matlab插值程序设计
MATLAB实现：拉格朗日插值法示例代码及应用指南
下面是使用 MATLAB 编写的拉格朗日插值法的示例代码：参数：x 是已知点的 x 坐标数组，y 是已知点的 y 坐标数组，point 是要进行插值的点的 x 坐标。
该函数会返回在给定 x 坐标 point 处的插值结果。
算法的实现思路是根据拉格朗日插值公式计算插值多项式，然后将 point 带入多项式计算得到插值结果。
你可以按照以下步骤使用上述函数：定义已知点的 x 坐标数组 x 和对应的 y 坐标数组 y。
调用lagrange_interpolation函数，并将x、y 和要插值的point 作为参数传递进去。
函数将返回在 point 处的插值结果。
以下是一个使用示例：1.定义已知点的 x 和 y 坐标x = [0, 1, 2, 4];y = [1, 4, 3, 2];2.要进行插值的点的 x 坐标point = 3.5;3.调用 lagrange_interpolation 函数进行插值result = lagrange_interpolation(x, y, point);4.输出插值结果disp(['在x = ', num2str(point), ' 处的插值结果为：', num2str(result)]);在上述示例中，已知点的 x 坐标为 [0, 1, 2, 4]，对应的 y 坐标为 [1, 4, 3, 2]。
我们要在point = 3.5 处进行插值，然后通过调用lagrange_interpolation 函数计算插值结果，并输出结果。
请注意，拉格朗日插值法适用于小样本量和较低次数的插值问题。
对于大样本量和更高次数的插值，可能需要考虑使用其他插值方法或数值计算库中提供的更高级的插值函数。
插值MATLAB实现(牛顿差商插值误差龙格现象切比雪夫插值)
插值MATLAB实现（牛顿差商插值误差龙格现象切比雪夫插值）插值是数值分析中的一种方法，通过已知数据点的函数值来估计函数在其他点的值。
MATLAB提供了多种方法来实现插值，包括牛顿差商插值、插值误差分析、龙格现象和切比雪夫插值。
下面将详细介绍这些方法的实现原理和MATLAB代码示例。
1.牛顿差商插值：牛顿差商插值是一种基于多项式插值的方法，其中差商是一个连续性的差分商。
该方法的优势在于可以快速计算多项式的系数。
以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [coeff] = newton_interpolation(x, y)n = length(x);F = zeros(n, n);F(:,1)=y';for j = 2:nfor i = j:nF(i,j)=(F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));endendcoeff = F(n, :);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，返回值coeff表示插值多项式的系数。
2.插值误差分析：插值误差是指插值函数与原始函数之间的差异。
一般来说，通过增加插值节点的数量或使用更高次的插值多项式可以减小插值误差。
以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [error] = interpolation_error(x, y, x_eval)n = length(x);p = polyfit(x, y, n-1);y_eval = polyval(p, x_eval);f_eval = sin(pi*x_eval);error = abs(f_eval - y_eval);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，x_eval表示插值节点的x坐标，error表示插值误差。
3.龙格现象：龙格现象是插值多项式在等距插值节点上错误增长的现象。
matlab曲线插值方法
matlab曲线插值方法摘要：一、引言1.MATLAB曲线插值方法背景介绍2.文章目的与意义二、MATLAB曲线插值方法分类1.线性插值2.二次多项式插值3.三次样条插值4.三次贝塞尔插值5.三次Hermite插值三、线性插值1.原理介绍2.示例代码及结果四、二次多项式插值1.原理介绍2.示例代码及结果五、三次样条插值1.原理介绍2.示例代码及结果六、三次贝塞尔插值1.原理介绍2.示例代码及结果七、三次Hermite插值1.原理介绍2.示例代码及结果八、比较与选择1.各种插值方法优缺点分析2.应用场景选择建议九、结论1.文章总结2.对未来研究的展望正文：matlab曲线插值方法在MATLAB中，曲线插值是一种常见的数据处理和可视化方法。
它可以将离散的数据点连接成平滑的曲线，以便于分析和理解数据。
本文将介绍MATLAB中几种常见的曲线插值方法，包括线性插值、二次多项式插值、三次样条插值、三次贝塞尔插值和三次Hermite插值。
同时，我们将通过示例代码和结果展示这些插值方法的实现过程，并对各种插值方法进行比较和选择，以提供实际应用中的指导。
一、引言MATLAB作为一种广泛应用于科学计算和工程领域的编程语言，其强大的绘图功能为研究人员提供了便利。
在许多应用场景中，需要将离散的数据点连接成平滑的曲线，以直观地表现数据的变化规律。
曲线插值方法正是为了解决这一问题而提出的。
接下来，我们将介绍MATLAB中几种常见的曲线插值方法。
二、MATLAB曲线插值方法分类1.线性插值线性插值是一种简单的插值方法，它通过连接数据点形成一条直线。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行线性插值。
```matlabx = [1, 2, 3, 4];y = [2, 4, 6, 8];p = polyfit(x, y, 1);```2.二次多项式插值二次多项式插值使用一个二次方程来拟合数据点。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行二次多项式插值。
牛顿插值matlab程序
牛顿插值matlab程序牛顿插值是一种多项式插值方法，其基本思想是利用分差表来构造一个一次到n 次多项式，从而逼近给定的数据点集合。
牛顿插值法有着计算简单，精度高，兼容性好等优点。
在Matlab中，牛顿插值法的实现非常简单。
接下来将介绍如何使用Matlab编写牛顿插值程序。
首先，我们需要明确牛顿插值法的基本思想，这可以用一个公式表示：f(x)≈Nn(x)=y0+C1(x−x0)+C2(x−x0)(x−x1)+⋯+Cn(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)其中y0即为给定数据点中的第一个点的纵坐标，x0到xn-1为已知的节点，Ci 表示节点x0到xi的差商，x为我们要求解的插值点。
据此，我们可以编写如下的Matlab代码实现牛顿插值：matlabfunction [result] = newton_interpolation(x, y, z)% x, y为已知的节点，z为插值点n = length(x);diff = zeros(n, n);diff(:, 1) = y';for j = 2:nfor i = j:ndiff(i, j) = (diff(i, j-1) - diff(i-1, j-1)) / (x(i) - x(i-j+1));endendresult = diff(n, n);for k = n-1:-1:1result = diff(k, k) + (z - x(k)) * result;end我们首先定义一个函数newton_interpolation，其输入为已知节点x和纵坐标y，以及插值点z。
接着，我们使用双重循环来计算分差表，并按照公式计算插值多项式的值。
最后，我们得到了插值点z处的函数值。
需要注意的是，在计算分差表时，我们需要根据已知的节点计算出所有的差商，并记录在diff中。
在计算插值点z处的函数值时，我们需要按照公式从n-1到0依次计算出多项式的各项系数。
matlab牛顿插值法例题与程序
M A T L A B牛顿插值法例题与程序(总4页)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March题目一：多项式插值某气象观测站在8：00（AM ）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton ）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。
