计数原理与排列组合(教师用)
计数原理与排列组合
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关.
例1：书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放 有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
计数原理和排列组合
计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种 不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有N m1 m2 种不同m的n 方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
Cnm
Anm Amm
nn 1n 2
m!
排列与组合的区别与联系
n
m
1
m!
n! n
m
!
共同点：元素的取法相同,都是从n个元素中取出m(m ≤ n)个元素 不同点：排列问题与顺序有关，
组合问题与顺序无关.
例2：(1)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的线
段共有多少条?
没有顺序，根据组合公式有
C52
A52 A22
5 43 21
21 3 21
10
(2)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的有
向线段共有多少条? 含有顺序，根据排列公式有
A52 5 4 20
解题关键：从n个元素中抽取m个元素是“含有顺序”, 还是“没有顺序”.再根据其对应的排列组合计算.
排列组合
1、排列的定义及公式：从n个不同元素中，任取m(m ≤n)
排列组合(教师版)
组合一、课堂目标1．理解组合的定义，掌握组合数公式及性质的应用．2．掌握常见的组合问题的模型及应用．【备注】【教师指导】1.本讲的重点是理解组合的定义，掌握组合数公式及性质的应用；难点是掌握常见的组合问题的模型及应用；重点题型是利用组合数及性质进行计算、组合问题的常见模型解决计数问题以及排列与组合的综合应用.2.排列组合与二项式定理属于历年高考必考题，在期中期末也属于常考题，属于重点内容.对于排列与组合的考查，有时难度比较大，学生也不好理解，在求解时会漏掉一些情况或者多数一些情况.对于这些问题，学生要理解对应的模型，熟练掌握对应模型的应用.二、知识讲解问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名取参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？【备注】【教师指导】1.本模块为【知识引入】环节.2.问题1：，从3个元素中取出2个元素的一个排列，此时是有顺序的；问题2：甲乙，甲丙，乙丙，从3个不同元素中取出2个元素合成一组，此时是没有顺序的.从而引出本节课要学习的新知识：组合.1. 组合的定义知识精讲1.组合的定义一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.2.排列与组合的联系与区别共同点：都是从n个不同元素中取出个元素.不同点：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.，，，，【备注】【教师指导】对于排列与组合的不同点：只有元素相同且顺序相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.例如，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但是元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排序.知识点睛1.组合的定义中有两个要点（1）取出元素，且要求个元素是不同的；（2）“只取不排”，即取出的个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质.2.两个组合相同只要两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何.经典例题1.【解析】给出下列问题：（）从，，，四名学生中选名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？（）从，，，四名学生中选名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？（），，，四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？（），，，四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？（）某人射击枪，命中枪，且命中的枪均为枪连中，不同的结果有多少种？（）某人射击枪，命中枪，且命中的枪中恰有枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中， 是组合问题， 是排列问题．【答案】（）（）（） ; （）（）（）（）名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．（）名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．【备注】【教师指导】考查排列和组合的定义及区别，要求学生掌握排列与组合的联系及区别.【标注】（）单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．（）冠亚军是有顺序的，是排列问题．（）命中的枪均为枪连中，没有顺序，是组合问题．（）命中的枪中恰有枪连中，即连中枪和单中枪，有顺序，是排列问题．【知识点】排列；组合巩固练习（1）（2）（3）（4）（5）2.（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【标注】判断下列问题是组合问题还是排列问题．设集合，则集合的含有个元素的子集有多少个？某铁路线上有个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？从本不同的书中取出本给某同学．个人去做种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法？把本相同的书分给个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？【答案】（1）（2）（3）（4）（5）组合问题．排列问题．组合问题．排列问题．组合问题．因为集合的任一个含个元素的子集与元素顺序无关，故它是组合问题．车票与起点终点顺序有关，例如“甲乙”与”“乙甲”的车票不同，故它是排列问题．从本不同的书中取出本给某同学，取出的本书并不考虑书的顺序，故它是组合问题．因为一种分工方法就是从种不同工作中取出种，按一定顺序分给人去干，故它是排列问题．因为本书是相同的，把本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，故它是组合问题．【知识点】组合；排列2. 组合数及公式知识精讲1.组合数从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.注意：（1）组合数与组合是两个不同的概念，组合是从个不同的元素中任取个元素并成一组，它是一件事，而组合数是一个数.（2）从集合的角度来看，从个不同的元素中任取个元素并成一组的组合的全体构成一个集合，组合数就是这个集合中元素的个数.，，，，，，2.组合数公式①连乘表示：.②阶乘表示：.规定：.注意：组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式②的主要作用有：计算较大时的组合数；对含有字母的组合数式子进行变形.，，，【备注】【教师指导】组合数公式的推导一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分如下两步：第1步，求从个元素中取出个元素的组合数；第2步，求每一个组合中个元素的全排列数.根据分步乘法计数原理得：，因此有.经典例题3.【标注】计算： ．【答案】【知识点】组合【备注】【教师指导】本题考查的是组合数公式的直接运用.巩固练习4.【解析】【标注】 ．【答案】．【知识点】组合数计算经典例题5.【标注】计算：．【答案】【知识点】组合【备注】【教师指导】本题考查排列数公式和组合数公式的综合运算，要提醒学生注意二者计算公式的差异.A.B.C.D.6.【解析】【标注】已知，则的值是（ ）．【答案】C ∵，∴，化简得，解得或（不合题意，舍去），∴的值是．故选：．【知识点】组合【备注】【教师指导】本题考查排列数公式和组合数公式的综合运算，要求学生熟记且灵活应用公式.巩固练习7.【解析】【标注】若，则 ．【答案】由题意如：，，解得：或（舍），∴．【知识点】组合；排列经典例题8.【解析】【标注】设，，，求证：．【答案】证明见解析．由组合数公式知，．【知识点】组合数计算【备注】【教师指导】对公式的直接考查，利用组合数的公式进行证明等式成立问题.巩固练习A. B. C. D. 9.【解析】下列等式正确的是（ ）．【答案】ABD通过计算得到选项，，的左右两边都是相等的．对于选项，，所以选项是错误的．故选．【备注】【教师指导】此题为多选题，是新高考形式下的新题型.【标注】【知识点】组合数计算；排列数计算3. 组合数的性质知识精讲1.性质1：【备注】【教师指导】下列内容，可板书展示给学生：1.性质1的证明：2.性质1的意义：由于，因此该等式在时也成立．该性质反映了组合数的对称性．其组合意义是从个不同的元素中任取个元素的组合与任取个元素的组合是一一对应的．因为从个不同元素中取出个元素后，就剩下个元素，因此从个不同元素中取出个元素的方法，与从个不同元素中取出个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从个不同元素中取出个元素的每一个组合，都对应着从个不同元素中取出个元素的唯一的一个组合，反过来也一样．即从个不同元素中取出个元素的组合数等于从个不同元素中取出个元素的组合数”，也就是．3．等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标．4．应用：（1）简化计算，当时，通常将计算转化为计算，如；（2）列等式，由，可得或，如若则或，故或．2.性质2：【备注】【教师指导】下列内容，可板书展示给学生：1.性质2的证明：2.性质2的意义：性质2可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从个不同元素中取出个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的个元素中再取个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的个元素中取出个元素，有种取法.由分类加法计数原理可得：.3.等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的上标相同的一个组合数．4．应用：恒等变形，简化运算．，，经典例题A.B.C.D.10.方程的解集为（ ）．【答案】C【备注】【教师指导】本题是对性质1：的直接考查，要注意有两种情况.【解析】【标注】由得或， ∴或， 经检验知和均符合题意． 故选．【知识点】组合11.【解析】【标注】若，则 ．【答案】若，则．故答案为：.【知识点】组合【备注】【教师指导】本题是对性质1：的逆运用.巩固练习12.【解析】【标注】方程的解为 ．【答案】或已知，∵或，∴或，∴或．【知识点】组合经典例题A.B.C.D.13.若，则等于（ ）．【答案】C【备注】【教师指导】本题是对性质2：的直接运用.【解析】【标注】，即，所以，即．故选．【知识点】组合数计算14.【解析】【标注】计算 ．【答案】∵，∴原式．故答案为：．【知识点】组合数计算【备注】【教师指导】本题是对性质2：的运用吗，但需要利用进行一步配凑.巩固练习（1）15.（1）（2）【解析】求值：．【答案】（1）（2）．．．【标注】．【知识点】组合数计算4. 组合问题模型—分组分配问题知识精讲在日常生活中，常会将一些物品分发出去，这种问题称为分组分配问题.通常采用先分组后分配的方法解决.题型主要涉及：①平均分组；②部分平均分组；③不均匀分组.（1）平均分组例题：按下列要求分配6本不同的书，有多少种不同方法？①平均分3组；②平均分给甲、乙、丙三人.解析：①平均分成3组：有种方法；②平均分给甲、乙、丙三人：有种方法.注意：先分组，后分配；平均分成组，一定要除以.（2）部分平均分组例题：按下列要求分配6本不同的书，有多少种不同的方法？①一份4本，另两份各1本；②甲、乙各得1本，丙得4本.解析：①有两组是平均分配的，有：种方法；②可以先按第①问分组，因为甲、乙分别得到哪本书不同，故需对甲、乙排序，共有：种方法.（3）不均匀分组例题：按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同分配方式？①一份1本，一份2本，1份3本；②甲、乙、丙三人中一人1本，一人2本，一人3三本.解析：①因为不涉及均匀分配问题，直接利用乘法原理即可：种分配方式；②甲、乙、丙三人中谁得到一本，二本，三本是不清楚的，需要再次排列，所以共有种分配方式.经典例题（1）（2）（3）16.（1）（2）（3）【解析】【标注】按下列要求把个人分成个小组，各有多少种不同的分法？