均流程时间和最大完工时间最短为优化目标的 Job-shop 多 目标优化调度模型， 针对模型特征及个体编码特殊性， 提出并 设计了一种分段混合变异禁忌搜索算法对模型进行求解。
1
问题描述及假设
问题描述 车间要在 s 台设备中安排 n 个工件的加工作业，
1.重庆大学 机械传动国家重点实验室， 重庆 400030 2.河南理工大学， 河南 焦作 454000 1.State Key Laboratory of Mechanical Transmissions， Chongqing University， Chongqing 400030， China 2.Henan Polytechnic University， Jiaozuo， Henan 454000， China E-mail： zengqiang@cqu.edu.cn ZENG Qiang， YANG Yu， WANG Xiao-lei， et al.Multi-objective optimization method for Job-shop scheduling.Computer Engineering and Applications， 2010， 46 （23） ： 215-218. Abstract： A multi-objective optimization method for Job-shop scheduling is proposed.In the method， an optimal Job-shop scheduling model is established.The objective of the model is to minimize the Average Flow Time （AFT） and overall completion time （makespan） of all workpieces.Aiming at the model， a taboo searching algorithm based on multi-stage hybrid mutation is proposed.To improve the convergence of the algorithm， inverse order mutation and gene segment swap mutation is used to find a good original solution， based on which gene swap mutation is used to find the approximate optimal solution. The algorithm is applied to ten benchmark Job-shop examples， and the result validates the correctness and effectiveness of the optimization method proposed in this paper. Key words：Job-shop scheduling； taboo searching algorithm； multi-stage hybrid mutation 摘 要： 提出了一类 Job-shop 多目标优化调度方法。构建了一个以工件平均流程时间最短、 全部工件完工时间最短的 Job-shop 优
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2010， 46 （23）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
表1
作业序号 1 2 … i … m-1 m m+1 m+2 … nm-1 nm 工件 1 1 … 1 … 1 1 2 2 … n n 工序 1 2 … i … m-1 m 1 2 … m-1 m
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
2010， 46 （23）
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一类 Job-shop 多目标优化调度方法
2 曾 强 1， ， 杨 育 1， 王小磊 1， 梁学栋 1 2 ZENG Qiang1， ， YANG Yu1， WANG Xiao-lei1， LIANG Xue-dong1
作业 工件 c 的 k-1 工序 第 h 个安排的作业： 作业 （e） 、 工件 （c） 、 工序 （k） 、 设备 （j） 加工时间 tck
2
Job-shop 多目标优化调度模型
上述 Job-shop 调度问题的实质是安排最优的作业加工顺
序。一旦此加工顺序确定， 则工件的开工时间和完工时间也 同时确定， 因此其决策变量可用向量 X 表示 （表 1 中的 X 列） 。 为保证 X 为可行方案， X 须满足两个条件： （1） 所有元素对 应 1~nm 的一个整数排列， 元素的值无重复； （2） 为满足工件各 工序的先后顺序， [ X i1
化调度模型， 并针对模型提出了一种分阶段混合变异的禁忌搜索算法。为增强算法收敛性， 利用 “逆序变异” 和 “基因段交换变 异” 找到了较好的初解， 在此基础上利用 “基因交换变异” 继续搜索近优解。以 10 个算例验证了提出的 Job-shop 多目标优化调度 方法的正确性和有效性。 关键词： Job-shop 调度； 禁忌搜索算法； 分阶段混合变异 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2010.23.061 文章编号： 1002-8331 （ 2010 ） 23-0215-04 文献标识码： Ａ 中图分类号： TP391； C93-03
每个工件有 1~m 道工序， 所有工件最多有 n×m 道工序 （记为 nm） ， 作业i的加工设备 k 已确定 （表 1 中的 Y 列） 。优化目标是 确定所有作业的最佳加工顺序、 开工时间和完工时间， 使工件 平均流程时间及所有工件完工时间最短。 问题假设 （1） 每台设备同一时刻只能加工一个作业； （2） 某作业一旦开始加工不能中断； （3） 一个工件在同一台机器上 只加工一次， 即在同一台机器上不会出现循环加工某个工件 的情况； （4） 工件之间具备相同的优先级； （5） 某工件的上道工 序加工完毕后， 若其分配的设备空闲则立即开始加工下一道 工序， 无时滞； （6） 设备初始状态全为闲。
3
基于分阶段混合变异的禁忌搜索算法
（1） 计算流程： 图 2 是基于分阶段混合变异禁忌搜索算法
Y
f max > bsf ?