二、数学原理假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x 0，y 0），……（x n ，y n ），插值多项式有如下形式：）（））（（）（）（）（n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -⋯⋯-+⋯⋯+-++=αααα （1）其中系数i α（i=0,1,2……n ）为特定系数，可由插值样条i i n y x P =）（（i=0,1,2……n ）确定。
根据均差的定义，把x 看成[a,b]上的一点,可得f(x)= f （0x ）+f[10x x ，]（0x -x ） f[x, 0x ]= f[10x x ，]+f[x,10x x ，] （1x -x ）……f[x, 0x ，…x 1-n ]= f[x, 0x ，…x n ]+ f[x, 0x ，…x n ](x-x n )综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：f(x)= f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+…+ f[x, 0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n )+ f[x, 0x ，…x n ,x ]）（x 1n +ω= N n （x ）+）（x n R 其中N n （x ）= f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+ …+ f[x, 0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n ) （2））（x n R = f(x)- N n （x ）= f[x, 0x ，…x n ,x ]）（x 1n +ω （3） ）（x 1n +ω=（0x -x ）…(x-x n ) Newton 插值的系数i α（i=0,1,2……n ）可以用差商表示。
实验四用MATLAB实现拉格朗日插值、分段线性插值
实验四用MATLAB实现拉格朗日插值、分段线性插值一、实验目的：1）学会使用MATLAB软件；2）会使用MATLAB软件进行拉格朗日插值算法和分段线性差值算法；二、实验内容：1用MATLAB实现y = 1./(x.^2+1);（-1<=x<=1）的拉格朗日插值、分段线性2.选择以下函数，在n个节点上分别用分段线性和三次样条插值的方法，计算m个插值点的函数值，通过数值和图形的输出，将插值结果与精确值进行比较，适当增加n，再作比较，由此作初步分析：(1).y=sinx;( 0≤x≤2π)(2).y=(1-x^2)（-1≤x≤1）三、实验方法与步骤：问题一用拉格朗日插值法1）定义函数：y = 1./(x.^2+1);将其保存在f.m 文件中，程序如下：function y = f1(x)y = 1./(x.^2+1);2）定义拉格朗日插值函数：将其保存在lagrange.m 文件中，具体实现程序编程如下：function y = lagrange(x0,y0,x)m = length(x); /区间长度/n = length(x0);for i = 1:nl(i) = 1;endfor i = 1:mfor j = 1:nfor k = 1:nif j == kcontinue;endl(j) = ( x(i) -x0(k))/( x0(j) - x0(k) )*l(j); endendendy = 0;for i = 1:ny = y0(i) * l(i) + y;end3）建立测试程序，保存在text.m文件中，实现画图：x=-1:0.001:1;y = 1./(x.^2+1);p=polyfit(x,y,n);py=vpa(poly2sym(p),10)plot_x=-5:0.001:5;f1=polyval(p,plot_x);figureplot(x,y,‘r',plot_x,f1)二分段线性插值：建立div_linear.m文件。
拉格朗日插值法matlab程序
拉格朗日插值法matlab程序拉格朗日插值法是一种用于构造插值多项式的方法，它可以通过已知数据点来估计函数在其他位置的值。
在数值分析和工程应用中，拉格朗日插值法被广泛使用，尤其在数据处理和曲线拟合方面。
在本文中，我将为您介绍拉格朗日插值法的原理和应用，并共享一个用于实现该方法的简单matlab程序。
让我们来了解一下拉格朗日插值法的原理。
拉格朗日插值法是通过在已知数据点上构造一个插值多项式来实现的。
假设我们有n+1个不同的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，我们希望通过这些数据点来估计函数在其他位置的值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：P(x) = Σ(yi * li(x))i=0 to n其中，li(x)是拉格朗日基础多项式，它的表达式为：li(x) = Π(x - xj) / (xi - xj)j=0 to n, j ≠ i通过以上公式，我们可以得到拉格朗日插值多项式P(x)，从而实现对函数在其他位置的估计。
在matlab中，我们可以通过编写一个简单的程序来实现拉格朗日插值法。
下面是一个用于计算拉格朗日插值多项式的matlab程序：```matlabfunction [L, P] = lagrange_interp(x, y, xx)n = length(x);m = length(xx);L = zeros(n, m);for i = 1:nt = ones(1, m);for j = [1:i-1, i+1:n]t = t .* (xx - x(j)) / (x(i) - x(j));endL(i,:) = t;endP = y * L;end```在上面的程序中，x和y分别表示已知数据点的横纵坐标，xx表示我们希望估计函数值的位置。
程序返回的L矩阵存储了插值多项式的系数，P向量存储了估计函数值的结果。
通过这个简单的程序，我们就可以快速实现拉格朗日插值法的计算。
matlab插值实验报告
matlab插值实验报告Matlab插值实验报告引言：在数学和工程领域中，插值是一种常见的数据处理方法。
它通过已知数据点之间的推断来填补数据的空缺部分，从而获得连续的函数或曲线。
Matlab是一种功能强大的数值计算软件，具备丰富的插值函数和工具包。
本实验旨在通过使用Matlab进行插值实验，探索插值方法的原理和应用。
实验步骤：1. 数据准备首先，我们需要准备一组实验数据。
以一个简单的二维函数为例，我们选择f(x) = sin(x)，并在区间[0, 2π]上取若干个等间隔的点作为已知数据点。
2. 线性插值线性插值是插值方法中最简单的一种。
它假设函数在两个已知数据点之间是线性变化的。
在Matlab中，可以使用interp1函数进行线性插值。
我们将已知数据点和插值结果绘制在同一张图上，以比较它们之间的差异。
3. 多项式插值多项式插值是一种常用的插值方法，它通过已知数据点构造一个多项式函数来逼近原始函数。
在Matlab中，polyfit函数可以用来拟合多项式。
我们可以选择不同的多项式次数进行插值，并观察插值结果与原始函数之间的差异。
4. 样条插值样条插值是一种更为精确的插值方法，它通过在每个小区间内构造局部多项式函数来逼近原始函数。
在Matlab中，可以使用spline函数进行样条插值。
我们可以选择不同的插值节点数目，并比较插值结果的平滑程度和逼近效果。
5. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法，它通过构造插值多项式来逼近原始函数。
在Matlab中，可以使用polyval函数进行拉格朗日插值。
我们可以选择不同的插值节点数目，并观察插值结果与原始函数之间的差异。
实验结果：通过实验，我们得到了不同插值方法的结果，并将其与原始函数进行了比较。
在线性插值中，我们观察到插值结果与原始函数之间存在一定的误差，特别是在函数变化较快的区域。
而多项式插值和样条插值在逼近原始函数方面表现更好，特别是在插值节点数目较多的情况下。
matlab数组插值程序
matlab数组插值程序在MATLAB中，数组插值是一种常见的操作，可以使用interp1函数来实现。
interp1函数可以对一维数据进行插值操作，以下是一个简单的示例程序，演示了如何在MATLAB中进行数组插值操作：matlab.% 创建原始数据。
x = 1:5; % 原始数据的x坐标。
y = [3 6 2 8 4]; % 原始数据的y坐标。
% 创建插值的新x坐标。
xq = 1:0.1:5; % 创建新的x坐标，间隔为0.1。
% 使用interp1进行线性插值。
yq_linear = interp1(x, y, xq, 'linear'); % 线性插值。
% 使用interp1进行三次样条插值。
yq_spline = interp1(x, y, xq, 'spline'); % 三次样条插值。