各组人数分别为，，人；平均分成个小组；平均分成个小组，进入个不同车间．【答案】（1）（2）（3）种．种．种．．．分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有种不同的分法．【知识点】分组分配法【备注】【教师指导】本题的第（1）问考查的是不均匀分组，不需要考虑排列；第（2）问考查的是均匀分组，不需要考虑排列；第（3）问考查的是均匀分组，需要考虑排列.巩固练习17.【解析】【标注】将本不同的书分成堆，每堆本，有 种不同的分法．【答案】．【知识点】分组分配法18.【解析】将名男生，名女生分成两组，每组人，参加两项不同的活动，每组名男生和名女生，则不同的分配方法有 种．【答案】【标注】先将名男生，名女生分成两组，每组人，有不同的两组，然后将这两组分配到两项不同的活动中，则不同的分配方法有种．故答案为：．【知识点】分组分配法经典例题19.【解析】【标注】将位心智助教分成组，其中两个组各人，另两个组各人，分赴四个不同班级服务，不同的分配方案有 种？（用数字作答）【答案】将人分成，，，人数的四组，则分配方案有：种．故答案为：．【知识点】分组分配法；排列【备注】【教师指导】本题考查的是部分平均分组，并且要考虑排列问题.巩固练习A. B. C. D.20.【解析】若有本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（ ）．【答案】B根据题意，分步进行分析：①将本不同的书分成组，若分成、、的三组，有种分组方法；若分成、、的三组，有种分组方法；则有种分组方法；②将分好的三组全排列，对应三人，有种情况，则有种不同的分法．【标注】故选．【知识点】分步乘法计数原理；分组分配法21.【解析】【标注】年月日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将位志愿者分成组，其中两组各人，另一组人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有 种．（用数字作答）【答案】不同的分配方案有（种）．【知识点】分组分配法5. 组合问题模型—相同元素隔板法知识精讲个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．经典例题22.【解析】【标注】个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方法?【答案】．由挡板法可得，.【知识点】隔板法【备注】【教师指导】本题是对组合问题模型—相同元素隔板法直接考查：10个相同元素形成9个空，再在9个位置放置7个挡板一共有多少种结果.巩固练习23.有个三好学生名额，分配到高三年级的个班里，要求每班至少个名额，共有 种不同的分配方案．【解析】【标注】【答案】把个相同的元素放到个班中，每班至少一个，可以用挡板法来解，把个元素一字排列形成个空，再在个位置放置个挡板共有种结果．【知识点】隔板法24.【解析】【标注】为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了箱相同规格的医用外科口罩，现需将这箱口罩分配给家医院，每家医院至少箱，则不同的分法共有 种．【答案】将箱相同口罩分配给家医院，采用隔板法，在个空中隔个板即可，∴不同的分法共有种．故答案为．【知识点】隔板法6. “先选后排”解排列组合综合问题知识精讲解决先选后排问题，应遵循三大原则：(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步.经典例题A.B.C.D.25.从名学生中选出名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）．【答案】D【备注】【教师指导】先特殊再一般，是对特殊元素甲先排，再排其他的元素.【解析】【标注】根据题意，从名学生中选出名分别参加竞赛，分种情况讨论：①选出的人没有甲，即选出其他人即可，有种情况，②选出的人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有种选法，在剩余人中任选人，参加剩下的三科竞赛，有种选法，则此时共有种选法，则有种不同的参赛方案；故选：．【知识点】特殊元素优先法巩固练习26.【解析】【标注】某地奥运火炬接力传递路线共分段，传递活动分别由名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）【答案】从特殊位置入手分类和分步完成，从最后一棒分类．甲为最后一棒，再考虑第一棒，再考虑其余位置，依次有；乙为最后一棒，再考虑第一棒，再考虑其余位置，依次有，则有．故答案为：．【知识点】特殊元素优先法；分类加法计数原理；分步乘法计数原理【素养】逻辑推理；数学运算经典例题A.种B.种C.种D.种27.将甲，乙等位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这所大学就读，则每所大学至少保送人的不同保送方法数共有（ ）．【备注】【教师指导】先组合后排列：先将四名同学进行分组，再将这三组同学进行排列，分配到三所学校中.【解析】【标注】将名同学分为组，共有种分法，再将这组分配给所学校，共有种分法，∴总共有种方法．故选．【知识点】分组分配法巩固练习28.【解析】【标注】将位志愿者分成组，其中两个组各人，另两个组各人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种．（用数字作答）．【答案】先分组 ,再排列．【知识点】分组分配法经典例题A.B.C.D.29.【解析】某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ）．【答案】B根据题意，分步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况，②将这个整体与英语全排列，有种顺序，排好后，有个空位，③数学课不排第一节，有个空位可选，在剩下的个空位中任选个，安排物理，有种情况，则数学、物理的安排方法有种，则不同排课法的种数是种．【备注】【教师指导】先分类后分步，是对分类加法原理和分步乘法原理综合考查.【标注】【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；加法原理与乘法原理的综合运用巩固练习A.本B.本C.本D.本30.【解析】【标注】给一些书编号，准备用个字符，其中首字符用，，后两个字符用，，（允许重复），则不同编号的书共有（ ）．【答案】D 分两步：第一步：选定首字符，有种可能；第二步：选后两个字符，又分两小步：第二字符，有种可能，第三个字符，也有种可能，所以利用乘法原理，最终就有种不同的组合情况，也就是说可以编本书．故选．【知识点】分步乘法计数原理三、思维导图你学会了吗？请你画出本节课的思维导图．【备注】四、出门测A.B.C.D.31.【解析】【标注】（ ）．【答案】D ，故选：．【知识点】组合数计算A.或B.C.D.32.【解析】【标注】方程的解为（ ）．【答案】A 当时，解得；当时，解得．故选：．【知识点】组合A.B.C.D.33.【解析】【标注】将个相同名额分给个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是（ ）．【答案】D将个相同元素分成组，用隔板法即可，即每班至少得到一个名额的不同分法种数是，故选：．【知识点】隔板法（1）（2）34.（1）（2）【解析】【标注】王华同学有课外参考书若干本，其中有本不同的外语书，本不同的数学书，本不同的物理书．若从这些参考书中选本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？将本不同的外语书全部分享给名室友，每人至少一本，有多少种分法？【答案】（1）（2）种．种．带本外语书和本数学书时有种带法；同样地，带外语书，物理书各本，有种带法；带数学书，物理书各本，有种带法，故有种带法．先把本外语书分组分三组：①三组本数分别为，，，种方法，②三组本数分别为，，，种方法，再分配给三个人，共种分法．【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；分步乘法计数原理；排列；分组分配法。
计数原理、排列组合
计数原理一、两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.二、例题例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
现要配成一荤一素一汤的套餐。
问可以配制出多少种不同的品种？分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择第二步配一个素菜有5种选择第三步配一个汤有2种选择共有N=3×5×2=30（种）例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。
（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（1）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算。
解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择第二类从下层取一本书有4种选择共有N=5+4=9（种）（2）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择第二步从下层取一本书有4种选择共有N=5×4=20（种）例3、有1、2、3、4、5五个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析： 1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.略解：N=5×5×5=125（个）（2）（3）（4）自己完成。
45计数原理和排列组合
A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种
8．（2010全国卷2）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封
放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）
A.12种B. 18种C.36种D.54种
（3）分成三份，一份4本，另两份每份1本。
规律方法总结：
二、总结提升
1.知识方面
2.数学思想方法：
NO.45计数原理与排列组合
【课后训练案】
使用说明：1.限时30分钟完成：2.独立、认真；规范快速。
1．四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（）
A．81B．64C．24D．4
2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个新节
3.（2010山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两
位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）
（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种
4.
5.
【我的疑问】
【课内探究】
一、讨论、展示、点评、质疑
探究1：排列组合解决实际排队问题
5．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）
A 24种B 30种C 36种D 48种5题图
6.同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的
分配方式有（）
A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种
例1.有5名男生，4名女生排成一排。
两个技术原理与排列组合(人教B版)
变式迁移 1 如图，一条电路从 A 处到 B 处接通时，可以有多少条不同的单 一线路？
解析
N＝ 3＋1＋2×2＝8(条).
题型二 排列问题 例2 4 男 3 女坐成一排． (1)共有多少种不同的排法？ (2)甲必须在中间，有多少种不同的排法？ (3)甲乙只能在两端，有多少种不同的排法？ (4)甲不在中间和两端，有多少种不同的排法？ (5)甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？ (6)甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ (7)甲、乙两人必须相隔 1 人，有多少种不同的排法？ (8)4 男必须相邻，有多少种不同的排法？ (9)4 男必须相邻， 3 女也必须相邻，有多少种不同的排法？
(9)4 男 3 女各自 不分 开，可 视为 各自 为一个 元素， 故共 有 A4 A3 A2 4· 3· 2种． (10)4 男排好后，有 5 个空，为使 3 女不相邻，可任意向 5 个空 里排，故有 A3 A4 5· 4种． (11)3 女排好后，有 4 个空， 4 男往里排，故有 A4 A3 4· 3种． (12)4 男不在两端，即两端只能排女的，故有 A2 A5 3· 5种． 1 (13)甲在乙左边，在全体排列中占一半，故有 A7 种． 2 7 (14)先选定 4 男的位臵，有 C4 7种， 3 女可以任意排 4 男的顺序 由小到大，还可由大到小两种排列，故有 C4 A3 A2 7· 3· 2种 .