［二二皇
初始参数 产生初解 S 并 计算其适应度 f
epoc < maxepoc?
绘制迭代过程图 并输出最好个体 BSF 对应的满意解
ThE 的计算： 如图 1 所示， 第一步， 对安排顺序为 h 的作业， 由表 1 求得所属工件号 （设为 c） 、 所属工件中的工序号 （设为 k） 、 所分配的设备号 （设为 j） 、 加工时间 tck； 第二步， 若k = 1， 则将 0 赋给 a， 若 k>1， 求出 c 工件第 k - 1道工序的完工时间赋给 a； 第三步， 求出设备 j 上所有已分配作业完工时间的最大值赋给 b； 第四步， 按 ThB=max （a， b） 求出作业 h 的开工时间 ThB； 第五 步， 按 ThE=ThB+tck 求出作业 h 的完工时间。按照以上步骤， 从安 排顺序为 1 的作业开始， 依次往后推算， 求出所有作业的完工 时间 ThE （h=1， 2， …， nm-1， nm） 。
导致工件最大完工时间较长， 从而降低部分客户的满意度。 理想的做法是在优化调度时考虑两个目标的结合， 既要做到 工件平均流程时间最短从而提高资金周转率， 又要做到工件 最大完工时间最短从而提高客户整体满意度。 Job-shop 优化调度是复杂的组合优化模型， 对这类模型的 [10] 求解一般采用智能搜索算法 ， 如遗传算法、 模拟退火算法、 禁 忌搜索算法、 蚁群搜索算法、 粒子群搜索算法、 混合搜索算法 等， 但这些智能搜索算法各有其优缺点， 应用时需加以适当改 进。禁忌搜索算法是对人类智力过程的一种模拟， 该算法通 过引入一个灵活的存储结构和相应的禁忌准则来避免迂回搜 索， 同时通过特赦准则赦免一些优良解， 进而保证多样化的有 效搜索以最终实现全局的优化。与其他智能算法一样， 禁忌 搜索算法也有其局限性， 对初始解有较强的依赖性是其缺点
图 1 T hE的计算示意图
（2） （3）
T max = max (Ti )
Ti 的计算： 当求出所有作业的完工时间 ThE 后， 每一个工件 i 的 最 后 一 道 工 序 完 工 时 间 即 为 Ti， 即有： Ti=TkE（k=m， 2m ， 3m ， …， nm） 。
其中， Tavg 为工件的平均流程时间， Tmax 为所有工件最大完工时 间， Ti 为工件 i 的完工时间。
X i2
设备 j 上加工的最后作业 p
X im（ 2， …， n ） 须为升序排列。 ] i=1，
a b ThE 时间
建立的数学模型如下：
OPT f ( X ) = OPT ( f1( X )，f 2 ( X ))＝(min T avg， min T max) （1） T avg = Ti å i=1 n
之一[11]。近年来， 学者对禁忌搜索算法进行了改进研究并加以 了实际应用。改进主要着眼于两方面： （1） 对禁忌搜索算法本
11-12] 身的参数进行改进 [1， ； （2） 将禁忌搜索算法与其他智能搜索
加工作业参数Biblioteka Baidu
安排顺序 X X11 X12 … X 1i … X 1， m-1 X 1m X21 X22 … X n， m-1 Xnm 加工设备 Y 1 2 … k … 3 5 2 1 … 5 4 加工时间 t11 t12 … t1 i … t1 ， m-1 t1 m t21 t22 … tn ， m-1 tnm
基金项目： 国家自然科学基金 （the National Natural Science Foundation of China under Grant No.70601037)； 教育部 “新世纪优秀人才支持计 划” （the Program for New Century Excellent Talents in University, China No.NCET-07-0908） 。 作者简介： 曾强 （1975-） ， 男， 博士研究生， 河南理工大学工业工程系副主任， 主要从事工业工程、 生产管理相关领域的研究； 杨育 （1971-） ， 男， 教 授、 博士生导师， 主要从事网络化协同制造、 工业工程相关领域研究； 王小磊， 女， 博士研究生， 主要从事工业工程、 产品协同设计相关领 域的研究； 梁学栋， 男， 博士研究生， 主要从事工业工程、 产品协同设计相关领域的研究。 收稿日期： 2009-10-19 修回日期： 2009-12-05