% 绘制原始数据和插值结果。
plot(x, y, 'o', xq, yq_linear, '-', xq, yq_spline, '--');legend('原始数据', '线性插值', '三次样条插值');在这个示例程序中，我们首先创建了原始数据x和y，然后创建了新的x坐标xq，接着使用interp1函数进行线性插值和三次样条插值，最后将原始数据和插值结果绘制在同一张图上进行对比。
需要注意的是，interp1函数还可以进行其他类型的插值，比如最近邻插值、分段线性插值等，具体可以根据实际需求选择合适的插值方法。
除了interp1函数，MATLAB还提供了其他一些用于数组插值的函数，比如interp2（用于二维数据的插值）、interpn（用于多维数据的插值）等，可以根据具体情况选择合适的插值函数进行操作。
总之，MATLAB提供了丰富的插值函数，可以满足不同数据插值的需求，通过灵活运用这些函数，可以实现对数组的高效插值操作。
牛顿插值法matlab程序
《计算办法》数值实验陈述之邯郸勺丸创作090712学号09071235姓名金志彬时间：二O二一年七月二十九日班级实验室3-128设备编号D12日期实验题目1、实验目的：通过编程实现牛顿插值办法,加深对多项式插值的理解.应用所编程序解决实际算例.2、实验要求：（1）认真阐发课题要求,温习相关理论知识,选择适当的解决计划；（2）上机实验程序,做好上机前的准备任务；（3）调试程序,记录计算结果；（4）阐发和解释计算结果；（5）依照要求书写实验陈述.3、实验内容：（1）算法原理或计算公式算法原理：按照均差定义,把x看成[a,b]上一点,可得…只要把后一式代入前一式,就得到其中由式（1-1）确定的多项式显然满足插值条件,且次数不超出n次的多项式,其系数为称为牛顿（Newton）均差插值多项式.系数就是书本表5-1中第一条斜线上对应的数值.式（1-2）为插值余项,由插值多项式唯一性可知,它与书本式（5.1.19）是等价的,事实上,利用均差与导数关系式可由式（1-2）推出书本式（5.1.19）.但式（1-2）更有一般性,它对f是由离散点给出的情形或f导数不存在时均适用.（2）程序设计思路1)输入：n的值及要计算的函数点x(本文取x0,x1两个函数点);2)由计算的值；3）输出：.（3）源程序function f=Newton(x,y,x0,x1)syms t;if(length(x)==length(y))n=length(x);c(1:n)=0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf=y(1);y1=0;l =1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j)=(y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i)=y1(i+1);l=l*(t-x(i));f=f+c(i)*l;y=y1;endf=simplify(f);g=subs(f,'t',x0)g1=subs(f,'t',x1)A=zeros(n,n-1);A=[y',A];for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(x(i)-x(i+1-j));endenddisp('差商表为');disp(A);（4）运行结果>> x=[0 1 2 3];>> y=[1 2 17 64];>> x0=0.5;>> x1=2.5;>> f=Newton(x,y,x0,x1)g =g1 =差商表为0 0 0 01.0000 1.0000 0 07.0000 6.0000 2.5000 0f =1-2*t^2+3*t^34、实验小结体会：1）通过本次实验让我从实践验证了理论-------插值多项式的基本思想;2）牛顿插值法建立过程中用到了插商计算,这是有别于拉格朗日插值法的一部分,在已知点数较少的情况下用牛顿插值法较为准确；。
matlab数据插值运算
matlab数据插值运算Matlab是一种强大的科学计算软件，用于数值计算、数据分析和可视化等应用。
在许多科研和工程项目中，我们经常需要对数据进行插值运算，以填补缺失值或对离散数据进行平滑处理。
本文将介绍如何使用Matlab进行数据插值运算。
数据插值是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
在Matlab中，有多种插值算法可以选择，包括线性插值、拉格朗日插值、样条插值等。
这些插值方法各有特点，根据不同的数据特征和需求，我们可以选择合适的插值算法。
我们需要准备好待插值的数据。
假设我们有一组离散的数据点，用来描述某个函数在一定范围内的取值情况。
为了方便演示，我们可以生成一组简单的数据点。
```Matlabx = 0:0.5:10;y = sin(x);```上述代码中，我们生成了一个从0到10的等间隔数据点，然后计算了对应的正弦函数值。
这样，我们就得到了一组离散的数据点。
接下来，我们可以使用Matlab提供的插值函数进行插值运算。
以线性插值为例，使用`interp1`函数可以实现对数据的线性插值。
```Matlabxi = 0:0.1:10;yi = interp1(x, y, xi, 'linear');```上述代码中，我们指定了插值的目标点`xi`，然后使用`interp1`函数对原始数据进行线性插值。
最后，我们得到了一组新的插值数据`yi`。
除了线性插值，Matlab还提供了其他插值方法，如拉格朗日插值和样条插值。
这些方法可以通过设置插值函数的参数来选择。
```Matlabyi = interp1(x, y, xi, 'spline');```上述代码中，我们使用`spline`参数来指定样条插值方法。
通过调整参数，我们可以根据数据的特点选择最合适的插值方法。
有时候我们还需要对插值结果进行进一步的平滑处理，以减少插值误差。
Matlab提供了一些平滑滤波函数，如`smoothdata`和`smooth`等。
插值法matlab程序
插值法matlab程序插值法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于科学与工程领域。
在MATLAB中，可以通过插值函数实现对数据的插值处理。
本文将介绍插值法的原理及其在MATLAB中的应用。
一、插值法的原理插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
它的基本思想是利用已知数据点之间的关系推断未知数据点的值。
插值法分为多种类型，常用的有线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法，它假设数据点之间的关系是线性的。
给定两个已知数据点(x0, y0)和(x1, y1)，线性插值可以通过以下公式来估计在两个数据点之间的任意点(x, y)的值：y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0)2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种多项式插值方法，它通过构造一个满足已知数据点的多项式函数来估计未知数据点的值。
给定n+1个已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值多项式可以表示为：P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + ... + yn * Ln(x)其中，L0(x), L1(x), ..., Ln(x)是拉格朗日基函数，定义为：Lk(x) = (x - x0) * (x - x1) * ... * (x - xk-1) * (x - xk+1) * ... * (x - xn) / ((xk - x0) * (xk - x1) * ... * (xk - xk-1) * (xk - xk+1) * ... * (xk - xn))3. 样条插值样条插值是一种利用多个多项式函数来近似估计数据点的方法。
它将数据点之间的区间划分为多段，每段都用一个低次多项式函数来拟合。
这样可以在保持插值函数光滑的同时，更准确地估计未知数据点的值。
二、MATLAB中的插值函数MATLAB提供了多个插值函数，可以根据实际需求选择合适的函数进行数据插值处理。
拉格朗日插值matlab程序例题
拉格朗日插值是一种常用的数据拟合方法，它可以通过已知数据点来估计出未知数据点的值。
在数学和工程领域中，拉格朗日插值经常被用来进行数据的近似和预测。
在本文中，我们将深入探讨拉格朗日插值的原理和应用，并以Matlab程序例题来展示其实际运用。
1. 拉格朗日插值的原理拉格朗日插值是利用已知数据点来构造一个多项式，通过这个多项式来拟合数据并进行预测。