－m
4． 排列问题常见的限制条件及对策： (1)有特殊元素或特殊位置； (2)元素必须相邻的排列； (3)元素相邻的排列； (4)元素有顺序限制的排列． 其基本的解题思想方法为：
①对于有特殊元素或特殊位置，一般采用直接法，即先排特殊 元素或特殊位置． ②相邻排列问题，通常采用“捆绑”法．即可以把相邻元素看 作一个整体参与其他元素排列． ③对于元素不相邻的排列，通常采用插空法，即先考虑不受限 制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中． ④对于元素有顺序限制的排列， 可以先不考虑顺序限制排列后， 利用规定顺序的实情求结果． ⑤间接法：先求出不考虑限制条件的排列数，再减去不符合条 件的排列数．
第9章 第1节 计数原理与排列组合-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
►规律方法 解决组合应用题的方法
(1)“ 含 有 ” 或 “ 不 含 有 ” 某 些 元 素 的 组 合 题 型 ： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不 含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类 题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直 接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
[例 2－1] 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不 同的排队方案的方法种数．
(3)全体站成一排，男、女各站在一起； 288 (4)全体站成一排，男生不能站在一起． 1440
[自主解答](3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起， 是男生的全排列，有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生 的全排列，有 A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，
_m__×__n__种不同的方法．
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相
互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法
计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个
步骤都完成了才算完成这件事． 4．排列与组合的概念
名称
定义
从 n 个不同元素中 按照_一__定__的_顺__序__排成一
m！（n－m）！
性质 (3)0！＝1_；Ann＝_n_! (4)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝_C_nm_＋__C_mn_－_1 __
教材拓展
1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无 序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列； 如果与顺序无关，则是组合．
计数原理与排列组合
计数原理与排列组合计数原理是组合数学中的一个重要概念，它是指在一定条件下，通过计算得出某种情况的可能性数量。
在实际生活中，计数原理被广泛运用于各个领域，比如概率统计、密码学、组合优化等。
而排列组合则是计数原理的一个重要应用，它涉及到有限集合中元素的排列和组合方式，是数学中的一个重要分支。
首先，我们来了解一下计数原理的基本概念。
计数原理包括加法原理和乘法原理两种基本原理。
加法原理是指如果一个事件可以分解为几个相互独立的子事件，那么这个事件的总数就是这几个子事件的数量之和。
而乘法原理是指如果一个事件可以分解为几个步骤，每个步骤的选择数目与其他步骤无关，那么这个事件的总数就是各个步骤选择数目的乘积。
接下来，我们来讨论排列和组合的概念。
排列是指从给定的元素中取出一部分进行排成一个有序的序列，而组合则是指从给定的元素中取出一部分进行组成一个无序的集合。
排列和组合的计算公式分别为P(n, m) = n!/(n-m)!和C(n, m) =n!/(m!(n-m)!)，其中n代表元素的总数，m代表取出的元素的个数，!表示阶乘运算。
在实际应用中，排列和组合有着广泛的用途。
比如在密码学中，排列和组合可以用来生成密码，计算密码的可能性数量；在概率统计中，排列和组合可以用来计算事件的发生概率；在组合优化中，排列和组合可以用来解决最优化问题。
总之，计数原理与排列组合是数学中的重要概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过对计数原理和排列组合的深入理解，我们可以更好地解决实际生活中的问题，提高问题的解决效率，为各个领域的发展提供有力支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解计数原理与排列组合的概念，为他们在实际应用中发挥作用提供帮助。
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合(教师版)
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合（教师版）排列组合_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示. ○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列.○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nnAn =○3由此排列数公式(1)(2)(1)m nA n n n n m =---+所以!.()!m nn An m =-(3)组合数公式:!.!()!m nn Cm n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.m n m nn CC -= 性质2：11.m m m n n n CC C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b-=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2mAB.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A+例4：计算98100C[答案]98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++ [答案]原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +== 类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A-⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C+36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880CC A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336CC A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( )A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( ) A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140[答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种 [答案] C ５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0[答案] C６.1171010r r CC +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574CC C ++ B.222574C C CC.222574AA A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种 B .180种 C.270种 D.540种 [答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.[答案]864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案]3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案]1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案]140能力提升1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案]B2.方程22a b c∈--，且,,a b c互不相ay b x c=+中的,,{3,2,0,1,2,3}同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案]B3. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案]Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】９６6. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案]３６7. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A⋅=个.方程更有实根，必须满足240.bac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222AA +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222AA A ++=18个.。
计数原理和排列组合
计数原理、知识要点1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m!种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N= _____________ 种不同的方法。
注意：1 )分类要全、清； 2 )任何一种方法均能完成此事；3)各类方法相互独立。
2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m!种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有的N=________________________________________________________________________________ 种不同的方法。
注意：1 )各步方法数相互独立；2)每步均完成后才能完成这件事。
3、用两个原理解决实际问题时可按下列步骤进行思考：(1)做什么事？定目标；(2 )怎么做？一一定方法(分类、分步、先分类后分步、先分步后分类等) ；(3)确定每类或每步的方法数；(4)利用原理计算出方法总数并作答。
二、例题分析：例1 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？例2 :如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。
从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？三、巩固练习：1.某班级有男三好学生5人，女三好学生4人。
(1)从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法?2、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？3、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字组成，可以设置多少种三位数的密码4、如图,从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？甲地地到丙地有2条路可通。
(完整)五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).教师版