Job-shop 调 度 问 题 近 年 来 一 直 是 学 术 界 的 研 究 热 点 。 Job-shop 问题可归为非柔性设备下的 Job-shop 调度问题和柔 性设备下的 Job-shop 调度问题两类 [1-2]。对于非柔性设备下的 Job-shop 调度问题， 目前国内外学者已进行了大量的研究并取 得了一定的研究成果。从优化目标来看， 最大完工时间 [3-7]、 工 [8-9] 件总流程时间或平均流程时间 被作为 Job-shop 优化调度的 目标， 但迄今为止， 将这两个目标结合起来进行多目标优化的 研究较少， 这跟一定时期的市场环境要求是相关联的。 21 世 纪的今天， 市场环境发生重大变化。片面地追求工件最大完 工时间最短或片面地追求工件平均流程时间最短的调度方案 都与今天激烈的市场竞争环境不相符。工件最大完工时间只 能反映工件整体完工速度， 而不能反映各工件的完工速度； 而 工件平均流程时间虽能较好地反映各工件完工速度， 但可能
算法结合从而取长补短[13-15]。 本文提出了一类 Job-shop 多目标优化方法， 构建了以工件 平均流程时间和最大完工时间最短为优化目标的 Job-shop 多 目标优化调度模型， 针对模型特征及个体编码特殊性， 提出并 设计了一种分段混合变异禁忌搜索算法对模型进行求解。
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问题描述及假设
问题描述 车间要在 s 台设备中安排 n 个工件的加工作业，
1.重庆大学 机械传动国家重点实验室， 重庆 400030 2.河南理工大学， 河南 焦作 454000 1.State Key Laboratory of Mechanical Transmissions， Chongqing University， Chongqing 400030， China 2.Henan Polytechnic University， Jiaozuo， Henan 454000， China E-mail： zengqiang@cqu.edu.cn ZENG Qiang， YANG Yu， WANG Xiao-lei， et al.Multi-objective optimization method for Job-shop scheduling.Computer Engineering and Applications， 2010， 46 （23） ： 215-218. Abstract： A multi-objective optimization method for Job-shop scheduling is proposed.In the method， an optimal Job-shop scheduling model is established.The objective of the model is to minimize the Average Flow Time （AFT） and overall completion time （makespan） of all workpieces.Aiming at the model， a taboo searching algorithm based on multi-stage hybrid mutation is proposed.To improve the convergence of the algorithm， inverse order mutation and gene segment swap mutation is used to find a good original solution， based on which gene swap mutation is used to find the approximate optimal solution. The algorithm is applied to ten benchmark Job-shop examples， and the result validates the correctness and effectiveness of the optimization method proposed in this paper. Key words：Job-shop scheduling； taboo searching algorithm； multi-stage hybrid mutation 摘 要： 提出了一类 Job-shop 多目标优化调度方法。构建了一个以工件平均流程时间最短、 全部工件完工时间最短的 Job-shop 优
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2010， 46 （23）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
表1
作业序号 1 2 … i … m-1 m m+1 m+2 … nm-1 nm 工件 1 1 … 1 … 1 1 2 2 … n n 工序 1 2 … i … m-1 m 1 2 … m-1 m