它的原理基于拉格朗日多项式的概念，即通过已知的n个点来构造一个n-1次的拉格朗日多项式，利用这个多项式来估计其他点的数值。
2. 拉格朗日插值的公式假设有n个已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，则拉格朗日插值多项式可以表示为：L(x) = Σ(yi * li(x)), i=1 to n其中li(x)是拉格朗日基函数，定义为：li(x) = Π((x - xj) / (xi - xj)), j=1 to n, j≠i利用这个公式，我们可以得到拉格朗日插值多项式，进而进行数据的拟合和预测。
3. 拉格朗日插值的Matlab程序实现下面我们将以一个具体的例题来展示如何使用Matlab来实现拉格朗日插值。
假设有如下数据点：y = [10, 5, 8, 3, 6];我们希望利用这些数据点来构造拉格朗日插值多项式，并使用这个多项式来估计x=3.5处的数值。
我们可以编写Matlab程序来实现拉格朗日插值。
代码如下：```matlabfunction result = lagrange_interpolation(x, y, xx)n = length(x);result = 0;for i = 1:ntemp = y(i);for j = 1:nif i ~= jtemp = temp * (xx - x(j)) / (x(i) - x(j));endendresult = result + temp;endend```我们可以调用这个函数来进行插值计算：```matlaby = [10, 5, 8, 3, 6];xx = 3.5;result = lagrange_interpolation(x, y, xx)disp(result);```通过这段程序，我们可以得到x=3.5处的插值结果为6.75。
Matlab插值算法程序集
Matlab插值算法程序集一、插值算法1.Atkenfunction f = Atken(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等！');return;end %检错y1(1:n) = t; %符号函数数组要赋初值for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = y(j)*(t-x(i))/(x(j)-x(i))+y(i)*(t-x(j))/(x(i)-x(j));endy = y1;simplify(y1);endif(nargin == 3)f = subs(y1(n),'t',x0); %计算插值点的函数值elsesimplify(y1(n)); %化简f = collect(y1(n)); %将插值多项式展开f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数end2.BSamplefunction f0 = BSample(a,b,n,y,y_1,y_N,x0)f0 = 0.0;h = (b-a)/n;c = zeros(n+3,1);b = zeros(n+1,1);for i=0:n-1if(a+i*h<=x0) && (a+i*h+h>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间A = diag(4*ones(n+1,1));I = eye(n+1,n+1);AL = [I(2:n+1,:);zeros(1,n+1)];AU = [zeros(1,n+1);I(1:n,:)];A = A+AL+AU; %形成系数矩阵for i=2:nb(i,1) = 6*y(i);endb(1) = 6*y(1)+2*h*y_1;b(n+1) = 6*y(n+1)-2*h*y_N;d = followup(A,b); %用追赶法求出系数c(2:n+2) = d;c(1) = c(2) - 2*h*y_1; %c(-1)c(n+3) = c(3)+2*h*y_N; %c(n+1)x1 = (a+index*h-h-x0)/h;m1 = c(index+1)*(-((abs(x1))^3)/6+(x1)^2-2*abs(x1)+4/3); x2 = (a+index*h-x0)/h;m2 = c(index+2)*((abs(x2))^3/2-(x2)^2+2/3);x3 = (a+index*h+h-x0)/h;m3 = c(index+3)*((abs(x3))^3/2-(x3)^2+2/3);x4 = (a+index*h+2*h-x0)/h;m4 = c(index+4)*(-((abs(x4))^3)/6+(x4)^2-2*abs(x4)+4/3); f0 = m1+m2+m3+m4; %求出插值3.DCSfunction f = DCS(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endc(1) = y(1);for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (x(j)-x(i))/(y(j)-y(i));endc(i+1) = y1(i+1);y = y1;endf = c(n);for(i=1:n-1)f = c(n-i) + (t-x(n-i))/f;f = vpa(f,6);if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = vpa(f,6);endendend;4.DHfunction fz = DH(x,y,x0,y0,zx,zy,zxy)n = length(x);m = length(y);for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index_x = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:mif(y(i)<=y0)&& (y(i+1)>=y0)index_y = i;break;endend %找到y0所在区间hx = x(index_x+1) - x(index_x);hy = y(index_y+1) - y(index_y);tx = (x0 - x(index_x))/hx; %插值坐标归一化ty = (y0 - y(index_y))/hy; %插值坐标归一化Hl = [(1-tx)^2*(1+2*tx) tx*tx*(3-2*tx) tx*(1-tx)^2 tx*tx*(tx-1)]; %左向量Hr = [(1-ty)^2*(1+2*ty); ty*ty*(3-2*ty); ty*(1-ty)^2 ; ty*ty*(ty-1)]; %右向量C = [Z(index_x, index_y) Z(index_x,index_y+1) zy(index_x, index_y) ...zy(index_x, index_y+1);Z(index_x+1, index_y) Z(index_x+1,index_y+1) zy(index_x+1, index_y) ...zy(index_x+1, index_y+1);zx(index_x, index_y) zy(index_x, index_y+1) zxy(index_x, index_y) ...zxy(index_x, index_y+1);zx(index_x+1, index_y) zy(index_x+1, index_y+1) zxy(index_x+1, index_y) ... zxy(index_x+1, index_y+1)]; %C矩阵fz = Hl*C*Hr;5.DLfunction fz = DL(x,y,Z,x0,y0,eps)n = length(x);m = length(y);for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index_x = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:mif(y(i)<=y0)&& (y(i+1)>=y0)index_y = i;break;endend %找到y0所在区间A = [1 x(index_x) y(index_y) x(index_x)* y(index_y);1 x(index_x+1) y(index_y+1) x(index_x+1)* y(index_y+1);1 x(index_x) y(index_y+1) x(index_x)* y(index_y+1);1 x(index_x+1) y(index_y) x(index_x+1)* y(index_y)];iA = inv(A);B = iA*[Z(index_x,index_y); Z(index_x+1,index_y+1); Z(index_x,index_y+1);Z(index_x+1,index_y)];fz = [1 x0 y0 x0*y0]*B;6.DTLfunction fz = DTL(x,y,Z,x0,y0)syms s t;f = 0.0;n = length(x);m = length(y);for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index_x = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:mif(y(i)<=y0)&& (y(i+1)>=y0)index_y = i;break;endend %找到y0所在区间if index_x == 1cx(1:3) = index_x:(index_x+2);elseif index_x == n-1cx(1:3) = (index_x-1):(index_x+1);elseif abs(x(index_x-1)-x0)>abs(x(index_x+2)-x0)cx(1:3) = (index_x):(index_x+2);elsecx(1:3) = (index_x-1):(index_x+1);endendend %找到离x0最近的三个x坐标if index_y == 1cy(1:3) = index_y:(index_y+2);elseif index_y == m-1cy(1:3) = (index_y-1):(index_y+1);elseif abs(y(index_y-1)-y0)>=abs(y(index_y+2)-y0)cy(1:3) = (index_y):(index_y+2);elsecy(1:3) = (index_y-1):(index_y+1);endendend %找到离y0最近的三个y坐标for i=1:3i1 = mod(i+1,3);if(i1 == 0)i1 = 3;endi2 = mod(i+2,3);if(i2 == 0)i2 = 3;endfor j=1:3j1 = mod(j+1,3);if(j1 == 0)j1 = 3;endj2 = mod(j+2,3);if(j2 == 0)j2 = 3;endf = f+Z(cx(i),cy(j))*((t-x(cx(i1)))*(t-x(cx(i2)))/(x(cx(i))-x(cx(i1)))/(x(cx(i))-x(cx(i2))))* ...(s-y(cy(j1)))*(s-y(cy(j2)))/(y(cy(j))-y(cy(j1)))/(y(cy(j))-y(cy(j2)));%插值多项式endendfz = subs(f,'[t s]',[x0 y0]);7.FCZfunction fz = DTL(x,y,Z,x0,y0)syms s t;f = 0.0;n = length(x);m = length(y);for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index_x = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:mif(y(i)<=y0)&& (y(i+1)>=y0)index_y = i;break;endend %找到y0所在区间if index_x == 1cx(1:3) = index_x:(index_x+2);elseif index_x == n-1cx(1:3) = (index_x-1):(index_x+1);elseif abs(x(index_x-1)-x0)>abs(x(index_x+2)-x0)cx(1:3) = (index_x):(index_x+2);elsecx(1:3) = (index_x-1):(index_x+1);endendend %找到离x0最近的三个x坐标if index_y == 1cy(1:3) = index_y:(index_y+2);elseif index_y == m-1cy(1:3) = (index_y-1):(index_y+1);elseif abs(y(index_y-1)-y0)>=abs(y(index_y+2)-y0)cy(1:3) = (index_y):(index_y+2);elsecy(1:3) = (index_y-1):(index_y+1);endendend %找到离y0最近的三个y坐标for i=1:3i1 = mod(i+1,3);if(i1 == 0)i1 = 3;endi2 = mod(i+2,3);if(i2 == 0)i2 = 3;endfor j=1:3j1 = mod(j+1,3);if(j1 == 0)j1 = 3;endj2 = mod(j+2,3);if(j2 == 0)j2 = 3;endf = f+Z(cx(i),cy(j))*((t-x(cx(i1)))*(t-x(cx(i2)))/(x(cx(i))-x(cx(i1)))/(x(cx(i))-x(cx(i2))))* ...(s-y(cy(j1)))*(s-y(cy(j2)))/(y(cy(j))-y(cy(j1)))/(y(cy(j))-y(cy(j2)));%插值多项式endendfz = subs(f,'[t s]',[x0 y0]);8.Gaussfunction f = Gauss(x,y,x0)if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endxx =linspace(x(1),x(n),(x(2)-x(1)));if(xx ~= x)disp('节点之间不是等距的！');return;endif( mod(n,2) ==1)if(nargin == 2)f = GStirling(x,y,n);else if(nargin == 3)f = GStirling(x,y,n,x0);endendelseif(nargin == 2)f = GBessel(x,y,n);else if(nargin == 3)f = GBessel(x,y,n,x0);endendendfunction f = GStirling(x,y,n,x0)syms t;nn = (n+1)/2;f = y(nn);for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = y(j)-y(j-1);endif(mod(i,2)==1)c(i) = (y1((i+n)/2)+y1((i+n+2)/2))/2;elsec(i) = y1((i+n+1)/2)/2;endif(mod(i,2)==1)l = t+(i-1)/2;for(k=1:i-1)l = l*(t+(i-1)/2-k);endelsel_1 = t+i/2-1;l_2 = t+i/2;for(k=1:i-1)l_1 = l_1*(t+i/2-1-k);l_2 = l_2*(t+i/2-k);endl = l_1 + l_2;endl = l/factorial(i);f = f + c(i)*l;simplify(f);f = vpa(f, 6);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 4)f = subs(f,'t',(x0-x(nn))/(x(2)-x(1)));endendendfunction f = GBessel(x,y,n,x0)syms t;nn = n/2;f = (y(nn)+y(nn+1))/2;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = y(j)-y(j-1);endif(mod(i,2)==1)c(i) = y1((i+n+1)/2)/2;elsec(i) = (y1((i+n)/2)+y1((i+n+2)/2))/2;endif(mod(i,2)==0)l = t+i/2-1;for(k=1:i-1)l = l*(t+i/2-1-k);endelsel_1 = t+(i-1)/2;l_2 = t+(i-1)/2-1;for(k=1:i-1)l_1 = l_1*(t+(i-1)/2-k);l_2 = l_2*(t+(i-1)/2-1-k);endl = l_1 + l_2;endl = l/factorial(i);f = f + c(i)*l;simplify(f);f = vpa(f, 6);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 4)f = subs(f,'t',(x0-x(nn))/(x(2)-x(1)));endendEnd9.Hermitefunction