一、 排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+L （）（）（），即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、 排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L （）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，知识结构排列组合记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L （）（） ．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、 组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有mn C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有mm P 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mmn nm mP n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯L L （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、 组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n mn n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n nC =，01n C =． 五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、 使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
计数原理与排列组合课堂PPT
(3)前后排问题，直排法.
授课：XX
10
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？
排在甲、乙2人中间，有 种排法，这时把已排好的5人视
为一整体，与最后剩下的2人再排，又有 种排法，这样
总共有
＝720种不同排法．
授课：XX
12
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 种排法；由 于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法；最后
把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定 公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
C A n m n (n 1 )n (2 ) (n m 1 )
n!
(nm)!
授课：XX
m n(n 1)n(2) (nm 1)
n n!
m !
nHale Waihona Puke !m!34。解排列组合问题基本思路
排 有序 排列 分类或分步 直接法
列 组
不易解
合
间接法
问
题
无序 组合 分类或分步
不易解 直接法
授课：XX
4
题型2 可重复元素排列问题 【例2】五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一
项，报名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比
赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少 种？
解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．
高考一轮复习教案十二(1)计数原理(教师)文科用
模块： 十二、排列组合、二项式定理、概率统计课题： 1、计数原理教学目标： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决．重难点： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．一、 知识要点1、分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法．2、分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．二、 例题精讲例 1 、电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？答案：28800．例2、从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?答案：32个例3、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种．（以数字作答）答案：120种 654321例4、（1）有红、黄、白色旗子各n 面（3n ），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？（2）有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？答案：（1）60；（2）7种．例5、d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？答案：9种．例6、关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？答案：（1）40个；（2）7440．例7、如图所示,问从A 到D 每次不许走重复的路,共有多少种走法?(注:每次的路线一个地方只能经过一次)答案：16例8、由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？答案：（1）72；（2）1600三、 课堂练习1、4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ；（3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序排列 ． 答案：576；1440；144；840.2、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有 种不同的送书方法． 答案：18003、三名男歌手和两名女歌手联合举行一场演唱会,演出时要求两名女歌手之间恰有一名男歌手,则共有出场方案 种．答案：364、圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是 ．答案：4955、7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种．答案：3600；3720.6、远洋轮一根旗杆上用红、蓝、白三面旗帜中，一面，二面或三面表示信号，则最多可组成不同信号有___________种．答案：15四、 课后作业一、填空题1、十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_________种行车路线．答案：122、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 种． 答案：123、从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有______种． 答案：254、72的正约数（包括1和72）共有__________个．答案：125、从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数()2f x ax bx c =++的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个．（用数字作答）答案：18；66、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种．（以数字作答） 答案：72 二、选择题7、某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是( )A 、9×8×7×6×5×4×3B 、8×96C 、9×106D 、81×105答案：D8、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则n m 等于( ) A 、0 B 、41 C 、21 D 、43 答案：B9、某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )A 、504B 、210C 、336D 、120答案：A三、解答题10、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？答案：3611、五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？答案：（1）1024种；（2）526种．12、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？答案：36⑤④③②①。
计数原理和排列组合教案
计数原理和排列组合教案【教案目标】1. 理解计数原理的基本概念和应用；2. 掌握排列组合的基本知识和技巧；3. 能够运用计数原理和排列组合解决实际问题。
【教案内容】一、计数原理的基本概念A. 计数原理的分类1. 乘法原理2. 加法原理B. 计数原理的应用1. 排列计数问题2. 组合计数问题二、乘法原理的应用A. 乘法原理的定义B. 定理证明与例题解析C. 真实应用场景案例分析三、加法原理的应用A. 加法原理的定义B. 定理证明与例题解析C. 真实应用场景案例分析四、排列组合的基本概念A. 排列的定义B. 组合的定义C. 排列组合的区别与联系五、排列和组合的计算方法A. 排列计算公式B. 组合计算公式C. 排列组合的应用案例分析六、计数原理和排列组合的综合应用A. 综合计数问题的解决方法B. 综合案例解析与思考七、课堂练习与讲评A. 计数原理和排列组合的基础练习题B. 学生课堂互动与讲解答疑【教学步骤】一、导入部分利用实际生活中的例子引导学生认识计数原理的重要性，并激发学生对数学的学习兴趣。
二、教学过程1. 计数原理的基本概念讲解与案例分析2. 乘法原理的应用讲解与示例演练3. 加法原理的应用讲解与示例演练4. 排列组合的基本概念讲解与案例分析5. 排列和组合的计算方法介绍与练习6. 计数原理和排列组合的综合应用实例讲解与思考三、课堂练习与讲评布置一些练习题，让学生在课堂上解答并讲解答案，及时纠正错误，并对正确答案进行讲评。
四、课堂总结与作业布置小结本节课所学的内容，概括计数原理和排列组合的要点，并布置相应的作业，以巩固已学知识。
【教学工具】黑板、彩色粉笔、PPT演示文稿、学生课本、练习题集。
【教学评价】通过学生在课堂练习中的表现和作业的完成情况，以及对学生的随堂测试，来评价他们对计数原理和排列组合的掌握程度。
【教学延伸】可以对计数原理和排列组合的应用进行深入研究，并引导学生通过自主学习来扩展应用，激发学生的创新思维和解决问题的能力。
排列组合问题常用方法(上课用)
甲乙都在前排： 1、都在左面4个座位 A22 3 =6种
2、都在右面4个座位 同上，6种
3、分列在中间3个的左右 A22 4 4 =32种
一共6+6+32=44种 甲乙都在后排： A(22)*(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=110种 甲乙分列在前后两排 A(22)*12*8=192种 一共44+110+192=346种
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４ 幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 端，那么共有陈列方式的种数为_A_22_A_55_A_44 _
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女 生也相邻的排法有_A_22_A_55_A_55 _种
十五.实际操作穷举策略
练习： 1.把6名实习生分配到6个车间实习,共有
多少种不同的分法？
2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法共有 多少种？
一.特殊元素和特殊位置优先策略
（特殊元素（或位置）分析法）
例1.由0到9这10个数字，可以组成多少个 (1) 没有重复数字的三位数？ (2) 没有重复数字的三位奇数？ (3) 没有重复数字的三位偶数？
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
2019-2020年高中数学《第52课时计数原理和排列组合》教学案新人教A版必修3
