3.3.2简单的线性规划问题(一)ppt课件
3.3.2简单的线性规划1
今需要A、 、 三种规格的成品分别为 三种规格的成品分别为15、 、 今需要 、B、C三种规格的成品分别为 、18、27 块，用数学关系式和图形表示上述要求，如何使所 用数学关系式和图形表示上述要求， 用钢板张数最少？ 用钢板张数最少？
例6：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 车皮甲种 ：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种 肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥 肥料的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 ；生产 车皮乙种肥 料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。 料需要的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 。现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 ，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满 、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。若生产 一车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产一车皮乙肥 一车皮甲种肥料，产生的利润为 元 产生的利润为5000元，那么非别生产甲乙肥料各多好车 料，产生的利润为 元 能够产生最大利润？ 皮，能够产生最大利润？
分析： 分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
三种规格， 例5： 要将两种大小不同的钢板截成 、B、C三种规格， ： 要将两种大小不同的钢板截成A、 、 三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 规格 钢型 第一种钢板 第二种钢板 A规格 规格 2 1 B规格 规格 1 2 C规格 规格 1 3
• 通过不等式（组）的平面区域，我们可以 知道不等式的可能取值范围。那么在不等 式平面区域中，那个值是最有意义的取值 呢，比如对于资源的利用，人力调配，生 产安排等等，都需要我们有一个最优的处 理办法
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
高中数学课件归纳必修5第三章不等式3.3.2简单线性规划(第1课时)课件
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y
16， 12，
3
x
0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
高二数学人教A必修5课件：3.3.2 简单的线性规划问题 (一)
的可行解 条件下求线性目标函
数的最大值或最小值问题
2.目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝ ，在y轴上的截距是 ，当z变化时，方程表示一 的直线.
a z － x＋ 组 b b
最
当b互相平行 >0，截距最大时，z取得最
z b
值，截距最小时，z取得 值，截距最小时，z取得
答 如图，由于这些直线的斜率是确定 的，因此只要给定一个点，就能确定一 条直线，因而确定出唯一截距 ，
z 3
z 与不等式组(1)表示的区域的交点 x ＋ 3 3 坐标满足不等式组(1)，而且当截距最大时 z，z取得最大值. 3 z 因此，在区域内找一个点 P，使直线经过点 P 时截距3最大.
2 z 由图可以看出，当直线 y＝－3x＋3经过直线 x＝4 与直线 x z 14 ＋2y－8＝0 的交点 M(4,2)时， 截距 的值最大， 最大值为 ， 3 3 这时 2x＋3y＝14.所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件 时，工厂可获得最大利润 14 万元.
探究点一
线性规划中的基本概念
问题 某工厂用A、B两种配件生产甲，乙两种产品，每生
产一件甲种产品使用4个A配件耗时1 h，每生产一件乙种产
品使用4个B配件耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有 可能的日生产安排是什么？若生产1件甲种产品获利2万元 ，生产1件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最 大？
任务x，y都是有意义的，就代表所有可能的日生产安排.
思考3
采用哪种生产安排利润最大问题应当转化成怎样的
问题来解答？
答 设生产甲产品 x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为 z
3.3.2简单的线性规划问题(1).ppt1
y
o
x
1.课题导入
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、 生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由 已知条件可得二元一次不等式组
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
把z＝2x＋3y变形为
由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M z 14 （4，2）时，截距的值最大 ，最大值为 ， 3 3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时， 工厂可获得最大利润14万元。
二、基本概念
Hale Waihona Puke 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
3
（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
第一部分 第三章 3.3 3.3.2 简单的线性规划问题
返回
x－y－2＝0， 解方程组 x＋2y－5＝0，
x＝3， 得最优解 y＝1.