f = Hermite(x,y,y_1,x0)syms t;f = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y_1))n = length(x);elsedisp('y和y的导数的维数不相等！');return;endelsedisp('x和y的维数不相等！');return;endfor i=1:nh = 1.0;a = 0.0;for j=1:nif( j ~= i)h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2);a = a + 1/(x(i)-x(j));endendf = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y_1(i))+y(i));if(i==n)if(nargin == 4)f = subs(f,'t',x0);elsef = vpa(f,6);endendEndnguagefunction f = Language(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等！');return;end %检错f = 0.0;for(i = 1:n)l = y(i);for(j = 1:i-1)l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j = i+1:n)l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); %计算拉格朗日基函数end;f = f + l; %计算拉格朗日插值函数simplify(f); %化简if(i==n)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0); %计算插值点的函数值elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数endendend11.Nevillefunction f = Neville(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endy1(1:n) = t;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)if(j==2)y1(j) = y(j)+(y(j)-y(j-1))/((t-x(j-i))/(t-x(j)))*(1-(y(j)-y(j-1))/y(j));elsey1(j) = y(j)+(y(j)-y(j-1))/((t-x(j-i))/(t-x(j)))*(1-(y(j)-y(j-1))/(y(j)-y(j-2)));endendy = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(y(n-1),'t',x0);elsef = vpa(y(n-1),6);endendend12.Newtonfunction f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endendend13.Newtonbackfunction f = Newtonback(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(n);y1 = 0;xx =linspace(x(1),x(n),(x(2)-x(1)));if(xx ~= x)disp('节点之间不是等距的！');return;endfor(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = y(j)-y(j-1);endc(i) = y1(n);l = t;for(k=1:i-1)l = l*(t+k);end;f = f + c(i)*l/factorial(i);simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',(x0-x(n))/(x(2)-x(1)));elsef = collect(f);f = vpa(f, 6);endend14.Newtonforwardfunction f = Newtonforward(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;xx =linspace(x(1),x(n),(x(2)-x(1)));if(xx ~= x)disp('节点之间不是等距的！');return;endfor(i=1:n-1)for(j=1:n-i)y1(j) = y(j+1)-y(j);endc(i) = y1(1);l = t;for(k=1:i-1)l = l*(t-k);end;f = f + c(i)*l/factorial(i);simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',(x0-x(1))/(x(2)-x(1)));elsef = collect(f);f = vpa(f, 6);endend15.SecSamplefunction [f,f0,fd0] = SecSample (x,y,y_1,x0)syms t;f = 0.0;f0 = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y_1))n = length(x);elsedisp('y和y的导数的维数不相等！');return;endelsedisp('x和y的维数不相等！');return;end %维数检查for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间d = y_1(1)*(x(2)-x(1))/2+y(1);for i=2:n-1d = d + y_1(i)*(x(i+1)-x(i-1))/2;endh = x(index+1) - x(index); %x0所在区间长度f = y_1(index+1)*(t-x(index))^2/2/h + ...y_1(index)*(t-x(index+1))^2/2/h + d; %x0所在区间的插值函数fd = (t-x(index))*y_1(index+1)/h + y_1(index)*(x(index+1)-t)/h;%x0所在区间的插值函数的导数f0 = subs(f,'t',x0); %x0处的插值fd0 = subs(fd,'t',x0); % x0处的导数插值16.SubHermitefunction [f,f0] = SubHermite(x,y,y_1,x0)syms t;f0 = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y_1))n = length(x);elsedisp('y和y的导数的维数不相等！');return;endelsedisp('x和y的维数不相等！');return;end %维数检查for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间h = x(index+1) - x(index); %x0所在区间长度fl = y(index)*(1+2*(t-x(index))/h)*(t-x(index+1))^2/h/h + ...y(index+1)*(1-2*(t-x(index+1))/h)*(t-x(index))^2/h/h; fr = y_1(index)*(t-x(index))*(t-x(index+1))^2/h/h + ...y_1(index+1)*(t-x(index+1))*(t-x(index))^2/h/h;f = fl + fr; %x0所在区间的插值函数f0 = subs(f,'t',x0); %x0处的插值17.ThrSample1function [f,f0] = ThrSample1 (x,y,y_1, y_N,x0)syms t;f = 0.0;f0 = 0.0;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等！');return;end %维数检查if(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间A = diag(2*ones(1,n)); %求解m的系数矩阵u = zeros(n-2,1);lamda = zeros(n-1,1);c = zeros(n,1);for