2019-2020年高中数学《第52课时计数原理和排列组合》教学案新人教A版必修3基础训练1. 有四位老师在同一年级的4个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法总数是________种．2． 4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有________种．3．从a、b、c、d、e五人中选1名班长，1名副班长，1名学习委员，1名纪律委员，1名文娱委员，但a不能当班长，b不能当副班长．不同选法总数为________种．4．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．5．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．重点讲解1．分类计数原理完成一件事，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事，需要分成n个不同的步骤，完成第1步有m1种不同的方法，完成第2步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．排列(1)排列的定义：从n个不同的元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n、m∈N*，且m≤n.(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝14．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．(3)组合数的计算公式：C m n ＝A m n A m m ＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，由于0！＝1，所以C 0n ＝1.(4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n __；②C m n ＋1＝C m n __＋C m －1n __. 典题拓展例1.高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人。
高中数学 2-3 排列组合典型例题 教师用
1．分类计数原理: 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N = n 1+n 2+n 3+…+n M 种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N =n 1·n 2·n 3·…n M 种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。
它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。
3.⑪排列的定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑫排列数的定义: 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数， 用符号m n A 表示. 其中n ，m ∈N *，并且m ≤n ．⑬排列数公式: !(1)(1)(,,)()!m n n A n n n m m n n m N n m =--+=∈- ≤ 当m =n 时，排列称为全排列，排列数为n n A =(1)21n n ⨯-⨯⨯⨯ 记为n !, 且规定O!=1.注：!(1)!!n n n n ⋅=+- ; 11--=m n m n nA A 4.⑪组合的定义: 从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数的定义: 从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示. ⑬组合数公式: (1)(1)!!!()!m m n n m m A n n n m n C A m m n m --+===- . 规定01n C =，其中m ，n ∈N +，m ≤n.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. ⑭组合数的两个性质:①;mn m n n C C -= 从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n -m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n -m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.②11m m m n n n C C C -++= 根据组合定义与加法原理得；在确定n +1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m -1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法; ②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，()m m n <个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m m n nA A 种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略； ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略.1.1两个计数原理(1)例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
排列组合与概率统计(教师版详)-新高考卷概率与统计热门考题汇编
2023届新高考卷概率与统计热门考题汇编第一部分：基本原理和重要概念一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整二、常见的一些排列问题及其解决方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法三、分组分配问题(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．四、二项式定理(1)一般地，对于任意正整数，都有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+⋯+C r n a n-r b r+⋯+C n n b n(n∈N∗)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的C r n a n-r b r做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：T r+1=C r n a n-r b r，其中的系数C rn (r =0，1，2，⋯，n )叫做二项式系数，2.(2)两个常用的二项展开式：①(a -b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +L +-1 r C r n a n -r b r +L +-1 n C n n b n (n ∈N ∗)，②1+x n =1+C 1n x +C 2n x 2+L +C r n x r +L +x n(3)二项式系数的性质(杨辉三角形)①每一行两端都是1，即C 0n =C n n ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即C m n +1=C m -1n +C m n ．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n =C n -m n ．③二项式系数和令a =b =1，则二项式系数的和为C 0n +C 1n +C 2n +⋯+C r n +⋯+C n n =2n ，变形式C 1n +C 2n +⋯+C r n +⋯+C n n =2n -1．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a =1，b =-1，则C 0n -C 1n +C 2n -C 3n +⋯+(-1)n C n n =(1-1)n =0，从而得到：C 0n +C 2n +C 4n ⋅⋅⋅+C 2r n +⋅⋅⋅=C 1n +C 3n +⋯+C 2r +1n +⋅⋅⋅=12⋅2n =2n -1．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项T n 2+1的二项式系数C n 2n 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项T n +12，T n +12+1的二项式系数C n -12n ，C n +12n相等且最大．⑥求(a +bx )n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 1，A 2，⋅⋅⋅，A n +1，设第r +1项系数最大，应有A r +1≥A rA r +1≥A r +2 ，从而解出r 来．(4)二项式系数和的计算与赋值五、二项分布1.n 重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．2.n 重伯努利试验具有如下共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n 次；(2)各次试验的结果相互独立．3.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为：P (X =k )=C k n p k(1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ~B (n ,p )4.一般地，可以证明：如果X ~B (n ,p )，那么EX =np ,DX =np (1−p ).六、超几何分布1.超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X =k )=C k M C n -kN -MC nN，k =m ，m +1，m +2，⋯，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m =max {0，n -N +M }，r =min {n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布的期望E (X )==np (p 为N 件产品的次品率)．七、二项分布与超几何分布的区别1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果A 或A ，一般考查二项分布.4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.7.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为：P (X =k )=C k n p k(1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ~B (n ,p )8.一般地，可以证明：如果X ~B (n ,p )，那么EX =np ,DX =np (1−p ).八、二项分布的两类最值(1)当p 给定时，可得到函数f (k )=C k n p k (1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，这个是数列的最值问题.p kp k −1=C n k p k (1−p )n −k C k −1n p k −1(1−p )n −k +1=(n −k +1)p k (1−p )=k (1−p )+(n +1)p −k k (1−p )=1+(n +1)p −k k (1−p ).分析：当k <(n +1)p 时，p k >p k −1，p k 随k 值的增加而增加；当k >(n +1)p 时，p k <p k −1，p k 随k 值的增加而减少.如果(n +1)p 为正整数，当k =(n +1)p 时，p k =p k −1，此时这两项概率均为最大值.如果(n +1)p 为非整数，而k 取(n +1)p 的整数部分，则p k 是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k 等于期望时，概率最大.(2)当k 给定时，可得到函数f (p )=C k n p k(1−p )n −k ,p ∈(0,1)，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：f '(p )=C k n kp k −1(1−p )n −k −p k (n −k )(1−p )n −k −1=C k n p k −1(1−p )n −k −1k (1−p )−(n −k )p =C k n p k −1(1−p )n −k −1(k −np ).当k =1,2,⋯,n −1时，由于当p <k n 时，f '(p )>0，f (p )单调递增，当p >kn时，f '(p )<0，f (p )单调递减，故当p =k n 时，f (p )取得最大值，f (p )max =f kn.又当p →0,f (p )→1，当p →0时，f (p )→0，从而f (p )无最小值.九、复杂概率计算(1)善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：A i 表示“第i 局比赛胜利”，则A i表示“第i 局比赛失败”.(2)理解事件中常见词语的含义：A ,B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A ,B 都发生的事件为AB ；A ,B 都不发生的事件为；A ,B 恰有一个发生的事件为A ∪B ；A ,B 至多一个发生的事件为A ∪B ∪.(3)善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用P A =1-P A解出所求事件概率.十、条件概率1.条件概率定义一般地，设A ,B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )=P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．