∴z最大＝2×3＋3×1＋1＝10. 答案：(1)C (2)B
返回
[一点通]
解决线性规划问题的方法是图解法，即借
助直线(把线性目标函数看作斜率确定的一族平行线)与平 面区域(可行域)有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或 最小值求解．其基本思路是 (1)根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表 示的平面图形准确地画出来；
返回
线性规划的有关概念 名称 约束条件 线性约束条件 意义 变量x，y满足的一组条件
由x，y的 二元一次不等式(或方程) 组成
的不等式组 欲求 最大值 或 最小值 所涉及的变量x，
目标函数
y的解析式 线性目标函数 目标函数是关于x，y的二元一次解析式
返回
名称 可行解
意义 满足 线性约束条件 的解(x，y) 所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的 可行解 在线性约束条件下，求线性目标函数 的最大值或最小值问题
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量 不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________
(百万元)．
返回
解析：可设需购买 A 矿石 x 万吨，B 矿石 y 万吨， x≥0， y≥0， 则根据题意得到约束条件为： 0.5x＋0.7y≥1.9， x＋0.5y≤2，
则目标函数 z＝2x＋3y＋1 的最大值为(
)
B．10 D．8.5
返回
[思路点拨]
先作出可行域的直线2x＋3y＝0，然
后平移直线2x＋3y＝0，根据直线的截距的几何意义确
【优化方案】2012高中数学 第3章3.3.2简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5
学习目标 1.了解线性规划的意义． 了解线性规划的意义． 了解线性规划的意义 2．准确利用线性规划知识求解目标函数的最 ． 值． 3．掌握线性规划在解决实际问题中的两种类 ． 型．
3. 3.2 简 单 的 线 性 规 划 问 题
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
例3
【 思 路 点 拨 设未知数， 设未知数，确定线性约束条件和目标函数 → 画出可行域和目标函数对应的初始直线 → 平移直线确定最优解 → 求目标函数的最大值
【解】 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分
】
别为x个单位和 个单位 所花的费用为z元 别为 个单位和y个单位，所花的费用为 元， 个单位和 个单位， 则依题意， ＝ 则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足 ＋ ， ， 满足
变式训练2 变式训练
某公司计划2010年在甲、乙两个电 年在甲、 某公司计划 年在甲
视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费 分钟的广告， 视台做总时间不超过 分钟的广告 用不超过9万元， 用不超过 万元，甲、乙电视台的广告收费标准 万元 分别为500元/分钟和 分钟和200元/分钟 假定甲、 分钟． 分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告， 个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司 带来的收益分别为0.3万元和 万元 带来的收益分别为 万元和0.2万元．问该公司 万元和 万元． 如何分配甲、乙两个电视台的广告时间， 如何分配甲、乙两个电视台的广告时间，才能使 公司的收益最大．最大收益是多少万元？ 公司的收益最大．最大收益是多少万元？
例1
(2010 年高考山东卷 设变量 x、y 满足约 年高考山东卷)设变量 、 则目标函数 z＝3x－4y ＝ － ) B．－ ，－ ．－3，－ ．－ ，－11 D．11,3 ．
3.3.2简单的线性规划(1)
结 论 : 形 如2 x y t ( t 0) 的直线与 2 x y 0平 行.
y
C
5
A:(5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C:(1.00, 4.40) x-4y+3=0
A
2.作出下列不 等式组所表示 的平面区域
B
O
1 5
3x+5y-25=0
x=1
x
线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解 ：满足线性 约束条件的解(x，y) 叫可行解； 可行域 ：由所有可行 解组成的集合叫做可 行域； 最优解:使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
(1,1)
2x+y=3
2x+y=12
x
3x+5y-25=0
直线L越往右平移,t 随之增大. 以经过点A(5,2)的直 线所对应的t值最大; 经过点B(1,1)的直线 所对应的t值最小.
2x y 0
Z max 2 5 2 12, Z min 2 1 1 3
线性 Z=2x+y称为目标函数,(因这 里目标函数为关于x,y的一 规划 次式,又称为线性目标函数 问题：
达到最小值。 可使 l 0平移过A点时， l 1
A
达到最大值。 解方程组可求得A(5,2) 22 C (1, ) 5
3x+5y-25=0
-1 O
3
4
5
6
7
x
-1 注意：直线取最大截距 l 0 l2 时，等价于 1 z 2 取得最大值，则z取 22 39 z 1 2 得最小值 min
3.3.2hao简单线性规划(第1课时)_课件
五、课堂作业
P86 练习2 P93 A组4 B组 3
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，而且 还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
四、本课小结
本节主要学习了线性约束下如何求目 标函数的最值问题； 正确列出变量的不等关系式,准确作出 可行域是解决目标函数最值的关健； 线性目标函数的最值一般都是在可行 域的顶点或边界取得； 把目标函数转化为某一直线,其斜率与 可行域边界所在直线斜率的大小关系一定 要弄清楚.
