第9章 2-非线性方程组的迭代解法

(Tx, Ty) Tx Ty ( x) ( y) ( ) x y
L x y L ( x, y)
由于 0 L 1 ，故 T 是压缩算子，由不动点定理知： x Tx 有唯一的不动点 x* ，并且对于任意的初值 x0 [a, b] ，迭代 序列 x
lim xk 1 lim ( xk ) x* ( x*)
k k
即x * 是 f ( x) 0之根，故当 k充分大时, xk 1可作近似值
y p1 p0
y=x
y p0
y=x
y ( x)

x0 y x1 x* y=x x x0 x*
p1
y ( x)
x
(k ) 2
…
n 函数也称映射，若函数 ( x) 的定义域为 D R ，则可 n n 用映射符号 简便地表示为 : D R R 。为了讨论不 动点迭代法（4）的收敛性，先定义向量值函数的映内性和 压缩性。
二.牛顿迭代法
1. 一元方程牛顿法
将 f ( x) 在点 xk作Taylor展开:
由于| ( x)| L
xk 1 xk L xk xk 1
xk 1 x * L xk x *
L xk 1 x * ( xk 1 xk )
L xk 1 x * L ( xk 1 xk )
xk 1 L x* xk 1 xk 1 L
（8)
k 1
其中x ( 0 )是给定的初值向量。如果写成一般不动点迭代 x
( x ( k ) )
( x) x ( F ' ( x))1 F ( x)
(9)
在Newton法实际计算过程中，第k步是先解线性方程组
2 2 x1 10x1 x 2 8 0 2 x1 x 2 x1 10x 2 8 0
把它写成等价形式
1 2 2 x ( x , x ) ( x1 x2 8) 1 1 1 2 10 x ( x , x ) 1 ( x x 2 x 8) 2 2 1 2 1 2 1 10
k 0,1,
( 0) T 取初始点 x (0,0) 。计算结果列于表1，可见迭代收敛到方 * T 程的解 x (1,1)
表 1
k
x1( k )
0 0 0 1
0.8 0.8
2
0.928 0.931
… …
18
0.999999972 0.999999972
19
0.999999989 0.999999989
并由此构造不动点迭代法
1 (k ) 2 ( k 1) (k ) (k ) (k ) 2 x ( x , x ) [( x ) ( x ) 8] 1 1 1 2 1 2 10 x ( k 1) ( x ( k ) , x ( k ) ) 1 [ x ( k ) ( x ( k ) )2 x ( k ) 8] 2 2 1 2 1 2 1 10
xk 1 xk

f ( xk ) f '( xk )
Newton法的改进
Newton迭代法
xk 1
f ( xk ) xk f ( xk )
复杂！
需要求每个迭代点处的导数 f ( xk )
用x0近似替代f ( xk )中的xk , 得
f ( xk ) xk f ( x0 )
性函数，若其全为线性的则为线性方程组。 产生背景: 许多科学理论与工程技术都可化为非线性方程组 非线性方程组包
括：
高次方程组,即代数方程组 超越方程组
求解的特点：无求解公式，无直接解法， 难求得精确解。 间接法即迭代法。 求解的方法： 迭代法求解的要求：

迭代公式合适(好的) 收敛 初始值好
则g(x)递增, 故g(x) 0在 a, x (x)在 a,
x k 1 ( x k ), 由微分中值定理 2o~ 4o 对 于 迭 代 法
xk 1 x * ( xk ) ( x*) ( )( xk x*)
xk 1 xk ( xk ) ( xk 1 ) ( )(xk xk 1 )
发散
2. 非线性方程组的Newton法
对于非线性方程组，也可以构造类似于一元方程的 Newton ) 迭代法。设 x *是方程组（1）的解， x ( k 是方程组的一个近似解。 用点 x ( k )处的一阶Taylor展开式近似每一个分量函数 f i ( x* ) 0 的值 ，有
fi ( x( k ) ) * ( k ) fi ( x ) fi ( x ) ( x j x j ), i 1, 2, x j j 1
用Newton迭代法求解:
若取初值 x0 1
若取初值 x0 2
x0 =1 x1 = -0.5708 x2 = 0.1169 x3 = -0.0011 x4 = 7.963110-10 x5 = 0
收敛
x0 = 2 x1 = -3.54 x2 = 13.95 x3 = -279.34 x4 = 122017
3. 非线性方程组的一般迭代法
T (3) x ( x ) ( ( x ), ( x ), , ( x )) 1 2 n 把方程组(1)改写成下面便于迭代的等价形式：
并构造不动点迭代法
x( k 1) ( x( k ) ), k 0,1,
(4)
对于给定的初始点 x (0),若由此生成的序列 x( k ) 收敛，
解出 x , 记为 x ,则 k 1
xk 1 xk