可以看到，P (B |A )的计算，亦可理解为在样本空间A 中，计算AB 的概率. 于是就得到计算条件概率的第二种途，即P (B |A )=n (AB )n (A )=n AB n Ω n A n Ω=P ABP A.特别地，当P (B |A )=P (B )时，即A ,B 相互独立，则P (AB )=P (A )P (B ).2.条件概率的性质设P (A )>0，全样本空间定义为Ω，则(1)P Ω|A =1；(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P ((B ∪C )|A )=P B |A +P C |A ；(3)设事件A 和B 互为对立事件，则P (B∣A )=1-P (B ∣A )．十一、全概率公式与贝叶斯公式1.在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设A 1，A 2，⋯，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω，且P A i >0，i =1，2，⋯，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )=ni =1P A i P B ∣A i .我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．2.贝叶斯公式设A 1，A 2，⋯，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω，且P A i >0，i =1，2，⋯，n ，则对任意事件B ⊆Ω，P B >0，有P A i ∣B =P A i P B ∣A iP (B )=P A i P B ∣A ink =1P A k P B ∣A k，i =1,2,⋯,n .在贝叶斯公式中，P A i 和P A i |B 分别称为先验概率和后验概率．十二、一维随机游走与马尔科夫链1.转移概率：对于有限状态集合S ，定义：P i ⋅j =P X n +1=j X n =i 为从状态i 到状态j 的转移概率.2.马尔可夫链：若P X n +1=i X n =i ,X n -1=i n -1,⋅⋅⋅,X 0=i 0=P X n +1=j X n =i =P ij ，即未来状态X n +1只受当前状态X n 的影响，与之前的X n -1，X n -2，⋅⋅⋅，X 0无关.3.一维随机游走模型.设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t =0时，位于点x =i i ∈N + ，下一个时刻，它将以概率α或者βα∈0,1 ,α+β=1 向左或者向右平移一个单位. 若记状态X t =i 表示：在时刻t 该点位于位置x =i i ∈N + ，那么由全概率公式可得：P X t +1=i =P X t =i -1 ⋅P X t +1=i X t =i -1 +P X t =i +1 ⋅P X t +1=i X t =i +1 另一方面，由于P X t +1=i X t =i -1 =β，P X t +1=i X t =i +1 =α，代入上式可得：P i =α⋅P i +1+β⋅P i -1进一步，我们假设在x =0与x =m m >0,m ∈N + 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，P 0=0，P m =1随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：P i =a ⋅P i +1+b ⋅P i +c ⋅P i -1有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.十三、统计1.线性回归方程与最小二乘法(1)回归直线方程过样本点的中心(x ,y )，是回归直线方程最常用的一个特征(2)我们将y =b x +a称为Y 关于x 的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ,a叫做b ，a 的最小二乘估计(leastsquaresestimate )，其中b =ni =1x i -xy i -y n i =1x i -x 2 =ni =1x i y i -nx ⋅y ni =1x 2i -nx2a =y -b x .(3)残差的概念对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．(4)刻画回归效果的方式(i )残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．(ii )残差平方和法：残差平方和ni =1y i -y i 2 ，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．(iii )利用R 2刻画回归效果：决定系数R 2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力．R 2=1ni =1y i -yi 2ni =1y i -y2，R 2越大，即拟合效果越好，R 2越小，模型拟合效果越差．第二部分.试题汇编一、单选题2.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))若二项式3x 2+1x2n展开式中存在常数项，则正整数n 可以是()A.3B.5C.6D.7【详解】二项式3x 2+1x2n展开式的通项为T r +1=C r n(3x 2)n -r1x 2r =3n -r C r n x 2n -4r，令2n -4r =0，解得：r =n2，又因为0≤r ≤n 且r 为整数，所以n 为2的倍数，所以n =6，故选：C .3.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为()A.13B.12C.23D.34【详解】记人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团分别为a ,b ,c ，则甲､乙两位同学各自参加其中一个社团的基本事件有a ,a ,a ,b ,a ,c ,b ,a ,b ,b ,b ,c ,c ,a ,c ,b ,c ,c 共9种，而这两位同学恰好参加同一个社团包含的基本事件有a ,a ,b ,b ,c ,c 共3种，故这两位同学恰好参加同一个社团的概率P =39=13.故选：A 4.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)ax +y 5的展开式中x 2y 3项的系数等于80，则实数a =()A.2B.±2C.22D.±22【详解】展开式的通项公式是T r +1=C r 5⋅ax 5-r ⋅y r ，当r =3时，x 2y 3项的系数为C 35⋅a 2=80，解得：a =±2 2.故选：D5.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”．市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为()A.13B.49C.59D.109165【详解】11个景点随机选取相邻的3个游览，共有9种情况，选取景点中有“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的，共有4种情况，则其概率P =49，则11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率P =1-49=59.故选：C 6.(广东省2023届高考一模)如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有()A.96种B.64种C.32种D.16种【详解】根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有2A 22=4种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有A 14A 12=8种排法；第三步，排数字5和6，共有A 22=2种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为4×8×2=64.故选：B .7.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))已知事件A ，B ，C 的概率均不为0，则P A =P B的充要条件是()A.P A ∪B =P A +P BB.P A ∪C =P B ∪CC.P AB =P ABD.P AC =P BC【详解】解：对于A ：因为P A ∪B =P A +P B -P A ∩B ，由P A ∪B =P A +P B ，只能得到P A ∩B =0，并不能得到P A =P B ，故A 错误；对于B ：因为P A ∪C =P A +P C -P A ∩C ，P B ∪C =P B +P C -P B ∩C ，由P A ∪C =P B ∪C ，只能得到P A -P A ∩C =P B -P B ∩C ，由于不能确定A ，B ，C 是否相互独立，故无法确定P A =P B ，故B 错误；对于C ：因为P AB =P A -P AB ，P AB =P B -P AB ，又P AB =P AB ，所以P A =P B ，故C 正确；对于D ：由于不能确定A ，B ，C 是否相互独立，若A ，B ，C 相互独立，则P AC =P A P C ，P BC =P B P C ，则由P AC =P BC 可得P A =P B ，故由P AC =P BC 无法确定P A =P B ，故D 错误；故选：C8.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有()A.100个B.125个C.225个D.250个【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：最多1个0，取奇数字有A15种，取能重复的偶数字有A14种，它们排入数位有A22种，取偶数字占百位有A15种，不同“回文数”的个数是A15A14A22A15=200个，最少2个0，取奇数字有A15种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有A15种，不同“回文数”的个数是A15A15=25个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有200+25=225个.故选：C9.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为()A.15B.310C.325D.625【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有C35A33=60种实习方案，当分为2,2,1人时，有C25C23A22⋅A33=90种实习方案，即共有60+90=150种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有C13A33+C23A33=36种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36150=625，故选：D.10.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式2x-1xn展开式的常数项为()A.-160B.60C.120D.240【详解】因为6×75%=4.5，所以n=6，所以2x-1 x6展开式的通项为：T r+1=C r62x6-r-1 xr=C r6⋅26-r⋅-1 r⋅x6-32r，令6-32r=0得：r=4，所以展开式的常数项为C46×22×-14=60，故选：B．11.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知x3+2x2n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为()A.60B.80C.100D.120【详解】当x=1时，3n=243，解得n=5，则x3+2 x2n的展开式第r+1项T r+1=C r5(x3)5-r2x2 r=C r5 x15-3r2r x-2r=C r52r x15-5r，令15-5r=0，解得r=3，所以C3523=10×8=80，故选：B12.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)某种品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布N 4,σ2 σ>0 ，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为()A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1【详解】由题得：P x ≥2 =0.9，故P x <2 =0.1，因为6+22=4，所以根据对称性得：P x ≥6 =P x <2 =0.1.故选：D .13.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点不同”，则P B A =()A.79B.89C.911D.1011【详解】由题可得P A =6×6-5×56×6=1136，P AB =2×56×6=518,所以P B A =P ABP A=5181136=1011.