二、概念学习
1.线性约束条件
x 2 y 8， 4 x 16， 4 y 12， x 0， y 0.
象这样关于x,y二元一次不等式组 的约束条件称为线性约束条件.
2.线性目标函数 3.线性规划
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数 为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数）. 在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
x
问题：求利润2x+3y的最大值. 若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?
2 z 2 把z =2x +3y变形为y =- x + ,这是斜率为- , 3 3 3 z z 在y轴上的截距为 的直线(x 0时，y = ), 3 3 当点P在可允 z 的最值 求 求 z的最值. 许的取值范 3 围内
4
N（2，3）
x
3
0
4
1 x4 2 1 z y x 3 3 y
人教A版高中数学必修五课件3.3.2简单的线性规划问题2.pptx
5．已知线性目标函数 z＝3x＋2y，在线性约束条件
x＋y－3≥0 2x－y≤0 y≤a
下取得最大值时的最优解只有一个，则实数 a
的取值范围是________．
x＋y－3≥0
解析： 作出线性约束条件2x－y≤0
y≤a
表示的平面
区域，
如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目 标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行， 根据图形及直线的斜率，可得实数a的取值范 围是[2，＋∞)．
元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过 13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最 大利润是( )
• A．12万元
B．20万元
• C．25万元D．27万元
解析： 设该企业在一个生产周期内各生产甲、乙产品
x、y 吨，获得利润 z 万元，根据题意，得
3x＋y≤13
2x＋3y≤18 x≥0
• (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的 最大值和最小值．
• [注意] 画可行域时，要特别注意可行域各边 的斜率与目标函数直线的斜率的大小关系，以 便准确判断最优解．
• 2．最优解的确定
• 最优解的确定可有两种方法：
• (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或 最后通过的顶点便是最优解．
交点 A(4,5)时，目标函数 z＝200x＋300y 取到最小值为 2 300
元，故所需租赁费最少为 2 300 元．
• 答案： 2300
• 2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨 甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产
品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可 获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万
规格类型 钢板类型
3.3.2简单线性规划问题(1)
3.3.2 简单线性规划问题三维目标一、知识与技能1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题二、过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.重难点教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化教学过程第1课时导入新课师前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下（生回答）推进新课［合作探究］师在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，应如何列式？生 由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？ 生 （板演）师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义. 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？ 生则师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ ［教师精讲］师 把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线z x y 3132+-=，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线z x y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z最大由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z 最大，最大值为314.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元［知识拓展］再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y∈［3,12］若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y∈［3,12］(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l 0：2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x,y)满足2x+y ＞0,即t ＞而且，直线l 往右平移时，t 随之增大（引导学生一起观察此规律）在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以t m a x=2×5+2=12,t(2)(3)［合作探究］师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）2.设t=0，画出直线l03.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解4.最后求得目标函数的最大值及最小值布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？ 分析：将已知数据列成下表：解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥,2000400500,600015001000,0,0y x y xy x作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：由⎩⎨⎧=+=+.2045,1232y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.720,712y x令90x+100y=t ，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t ，当90x+100y=t过点M （712,720）时，直线90x+100y=t 中的截距最大 由此得出t 的值也最大，z m a =90×712+100×720答：工厂每月生产440千克产品2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y张，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x目标函数为作出可行域：把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值解方程⎩⎨⎧=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润3.课本106页习题3.3A组板书设计 第1课时备课资料备用习题1.某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单位：分钟）每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？ 分析：找约束条件，建立目标函数解：设生产A 种糖果x 箱，B 种糖果y 箱，可获得利润z 元，则此问题的数学模式在约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0,9003,180045,7202y x y x y x y x 下，求目标函数z=40x+50y 的最大值，作出可行域，其边界O A ：y=0，AB ：3x+y-900=0，BC ：5x+4y-，C D ：x+2y-720=0，DO ：由z=40x+50y,得5054z x y +-=，它表示斜率为54-，截距为z[]50的平行直线系，50z越大，z 越大，从而可知过C 点时截距最大，z 取得了最大值解方程组⇒⎩⎨⎧=+=+1800457202y x y x C∴z m a x =40×120+50×300=19 800,即生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，可得最大利润19 800元点评：由于生产A种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1 800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究2.甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B .（1）用x 、y 表示混合食物成本C ；（2）确定x 、y 、z 的值，使成本最低 分析:找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解解:（1）依题意x 、y 、z 满足-x-∴成本C =11x+9y+4z=7x+5y+400（元）（2）依题意⎩⎨⎧≥++≥++,63000500400800,56000400700600z y x z y x∵z=100-x-∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≥+.0,0,1303,16032y x y x y x 作出不等式组所对应的可行域，如右图所示联立⇒⎩⎨⎧=+=-160321303y x y x 交点A作直线7x+5y+400=C ，则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过A (50,20)时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元∴x=50千克，z=30千克时成本最低.。
