工程力学A 参考习题之虚位移原理习题及解答

虚位移原理习题及解答

机构在图示位置平衡，不计各杆自重，求力F 1和F 2的关系

解：设AB 杆的A 点为动点，OC 杆为动系，A 、C

两点的虚位移如图，则：φδδcos A e r r =

φδδδcos OA

e

e

C l a

r a r r ==

由上述各式和虚功方程

012=-C A r F r F δδ

解出：

机构在图示位置平衡，不计各杆自重，求力偶矩M 与F 之间的关系。

解：设OA 杆的虚位移为δφ，则A 、D 、B

各点虚位移如图，图中

δφδa r A =

θδθδcos 2cos A B r r = θδθδcos 2sin D B r r = 0=+-D r F M δδφ θ2tan F M =

已知：弹簧原长0.3m ，刚度系数k=5kN/m ，机构在图示位置平衡，不计各杆自重，求力偶矩M 的大小。

解：设CD 杆上D 点为动点，AB 杆为动系，它们

的虚位移如图

θδδtan e r r r =

θ

δδδθcos 0.3AD e e r

r ==

由虚功方程 0=-r k r F M δδθ

以及弹簧力

)]cos 3

.06.0(3.0[θ-

-=k F k

可解出 θ

θθs i n c o s c o s

14503-=M N.m

已知：BC=AB=L ，BE=BD=b ，弹簧刚度为k ，当x=a 时，弹簧拉力为零，该系统在力F 作用下平衡，杆重不计，求平衡时x=?

解：弹簧力如图，其中

)

(a x l b

k F F k k -='=

各力作用点横向坐标及其变分为

θ

cos )(b l x D -= θδθδs i n )(b l x D --= θ

cos )(b l x E +=

θδθδs i n )(b l x E +-=

θcos 2l x C = θδθδs i n

2l x C -= 代入虚功方程

0=∑x F x

δ

0=+'-C E K

D K x F x F x F δδδ 解得：

2

2

kb Fl a x += 已知：已知均质杆长，杆重皆为P ，滑块C 重P2，滑轨倾角为θ，求平衡时角φ

为多大？

φsin 2l x D = δφ

φδ.cos 2l x D = φcos 2l y D = δφ

φδ.sin 2l y D -=

φsin 2l

x E = δφ

φδ.cos 2l x E =

φcos 23

l y E = δφ

φδ.sin 23l y E -= 0=C x 0=C x δ

φcos 2l y C = δφφδ.sin 2l y C -=

把它们代入虚功方程 0)(=+∑y F x F y x

δδ得：

0sin sin cos sin cos 21111=++++C E E D D y P y P x P y P x P θδθδθδθδθδ

解得： θφc o t

)(2t a n 211

P P P +=

15-15 用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。

解：去掉3号杆，受力如图b 所示，则：

θδθδ2sin cos C B r r = θδδcos C D r r =

代入虚功方程

03=-B D r F r P δδ

解得3杆内力为：

P P

F ==

θcot 23

已知滑块上的水平力F ，不计滑块、铰链处的摩擦和滚子滚动摩阻力偶，滚子半径为R ，该系统在图示位置平衡；

求：施于滚子上的力偶矩M 和滚子与地面间的摩擦力Fs 。

解：设滚子只滚不滑，滚子及A 、B 两点的虚位移如图(a)

φδφδcos 2R r A =, φδδcos B A r r = 结合虚功方程：0=-B r F M δδφ

可解出：RF M 2=

再设滚子只滑不滚，各点的虚位移如图(b)，图中B A C r r r δδδ== 由虚功方程 0=-B C s r F r F δδ

解得 F F S =

已知均质杆AB 重为P ，BC 和CE 两杆的重量不计，BC 杆上分布载荷的最在载荷集度为q ，A 、E 两处弹簧的刚度系数为k 1和k 2，AB=BC=L ，AH=BH ，CD=DE ，设系统在图示位置平衡：

求：E 处弹簧的伸长量∆和A 处弹簧的扭转角ϕ

解：E 处弹簧的恢复图片A 处弹簧的恢复力矩为

∆=1k F E ϕ2k M =

线性分布的合力作用位置和在小为

l CG 32= ql

F 21= 现设AB 杆发生虚位移，E 、C 、

G 各点虚位移如图(b)，图中

E C r r δδ= C

G r r δδ31

=

由虚功方程：0=+E E G s r F r F δδ

可解出

16k ql -

=∆，负号表示E 处弹簧受压缩。 再设CE 杆不发生水平虚位移时，该系统的虚位移如图(c)，

由虚功方程：0=-δφδM r P H 以及δϕ

δ2l

r H = 可得

22k Pl =

ϕ