i=2:n-1u(i-1) = (x(i)-x(i-1))/(x(i+1)-x(i-1));lamda(i) = (x(i+1)-x(i))/(x(i+1)-x(i-1));c(i) = 3*lamda(i)*(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1))+ ...3*u(i-1)*(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i));A(i, i+1) = u(i-1);A(i, i-1) = lamda(i); %形成系数矩阵及向量cendc(1) = 2*y_1;c(n) = 2*y_N;m = followup(A,c); %用追赶法求解方程组h = x(index+1) - x(index); %x0所在区间长度f = y(index)*(2*(t-x(index))+h)*(t-x(index+1))^2/h/h/h + ...y(index+1)*(2*(x(index+1)-t)+h)*(t-x(index))^2/h/h/h + ...m(index)*(t-x(index))*(x(index+1)-t)^2/h/h - ...m(index+1)*(x(index+1)-t)*(t-x(index))^2/h/h;%x0所在区间的插值函数f0 = subs(f,'t',x0); %x0处的插值18. ThrSample2function [f,f0] = ThrSample2 (x,y,y2_1, y2_N,x0)syms t;f = 0.0;f0 = 0.0;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等！');return;end %维数检查for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间A = diag(2*ones(1,n)); %求解m的系数矩阵A(1,2) = 1;A(n,n-1) = 1;u = zeros(n-2,1);lamda = zeros(n-1,1);c = zeros(n,1);for i=2:n-1u(i-1) = (x(i)-x(i-1))/(x(i+1)-x(i-1));lamda(i) = (x(i+1)-x(i))/(x(i+1)-x(i-1));c(i) = 3*lamda(i)*(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1))+ ...3*u(i-1)*(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i));A(i, i+1) = u(i-1);A(i, i-1) = lamda(i); %形成系数矩阵及向量cendc(1) = 3*(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-(x(2)-x(1))*y2_1/2;c(n) = 3*(y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1))-(x(n)-x(n-1))*y2_N/2;m = followup(A,c); %用追赶法求解方程组h = x(index+1) - x(index); %x0所在区间长度f = y(index)*(2*(t-x(index))+h)*(t-x(index+1))^2/h/h/h + ...y(index+1)*(2*(x(index+1)-t)+h)*(t-x(index))^2/h/h/h + ...m(index)*(t-x(index))*(x(index+1)-t)^2/h/h - ...m(index+1)*(x(index+1)-t)*(t-x(index))^2/h/h;%x0所在区间的插值函数f0 = subs(f,'t',x0); %x0处的插值19.ThrSample3function [f,f0] = ThrSample3 (x,y,x0)syms t;f = 0.0;f0 = 0.0;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等！');return;end %维数检查for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间A = diag(2*ones(1,n-1)); %求解m的系数矩阵h0 = x(2)-x(1);h1 = x(3)–x(2);he = x(n)-x(n-1);A(1,2) = h0/(h0+h1);A(1,n-1) = 1 - A(1,2);A(n-1,1) = he/(h0+he);A(n-1,n-2) = 1 - A(n-1,1);c = zeros(n-1,1);c(1) = 3* A(1,n-1)*(y(2)-y(1))/h0 + 3* A(1,2)*(y(3)-y(2))/h1;for i=2:n-2u = (x(i)-x(i-1))/(x(i+1)-x(i-1));lamda = (x(i+1)-x(i))/(x(i+1)-x(i-1));c(i) = 3*lamda*(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1))+ ...3*u*(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i));A(i, i+1) = u;A(i, i-1) = lamda; %形成系数矩阵及向量cendc(n-1) = 3*( he*(y(2)-y(1))/h0+h0*( y(n)-y(n-1))/he)/(h0+he);m = zeros(n,1);[m(2:n),Q,R] = qrxq(A,c); %用qr分解法法求解方程组m(1) = m(n);h = x(index+1) - x(index); %x0所在区间长度f = y(index)*(2*(t-x(index))+h)*(t-x(index+1))^2/h/h/h + ...y(index+1)*(2*(x(index+1)-t)+h)*(t-x(index))^2/h/h/h + ... m(index)*(t-x(index))*(x(index+1)-t)^2/h/h - ...m(index+1)*(x(index+1)-t)*(t-x(index))^2/h/h;%x0所在区间的插值函数f0 = subs(f,'t',x0); %x0处的插值。
matlab牛顿插值法程序
matlab牛顿插值法程序牛顿插值法是一种数值分析方法，用于确定给定数据点之间的未知函数值。
该方法使用一个插值多项式，该多项式使得插值多项式通过给定的插值点，并且在插值点周围的函数值接近已知函数值。
该方法比其他插值方法更高，因为它使用被插值数据的微分。
下面是MATLAB中牛顿插值法的程序：function [f, c] = newton_interpolation(x, y)% x：插值节点不同的x值，必须有n个元素。
% y：相应在每个节点的y值，必须有n个元素。
% 返回：拟合的多项式和的权重向量c% 我们创建一个表格，其中包含x和y值的第一行n = length(x);delta=zeros(n,n);% 先把第一列设置为y值：delta(:,1)=y';%接下来，我们将使用牛顿插值法来填写余下的每个列for j=2:nfor i=j:ndelta(i,j) = ( delta(i,j-1) - delta(i-1,j-1) )/( x(i) - x(i-j+1));endend% 配置 c 数组% 从差分表中得出k次递归系数矩阵，目标是多项式系数c = zeros(1,n);c(1)=delta(1,1);% 获取插值多项式（通过牛顿插值法）syms t;L = c(1);for j=2:nprod = 1;for i=1:j-1prod = prod * ( t - x(i) );endL = L + c(j) * prod;end% 转换L成一个函数y=L(x)f = matlabFunction(L);end现在，当我们调用这个函数并输入我们想要插值的节点和相应的y值，我们会得到拟合的多项式和传递插值节点的权重向量。
matlab插值法
MATLAB插值法引言MATLAB是一种高级编程语言和环境，特别适用于数值计算和数据可视化。
插值法是一种在给定有限的数据点的情况下，通过构造插值函数来估计其他数据点的方法。
在MATLAB中，有多种插值方法可供选择，例如拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