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讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 条件下的最大值或最小值的问题，统称 为线性规划问题.
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 条件下的最大值或最小值的问题，统称 为线性规划问题.
4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 条件下的最大值或最小值的问题，统称 为线性规划问题.
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以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大， 以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.
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以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大， 以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.
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以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大，
以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小. 所以，zmax=2×5+2=12， zmin=2×1+1=3.
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由已知条件可得二元一次不等式组：
引入新课
1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种 产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗 时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗 时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配 件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有的日生产安排是什么？ (1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，
3.3.2简单的线性规划 问题(一)
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引入新课
1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种 产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗 时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗 时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配 件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有的日生产安排是什么？
引入新课
1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种 产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗 时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗 时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配 件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有的日生产安排是什么？ (1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，
由已知条件可得二元一次不等式组： (2)将上述不等式组表示成平面上的区域，
引入新课
(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一 件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排 利润最大？
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(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一 件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排 利润最大？ 设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的 利润为z,则z=2x+3y.上述问题就转化为：
即z>0，而且l 往右 y x 1
平移时，z随之增
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大，在经过不等式
组(1)表示的三角形 l02
区域内的点且平行
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于l的直线中，
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4 6xBiblioteka 讲授新课以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大， 以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.
解，它们都叫做这个问题的最优解.
讲授新课 例题分析
例1. 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足
x 4 y 3, 下列条件：3x 5 y 25, (1)
x 1, 求z的最大值和最小值.
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x 4 y 3, 3x 5 y 25, x 1,
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练习1.解下列线性规划问题：求z＝2x＋y
的最大值和最小值，使式中的x、y满足
y x
约束条件
x
y 1.
y 1
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解：先作出可行域，见图中△ABC表示的
区域, 且求得
引入新课
(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一 件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排 利润最大？ 设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的 利润为z,则z=2x+3y.上述问题就转化为： 当x、y满足不等式※并且为非负整数时， z的最大值是多少？
讲授新课
1. 上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是 关于x、y的一次不等式，所以又叫线 性约束条件.
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1. 上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是 关于x、y的一次不等式，所以又叫线 性约束条件. 线性约束条件除了用一次不等式表示 外，有时也用一次方程表示.
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2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数.
讲授新课
2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数. 由于 z=2x+y又是x、y的一次解析式， 所以又叫线性目标函数.
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作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R.
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作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R.
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作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R. 可知，当l在l0的右上方时，直线l上的 点(x,y)满足2x+y>0.
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讲授新课
我们先画出不等式组(1)表示的平面区
域，如图中△ABC内部且包括边界，点(0,0)
不在这个三角形 区域内，当x=0， y=0时，z=2x+y =0，点(0,0)在直 线l0: 2x+y=0上.
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4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 条件下的最大值或最小值的问题，统称 为线性规划问题.
4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 6. 使目标函数取得最大值或最小值的可行