故选：D .14.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A ,B ,C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为()A.193243B.100243C.23D.59【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有35=243种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为C 35×A 33=60;当5人被分为2,2,1时，情况数为C 15×C 24A 22×A 33=90；所以共有60+90=150.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则C 34×A 22=8，甲若为3，则C 24×A 22=12，共计8+12=20种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则C 24A 22×A 22=6，甲若为2，则C 14×C 13×A 22=24，共计6+24=30种，所以甲不在A 小区的概率为150-20+30 243=100243，故选：B .15.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为()A.310B.12C.35D.910【详解】以点A为例，以点A为其中一个顶点的三角形有△ABC,△ABD,△ABE,△ABF,△ACD,△ACE,△ACF,△ADE,△ADF,△AEF，共10个，其中直角三角形为△ABD,△ABE,△ACD,△ACF,△ADE,△ADF，共6个，故所得三角形是直角三角形的概率为610=35.故选：C16.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为()A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43【详解】设事件A表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则P1=C23C24×0.82=0.32,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则P2=C11C13C24×0.8×0.25=0.1，故P(A)=P1+P2=0.32+0.1=0.42,故选：C17.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(X>3)=16，则P(X<1)=()A.13B.23C.16D.56【详解】随机变量X服从正态分布N2,σ2，显然对称轴X=2，所以由对称性知P(x<1)=P(x>3)=16，故选：C．18.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)(1+x)n展开式中二项式系数最大的是C5n，则n不可能是()A.8B.9C.10D.11【详解】当n=9时，C59是最大的二项式系数，符合要求，当n=10时，C510是最大的二项式系数，符合要求，当n =11时，C 511=C 611是最大的二项式系数，符合要求，当n =8时，显然C 58<C 48，不满足，故选：A ．19.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为X 1,X 2．设Y 1=X 1,X 1≥X 2X 2,X 1<X 2 ，设Y 2=X 1,X 1≤X 2X 2,X 1>X 2 ，记事件A =“Y 1=5”，B =“Y 2=3”，则P B ∣A =()A.19B.29C.15D.211【详解】将此骰子任意抛掷2次，则基本事件的方法总数为36种，显然Y 1是取大函数，所以A =“Y 1=5”，则X 1,X 2中有一个数字是5，另一个数字小于等于5，有5×2-1=9种；显然Y 2是取小函数，所以A =“Y 1=5”，B =“Y 2=3”同时发生，则有3,5 和5,3 ；所以P A =936=14，P BA =236，所以P B ∣A =P BA P A=29.故选：B ．二、多选题20.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则()A.P (X >32)>P (Y >32)B.P (X ≤36)=P (Y ≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车【详解】A .由条件可知X ∼N 30,62 ，Y ∼N 34,22 ，根据对称性可知P Y >32 >0.5>P X >32 ，故A 错误；B .P X ≤36 =P X ≤μ+σ , P Y ≤36 =P Y ≤μ+σ ，所以P X ≤36 =P Y ≤36 ，故B 正确；C . P X ≤34 >0.5=P Y ≤34 ，所以P X ≤34 >P Y ≤34 ，故C 正确；D . P X ≤40 <P X <42 =P X <μ+2σ ，P Y ≤40 =P Y ≤μ+3σ ，所以P X ≤40 <P Y ≤40 ，故D 正确.故选：BCD21.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望.二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特·恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数=食物支出金额总支出金额×100%”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知()A.城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平B.农村居民恩格尔系数的平均数低于32%C.城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%D.全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数【详解】对于A：从折线统计图可知2015年开始城镇居民的恩格尔系数均低于30%，即从2015年开始进入“最富裕”水平，故A正确；对于B：农村居民恩格尔系数只有2017、2018、2019这三年在30%∼32%之间，其余年份均大于32%，且2012、2013这两年大于(等于)34%，故农村居民恩格尔系数的平均数高于32%，故B错误；对于C：城镇居民恩格尔系数从小到大排列(所对应的年份)前5位分别为2019、2018、2017、2021、2020，因为10×45%=4.5，所以第45百分位数为第5位，即2020年的恩格尔系数，由图可知2020年的恩格尔系数高于29%，故C正确；对于D：由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，显然农村居民占比要大于50%，故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故D错误；故选：AC22.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据(单位：kg)全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则()A.频率分布直方图中a 的值为0.07B.这100名学生中体重低于60kg 的人数为60C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5【详解】对于A 项，因为5×(0.01+a +0.06+0.04+0.02)=1，解得：a =0.07，故A 项正确；对于B 项，(0.01+0.07+0.06)×5×100=70人，故B 项错误；对于C 项，因为0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7，0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5=0.9，0.7<0.78<0.9，所以第78百分位数位于[60,65)之间，设第78百分位数为x ，则0.01×5+0.07×5+0.06×5+(x -60)×0.04=0.78，解得：x =62，故C 项正确；对于D 项，因为0.01×5×47.5+0.07×5×52.5+0.06×5×57.5+0.04×5×62.5+0.02×5×67.5=57.25，即：估计该校学生体重的平均数约为57.25，故D 项错误.故选：AC .23.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)下列命题中正确的是()A.若样本数据x 1，x 2，⋯，x 20的样本方差为3，则数据2x 1+1，2x 2+1，⋯，2x 20+1的方差为7B.经验回归方程为y=0.3-0.7x 时，变量x 和y 负相关C.对于随机事件A 与B ，P A >0，P B >0，若P A B =P A ，则事件A 与B 相互独立D.若X ∼B 7,12，则P X =k 取最大值时k =4【详解】对于A ，数据2x 1+1，2x 2+1，⋯，2x 20+1的方差为22×3=12，所以A 错误；对于B ，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x 与y 呈负的线性相关关系，所以B 正确；对于C ，由P A B =P ABP B=P A ，得P AB =P A ⋅P B ，所以事件A 与事件B 独立，所以C正确；对于D ，由P X =k ≥P X =k +1P X =k ≥PX =k -1，即C k 712 7≥C k +17127C k 712 7≥Ck -17127，解得k =3或k =4，所以D 错误．故选：BC ．24.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生达标率60%70%65%75%定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有()A.乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校B.两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率C.若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%D.甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率【详解】由表中数据可得甲校理科生达标率为60%，文科生达标率为70%，乙校理科生达标率为65%，文科生达标率为75%，故选项AB 正确；设甲校理科生有x 人，文科生有y 人，若0.6x =0.7y ，即6x =7y ，则甲校总达标率为0.6x +0.7yx +y=4265，选项C 错误；由总达标率的计算公式可知当学校理科生文科生的人数相差较大时，所占的权重不同，总达标率会接近理科生达标率或文科生达标率，当甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生时，甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率，选项D 正确；故选：ABD25.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)已知离散型随机变量X 服从二项分布B n ,p ，其中n ∈N ∗,0<p <1，记X 为奇数的概率为a ，X 为偶数的概率为b ，则下列说法中正确的有()A.a +b =1 B.p =12时，a =b C.0<p <12时，a 随着n 的增大而增大 D.12<p <1时，a 随着n 的增大而减小【详解】对于A 选项，由概率的基本性质可知，a +b =1，故A 正确，对于B 选项，由p =12时，离散型随机变量X 服从二项分布B n ,12 ，则P =X =k =C kn12k1-12n -kk =0,1,2,3,⋯,n ，所以a =12nC 1n +C 3n +C 5n +⋯⋯ =12n×2n -1=12，b =12nC 0n+C 2n+C 4n+⋯⋯ =12n×2n -1=12，所以a =b ，故B 正确，。
排列组合及二项式定理复习计数原理(课件)2022-2023学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
组合数性质：
C
m n
C nm n
C
m n
C
m n
1
Cm n1
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位题主置最,排先然需分常,排后以先析用末排免安法也位首不排和是共位合特元最有共要殊素基_有求元_分本_的_素_析的_元,法方再素C是法处占31C解,理了若41 决其这以排它两元列元个素组素位分合.置析若问为以
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有C__52种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_A__44__种方法.
