正方体截面问题

课题：正方体截面问题
班级：高二（2）班
小组：数学兴趣小组
指导老师：王长喜
组员：崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇
组长：张皓楠
课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。

探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。

再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。

大题小做：
问题1：什么叫几何板的截面？
答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形
（包含它的内部），叫做几何体的截面。

问题2：截面的边是如何得到的？
答：截面的边是平面和几何体各面的交线。

问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，
它是一种非常对称的几何体。

如果我们拿一
个平面去截一个正方体那么会得到什么形状
的截面图呢？截面图最多有几条边？
答：因为正方形只有六个面，所以它与平面
最多有六条交线，即所截到得截面图最都有
六条边。

所以截图可能是三角形，四边形，
五边形，六边形。

探究1：截面图为三角形时，有几种情况？
1.是否可以截出等腰三角形：
（1）解析:
如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是
以为bc底的等腰三角形，
那么只要三角形Aba全等于
三角形Aca就可以截到。

所以，截到等腰三角形的情况存在。

（2）做法：
在一棱AA’上取a
在棱AB.AC上取Ab.等于Ac.
就可得到以bc为底的等腰三角abc。

（3）证明:因为角bAa等于角cAa，
Aa边公用，
Ab等于Ac，
所以三角形全等于三角形。

所以ba等于ca,
所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。

2.是否可以截出等边三角形:
（1）解析
一正方体被一平面截后得到三角形abc，
若三角形abc是等边三角形，
只要三角形aAb,aAc,
bAc两两全等就可以得到。

所以，截到等边三角形的情况存在。

（2）做法：
在棱AA’,AB.AC上分别取Aa等于Ab等于Ac 就可以得到三角形abc为等边三角形。

（3）证明:
因为Aa等于Ab等于Ac，
角bAa等于角cAa,
所以，三角形bAa全等于三角形cAa。

所以ab等于ac。

同理可证ba等于bc,ca等于cb。

所以三角形是等边三角形。

3.是否可以截出直角三角形：
解析：若一正方体被一平面截后角acb是直角，
那么就有：ac2+cb2=ab2.
因为角adb是直角，所以ab2=db2+ad2;
因为角adc是直角，所以ac2=ad2+cd2;
因为角bdc是直角，所以bc2=db2+cd2.
所以ad2+cd2+db2+cd2=db2+ad2.
化简后得2cd2=0.
所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。

小结：用以平面去截正方体只能截到三边形：
（1）等腰三角形，
(2)等边三角形，
(3)普通三角形；
(4)不能截出直角三角形。

探究2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢?
1.是否可以截出长方形：
分析：过一正方体的一棱有无数个矩形，
只要长宽不等，就是长方形。

所以，存在这一情况。

做法：
如上图；取正方体一棱，
过棱沿一个不与原表面重合的平面截下，就可以得到一个矩形。

证明:
设原棱长为a，
因为过棱沿一不与原表面重合的平面截下，所以bd大于ab，
因为过一正方体的一棱有无数个矩形，
而截面不是正方形，
所以截面是矩形。

2.是否可以截出正方形:
分析：正方体六个表面都
是正方形只要用一垂直于
原表面的平面去截正方体，
就可以得到正方形。

做法：
用一垂直于原表面的平面去截
正方体，就可以得到正方形。

证明:因为垂直于原表面
的在正方体的截图都是
正方形，所以截到得垂直
于原表面的平面
就是正方形。

3.是否可以截出梯形：
分析:用一平面从一上正方体表面斜截下去
交与底面，因为上下两底面平行，斜截下去截距不等，所以可截到梯形。

做法：
用一平面从一上正方体表面 斜截下去交与底面就可截到 梯形。

证明：
平面ABC 平行于DEF, 所以AC 平行于DE; 斜截下去截距不等， 所以AC 不等于DE; 所以DECA 是梯形。

（1.）长方形； （2.）正方形； （3.）梯形。

探究3最多有几条？
解析：
形，四边形，五边形,探究4:
可能有正三角形，正方形，正五边形，
和正六边形。

(如下图)
究果截面
解析：
截面为三角形，面积是底乘高。

底和高最大是连接正方体的三个顶点，
所以这时三角形面积最大。

总结；
A.用以平面去截正方体只能截到三边形：
（1）等腰三角形，
(2)三角形，
(3)普通三角形；
(4)不能截出直角三角形。

B.用以平面去截正方体只能截到四边形：
（1.）长方形；
（2.）正方形；
（3.）梯形。

C. 用以平面去截正方体还能截到五边形,六边形。

课后反思：
1：截图有可能是等腰梯形吗？
2：截到五边形,六边形有哪几类？
3：从这个课题还可以延伸到什么？
探究启示：
创新所带给人的精神愉悦是
任何物质享受和感官享乐所无法比拟的，
那是灿烂的生命之花最深沉、最辉煌、
最恣意的绽放，从某种意义上说，
创新是自我实现的最高表现形式，
教育作为人道主义的事业，
理所当然应该关注个人生的提升。