f ( xk ) f '( xk )
(k 0,1,...)
(5)
Newton迭代法的几何意义 用f ( x) 在点 xk 处的切线
y f ( xk ) f '( xk )( x xk )
与 x 轴的交点 x ，作为下一个迭代点 xk 1 ,即
* (k ) n
, n
写成向量形式有
F ( x* ) F ( x( k ) ) F '( x( k ) )( x* x( k ) )
(k ) 其中F ' ( x ) 为F ( x) 的Jacobi矩阵 F ' ( x) 在 x ( k )的值，而
f1 ( x) f1 ( x) f1 x x x x 1 2 n f1 ( x)T f 2 ( x) f 2 ( x) f 2 ( x) T f 2 ( x) x x x F '( x) 1 2 n f ( x)T n f x f x f x n n n x x x 1 2 n
(局部收敛性)
证: 1o
设g( x ) x ( x ), 则
g (a) a (a) 0, g (b) b (b) 0, ( x)连续
故至少有一个根 x * [ a, b], 使 由 g(x * ) 0, | ( x) | L 1 g(x) 1 (x) 0 b 上根唯一即 . b 内有唯一解 x * .
若矩阵 F ' ( x ( k ) ) 非奇异，则可以用使（7）右端为零的向量作为 * x 一个新的 的近似值，记为 x ( k 1) ，于是得到Newton迭代法
x( k 1) x( k ) ( F '( x( k ) ))1 F ( x( k ) ), k 1, 2,
的形式，则Newton迭代函数为
L L2 xk x * xk xk 1 xk 1 xk 2 1 L 1 L

Lk x1 x0 1 L
由于 L 1, lim( xk x*) 0
k
因此对任意初值 x0 , 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L xk x * xk xk 1 1 L 3o
lim x ( k ) x * .且 ( x) 是连续的,即1 ( x),2 ( x),
k
, n ( x)是自变量
*
x1 , x2 ,
xn 的连续函数.则 x* 满足 x* ( x* )。即 x 是迭
代函数 ( x) 的不动点，x* 是方程组(1)的解。
例1 设有非线性方程组
(k )
x* 。
迭代法的收敛阶(收敛速度) 定义3.1. :设
limx
k
k
.
若有实数c>0,p≥1,使
p
lim | x
k
| x k 1 |
k
|
c (c 0)
(2)
则称
x
k
是 p阶收敛,相应的迭代法称为p阶方法.
特别, p = 1,称线性收敛; 1<p<2,称超线性收敛 p=2,称平方收敛。
xk 1
(6)
精度稍低
这种格式称为简化Newton迭代法
迭代法的局部收敛性
无论哪种迭代法：Newton迭代法 简化Newton法
是否收敛均与初值的位置有关.
例3
f ( x) arctan x 0, 精确解 x* 0
2 xk 1 xk arctanxk (1 xk )
| ( x) | L
（收敛定理）
则 1o. 方程x ( x)在[a, b]内有唯一解x *
2o.对于任意初值x0 [a, b], 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
3o. xk x * L xk xk 1 1 L Lk o 4 . xk x * x1 x0 1 L
Lk x1 x0 1 L 4o
注：L越小，收敛越快。
定理3.1指出:只要构造的迭代函数满足
| ( x)| L1
迭代法xk 1 ( xk )就收敛
证法 2 设应用不动点定理 证 若记 T ,则问题为证明 x Tx 有唯一不动点
因为 1）区间 [a, b] 按 ( x, y) x y 是完备的距离空间； 2） T : [a, b] [a, b] ; 3） x, y [a, b] ，

计算效率(快慢)
数值稳定性(考虑计算机的舍入误差)

一.一般迭代法
1.建立
改写 f ( x) 0 为同解方程 x ( x)
其中f ， 连续
由迭代公式 xk 1 ( xk ) (k 0,1,2,...)
产生数列 x1, x2 ,..., xk , xk 1..., 若xk 收敛，设极限为x *，则
f ( x) f ( xk ) f '( xk ) ( x xk ) f ( xk ) ( x xk ) 2 2!
f ( x) f ( xk ) f '( xk ) ( x xk ) ——Taylor展开线性化（重要思想）
f ( x) 0
源自文库
近似于 f ( xk ) f '( xk )( x xk ) 0
9.3 非线性方程组的迭代解法
含有n个未知数的n个方程的非线性方程组为
F ( x) 0
(1)
其中 x ( x1 , x2 , xn )T为n维列向量，
F ( x) ( f1 ( x), f 2 ( x), f n ( x))T
fi ( x1 , x2 , xn )(i 1, 2, , n) 中至少有一个是x的非线

x1 y=x
x
y ( x)
y ( x)
p0
y
y ( x)
p0 p1 x1 x0 x* x

x0 x*
p1

x
x1
2.迭代法的收敛性
定理3.1 设迭代函数 ( x)在[a, b]上连续, 且满足
(1) 当x [a , b]时, a ( x) b;
(2) 存在一正数 L, 满足0 L 1, 且x [a, b],有