2018年南充一诊理科数学试题及答案

四川省南充市2018届高三第一次高考适应性考试（一诊）

数学理试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合()(){}(){},,,1A x y y f x B x y x =

===，则A B ⋂中元素的个数为（ ）

A ．必有1个

B ．1个或2个

C ．至多1个

D ．可能2个以上

2. 已知复数z 满足

111121z i i

=++-，则复数z 的虚部是（ ）

A ．15

B ．15i

C ．15-

D ．15i -

3. 已知向量,a b 是互相垂直的单位向量，且1c a c b ⋅=⋅=-，则()

35a b c b -+⋅=（ ） A ．1- B ．1 C ．6 D ．6-

4. 已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据

则变量x 与y 之间的线性回归方程可能为（ ）

A ．0.7 2.3y x =-

B ．0.710.3y x =-+

C ．10.30.7y x =-+

D ．10.30.7y x =-

5.设()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中,,,a b αβ都是非零实数，若()20171f =-，那么 ()2018f =（ ）

A ．1

B ．2

C ．0

D ．1- 6. 若01m <<，则（ ）

A ．()()11m m log m log m +>-

B ．(10)m log m +> C. ()2

11m m ->+

D ．()()11

3211m m ->-

7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）

A ．

92 B ．4 C. 3 D ．3102

8. 若函数()32

4f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．()1,5

B ．[)1,5 C. (]1,5 D ．()(),15,-∞⋃+∞

9. 如图，将45︒直角三角板和30︒直角三角板拼在一起，其中45︒直角三角板的斜边与30︒直角三角板的30︒角所对的直角边重合.若,0,0DB xDC yDA x y =+>>，则x y +=（ ）

A ．13+

B ．123+ C.23+ D ．23

10. 已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，

26AD AB ==，则该球的体积为（ ）

A ．323π

B ．48π C. 24π D ．16π

11. 已知抛物线2:4C x y =，直线:1l y =-，,PA PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，则“点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件 C. 充要条件

D ．既不充分也不必要条件

12. 已知函数()2

1ln 1

f x x =-

+（, 2.71828

x e e >=是自然对数的底数）.若

()()2ln f m e f n =-，则()f mn 的取值范围为（ ）

A ．5,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．9,110⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 5,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. ()

6

1x

+的展开式中有理项系数之和为 ．

14. 函数13sin cos 0,222y x x x π⎛⎫

⎡⎤=+

∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝

⎭的单调递增区间是 ． 15．若圆221:5O x y +=与圆()()2

22:20O x m y m R ++=∈相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ．

16．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x R ∀∈，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+- ，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至多有三个零点，则a 的取

值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-. （1）证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）求数列1n n a ⎧⎫

+⎨⎬⎩⎭

的前n 项和n T .

18.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[](](](]5,15,15,25,25,3535,45,，由此得到样本的重量频率分布直方（如 图）.

（1）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望.（以频率分布直方图中的频率作为概率）

19. 如图，正方形ABCD 与等边三角形ABE 所在的平面互相垂直，,M N 分别是,DE AB 的中点.

（1）证明：//MN 平面BCE ； （2）求锐二面角M AB E --的余弦值.

20. 已知椭圆22

143

x y +

=的左焦点为F ，左顶点为A . （1）若P 是椭圆上的任意一点，求PF PA ⋅的取值范围；

（2）已知直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点,M N (均不是长轴的端点），AH MN ⊥，垂足为H 且2

AH MH HN =⋅，求证:直线l 恒过定点.

21.已知a R ∈，函数()()2

ln 12f x x x ax =+-++.

（1）若函数()f x 在[)1,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；

（2）令1,a b R =-∈，已知函数()2

2g x b bx x =+-，若对任意()11,x ∈-+∞，总存在