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
2010， 46 （23）
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一类 Job-shop 多目标优化调度方法
2 曾 强 1， ， 杨 育 1， 王小磊 1， 梁学栋 1 2 ZENG Qiang1， ， YANG Yu1， WANG Xiao-lei1， LIANG Xue-dong1
作业 工件 c 的 k-1 工序 第 h 个安排的作业： 作业 （e） 、 工件 （c） 、 工序 （k） 、 设备 （j） 加工时间 tck
2
Job-shop 多目标优化调度模型
上述 Job-shop 调度问题的实质是安排最优的作业加工顺
序。一旦此加工顺序确定， 则工件的开工时间和完工时间也 同时确定， 因此其决策变量可用向量 X 表示 （表 1 中的 X 列） 。 为保证 X 为可行方案， X 须满足两个条件： （1） 所有元素对 应 1~nm 的一个整数排列， 元素的值无重复； （2） 为满足工件各 工序的先后顺序， [ X i1
化调度模型， 并针对模型提出了一种分阶段混合变异的禁忌搜索算法。为增强算法收敛性， 利用 “逆序变异” 和 “基因段交换变 异” 找到了较好的初解， 在此基础上利用 “基因交换变异” 继续搜索近优解。以 10 个算例验证了提出的 Job-shop 多目标优化调度 方法的正确性和有效性。 关键词： Job-shop 调度； 禁忌搜索算法； 分阶段混合变异 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2010.23.061 文章编号： 1002-8331 （ 2010 ） 23-0215-04 文献标识码： Ａ 中图分类号： TP391； C93-03
每个工件有 1~m 道工序， 所有工件最多有 n×m 道工序 （记为 nm） ， 作业i的加工设备 k 已确定 （表 1 中的 Y 列） 。优化目标是 确定所有作业的最佳加工顺序、 开工时间和完工时间， 使工件 平均流程时间及所有工件完工时间最短。 问题假设 （1） 每台设备同一时刻只能加工一个作业； （2） 某作业一旦开始加工不能中断； （3） 一个工件在同一台机器上 只加工一次， 即在同一台机器上不会出现循环加工某个工件 的情况； （4） 工件之间具备相同的优先级； （5） 某工件的上道工 序加工完毕后， 若其分配的设备空闲则立即开始加工下一道 工序， 无时滞； （6） 设备初始状态全为闲。
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基于分阶段混合变异的禁忌搜索算法
（1） 计算流程： 图 2 是基于分阶段混合变异禁忌搜索算法
Y
f max > bsf ?
［二二皇
初始参数 产生初解 S 并 计算其适应度 f
epoc < maxepoc?
绘制迭代过程图 并输出最好个体 BSF 对应的满意解
ThE 的计算： 如图 1 所示， 第一步， 对安排顺序为 h 的作业， 由表 1 求得所属工件号 （设为 c） 、 所属工件中的工序号 （设为 k） 、 所分配的设备号 （设为 j） 、 加工时间 tck； 第二步， 若k = 1， 则将 0 赋给 a， 若 k>1， 求出 c 工件第 k - 1道工序的完工时间赋给 a； 第三步， 求出设备 j 上所有已分配作业完工时间的最大值赋给 b； 第四步， 按 ThB=max （a， b） 求出作业 h 的开工时间 ThB； 第五 步， 按 ThE=ThB+tck 求出作业 h 的完工时间。按照以上步骤， 从安 排顺序为 1 的作业开始， 依次往后推算， 求出所有作业的完工 时间 ThE （h=1， 2， …， nm-1， nm） 。
导致工件最大完工时间较长， 从而降低部分客户的满意度。 理想的做法是在优化调度时考虑两个目标的结合， 既要做到 工件平均流程时间最短从而提高资金周转率， 又要做到工件 最大完工时间最短从而提高客户整体满意度。 Job-shop 优化调度是复杂的组合优化模型， 对这类模型的 [10] 求解一般采用智能搜索算法 ， 如遗传算法、 模拟退火算法、 禁 忌搜索算法、 蚁群搜索算法、 粒子群搜索算法、 混合搜索算法 等， 但这些智能搜索算法各有其优缺点， 应用时需加以适当改 进。禁忌搜索算法是对人类智力过程的一种模拟， 该算法通 过引入一个灵活的存储结构和相应的禁忌准则来避免迂回搜 索， 同时通过特赦准则赦免一些优良解， 进而保证多样化的有 效搜索以最终实现全局的优化。与其他智能算法一样， 禁忌 搜索算法也有其局限性， 对初始解有较强的依赖性是其缺点