本文将详细介绍MATLAB中常用的插值方法及其应用。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种多项式插值方法，通过构造一个满足给定数据点要求的多项式函数，来估计其他数据点的函数值。
其基本思想是通过一个多项式函数对已知数据点进行拟合，以实现函数值的估计。
以下是使用MATLAB实现拉格朗日插值法的步骤：1.确定待插值的数据点集合，假设有n个数据点。
2.构造拉格朗日插值多项式。
拉格朗日插值多项式的表达式为：其中，为拉格朗日基函数，其表达式为：3.利用构造的拉格朗日插值多项式求解其他点的函数值。
二、牛顿插值法牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造一个n次多项式函数来拟合已知数据点，并利用差商的性质来求解其他点的函数值。
使用MATLAB实现牛顿插值法的步骤如下：1.确定待插值的数据点集合，假设有n个数据点。
2.计算差商表。
差商表的计算公式为：3.构造牛顿插值多项式。
牛顿插值多项式的表达式为：4.利用构造的牛顿插值多项式求解其他点的函数值。
三、样条插值法样条插值法是一种通过多段低次多项式来逼近原始数据，以实现光滑插值的方法。
它在相邻数据点处保持一定的连续性，并通过边界条件来确定插值函数的特性。
以下是使用MATLAB实现样条插值法的步骤：1.确定待插值的数据点集合，假设有n个数据点。
2.根据数据点的个数确定样条插值的次数。
一般情况下，插值多项式的次数小于或等于n-1。
3.利用边界条件构造样条插值函数。
常用的边界条件有：自然边界、固定边界和周期边界。
4.利用MATLAB中的插值函数csape或interp1等进行样条插值。
5.利用样条插值函数求解其他点的函数值。
MATLAB程序设计插值实验题目
1、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求x =0时的值。
2、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
3、4()31f x x x =++，已知x =0,1,2处的值，计算x =0.11的近似值。
4.求i =3和5时的值。
5. 给定数据表，采用牛顿插值方法求i =3和5时的值。
6. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===的近似值。
7. 已知函数y =在4,9,16x x x ===的近似值。
8. 已知函数y =在0,1,4,9x x x x ==== 9. 给定数据表：构造出函数()f x 的差商表，并计算x =0.5时的值.10. 已知函数y =在8,27,64x x x ===的近似值。
11. 已知函数sin()y x =在0,/4,/2x x x ππ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求sin(/5)π的近似值。
12. 已知函数cos()y x =在0,/4,/2x x x ππ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求cos(/5)π的近似值。
13. 已知函数tan()y x =在0,/4,/3x x x ππ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求tan(/5)π的近似值。
14. 已知函数4y x =在1,2,3x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求 1.111x =的近似值。
15. 已知函数sin()y x =在0,/4,/2x x x ππ===处函数值，通过一个二次插值函数求1sin(2/5)π-的近似值。
16. 已知函数cos()y x =在0,/4,/2x x x ππ===处函数值，通过一个二次插值函数求1+cos(/5)π的近似值。
17. 已知函数5y x =在1,2,3x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求 1.121x =的近似值。
18. 已知函数41/y x =在1,2,3x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求 1.211x =的近似值。
用MATLAB作函数插值
Y/x
1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000
figure(5) subplot(1,3,1),contour(xi,yi,z1i,10,'r'); subplot(1,3,2),contour(xi,yi,z2i,10,'r'); subplot(1,3,3),contour(xi,yi,z3i,10,'r');
用MATLAB作散点数据的插值计算
再输入以下命令: xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3; zi=interp2(x,y,temps,xi',yi,'cubic'); mesh(xi,yi,zi) 画出插值后的温度分布曲面图. To MATLAB (wendu)
例 山区地貌：
在某山区测得一些地点的高程如下表。平面区域为 1200<=x<=4000,1200<=y<=3600) 试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
matlab newton插值法
matlab newton插值法
在MATLAB 中实现Newton 插值法，您可以使用内置的polyfit和polyval函数。
下面是一个简单的例子，它展示了如何使用Newton 插值法在MATLAB 中拟合数据。
首先，我们需要一些数据来进行插值。
假设我们有一些x 和y 的数据点：
matlab
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [1, 4, 9, 16, 25];
这些数据点表示一个函数y = x^2 的取值。
然后，我们可以使用polyfit函数来找到最佳拟合的多项式。
polyfit函数返回一个数组，该数组表示多项式的系数，从最高次幂到最低次幂。
例如，对于二次多项式，它会返回一个包含三个系数的数组：a2, a1 和a0。
matlab
p = polyfit(x, y, 2); % 对于二次多项式，我们使用2作为第三个参数
现在，p包含多项式的系数。
我们可以使用polyval函数来评估多项式在给定x 值
处的y 值：
matlab
y_fit = polyval(p, x);
最后，我们可以绘制原始数据和拟合曲线：
matlab
plot(x, y, 'o', x, y_fit, '-');
legend('Data', 'Fitted curve');
以上就是如何在MATLAB 中使用Newton 插值法进行数据拟合的简单示例。
注意，对于非线性函数，您可能需要使用更高阶的多项式来获得更好的拟合效果。
拉格朗日插值法matlab程序代码
拉格朗日插值法matlab程序代码拉格朗日插值法是一种常用的数值计算方法，用于在已知数据点的情况下，求解函数在其他点上的近似值。
它的基本思想是利用已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在这些点上与原函数完全相同。
在Matlab中实现拉格朗日插值法的代码如下：function [y] = LagrangeInterpolation(x, y, x0)% x为已知数据点的横坐标% y为已知数据点的纵坐标% x0为需要求解近似值的横坐标n = length(x); % 数据点个数L = ones(n, 1); % 初始化L矩阵for i = 1:nfor j = 1:nif i ~= jL(i) = L(i) * (x0 - x(j)) / (x(i) - x(j)); % 计算L(i)endendendy = sum(y .* L); % 计算插值结果end以上代码实现了拉格朗日插值法的核心部分。
首先定义了一个L矩阵，用于存储每个数据点对应的L(i)系数。
接着使用两层循环计算每个L(i)系数，并将它们乘起来得到多项式中第i项对应的系数。
最后将所有项相加即可得到插值结果。
需要注意的是，该代码只适用于已知数据点的横坐标互不相同的情况。
如果存在相同的横坐标，则需要对代码进行一定的修改。
在使用该代码时，可以先将已知数据点的横纵坐标存储在两个数组中，然后调用函数计算需要求解近似值的横坐标对应的插值结果即可。
例如：x = [1, 2, 3, 4];y = [1, 4, 9, 16];x0 = 2.5;y0 = LagrangeInterpolation(x, y, x0);以上代码将计算出在x=2.5处对应的近似值y0=6.25。