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
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姓名学生姓名填写时间2016-12-7 学科数学年级高三教材版本人教版阶段第（48 ）周观察期：□维护期：□课题名称排列组合课时计划第（）课时共（）课时上课时间2016-12-8教学目标大纲教学目标1、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．2、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．个性化教学目标体会分类讨论的思想教学重点1、正确区分排列与组合,熟练排列数与组合数公式2、能熟练利用排列数与组合数公式进行求值和证明.教学难点分类讨论思想的灵活应用教学过程问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?一、分类计数原理完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有第一部分：计数原理n m +种不同的方法都能独立的完成这件事，要计算方法种数首先要根据具体的问题确定一个分类标准，nm ⨯种不同的方法只有各个步骤都完成了,这件事才算完成又称乘法原理2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.例2、设某班有男生30名，女生24名。
现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?第二部分：排列一、问题引入问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从1、2、3、4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号，列出树形图如下：换位后，原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA .练习2：四人A 、B 、C 、D 坐成一排，其中A 不坐在排头，写出所有的坐法． 解：例2设a ∈N *，且a ＜27，则(27－a )(28－a )…(34－a )等于( ) A ．A 27－a 8 B ．A 34－a 27－a C ．A 34－a 7 D ．A 34－a 8解析： 8个括号是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.练习1：解不等式：A 8m ＋2＜6A 8m.解析： 原不等式可化为8！8－m －2！＜6·8！8－m ！，化简得m 2－15m ＋50＜0，即(m －5)(m －10)＜0，解得5＜m ＜10，又⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤8m ≤8，即m ≤6，所以m ＝6.练习2：计算 (1)A 95＋A 94A 106－A 105；(2)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！.(3)2A 85＋7A 84A 88－A 95；(4)A n －1m －1·A n －m n －m A n －1n －1.[解析] (1)方法一：A 95＋A 94A 106－A 105＝5A 94＋A 9450A 94－10A 94＝6A 9440A 94＝320.方法二：A 95＋A 94A 106－A 105＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320.(2)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n!＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n ＋1)！－n ！]＝(n ＋1)！－1.(3)2A 85＋7A 84A 88－A 95＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1.(4)A n －1m －1·A n －m n －m A n －1n －1＝n －1！[n －1－m －1]！·(n －m )！·1n －1！＝n －1！n －m ！·(n －m )！·1n －1！＝1.例3、求证：A n ＋1m－A n m＝m A nm －1.[解析] 证法一：A n ＋1m －A n m ＝n ＋1！n ＋1－m ！－n ！n －m ！＝n ！n －m ！⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！n －m ！·m n ＋1－m ＝m ·n ！n ＋1－m ！＝m A n m －1.练习：求证：A n ＋1n ＋1＝A n ＋1n ＝(n ＋1)A n n证明： ∵An ＋1n ＋1＝(n ＋1)×n ×(n －1)×…×3×2×1，An ＋1n ＝(n ＋1)×n ×(n －1)×…×3×2，(n ＋1)A nn＝(n ＋1)×n! ＝(n ＋1)×n ×(n －1)×…×3×2×1，第二类，当个位不排0时，有A 41A 41A 44个．故共有符合题意的六位数有A 55＋A 41A 41A 44＝504(个)．(3)①当千位上排1,3时，有A 21A 31A 42个．②当千位上排2时，有A 21A 42个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A 31个；形如41××的有A 21A 31个；形如43××的只有4 310和4 302这两个数，故共有A 21A 31A 42＋A 21A 42＋2A 31＋A 21A 31＋2＝110(个)．题后感悟：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．一、问题引入问题3：从3名同学中选出2名的可能选法是多少？第二部分：组合含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C53种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类计数原理，与顶点A共面三点的取法有3C53＋3＝33种．(2)间接法：如图，从10个点中取4个点的取法有C104种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面．有4C64＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C104－(60＋6＋3)＝141(种)．例5在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？练习1：(2011·北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)(4)由{5－n ≤n 5－n ≥09－n ≤n ＋19－n ≥0⇒4≤n ≤5. ∵n ∈N *，∴n ＝4或5.当n ＝4时，原式＝C 41＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 50＋C 64＝16.练习1：计算：(1)C 85＋C 10098·C 77；(2)C 50＋C 51＋C 52＋C 53＋C 54＋C 55；(3)Cn ＋1n ·Cnn －1.解析： (1)原式＝C 83＋C 1002×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 50＋C 51＋C 52)＝2(C 61＋C 52)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32.(3)方法一：原式＝C n ＋1n ·C n 1＝n ＋1！n ！·n ＝n ＋1·n ！n ！·n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .方法二：原式＝(C n n ＋C n n －1)·C n n －1＝(1＋C n 1)·C n 1＝(1＋n )n ＝n 2＋n . 练习2：(1)已知1C 5m －1C 6m ＝710C 7m，求C 8m . (2)解方程：Cx ＋2x －2＋Cx ＋2x －3＝110A x ＋33.[解] (1)原方程变形为m ！5－m ！5！－m ！6－m5－m ！6×5！＝7m ！7－m 6－m 5－m ！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝7－m6－m60，即m 2－23m ＋42＝0，(2)原方程可化为C x ＋3x －2＝110A x ＋33，即C x ＋35＝110A x ＋33， ∴x ＋3！5！x －2！＝x ＋3！10·x ！，∴1120x －2！＝110·x x －1·x －2！，∴x 2－x －12＝0 解得x ＝4或x ＝－3。